高數(shù)模擬試卷一

模擬試卷一

留意:答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）

一、單項選擇題（每題3分，共24分）

已知平面;r：%一2），+2-4=0與直線工：￡|1=上土2=24-1

1、—的位置關系是（）

1-1

（A）垂直（B）平行但直線不在平面上

（C）不平行也不垂直（D）直線在平面上

3xy

2、lim)

x70-y]2xy+1-1

y->0

（A）不存在(B)3(C)6(D)oo

生及

3、函數(shù)z=/（x,y）的兩個二階混合偏導數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)是這兩個二階混合偏導數(shù)

dxdydydx

在D內(nèi)相等的（）條件.

（A）必要條件（B）充分條件

（C）充分必要條件（D）非充分且非必要條件

4、設jjdcr=4/r,這里QAO,則Q二（)

x2+y2^a

(A)4(B)2(C)1(D)0

(x+ay)dx+ydy

5、己知為某函數(shù)的全微分，則〃=()

(x+?

(A)-1(B)0(C)2(D)1

/+y2+z2=10

曲線積分，ds

6、2，(),其中L:

x+y+zZ=1

2乃,、4乃

(A)(B)(D)—

y55

7、數(shù)項級數(shù)X?！òl(fā)散，則級數(shù)￡攵為（左為常數(shù)）（)

〃=i

（A）發(fā)散（B）可能收斂也可能發(fā)散

（C）收斂（D）無界

8、微分方程"〃=y'的通解是（)

(A)y=C}x+C2(B)y=—+C

21o

(C)y=Ctx+C2(D)y=—x-+C

2

二、填空題（每空4分，共20分）

1、設2=6‘山外，則立=

2、交換積分次序：fdxte'y26=----------------------。

3、設￡是隨意一條光滑的閉曲線，則，2肛以+/力=。

L

4、設幕級數(shù)的收斂半徑為3,則幕級數(shù)￡〃a”（x-l）z的收斂區(qū)域為。

n=0w=l

5、若M（x,），Mr+N（x,yMy=O是全微分方程，則函數(shù)"、N應滿意。

三、計算題（每題8分，共40分）

1、求函數(shù)z=ln（x+y2）的一階和二階偏導數(shù)。

2、計算JJ孫do,其中。是由拋物線y2=x即直線y=x-2所圍成的閉區(qū)域。

D

3、計算,（2x一y+4Mx+（5y+3x-6）dy,其中L為三頂點分別為（0,01（3,0）、（3,2）的三角形正向邊

L

界。

4、將arctanx綻開成x的舞級數(shù)。

5、求微分方程（x+y-1）辦+（/+x"=0的通解。

四：應用題（16分）

求由旋轉(zhuǎn)拋物面Z=1+y2和平面％=/所圍成的空間區(qū)域Q的體積。

模擬試卷二

留意:答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）

一、單項選擇題（每小題2分，共20分）

1.點(4-3,5)到Ox軸的距離d=().

(A)742+(-3)2+52(B)J(-3>+52(C)7(-3)2+42(D)"+52

2.下列方程中所示曲面是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是（).

/a、2221

(A)x++Z~=1(B)

222

22z.

(C)x--+z=1(D)——=—1

4916

一丁的定義域是（）.

3.二元函數(shù)2二+arcsin

x+y

(A)1<X2+J2<4；(B)l<x2+J2<4；

(C)1<X2+J2<4；(D)1<x2+j2<4.

4./、.（/,，）=（）.

/Go+",匕>)-/(/，No)/Go+",匕>)-/(/，No)

(A)lim(B)lim

AVTOAx?TOAx

/(%+—，汽)-/(蒼)，)/Qo+八八)，)-/(xO，y)

(C)lim(D)lim

Ar->0Av

5.己知二重積分。小心=1,則圍成區(qū)域D的是().

D

(A)Ix|=g,Iy|=1

(B)x軸，y軸及2x+y-2=0

（0x軸，%=2及〉=%

6.設/="（/+y2）ag,其中。由/+丫2=°2所圍成，則/=（）.

D

(A)/)a2rdr=Tia"(B)fdO\r2-rdr=—7ia^

JoJo2

2zr3「2萬M

(C)fdOf'r~dr=—71aa2-adr=2加z4

JoJo3⑻J。到

x=acost

7.若L是上半橢圓一''取順時針方向，則fydr—My的值為（）.

y=/?sinr,

(A)0(B)—ab(C)71cLb(D)jiub

2

8.設a為非零常數(shù)，則當（）時，級數(shù)￡二收斂.

〃=1r

(A)|r|>|a|(B)|r|>|a|(O|r|<l(D)|r|>l

9.lim=0是級數(shù)Z收斂的()條件.

(A)充分(B)必要(C)充分且必要(D)既非充分又非必要

10.微分方程y"+y=0的通解為.

(A)y=cosx+c(B)y=qcosx+C2

(C)y=G+c2sinx(D)y=c(cosx+c2sinx

二、填空題(每小題3分，共15分)

1.已知平行四邊形A5CO的兩個頂點A(2,-3,—5),5(-1,3,2)的及它的對角線的交點

￡(4-1,7),則頂點。的坐標為一

2.設1=37—j—2i,B=7+2j—則GxB=

VuZ

3.=2，則----

xdxdy

4.若正項級數(shù)X".的后項與前項之比值的極限等于夕，則當______時，級數(shù)必收斂.

n=\

YYn

5.幕級數(shù)-+—+?.-+——-----+…的收斂區(qū)間是

22-42-4…一(2〃)

三、計算題(每小題10分，共50分)

1.求函數(shù)f(x,y)=x3+y3-3(x2+y2)的極值點，并求極值.

2.計算^x2e-y2dxdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點是三角形區(qū)域.

D

ll

3.計算--\----ds,其中「為曲線：x=ecostfy=esin19z=d(0<Z<2).

x~+y+z

/x5/t

4.利用逐項求導或逐項積分，求下列級數(shù)的和函數(shù)：1+—+—+…+---+???.

352n-l

2x

5.求微分方程滿意已給初始條件的特解：y=e-\y|,=o=O.

四、應用題與證明題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.求球面x2+y2+z2=〃3>0)被平面z=(與z=］所夾部分的面積。

2.證明曲面肛Z=〃2(加>0)上任一點處切平面與三個坐標面所圍成四面體的體積為常數(shù).

模擬試卷三

留意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時間100分)

一、單項選擇題(每小題2分，共20分)

->T—>—>

1.若a,為共線的單位向量，則它們的數(shù)量積ab={).

(A)1(B)-1(C)0(D)cos(H)

2.設平面方程為5x+Cz+￡>=(),且8,C,OxO,則平面().

(A)平行于x軸(B)垂直于x軸(C)平行于y軸(D)垂直于y軸

(x2+y2)sin^-^~亍,x2+y2^0

3.設/(x,y)=廠+y，則在原點(0,0)處/(x,y)().

0,x2+y2=0

(A)不連續(xù)(B)偏導數(shù)不存在(C)連續(xù)但不行微(D)可微

4.二元函數(shù)z=3(x+y)-1-y'的極值點是().

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(1,-1)(D)(-1,-1)

5.設。為一+/41,則,/1=dxdy=().

JJ71-x2-/

(A)0(B)兀(C)27c(D)4萬

6.[/尤工)(x,y)dy=()

(A)￡'dy^f\x,y)dx(B)￡dy^Xf(x,y)dx

(C)￡'/(x,y)dx(D)J：dy^f(x,y^dx

x=acost,r

7.若L是上半橢圓4取順時針方向，則|wtr-北儀的值為().

y=bsint,北

(A)0(B)—ab(C)7nab(D)7iub

2

8.下列級數(shù)中，收斂的是().

85848c

(A)2弓尸(B)產(chǎn)(0

n=l-?=1Dn=X4

9.若某級數(shù)的收斂半徑為K：0</?,<400,某級數(shù)￡幻力的收斂半徑為此：

〃=0?=0

0<6<M，則幕級數(shù)Z(4+a)x"的收斂半徑至少為()

“=0

(A)&+R,(B)與?R2(C)max優(yōu),&}(D)min{/?,,R2]

10.方程Ay'=Jx?+p+「是().

(A)齊次方程(B)一階線性方程(C)伯努利方程(D)可分別變量方程

二、填空題(每小題3分，共15分)

1.平行四邊形二邊為向量:={1,—3,1},1={2,—1,3},則其面積5=.

2.通過點(3,0,—1)且與平面3x—7y+5z—12=0平行的平面方程為.

Xdz

3.設z=Intan—,貝ij—=_______.

ySy

4.曲線X=—L,y=l±Az=f2在對應于r=l的點處切線方程為；

1+tt

5.設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在。上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有

[Pdx+Qdy：

JL

三、計算題(每小題10分，共50分)

1.設z=xln(孫)，求?：).

dxdy

2.求其中D是由所確定的閉區(qū)域.

D

3.計算工。2-y)辦■一(x+sin?y)dy,其中L是在圓周：y=JZx-x?上由點(0,0)到點(1,1)的一

段弧.

4.將函數(shù)>=(1+%)ln(l+x)綻開成x的舞級數(shù)，并求綻開式成立的區(qū)間.

5.求下列微分方程的通解：cos?》電一y=tanx.

dx

四、應用題(第1小題13分，第2小題12分，共25分)

1.在平面xoy上求一點,使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最小.

2

2.求由曲面z=/+2y2及z=6-2x-/所圍成的立體的體積.、

模擬試卷四

留意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。(本卷考試時間100分)

一、單項選擇題(每小題2分，10小題，共20分)

1.向量方=(1,2,—2)在向量1=(6,2,3)上的投影等于()

(A)-(B)-(0-(D)上

7344

2.曲線上2+9/=36繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是()

z=0

(A)4x2+4y2+9Z2=36(B)4X2+9y2+9z2-16

(C)4x2+9y2+4z2=36(D)9x2+9/+4z2=16

3.已知/(x,y)=7^，則的值為()

(A)0(B)1(C)-(D)不存在

2

4.若/(x,y)在(Xo，M>)處可微，則f(x,y)在(x()，M))處()

(A)連續(xù)且偏導數(shù)存在(B)連續(xù)且偏導數(shù)連續(xù)

(0連續(xù)但偏導數(shù)不肯定存在(D)不肯定連續(xù)且偏導數(shù)不肯定存在

+yx+y

5.設人=JJe'dxdy,I2edxdy,其中區(qū)域Dt:-1<X<1,-2<y<2,

2:04x4l,04y42,則下列四式中正確的是()

(A)7,>47,(B)L=4/?(07,<4/2(D)7,=212

6.設/=[[，+/)“其中。由/+/=/所圍成，則/=()

D

(A)J；dO^a1pdp(B)J；dej,-adp

⑹『"可”20⑻可/2-pdp

7.設L為：x=2,0<y<|,則[44s的值為()

(A)4(B)6(C)8(D)12

8.下列級數(shù)中，收斂的是（）

QC100181

(B)￡方?自就(D)￡(-1)"

”=17nn=l

‘哥級數(shù)"

9.的收斂區(qū)間為（)

(A)(-1,1)(B)[-1,I](C)(-1,1](D)[-1,1)

10.下列方程可分別變量的是()

(A)sin(xy)dx+/力=0(B)xex+ydx+y2dy=0

(C)(1+xy)dx+y2dy=0(D)(x+y)dx+ex+ydy=0

二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）

1.通過曲線且母線平行于y軸的柱面方程是.

2.經(jīng)過點（1,0,-1）且平行于向量0={2,—1,1}的直線方程是.

l-y[xy+\

3.lim-------=.

>4o個

4.將二次積分；/（尤,y）dy改換積分次序應為.

5.設￡明、￡乙都是正項級數(shù)，且￡〃“收斂,則當〃=i,2,???，都有時，￡匕

n=lw=lM=1n=I

也肯定收斂.

f4-2z

三、設函數(shù)z=±?，求一?.(10分)

xyoxoyx=i

)'=2

四、計算二重積分U（Y+y2-x）d<T,其中D是由直線丁=小y=2x及x=2所圍成的

D

閉區(qū)域.（10分）

五、計算曲線積分，（2y-/）必+（3x+2y2）辦，其中L是由拋物線）=/和/=%

L

所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線.（10分）

六、.求幕級數(shù)之內(nèi)向的和函數(shù).（10分）

n=\

七、求下列微分方程的通解：（丁+2），2）辦-xydy=o.（10分）

八、應用題（15分）

求旋轉(zhuǎn)拋物面z=爐+y2被平面z=a（a>0）所截得的有限部分的面積.

模擬試卷五

留意:答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）

一、單項選擇題（每小題2分，10小題，共20分）

1.歷+,<忖-可充分必要條件是（）

(A)axb=0(B)ab=Q(C)ab>0(D)a-b<0

2.兩平面x-4y+z+5=0與2x-2y-z-3=0的夾角是()

(A)-(B)-(C)-(D)71

6342

3.若人3勿=1,則癡/("-("6N')=()

Ay->0Ay

(A)2(B)1(C)4(D)0

4.若fx(%,y。)和4(乙，九)都存在，則f(x,y)在(x。,y°)處()

（A）連續(xù)且可微（B）連續(xù)但不肯定可微

（C）可微但不肯定連續(xù)（D）不肯定連續(xù)且不肯定可微

5.下列不等式正確的是()

(A)ff(丁+>3)。(7>0(B)(x2+y2)e/a>0

x2+y2^\x2+y2^l

(C)。(x+y)db>0(D)jj(x->)db>0

x2+y2<\x2+y2^l

&J；可:―)辦=()

⑷J；'我(B)￡'<iyj(''f(x,y)dx

(D)J：dyJ；/(x,y)dx

7.設區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成,L取正向，A為區(qū)域D的面積，則()

(A)A=—fydx-xdy(B)A=-^xdy-ydx

2L2L

(C)A=—^xdy+ydx(D)A=^xdy-ydx

2,

8.設是正項級數(shù)，前n項和為則數(shù)列&｝有界是才明收斂的()

/?=1k=\〃=1

(A)充分條件(B)必要條件

(0充分必要條件(D)既非充分條件，也非必要條件

9.以下級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)是()

(A)￡(卅^—⑻￡(-1尸』

￡2rt+10“=|7n

8Q

(0￡(-1嚴分(D)Z(-1)"”

?I=I2n=\7〃

10.下列方程為線性微分方程的是()

(A)y'=(sinx)y+e”(B)yf=xs\ny+ex

(C)yr=sinx+(D)孫'=cosy+l

二、填空題(每小題3分，5小題，共15分)

1.曲線"+z-2y-2=0在.平面上的投影方程是__________

y-z+l=O

2.經(jīng)過點（2,Of且垂直于直線"二號=尸的平面方程是

4.設區(qū)域。是由x軸及半圓周/+/=a2（y?o）所圍成的閉區(qū)域，將二重積分

Jf/（x2+/db化為極坐標形式的二次積分應為.

D

5.設￡〃“、￡乙都是正項級數(shù)，且發(fā)散，則當〃=1,2,…，都有時,

n=\n=ln=\

￡匕,也肯定發(fā)散.

“=|

2

三、設函數(shù)z=e上"求d士z■.（10分）

dxdyx=2

y=i

四、計算二重積分”/*%。，其中D是圓環(huán)形閉區(qū)域{（居?。﹟14/+尸＜4}.

D

（10分）

五、計算，，一孫3）公+（,2一2孫）右，其中L是三個頂點分別為（0,0）、（2,0）和

L

（2,2）的三角形區(qū)域的正向邊界.（10分）

產(chǎn)一丫2"

六、求基級數(shù)y—的和函數(shù).GO分）

念2n

七、求下列微分方程的通解：（xcos2-ysin2）dx+xsin24y=0.（10分）

XXX

八、應用題（15分）

計算半球面z=病二7二7被圍在柱面/+產(chǎn)=內(nèi)內(nèi)的部分曲面的面積.

參考答案（模擬試卷一）

-：單項選擇題（每小題3分，共24分）

1、D；2NB；3、B；4、A；5、C；6、C；7、B；8、C.

二、填空題（每空4分，共20分）

1、esincosxy（ydx+xdy）；2、e~ydx；3、0；4、（-2,4）;5、.

三、計算題（每題8分，共40分）

1、解：z；=-J—z；=2.，；......2分

x+y2）x+V

XX/'/v/2\2'外戶―’?\2,

2、解：畫出積分區(qū)域……1分

jjxyd（j=jxydx......4分

D

=gf[y（y+2）2-y%=51……3分

3、解:如圖，因為P（x,y）=2x-y+4,Q（羽y）=5y+3x-6......1分

dPdQdQdP

—=-tl,上=o3,則ni上----=4A

dydxdxdy

由格林公式得：1（2x-y+4如+（5y+3工一6協(xié)

L

般-即叱卜…

4、解：arctanx=P-.......2分

J。1+x2

——公￡鼠-1）中/……3分

”=0n=0

op2?+1

=xe[-1,1]……3分

“=o2n+1

5、解：原方程即為（*Zx+xdy）+（x-l）6t￥+e，dy=02分

即d（Ay）+dg（x-l）2+dev=02分

dxy4-^（x-l）2+ey=02分

原方程的通解為孫+；（x-iy+，=c……2分

四、應用題（16分）

解一：用二重積分計算。所求體積可視為圓柱體：x2+y2Wa2,owzwa2的體積與以曲面

z=/+y2為頂、以0n,為底的曲頂柱體體積之差，其體積為?8分

V=7m'-a2-（x2+y2\lxdy

%

……8分

434

=mi-^d0\'rdr=-a

JoJo2

解二：用三重積分計算。利用柱面坐標，有.......4分

V=?—=『"碟Mr/dz

C12分

=2乃］：（a2r-，卜/■=^a，

答案（模擬試卷二）

一、單項選擇題（每小題2分，共20分）

題號12345678910

答案BCADBBCDBD

二、填空題(每小題3分，共15分)

---y2-2

1.(9,-5,12)2.5i+j+lk3.—......X.-4.p<15.(-oo,+oo)

(x~+y廠

三、計算題(每小題10分，共50分)

1.求函數(shù)/(x,y)=x3+/-3(x2+/)的極值點，并求極值.

22

解：；/(x,y)=3x-6x,fy(x,y)=3y-6y

'f

人/r(%，y)=。M=0,M=2

令〈，=>s

fy(x,y)=0E=°，％=2

???駐點為：(0,0),(0,2),(2,0),(2,2).......................................4分

又,:人*=6x-6,fxy=0,fyy=6y-6.......................................6分

(1)對于駐點(0,0)有A=-6,3=0,C=-6,A=AC-B2=36>0且A<0

.?./(0,0)=0為極大值.....................7分

(2)對于駐點(0,2)有A=-6,3=0,C=6,A=AC-B2=-36<0

2)不是極值.....................8分

(3)對于駐點(2,0)有A=6,B=0,C=—6,A=AC-B2=-36<0

.../(2,0)不是極值.....................9分

(4)對于駐點(2,2)有A=6,B=0,C=6,△=AC—8?=36>0且A>()

.?.f(2,2)=-8為微小值.....................10分

2.計算dxdy,其中。是以(0,0),(1,1),(0,1)為頂點是三角形區(qū)域.

D

解:Jjx2e~ydxdy=^[￡'x2e~y2dx]dy.......................................5分

D

6'Jo

1,1，1

6e()

中,T

.....................10分

ll1

3.計算，J+j+z2-ds，其中r為曲線：x=ecostfy=esint9z=e(0<Z<2).

「21

解：原式%cos/)'+(，sin。'+(e)力......3分

cosi)十[esuii)十j

V3「2

=——edt.....................8分

2Jo

=#(--2)

--------------------10分

4.利用逐項求導或逐項積分，求下列級數(shù)的和函數(shù):

x3x5x2,1~l

X+++…++….

352〃一1

解：：1+X2+X，++?..=~,x<1.....................3分

1-X2

X3X5尤211,

??尤+—+—+???+-----+???=——rd)r.....................6分

352M-1J。1--

=—[fV——+fdx]

2J。1-x-J。1+X

1.1+x/i

=—In----(-1<x<1)...................10分

2\-x

5.求微分方程滿意已給初始條件的特解：

If兒。=0.

解：???包=/『

dx

/.eydy=e2xdx........................3分

兩邊積分得：e'=-e2t+C.......................................7分

2

又：兒=。=。

C=—........................9分

2

...特解為：ey^-（e2x+i）........................10分

四'應用題與證明題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）

1.求球面/+y2+z2=。2（a>0）被平面z=:與z=￡所夾部分的面積。

解：：Z=_*2_y2且￡）={（羽切\(zhòng)+24*2+y2W^_1q2}..........2分

...所求的面積為：S=JJJl+（z；）2+（z；）2辦4y...................4分

D

=叫/2:2“..............................................8分

Dy/a-x-y

dpCle

=4I/22...................9分

Dy]a-p

=4廣信刎妁

J

°吟簡〒

=-7ia2...................13分

2

2.證明曲面孫z=加（機>0）上任一點處切平面與三個坐標面所圍成四面體的體積為常數(shù).

解：曲面孫z=〃z上任一點尸（％0，治）處的法向量為：〃=（y（）z（）,%（/（）,x（）y（））....3分

???尸（%,九）處的切平面方程為：yGzQ（x-x0）+xoz（）（y-yQ）+x^y^z-zQ）=0

XVz

即：「+?+『=1且有XoNoZo...................9分

3/3yo3z0

99

二所圍乂體的體積為：V=-xoyozo=~m...................12分

答案（模擬試卷三）

一、單項選擇題（每小題2分，共20分）

題號12345678910

答案DCDDCCCBDA

二、填空題（每小題3分，共15分）

2x2x

1.3M2.3x-7y+5z-4=03.——7esc—

yy

_1

-2_y-2_z-15g（筌副團

—-4~~8~

三、計算題（每小題10分，共50分）

1.設z=xln（孫），求?；’.

dxdy

解：?..包=lnxy+l.....................3分

dx

d2z1八

???麗=7.....................6分

=.....................10分

dxdy2y2

2.求口？147,其中D是由W+所確定的閉區(qū)域.

D

解：JJex+yda=JJex+ydxdy+JJex+ydxdy.....................1分

DD|D2

=16二e'eZyMx+fd/e⑷dx...................7分

=￡(e2t+l-e''Mx+￡(e一e2x'')dx.....................9分

10分

3.計算￡(x2-y)iZr-(x+sin2jMy,其中L是在圓周:y=，2犬一1上由點（0,0）到點（1,1）的一

段弧.

—cos11]jr

~'"從母IJ—.....................2分

y=sint2

￡(x2-y)(x+sin?y)dy

22

=p{Kl+cosr)-sinr]-(-sinr)-[(l+cosr)+sin(sinr)卜cosr}/r.......6分

=j^[sinr+sin2r-i-sinrcos2r+cos2/_cosZ+cosrsin2(sinr)]t/z

2

71

=——+—sin2.......................................10分

64

4.將函數(shù)y=(1+尤)1(1+%)綻開成X的幕級數(shù),并求綻開式成立的區(qū)間.

X2x3?+l

解：Vy=ln(l+x)+l=l+x——+—+…+(-1)”——x+??--1<x<I..............4分

23714-1

/.y=(1+x)ln(l+x)

x2x3X4x/,+2

=XH-----------+一++(-l)n-——-+

2612(〃+1)(〃+2)

二次+￡㈠