2022年下半年教師資格《高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》押題密卷題

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單選題（共48題，共48分）

1.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》設(shè)置了四個(gè)選修系列，其中選修系列2是為希望在理工、經(jīng)濟(jì)等方面發(fā)展的學(xué)生而設(shè)置的，下列內(nèi)容不屬于選修系列2的是()。

A.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

B.圓錐曲線與方程

C.統(tǒng)計(jì)案例

D.框圖

2.下列劃分正確的是()。

A.有理數(shù)包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和零

B.角分為直角、象限角、對頂角和同位角

C.數(shù)列分為等比數(shù)列、等差數(shù)列、無限數(shù)列和遞減數(shù)列

D.平行四邊形分為對角線互相垂直的平行四邊形和對角線不互相垂直的平行四邊形

3.()是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股九章。

A.《九章算術(shù)》

B.《孫子算經(jīng)》

C.《數(shù)書九章》

D.《代數(shù)學(xué)》

4.設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1=()。

A.A-1+B-1

B.A+B

C.A(A+B)-1B

D.(A+B)-1

5.關(guān)于倍立方體問題中最重大的成就是柏拉圖學(xué)派的()為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。

A.梅內(nèi)赫莫斯

B.泰勒斯

C.歐幾里

D.阿基米德

6.設(shè)兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為2和4，則隨機(jī)變量2X-3Y的方差；是（）。

A.-28

B.-8

C.8

D.44

7.費(fèi)馬對微積分誕生的貢獻(xiàn)主要在于其發(fā)明的（）。

A.求瞬時(shí)速度的方法

B.求切線的方法

C.求極值的方法

D.求體積的方法

8.設(shè)隨機(jī)變量X～N（0，1），X的分布函數(shù)為φ（x），則P（|X|2）的值為（）

A.2[1-φ(2)]

B.2φ(2)-1

C.2-φ(2)

D.1-2φ(2)

9.已知x的多項(xiàng)式

則該多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為（）。

A.-4

B.0

C.1

D.4

10.在空間直角坐標(biāo)系下，過點(diǎn)（2，1，-3），且以n=（1，-2，3）為法向量的平面方程是（）。

A.2x+y-3z-9=0

B.2x+y-3z+9=0

C.x-2y+3z-9=0

D.x-2y+3z+9=0

11.在等腰三角形、平行四邊形、橢圓和拋物線四個(gè)圖形中，是中心對稱圖形的有（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

12.選取與所授內(nèi)容有關(guān)的生活實(shí)例或某種經(jīng)歷，通過對其分析、引申、演繹歸納出從特殊到一般、從具體到抽象的規(guī)律來導(dǎo)入新課的方法是（）。

A.直接導(dǎo)入法

B.復(fù)習(xí)導(dǎo)入法

C.實(shí)例導(dǎo)入法

D.懸念導(dǎo)入法

13.設(shè)X是一個(gè)集合ρ=X×X→R，如果關(guān)于任何x,y，z∈X，有（i）ρ（x，y）≥0，并且ρ（x，y）=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y；（ii）ρ（x，y）=ρ（y，x）；（iii）ρ（x，z）≤ρ（x，y）ρ（y，z），則稱ρ是集合X的一個(gè)度量。此度量的定義方式是（）。

A.公理式定義

B.外延式定義

C.屬種差異式定義

D.遞歸式定義

14.對某目標(biāo)進(jìn)行100次獨(dú)立射擊，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0．2，記X為100次獨(dú)立射擊中擊中目標(biāo)的總次數(shù)，則E（X2）等于（）。

A.20

B.200

C.400

D.416

15.設(shè)事件A，B相互獨(dú)立，P（B）=0．5，P（A-B）=0．3，則P（B-A）=（）。

A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

16.設(shè)4階行列式D=4，且D的每列元素之和均為2，則A21+A22+A23+A24（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

17.已知曲面方程為x2+y2+z2-2x+8y+6z=10，則過點(diǎn)（5，-2，1）的切平面方程為（）。

A.2x+y+2z=0

B.2x+y+2z=10

C.x-2y+6z=15

D.x-2y+6z=0

18.設(shè)a1，a2，a3是三維向量，則對任意常數(shù)k，ι，向量組a1+ka3，a2+ιa3線性無關(guān)是向量組a1，a2，a3線性無關(guān)的（）。

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分也非必要條件

19.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且X～N（μ，σ2），Y在[a，b]區(qū)間上服從均勻分布，則D（X-2Y）=（）

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

20.

系數(shù)為()。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

21.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則隨著σ的增大，概率P（|X-μ|＜σ）應(yīng)該（）

A.單調(diào)增大

B.單調(diào)減少

C.保持不變

D.增減都有可能

22.下列關(guān)于普通高中數(shù)學(xué)課程評價(jià)的說法錯誤的是（）

A.筆試是定量評價(jià)的重要方式

B.定量評價(jià)采取評語或成長記錄的形式

C.要重視學(xué)生做數(shù)學(xué)作業(yè)的過程，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作業(yè)在學(xué)生評價(jià)中的作用

D.應(yīng)注重計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代教育技術(shù)手段在評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)中的作用

23.設(shè)A是m×n矩陣，如果m＜n，則（）

A.Ax=b必有無窮多解

B.Ax=b必有唯一解

C.Ax=0必有無窮多解

D.Ax=0必有唯一解

24.

A.e-1

B.e

C.e2

D.e3

25.

A.3

B.2

C.1

D.0

26.

A.1

B.e

C.e-1

D.e-2

27.

A.絕對收斂

B.條件收斂

C.發(fā)散

D.不確定是否收斂

28.

A.I1＜I3＜I2

B.I2＜I1＜I3

C.I2＜I3＜I1

D.I1＜I2＜I3

29.

A.4

B.3

C.2

D.1

30.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

31.

A.充分必要條件

B.充分而非必要條件

C.必要而非充分條件

D.既不充分也非必要條件

32.

A.t=6時(shí)，P的秩必為1

B.t=6時(shí)，P的秩必為2

C.t≠6時(shí)，P的秩必為1

D.t≠6時(shí)，P的秩必為2

33.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

34.

A.a＜-1

B.a≠-1

C.a≠1

D.a1

35.

A.x=(a，a，-a)，a∈R

B.x=(2a，a，-3a)，a∈R

C.x=(a，-a，a)，a∈R

D.x=(-2a，3a，a)，a∈R

36.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

37.

A.a-b

B.c-b

C.a(1-b)

D.c-a

38.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

39.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

40.

A.橢球面

B.雙葉雙曲面

C.橢圓拋物面

D.雙曲拋物面

41.

A.AC

B.AB

C.AB-BC

D.AC+BC

42.

A.在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增

B.在（-∞，0）與（0，+∞）內(nèi)都單調(diào)遞減

C.在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減

D.在（-∞，0）與（0，+∞）內(nèi)都單調(diào)遞增

43.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

44.

A.0

B.1

C.

D.

45.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

46.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

47.

A.平行于π

B.在π上

C.垂直于π

D.與π斜交

48.

A.絕對收斂

B.條件收斂

C.發(fā)散

D.收斂性不確定

問答題（共52題，共52分）

49.簡述高中數(shù)學(xué)課程的地位和作用。

50.計(jì)算二重積分

51.簡述《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中必修課程內(nèi)容確定的原則和選修課程內(nèi)容確定的原則。

52.從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：

①利用正態(tài)分布，求P(187．8＜Z＜212．2)；

②某用戶從該企業(yè)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187．8，212．2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求EX。

53.求曲面x2+2y2+3z2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0。

54.試論述把算法加入數(shù)學(xué)課程的原因。

55.論述實(shí)施合作學(xué)習(xí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題。

56.用克拉默法則解方程組

57.簡述數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)的原則。

58.“鞏固與發(fā)展相結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則。談?wù)劇办柟獭迸c“發(fā)展”的關(guān)系，教師在教學(xué)過程中怎樣做到在發(fā)展的過程中進(jìn)行鞏固。

59.根據(jù)k的不同取值，說明（9-k）x2+（4-k）y2（1-k）z2=1表示的各是什么圖形。

60.把向量β表示成a1，a2，a3，a4的線性組合，其中β=（1，2，1，1），a1=（1，1，1，1），a2=（1，1，-1，-1），a3=（1，-1，1，-1），a4=（1，-1，-1，1）。

61.求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解。

62.設(shè)a1=（1，-1，2，4），a2=（0，3，1，2），a3=（3，0，7，14），a4=（1，-1，2，0），a5=（2，1，5，6）。

（1）證明a1，a2線性無關(guān)；

（2）把a(bǔ)1，a2擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組。

63.

的值。

64.簡述當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評價(jià)的基本理念。

65.下面是某教師執(zhí)教《不等式的運(yùn)用》的教學(xué)過程。

教學(xué)的具體環(huán)節(jié)如下：

（1）揭示知識聯(lián)系

學(xué)生畫均值不等式概念圖，并展示，交流討論，豐富概念圖。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)梳理與均值不等式相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)，通過交流討論，幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)。）

（2）通過正例同化：

（設(shè)計(jì)意圖：利用上述兩例，結(jié)合一題多解方式，促進(jìn)學(xué)生加深領(lǐng)會基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法，并引導(dǎo)他們把專題知識結(jié)構(gòu)同化到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。）

（3）通過反例同化：

（設(shè)計(jì)意圖：_______________）

（4）運(yùn)用練習(xí)強(qiáng)化：

練習(xí)題共三組，每組四道：第一組作為當(dāng)堂練習(xí)，即時(shí)講評；第二組為課堂作業(yè)，教師部分口頭提示；第三組為自習(xí)作業(yè)，學(xué)生簡答思路。

（設(shè)計(jì)意圖：安排難易適當(dāng)、有梯度的題組，利用變式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生在完善知識結(jié)構(gòu)的同時(shí)回味、消化、強(qiáng)化所學(xué)知識。）

請完成下列任務(wù)：

（1）請完成概念圖中問號處的不等式；（6分）

（2）請補(bǔ)充完例3通過反例同化的設(shè)計(jì)意圖；（6分）

（3）關(guān)于《不等式的運(yùn)用》的教學(xué)過程，給出你的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：（8分）

（4）請對上述這位教師執(zhí)教《不等式的運(yùn)用》的教學(xué)過程作出評價(jià)。（10分）

66.簡述“好”的數(shù)學(xué)問題的基本特點(diǎn)。

67.高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”（第一課時(shí)）設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)如下：

1．從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念。會根據(jù)函數(shù)圖像的單調(diào)性指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

2．能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性。

3．引導(dǎo)學(xué)生參與課堂練習(xí)，進(jìn)一步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

完成下列任務(wù)：

（1）根據(jù)目標(biāo)1列舉判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)例，并寫出設(shè)計(jì)意圖。（9分）

（2）根據(jù)目標(biāo)2設(shè)計(jì)出證明函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性實(shí)例，并寫出設(shè)計(jì)意圖。（9分）

（3）寫出“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。（6分）

（4）分析“函數(shù)的單調(diào)性”在教材中的地位和作用。（6分）

68.參數(shù)方程的教學(xué)要求是：把向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，獲得了直線的參數(shù)方程，在此基礎(chǔ)上分析直線參數(shù)方程的特點(diǎn)，體會參數(shù)的幾何意義。

在此基礎(chǔ)上完成下列教學(xué)任務(wù)：

（1）設(shè)計(jì)參數(shù)方程的三維教學(xué)目標(biāo)；（9分）

（2）設(shè)計(jì)兩種參數(shù)方程的引入方法；（15分）

（3）分析兩種方法的優(yōu)點(diǎn)。（6分）

69.請以“直線與平面平行的判定”為課題，完成下列教學(xué)設(shè)計(jì)。

(1)設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；(9分)

(2)設(shè)計(jì)本節(jié)課的教學(xué)重、難點(diǎn)；(6分)

(3)寫出新課引入和新知探究、鞏固應(yīng)用等及設(shè)計(jì)意圖。(15分)

70.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中闡述的高中數(shù)學(xué)課程的基本理念有哪些?

71.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出“教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流．使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！焙喴f明數(shù)學(xué)思想方法的含義，并給出高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的幾種數(shù)學(xué)思想方法（至少5種），且任選一種思想進(jìn)行舉例說明，以及如何在教學(xué)過程中讓學(xué)生感悟這種思想。

72.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“注重?cái)?shù)學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力”“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識”，請敘述如何發(fā)展高中生的應(yīng)用意識和能力，并舉例說明。

73.在某次考試中共有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項(xiàng)，答對得5分，不答或答錯得0分?！蹦晨忌康李}都給出一個(gè)答案，已確定有9道題的答案是正確的，而其余題中，有一道題可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯誤的，有一道可判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：

（1）選擇題得60分的概率；（3分）

（2）選擇題所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望。（4分）

74.下面是學(xué)生小劉在解答一道題目時(shí)的解法：

問題：

（1）請指出學(xué)生小劉的錯誤，并分析出現(xiàn)錯誤的原因；（7分）

（2）寫出正確的解析；（7分）

（3）分析本題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想。（6分）

75.

行的平面方程。

76.

（1）求矩陣A的全部特征值和特征向量；（3分）

（2）A是否相似于對角陣，若是，寫出與其相似的對角陣，并求一可逆矩陣T，使T-1AT為對角陣；（4分）

77.已知連續(xù)型隨機(jī)X的概率密度為

求：（1）k；（2分）

（2）分布函數(shù)F（x）；（3分）

（3）P（1．5≤x≤2．5）。（2分）

78.下面是學(xué)生小強(qiáng)在解答一道題目時(shí)的解法：

問題：（1）請指出學(xué)生小強(qiáng)的錯誤，并分析出現(xiàn)錯誤的原因；

（2）如果你是小強(qiáng)的老師，在教學(xué)過程中如何幫助小王避免再出現(xiàn)這樣的錯誤。

79.在考試中不考建模，是不是就沒必要學(xué)習(xí)建模了？結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)要求，談?wù)勀銓Υ擞^點(diǎn)的看法。

80.案例：

在求解題目“已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x=4，右焦點(diǎn)F(10，0)，離心率e=2，求雙曲線方程?！眱晌煌瑢W(xué)解題方法如下：

問題：

(1)指出學(xué)生的錯誤之處；(6分)

(2)分析學(xué)生的錯誤原因；(7分)

(3)寫出正確解法。(7分)

81.案例：

下面是學(xué)生小李在解答一道題目時(shí)的解法：

問題：

(1)請指出學(xué)生小李的錯誤，并分析出現(xiàn)錯誤的原因；

(2)如果你是小李的老師，在教學(xué)過程如何幫助小李避免這樣的錯誤再出現(xiàn)。

82.設(shè)直線y=ax與拋物線y=X2所圍成圖形的面積為S1，它們與直線x=1所圍成圖形的面積為S2，且0＜a＜1，求a的值，使S1+S2達(dá)到最小。

83.一商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系P=7-0．2x（萬元／噸），其中x為銷售量，該商品的成本函數(shù)為C=3x+1（萬元）。

（1）若每銷售一噸商品，政府要征稅t萬元，求該商家獲最大利潤時(shí)的銷售量；（4分）

（2）t為何值時(shí)，政府稅收總額最大？（3分）

84.針對“直線與平面平行的判定”起始課的教學(xué)，兩位老師給出了如下教學(xué)設(shè)計(jì)片段：

【教師甲】

設(shè)置問題情境：同學(xué)們在日常生活中經(jīng)常遇到直線和平面，那么直線與平面有什么樣的位置關(guān)系呢？

規(guī)定：空間中直線a，平面為a，則a與a有什么位置關(guān)系？完成下表：

【教師乙】

復(fù)習(xí)導(dǎo)入：回顧直線與平面的位置關(guān)系。

學(xué)生思考舉手回答，教師做點(diǎn)評、指導(dǎo)。對直線與平面的三種位置關(guān)系的三種語言進(jìn)行投影展示，并指出平行關(guān)系是立體幾何中重點(diǎn)研究對象之一。

師：今天我們接下來研究直線與平面平行所要滿足的條件。

85.案例：

閱讀下列三位教師關(guān)于“直線與平面垂直的判定”的教學(xué)片段。

教師甲的引入：

教師甲：同學(xué)們，空間直線與平面有哪幾種位置關(guān)系

學(xué)生邊演示邊敘述，得到直線與平面的三種位置關(guān)系。

教師：直線在平面內(nèi)．直線與平面的平行已研究過，直線與平面相交成為今天要研究的問題。在日常生活中，你見過哪些情景可以抽象成直線與平面相交舉例說明。

學(xué)生：日光燈的掉線與天花板相交；房子的柱子與天花板相交：插在碗里的筷子與平的碗底相交。

教師：想象力豐富。生活中確實(shí)有很多例子。例如，墻角與地面(圖片展示)，小區(qū)的建筑，竹竿與水平面以及古詩詞中的自然景觀“大漠孤煙直”，“一行白鷺上青天”。在直線與平面相交的模型中，你認(rèn)為哪種相交最特殊

學(xué)生：直線與平面垂直。

教師：今天我們就研究這種關(guān)系。(板書課題)

教師乙的引入：

教師：(用PPT呈現(xiàn)龍卷風(fēng)圖片)同學(xué)們剛進(jìn)教室看到這樣的壯麗圖片，聯(lián)想起“大漠孤煙直”的美景，大家欣賞完之后是否想到立體幾何中什么與什么的關(guān)系

學(xué)生：線面垂直。

教師：很好，那生活中有沒有這樣的例子

學(xué)生：看電視時(shí)，視線與畫面；電線桿與地面垂直。

教師：這樣的例子很多。比如，大橋橋柱與水面。正因?yàn)樯钪杏泻芏嗑€與面垂