北師大版數(shù)學(xué)必修5課后習(xí)題習(xí)題課2正弦定理余弦定理的綜合應(yīng)用

習(xí)題課正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用課后篇鞏固探究1.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin2A+sin2Csin2B=3sinAsinC,則角B為()A.π6 B.π3 C.π解析:由正弦定理可得a2+c2b2=3ac,所以cosB=a2+c2-答案:A2.在△ABC中,若sin2A+sin2B>sin2C,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定解析:由正弦定理及sin2A+sin2B>sin2C可得a2+b2>c2.由cosC=a2+b2-c22ab可知cosC>0,又因?yàn)?<C<π,答案:D3.已知在△ABC中,A=30°,AB=3,BC=1,則△ABC的面積等于()A.32 B.34 C.3解析:由正弦定理得3sinC=1sin30°,所以sinC=32,所以B=90°或B=30°,所以S△ABC=12AB·BC·sinB=32sinB=32或答案:D4.已知在銳角三角形ABC中,BC=1,B=2A,則AC的取值范圍是()A.[2,2] B.[0,2]C.(0,2] D.(2,解析:由題意得0<π-由正弦定理ACsinB=BC因?yàn)锳∈π6,π4,所以AC∈答案:D5.如圖,在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,則BC的長(zhǎng)為()A.82B.92C.142D.83解析:在△ABD中,設(shè)BD=x,則BA2=BD2+AD22BD·AD·cos∠BDA,即142=x2+1022·10x·cos60°,整理得x210x96=0,解得x1=16,x2=6(舍去).由正弦定理得BCsin∠CDB=BDsin∠BCD,所以BC=答案:A6.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且AC·AB=4,則△ABC的面積等于(A.43 B.233 C.3解析:由b2+c2=a2+bc,得b2+c2a2=bc,則cosA=b2因?yàn)?<A<π,所以A=60°.又bc=|AC|·|AB|=AC·AB所以S△ABC=12bcsinA=12×8×32=23.答案:D7.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194047如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上的B,D兩點(diǎn),測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B與∠D互補(bǔ),則AC的長(zhǎng)為()A.7km B.8km C.9km D.6km解析:在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC22AB·BCcosB,即AC2=25+642×5×8cosB=8980cosB.在△ADC中,由余弦定理,得AC2=AD2+DC22AD·DCcosD,即AC2=25+92×5×3cosD=3430cosD.因?yàn)椤螧與∠D互補(bǔ),所以cosB=cosD,所以34-AC230=89-A答案:A8.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若a=7,b=3,c=2,則A=,△ABC的面積為.

解析:由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=9+4-72×3×2=12,因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π答案:π9.如圖,為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高,先在河岸上選一點(diǎn)C,使得C在塔底B的正東方向上,測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°,再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測(cè)得∠BDC=45°,則塔AB的高度為米.

解析:設(shè)塔AB的高度為x米,根據(jù)題意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x米.從而BC=33x米,在△BCD中,CD=10米,∠BCD=90°+15°=105°,∠BDC=45°,則∠CBD=30°由正弦定理可得,BC=CD=10sin45°sin30°=102(所以33x=102,所以x=106故塔AB的高度為106米.答案:10610.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194048在△ABC中,若B=60°,AC=3,則AB+2BC的最大值為.

解析:A+C=120°?C=120°A,A∈(0°,120°).BCsinA=ACsinB=ABsinC=ACsinB=2?AB=2sinC=2sin(120°A)=所以AB+2BC=3cosA+5sinA=28sin(A+φ)=27sin(A+φ),其中tanφ=35,故最大值是27答案:2711.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,D,E,F分別在邊AB,BC,CA上,D為AB的中點(diǎn),DE⊥DF,且DF=32DE,則∠BDE=解析:如圖,設(shè)∠BDE=θ.在△BDE中,由正弦定理知EDsin60所以DE=32sin同理,在△ADF中,DF=32sin所以DFDE整理得tanθ=3,因?yàn)?°<θ<180°,所以θ=60°.答案:60°12.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194049在△ABC中,a,b,c為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,試判斷△ABC的形狀.解(1)因?yàn)?asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,所以根據(jù)正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,所以cosA=b2+c又0<A<π,所以A=2π(2)由(1)知a2=b2+c2+bc,根據(jù)正弦定理得sin2A=sin2B+sin2C+sinB·sinC,即sin2B+sin2C+sinB·sinC=34①又已知sinB+sinC=1②,聯(lián)立①②解得sinB=sinC=12又已知B+C=πA=π3所以0<B<π3,0<C<π3,所以B=C=故△ABC的形狀是等腰三角形.13.導(dǎo)學(xué)號(hào)33194050(2017天津高考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知asinA=4bsinB,ac=5(a2b2c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2BA)的值.解(1)由asinA=4bsinB,及asinA=bsin由ac=5(a2b2c2),及余弦定理,得cosA=b2+c(2)由(1),可得sinA=25代入asinA=4bsinB,得sinB=asin由(1)知,A為鈍角,所以cosB=1-于是sin2B=2sinBcosB=45cos2B=12sin2B=35故sin(2BA)=sin2BcosAcos2BsinA=45×-14.已知甲船正在大海上航行.當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救,甲船立即以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C處的乙船,乙船當(dāng)即也決定勻速前往救援,并且與甲船同時(shí)到達(dá).(1)試問(wèn)乙船航行速度的大小.(2)試問(wèn)乙船航行的方向(試用方位角表示,結(jié)果精確到1°).解(1)設(shè)C與B的距離為x海里,所用時(shí)間為2010=2(小時(shí))