2022屆高考數(shù)學(xué)考前提分題

2022年高考數(shù)學(xué)考前提分題

1.平行四邊形中(圖1),N/=60°,AB=2AD,將△力8。以8。為折痕折起，使

得平面48。，平面8C。，如圖2.

(1)證明：平面48C,平面480；

(2)m為線段HC上靠近⑷的三等分點(diǎn)，求二面角M-8。-C的余弦值.

【分析】(1)在△45。中，設(shè)則48=2°,求解三角形證明，DLDB,結(jié)合平

面平面8C。，可得Z'。，平面8C。，得到HDA.BC,再證明8CJ_O8,即可

得到8C1平面/'DB,進(jìn)一步得到平面48CJ_平面48。；

(2)以。為原點(diǎn)，D4為x軸，為y軸，DA'為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用

向量法求解.

【解答】解：(1)證明：在中，設(shè)則N8=2a,

由余弦定理得，BD=>JAB2+AD2-2AB-ADcosA=V3a,

：.AD2+BD2=AB2,^ADYDB,翻折后有/'DLDB,

又?.?平面48Z)_L平面BCD,且平面48。n平面BCD=DB,

根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得，A/平面BC。，

又；8Cu平面8C￡>,：.A'DLBC.

在平行四邊形/8CO中，ADA.DB,BC//AD,J.BCLDB,

DCDB=D,."C，平面TDB.

：8Cu平面BC,二平面48C_L平面?8。；

y

圖1圖2

(2)以。為原點(diǎn)，D4為x軸，。8為^軸，DAf為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)

AD=lf

AfD=1,48=2,BD=遮,則8(0,V3,0),C(-1,V3,0),Af(0,0,1),

7171V311V32

AM=-3^AC3=3(一亍，3—，—□)>>3?M3(—53,—,一),

—1y[32Tf—

??DM=(-5,—，—)，DB—(0,V3,0),

333

可取平面。。的法向量為￡=(0,0,1),

、r,,,,,、rT/、_.f772,DM=-3%++KZ=0

設(shè)平面MD8的法向重為m=(x,y,z),則J_333,

?DB=y/3y=0

可取益=(2,0,1),

TT,—

t-、m-nV5

cosm/n>=Tt=丫，

17nlMI5

二二面角M-BD-C的余弦值為日.

【點(diǎn)評】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查了二面角的

求解，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

2.如圖，在三棱錐P-48C中，NACB=9Q°,以_1_平面45C；

(1)求證：平面以CJ_平面P8C；

(2)若AC=BC=R4,求二面角N-PB-C的正切值.

【分析】(1)由ZC_L8C,R1_L8C可知8C_L平面R1C,結(jié)合8Cu平面尸8c即可得證；

(2)作輔助線，分析可知NCE。為二面角4-尸5-。的平面角，再求出Rt^CDE中各

邊長，進(jìn)而可求得二面角A-PB-C的正切值.

【解答】解：(1)證明：?.?/NC5=90°,

：.AC±BC,

平面NBC,5Cu平面/BC,

：.PA±BC,

5LAC^PA=A,以u平面以C,4Cu平面刃C,

；.8C_L平面處C,

又8Cu平面PBC,

，平面以。_1_平面PBC；

(2)如圖所示，過點(diǎn)C作。＞_L/8于點(diǎn)過點(diǎn)D作DEA.PB于點(diǎn)E,連接CE,

"JPAY^-^ABC,CDu平面N8C,

：.PALCD,

又CDUB,Rlu平面以8,48u平面必8,PAHAB=A,

，CD_L平面為8,WJCDLPB,

又DELPB,CDCDE=D,CZ)u平面CDE,DEu平面CDE,

.,.PS±￥ffiCDE,則尸B_LCE,

，NCED為二面角A-PB-C的平面角,

則心曷邛

設(shè)AC=BC=PA=\,PC=V1+1=V2,PB=yjl+1+1=y/3,

V2xlV6

CE=~7T=T

CD_T_V3

.?.在RtZiCDE中，sin乙CEDZT=7I=T'

T

又二面角A-PB-C的平面角為銳二面角,

：.tanACED=V3,即二面角/-P8-C的正切值為g.

【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理論證能力及運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

3.如圖，四棱錐P-/8C。的底面為矩形，〃1.平面/188,4P=AB,尸是尸8的中點(diǎn)，E

是8c上的動點(diǎn)；

(1)證明：PE1AF；

(2)若BC=2BE=26AB,求直線RI與平面POE所成角的大小.

【分析】(1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AP=4B=2,BE=a,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)

和向量的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的充要條件證明即可；

(2)利用題中的條件，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，求出所需向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平

面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】(1)證明：以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)4P=AB=2,BE=a,

則/(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),E(a,2,0),

所以屆=(a,2,-2),AF=(0,1,1),

故病-7lF=ax0+2xl+(-2xl)=0,

所以昆1”，

故PEL4F；

(2)解：因?yàn)锽C=2BE=26AB,則0(4次，0,0),

所以訪=(4舊，0,-2),PE=(2V3,2,-2),

設(shè)平面PDE的法向量為1=(x,y,z),

則斤@=0,即(4e一2z=0,

tn-PE=012島+2y-2z=0

令x=l,貝!|z=2>/5,y=V3,

故7=(1,V3,2V3),

又晶=(0,0,2),

|4P/|_4百_/3

所以|cosV4P,n>\=

\AP\\n\"+12+3x22'

故直線PA與平面PDE所成角的大小為60°.

【點(diǎn)評】本題考查了空間向量在立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了空間向量垂直的坐標(biāo)表示，

線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將

空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

22

4.已知橢圓與雙曲線一x-乙y二1有相同的焦點(diǎn)，且該橢圓過點(diǎn)P（5,2）.

2016

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓左焦點(diǎn)為尸，過尸作直線/與橢圓交于/、8兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)在直線

上，求直線/的方程.

【分析】（1）由題可求橢圓的焦點(diǎn)，再結(jié)合條件即可求得橢圓方程；

（2）由題可設(shè)直線方程為x=my-6,聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法即可確定直線方

程.

【解答】解：（1）方法一：由題意，橢圓與雙曲線或一1有相同的焦點(diǎn)為（±6,0）,

2016

x2y2

設(shè)橢圓的方程為：一^+77=l（a>b>0）,

a2b2

254

因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P（5,2）,可得一j+==1,

a2b2

又由c=6及以2=必+，,解得d=45,序=9,

22

所以橢圓的方程為六X+-V=1.

459

第2y2

方法二：由題意，橢圓與雙曲線右一?=1有相同的焦點(diǎn)為（土6,0）,

所以2Q=J（5+6）2+22+J（5—6尸+2?=6炳,得Q=3V5,

所以82=（3通乃一62=9,

所以橢圓的方程為1x++y=1.

459

（2）當(dāng)直線與x軸重合時不滿足題意;

當(dāng)直線與x軸不重合時，設(shè)直線方程為x=my-6,

x=my—6

由x2y2消x化簡得（謂+5）y2,-\2my-9=0,

.45+V=1

,

設(shè)/（xi，yi）,B（X2，y2）>得y[+丫2=1）工’

因?yàn)橄褹B中點(diǎn)在直線y=所以二券=工解得m=12±V139,

47712+52

所以直線I的方程為x-（12-V139）y+6=0或x-（12+V139）y+6=0.

【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用等知識，屬于

中等題.

5.如圖，橢圓C：各*l（a>b>0）的離心率為?且經(jīng)過點(diǎn)（仿當(dāng)），P為橢圓上的

一動點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)圓/+y2=^,過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線小11，兩切線的斜率分別為Q,k2.

①求A'的的值；

②若/1與橢圓C交于P,0兩點(diǎn)，與圓。切于點(diǎn)/,與x軸正半軸交于點(diǎn)8（異于點(diǎn)Z）,

且滿足S&POB=SAQOA，求1\的方程.

【分析】（1）由橢圓的離心率公式和已知點(diǎn)的坐標(biāo)可求得4,b,從而得橢圓方程；

（2）①設(shè)P（沖，yo）,切線/：y-yo^k（x-xo）,根據(jù)直線與圓相切的條件和一元二次

的根與系數(shù)的關(guān)系可求得答案；

②由已知得P8=N0,設(shè)切線為人沙=去+用,與橢圓的方程聯(lián)立可得：（4乒+1）?+84加"4加2

-8=0,由坐標(biāo)間的關(guān)系可求得k=±孝，再利用直線與圓的位置關(guān)系可求得加，從而

得直線的方程.

【解答】解：⑴因?yàn)閑2=*￡-=*,所以。=26,

因?yàn)辄c(diǎn)(或，苧)在橢圓上，所以+-Z7=l,解得：a=2近，b=V2,

N4〃4/

X2V2

所以橢圓方程為：—=1；

82

(2)①設(shè)尸(xo,yo),切線/：y-yo=kCx-xo),即京-下約一去0=0

圓心。(0,0)到切線的距離d=竿竺1=r=要整理可得：(詔—前2—2xoyok+

J必+1''

據(jù)一q=0，

%

288

y-卜-1

0-5(2-5

==-

所以七七2884

X0---

55

②因?yàn)镾△尸08=SAJ8C。。小所以尸3=40,所以XB-XP=XQ-XA所以辦+期=切+工0，

設(shè)切線為/i：y=kx+m9

聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得：(4^+1)/+86a+4機(jī)2-8=0,所以4+和=表言,

kx+m_

令y=0可得小=-￡，設(shè)/(XA，kxA+m),貝1k04=A1

XA~k,

所以4=含所以冷+々=^^=一￡+—km

k2+l

整理可得:8必(必+1)=(42+1)(2必+1),

所以2乒=1,解得：k=±孝,

因?yàn)閳A心。(0,0)到八：夕=區(qū)+用距離d=普==羋，

所以|加=等、J1+A雪,所以機(jī)=±亨，

因?yàn)?=一￡>0,所以當(dāng)〃=孝時，m=—雪；當(dāng)k=-孝時，巾=空；

所以所求71的方程為y=會-等或y=—￥%+等.

【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，等知識，屬于中等題.

6.己知圓錐曲線E上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足J(x+V3)2+y2+J(x-V3)2+y2=2\/6.

(1)說明E是什么圖形，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率為1的直線/與E交于y軸右側(cè)不同的兩點(diǎn)48,點(diǎn)尸為(2,1).

①求直線/在y軸上的截距的取值范圍；

②求證：NAPB的平分線總垂直于x軸.

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接求解即可；

（2）①設(shè)直線/：y=x+m,與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合判別式求解即可；

②由于點(diǎn)P在橢圓上可得，點(diǎn)/（或點(diǎn)8）與P不重合，且ZP與8尸的斜率都存在，再

設(shè)直線AP的斜率為k\,直線BP的斜率為k2,將問題轉(zhuǎn)化為證明力+依=0即可.

【解答】（1）解：圓錐曲線E上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（x,y）滿足J（x+g）2+y2+

故圓錐曲線E是以（-VL0）,（V3,0）為焦點(diǎn)，長軸長為2遍的橢圓,

x2y2

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為7?+-=1；

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（2）①解：設(shè)直線/的方程為：y=x+m,A（xi，巾），B（X2，/），

y=%4-m

聯(lián)立方程組/y2