2022年專升本《高數》真題及答案解析

2022年河南省普通高等

?？飘厴I(yè)生進入本科階段學習考試

高等數學

題號—*二三四五總分

602050146150

本卷須知：

答題前：考生務必將自己的、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上本卷的

試題答案必須答在答題卡上，答在卷上無效

選題分析:

易（33分）中（84分）難（33分）

選擇：選擇：選擇：

1/2/5/6/7/8/9/12/15/18/23/4/10/11/13/14/16/17/2019/23/27

4/30/21/22/25/26/28/29填空：

填空：填空：37/39

31/3832/33/34/35/36/40計算：

計算：計算：44/50

4142/43/45/46/47/48/49應用：

應用：應用：51

證明：52證明：

證明：53

、選擇題（每題2分，共60分）

在每題的四個備選答案中選一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.

1.函數/（x）=ln（Jl+4-x）在定義域上是（）.

A.非奇非偶函數B.

無法判斷奇偶性C.

偶函數

D.奇函數

2/（幻的定義域是那么/（e*）的定義域是（）.A.

(0,1]

B.[0,1]

C.（0,1）

D.[0,1）

3曲線>=:11,+1_》,2+6》+1在點（0/）處的切線方程與》軸的交點坐標為（）.

32

A.（」，。）

6

B.（-1,0）

1

C.（7,0）

6

D.（1,0）

4.當X->0時，羋+/-1與-1/2等價,那么.

2

A.0

B.oo

3

C.

5.極限lim3+2〃-4/2=（）.

"f83/-5〃+4

A.1

B.-1

sin4x

6.極限lim----=（）.

A。5X

A.1

5

B.一

4

4

C.-

5

D.-1

7.當x-0時，e?/-1是（d+2幻的無窮?。ǎ?

A.等價B.

低階C.

高階

D.同階但非等價

\a+\nx,x>1

8.函數J（x）=J在x=1處連續(xù)，那么a=（）.

a-1,<1

A.1

B.-1

1

C.

l-X,X<-1

9.設/(%)=,兀、，，那么無=一1是點（）.

cos-x,x>-\―

2

A.連續(xù)點

B.可去間斷點C.

跳躍間斷點

D.第二類間斷點

10.函數/（x）在尤=a處可導，那么/（a+x）—/（a—x）=（）.

limx

.r-?0

A.2f'（a）

B._f(2a)

C.f'(a)

D.0

11./(x)=A.=,求廣⑴=().

l+2x

-1B.1

C.一

3

11

D.

3

12.y-xex,求力'=().

A.(九一

B.(x-l)eAdx

C.(l+x)e'dx

D.xexdx

B設>=工的垂直漸近線為().

\+x

A.x=1

B.x=—1

C.y=1

D.y=-l

14.方程3x-2sinx=0(-o0cx<+oo)的實根個數為().

A.0

B.1

C.2

D.無窮多

15.求>=21+》+1的拐點().

A.x=0

B.(1,0)

c.(0,0)

D.(0,1)

16.在(a,初內，/'(x)=d(x),那么以下哪個正確().

A./(x)=奴x)

B.J療(x)=-jd(p(x)

c.公］=［ja》)公］

D.f(x)=?x)+C

1

17.計算不定積分f公=().

1J1-2x

A.-In1—2x+C

21

B_ln(l-2x)+C

,2

CIn1—2尤+C

■I2

D.ln(l-2x)+C

18.costdt=().

dx2a

A.sin。一sina

B.0

C.sinx

D.sinx+C

19.當人為何值時，廣義積分收斂().

J-00

A.k>。

B.ZNO

C.%<0

D.k<0

I51

20.假設/(%)在上［一1,5］可積，且［J。)公=1，\if(x)dx=2,求［3/(x)必:=

(J.

A.—2

B.2

C.一3

D.3

21.平面x—2y+7z+l=0和平面5x—y—z+5=0的位置關系是().A.

重合

B.垂直

C.平行

D.相交但不垂直

22.假設向量a=(6,x,—4)與向量A=(2,2)平行，那么x,y的值分別為().

A.4,-3

B.-3,-4

C.—3,4

D.—4,3

d2z

23.z=xln(x+y),那么=().

dxdy

A.

B.X

(x+?

y

C.

(無+>)2

D.y

24.一元函數在某點極限存在是其在該點可導的().A.

必要條件

B.充分條件

C.充分必要條件

D.無關條件

25.設。：f+尸49,那么9-JT-ydjcdy().

八D

A.18〃

B.36萬

C.9萬

D.6乃

26.設L是直線x+y=O上從（2,-2）到（一2,2）上的一段弧，那么，cos/tr=（）.

A.-2sin2

B.2sin2

C.-2cos2

D.2cos2

8

27.假設級數Z32,I+〃2"）收斂，那么以下說法正確的選項是（）.

n=l

00

A.必收斂

B.limw=0

…n

00

C.gw?未必收斂

00

1）.發(fā)散

28.函數y=Cev（其中C為任意常數）是微分方程y'—y=0的（）.A.

解

B.通解

C.特解

D.所有解

y=2ex-x2+x+l,那么y(520)1).

A.520ex

B.2e

C.2e520

D.0

30.在空間直角坐標系內，方程/(x)=6-1表示的二次曲面是().

A.拋物面B.

錐面

C.雙曲柱面D.

單葉雙曲面

二、填空題(每題2分，共20分)

31.極限=3.

fI3+x)

32.微分方程y'-10y'+9y=0的通解是曠=包

33./(l+x)=2x+3,那么/"⑴一3]=衛(wèi).

34.函數y=T)力的單調遞增區(qū)間是.

X

35.不定積分J!dx=_□.

V1+X2

36,定積分十，sinx+d)dx=_□.

1廣/

37.假設/=(f(x,y)dy,那么交換機分次序后/=_口

38.函數Z=犬+y2,那么全微分dz三二.

1

39.將函數/(%)=——展開成(2+冗)的基級數是.

2-x

求不定積分jxcosxdx.

)1

42.求極限lim[x-廠ln(1+)].

XfoOX

dzdz

43.設xy+xyz=2x-4y(xyw0),求，.

dxdy

f2x,x<03

44.設A')=i",x>?！骫/('一2)&

f3x+2y+l=0

45.求過點(9,8,5)且與直線(平行的直線方程?

|2y+z+l=0

46.計算二重積分JJxdxdy，其中D是由直線y=l,%=2及)，=x所圍成的閉區(qū)域.

00x”

47.求級數——的收斂區(qū)間(不考慮兩個端點的收斂性).

備5(〃+1)

48.求微分方程X+y=COSX(X>0)的通解.

?31

49.求函數丁二—^一一丁+僦——的極值.

323

50.求橢球面x2+2y2+3z2=9在點(2,1,1)處的切平面方程.

四、應用題(每題7分，共14分)

51.求曲線y=/與直線尤=2,y=0所圍成的圖形繞x軸旋轉形成的旋轉體的體積.

52.注入人體血液的藥品濃度隨著時間的變化而變化。據臨床監(jiān)測，某麻醉藥品在某人血液

中的濃度C與時間，的函數關系為C(r)=0.30f+0.04產—0.0004戶,其中。的單位是毫

克，，的單位是秒。試問這種藥品從注入此人的身體開始，經過多長的時間在其血液中的濃

度到達最大(提示：0收)784。0.0885,計算的最終結果采用四舍五入法保存小數點后

兩位有效數字).

五、證明題(每題6分，共6分)

53設/(x)在［a,以上連續(xù)，(。,匕)內可導，/(a)=a,于(b)=b,且x句時

證明：至少存在一點Je(a,。，使得/C)=U/'C).

2022年河南省普通高等專科畢

業(yè)生進入本科階段學習考試

高等數學

【參考答案】

一、選擇題(每題2分，共60分)1.

【答案】D

【解析］/(_x)=,n(+X)=in

J1+無2—x

-ln(Vl+x2-%)=-/(%),那么/(x)為奇函數，應選D.

2.【答案】B

【解析】由f(x)定義域為口⑼，得lWe"e,解得0W尤＜1,即定義域為［0,1］,應選B.

3.【答案】A

【解析】由可得：切線斜率％=)1后0=9+%+6*)=6,切線方程為y=6x+l,與光

軸的交點即當y=0時得交點坐標為(二1,0),應選A.

4.【答案】C

【解析】當x-0時，jTT7Er-l~_1ax2,所以」I。幺=—二1/=a=-Q。，應選C.

5.【答案】D

【解析】分子分母最高鼎次相同時，極限等于最高事次系數比，故:

］加3+2〃-4/廠=一，應選口.

〃-83〃2-5〃+43

6.【答案】C

【解析】limSin4x=lim4x=4,應選C.

io5x1。5x5

7.【答案】C

【解析】由于lim^----=lim------=lim-----=0,可知當x-0時，e2x-1是

x2

^0x+2xx-。％+2xXTOX+2

W+2x的高階無窮小，應選C.

8.【答案】A

【解析】由/(x)在x=1處連續(xù)，得lim/(x)=lim(〃+In犬)=。，

lim/(x)=lim(2ax-l)=2a-l,左極限等于右極限，即2。-1=々，故。=1,應選A.

9.【答案】C

_.71

【解析】由于limf(x)=limcos—x=0=/⑴，limf(x)-lim(l-x)=2^

/⑴，

一r「2

故/(x)在x-—1處不連續(xù).乂左極限W右極限，那么X-—1是跳躍間斷點,應選C.

10.【答案】A_______________

［解析】lim""+X)T(a一?=lim"。+")一于@+/(?)T9~%)

=lim"“+4一于?+lim""一-/⑷=/⑷+f'(a)=2/⑷，應選A.

11.【答案】A

y

【解析】先求出反函數，反解X=.，交換X，y得反函數丫=x’那么

l-2y

,r1(i)=-i:或也可根據反函數的值域即為原來函數的定義域，令，(無)=

得x=-l,即/1⑴=-1,應選A.

C

人二］,解

【解析】y'=e*+xe*=b(l+x),故6=(l+x)e'6k,應選c.1+2萬一

xfT1+X

14.【答案】B

【解析】設/(x)=3x-2sinx,那么f'(x)=3-2cosx>0,由于-1<COSX<1,故

f\x)>0,/(x)單調遞增，且f(x)在一8<%<+8有正有負，故只有一個實根，應選

B.

15.【答案】D

【解析】V=6x~+1,)，=12x,令y'=0得x=0,x>0時，y>0>x<0時，

y<0,故拐點為(0/),應選D.

16.【答案】D

【解析】由尸(x)=e'(x)可得：/(x)=ax)+C,即同一函數的原函數相差一個常數，應

選D.

17.【答案】C

【解析】由于J'—eZr=-~j-J(l-2x)=—~lnl-2x+C<應選C.

l-2x2l-2x2

18.【答案】B

【解析】由于求導后面是個定積分，定積分結果是個確定的常數，常數求導結果為0,因此

r

~jcostdt=costdt\-0,應選B.

dxaI")

19.【答案】C

［解析［f。*=］、公=臚攵=0,發(fā)散

,應選c.

士dx泮|收斂，k<(

)

\kCy像散，h

20.【答案】C

【解析】由題知：j'3f{x}dx--3j3f{x}dx---3rJ'f(x)dx+^f(x)dx^

=-3^-J'f(x)dx+^f(x)dx^=-3(-1+2)=

-3,應選C.

21.【答案】B

>-->—>—>

【解析】法向量為“I=(1,-2,7),法向量為“2=(5,-1,-1)，因兩平面法向量0，那么

兩平面垂直，應選B.

22.【答案】A

6x—4fx=4

【解析】兩向量平行，對應坐標成比例—=——=—=-2=><!,應選A.

y-22|y=-3

23.【答案】C

dz,z、尤一，

=ln(x+y)+dz_1%=y

【解析】c,；d=/,、2―/、2，C.

dxx+ydxdyx+y(x+y)(x+yy

24.【答案】A

【解析】可導必連續(xù)，連續(xù)那么極限一定存在，反之不成立，那么一元函數在某點處極限存

在是在該點可導的必要條件，應選A.

25.【答案】A

14

【解析】由二重積分的幾何意義可知,尤2_y2^dy=一.一萬,33=18萬，應選A.

D23

26.【答案】A

【解析】L為y=_x,%從2——2,原式

=jcosydx=jcos(-x)dx=-sin(-x)「2=sinx「?-2sin2

L222,應選A.

27.【答案】C

+“)=((-I)2"-1+(-l)2n)=0

￡(T)"￡(〃

【解析】選C舉例:乙><

M=1?Z=1〃=1

MOD2/(-L^7

Mon2」

n=\

Mon

收

斂

而=2(T)"發(fā)散'排除A；lim”=lim(-l)"不存在，排除B；再舉例:

n=lrt=l

COCO0000co00

+“2〃)=^^(0+0)=0收斂,而〉"n=Wi。收斂，應選C.

/?=!n=ln=\?i=l/i=lH=1

28.【答案】A

【解析】因y=CeX滿足該微分方程，應選A.

29.【答案】B

【解析】(e'J'”=e",〃>m,加,〃wN+，時，(x?)(°=0,應選B.

30.【答案】c

【解析】方程f-y2=1符合柱面特征，缺變量，應選c.

二、填空題(每題2分，共20分)

31.【答案】

(3>-(八；a

【解析】lim'+=lim|l+5H3+Jt

—入3+xJ3+xJ

32.【答案】y=Cex+Cegx

I2

【解析】特征方程為產-10廠+9=0,特征根r=9,r=1，故通解為丁=C爐+C/其

I212

中C1,G為任意常數?

33.【答案】4x—3

【解析】令x+1=r,x=r—1,所以/(X)=2x+\,故

/[/U)-3]=/(2X+1-3)=f(2x_2)=4x-3.

34.【答案】(1,+8)

f

【解析】y=J%—1)力為變上限函數，求導得r(x)=(『(f—i)d/\=x—i,令

0I0)

%-1>0,故得X>1,所以單調遞增區(qū)間為(l,+oo).

35.【答案】6+1+C

【解析】1口—dx=d(x2+1)=nm+C.

而2而

2/

36.【答案】——

3

7727r3

[解析]j(x6sinx+x2)Jx=2￡^dx=

II

37.【答案】14yjq/(x,y)公

【解析】交換積分次序￡dx\af(x,y)dy=/(x,y)dx.

38.【答案】2xdx+2ydy

【解析】上=2x，5=2y,dz=_fZdx+^Zdy=2xdx+2ydy.

dxdydxdy

39.【答案】￡?0+2)”'''(一6,2)

_111=1皎土潮，x

Mov=.1----------------------------丁一

M°v+解析］.,.1Z/+i?

2-x4-(x+2)4(x+2)〃=o4

4

40.【答案】一tanr

q

_______ccYf?(—sinf)=-tant?

【解析】dy=dy/dt=2_

Mov

dxdxIdt3§出2f-cost

2

三、計算題(每題5分，共50分)41.

【答案】xsinx+cosx+C

【解析】原式=Jx(sinx)rdx=jxt/sinx=xsinx-Jsinx6tx=xsinx+cosx+C.

42.【答案】1__

2

【解析】令fJ，那么x=l，

Xt

bA4ftG令，1-丁t1

原式=hm［-］=hm-儂I"1」t八)=lim=

sot產—opz->o2t7241+。2

dzy+yz-2dzx+xz+4

43.［答案］—=~~---:-----;-=----------

oxxydyxy

【解析】令尸(x,y,z)=孫+xyz-2x+4y,

羽陷F/=y+yz-2?F：=X+XZ+4,F'=xy'

；；

-d-z=—-F-------y-+--y--z----2--dz-__F__—___x__+__x_z_+__4

dxF；xydyxy

44.【答案】」

3

【解析】令x-2=f,那么公=力,當尤=1時,，二-1；當元=3時,/=1,

f2t,t<0

又"『向>。

2

故原式=j：/V)df+j：f(t)dt=J：2"+fJtdt=t^+|/2||=_2

45.【答案】x-9_y—8_z-5

~T~-3~~6~

f3x+2y+1=0-

【解析】設直線￡+z+]=°的方向向量為邑，那么

->

k

—>—>—>f3x+2y+l=0

S]=320=2"3J+6^=(2-3,6),又所求直線與直線歸+z+l=。平行,故所

021

求直線的方向向量為1=（2,-3,6）,又所求直線過點（9,8,5）,那么所求直線方程為

x—9y—S_z—5

~^2=36~?

46.【答案J5

6

fy=x

【解析】聯(lián)立方程]y=l,解得交點（2,2）,（1,1）,（2,1）,

x=2

225

xdxdy=2t=[（孫）門公=（^一外仆

”[dx[xdyI-I6-

47.【答案】（—5,5）

0=lim]—|=lim5：(〃+1)=].,所以收斂半徑R=，=5,故收斂區(qū)間為

【解析】

Fa“Ii5"M(〃+2)5P

(-5,5).

48.【答案】」(sinx+C)，C為任意常數

X

1COSX-J，dx「COSX\-dxi

【解析】y'+_y=-----,所以y=ex|J-----6、dx+C\

xxL.xj

=e-inx「J空