2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇核心專題突破專題六概率與統(tǒng)計第1講概率

第一篇專題六第1講一、單項(xiàng)選擇題1.(2023·廊坊模擬)若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是(C)A．事件A與B互斥B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨(dú)立D．事件A與B既互斥又相互獨(dú)立【解析】∵P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,9)≠0，∴事件A與B相互獨(dú)立，事件A與B不互斥，故不對立．故選C.2.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件A＝{兩個點(diǎn)數(shù)互不相同}，B＝{出現(xiàn)一個5點(diǎn)}，則P(B|A)＝(A)A.eq\f(1,3) B．eq\f(5,18)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,4)【解析】∵出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不相同的共有n(A)＝6×5＝30種，出現(xiàn)一個5點(diǎn)共有n(AB)＝5×2＝10種，∴P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(1,3).3.(2023·寧波模擬)已知甲盒中有2個白球，2個紅球，1個黑球，乙盒中有4個白球，3個紅球，2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，記事件A＝“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則P(A)＝(D)A.eq\f(7,12) B．eq\f(29,45)C．eq\f(21,50) D．eq\f(29,50)【解析】從甲盒中隨機(jī)取出一個白球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(2,5)×eq\f(5,10)＝eq\f(1,5)，從甲盒中隨機(jī)取出一個紅球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個白球或黑球的概率為P2＝eq\f(2,5)×eq\f(6,10)＝eq\f(6,25)，從甲盒中隨機(jī)取出一個黑球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個白球或紅球的概率為P3＝eq\f(1,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,50)，則P(A)＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,5)＋eq\f(6,25)＋eq\f(7,50)＝eq\f(29,50)，故選D.4.(2023·日照模擬)已知王大爺養(yǎng)了5只雞和3只兔子，晚上關(guān)在同一間房子里，清晨打開房門，這些雞和兔子隨機(jī)逐一向外走，則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為(D)A.eq\f(5,28) B．eq\f(5,14)C．eq\f(15,56) D．eq\f(15,28)【解析】5只雞，3只兔子走出房門，共有Aeq\o\al(8,8)種不同的方案，其中恰有2只兔子相鄰走出房子的方案為：先排5只雞，會產(chǎn)生6個空隙，再從3只兔子中選2只捆綁排列，最后與剩下的兔子排列到6個空隙中共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,6)種方案，故恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為P＝eq\f(A\o\al(5,5)A\o\al(2,3)A\o\al(2,6),A\o\al(8,8))＝eq\f(15,28).故選D.5.某學(xué)生進(jìn)行投籃訓(xùn)練，采取積分制，有7次投籃機(jī)會，投中一次得1分，不中得0分，若連續(xù)投中兩次則額外加1分，連續(xù)投中三次額外加2分，以此類推，連續(xù)投中七次額外加6分，假設(shè)該學(xué)生每次投中的概率是eq\f(1,2)，且每次投中之間相互獨(dú)立，則該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分的概率是(B)A.eq\f(9,128) B．eq\f(5,64)C．eq\f(11,128) D．eq\f(3,32)【解析】根據(jù)題意，該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分，可分為三類情況：①若連中4次，額外加3分，剩余3次不中，滿足要求，此時將連中4次看作一個整體，與其他三次不中排序，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＝4種選擇，故概率為4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(1,32)；②若連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)，故兩次不中之間可能為一次中，也可能是三次中，有以下情況：中中中(不中)中(不中)中，中(不中)中中中(不中)中，中(不中)中(不中)中中中，則概率為Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,128)；③若有兩次連中兩回，有以下情況：中中(不中)中中(不中)中，中(不中)中中(不中)中中，中中(不中)中(不中)中中，滿足要求，則概率為Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,128)，綜上，該生在比賽中恰好得7分的概率為eq\f(1,32)＋eq\f(3,128)＋eq\f(3,128)＝eq\f(5,64).故選B.6.(2023·安徽模擬)一個盒子中裝有5個黑球和4個白球，現(xiàn)從中先后無放回的取2個球，記“第一次取得黑球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則P(AB)＋P(B|A)＝(A)A.eq\f(7,9) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6) D．eq\f(8,9)【解析】∵P(AB)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,18),\f(5,9))＝eq\f(1,2)，∴P(AB)＋P(B|A)＝eq\f(7,9).故選A.7.(2023·建華區(qū)模擬)2022年小李夫婦開設(shè)了一家包子店，經(jīng)統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)每天包子的銷量X～N(1000,502)(單位：個)，估計300天內(nèi)每天包子的銷量約在950到1100個的天數(shù)大約為(B)(附：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A．236 B．246C．270 D．275【解析】由題意可知，μ＝1000，σ＝50，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝P(950≤X≤1050)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝P(900≤X≤1100)≈0.9545，P(950≤X≤1100)＝P(950≤X≤1050)＋eq\f(1,2)[P(900≤X≤1100)－P(950≤X≤1050)]≈0.8186，則300天內(nèi)每天包子的銷量約在950到1100個的天數(shù)大約為300×0.8186≈246.故選B.8.(2023·鯉城區(qū)校級模擬)在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為1的概率為(B)A．0.475 B．0.525C．0.425 D．0.575【解析】設(shè)B＝“接收到的信號為0”，A＝“發(fā)送的信號為0”，則eq\x\to(A)＝“發(fā)送的信號為1”，eq\x\to(B)＝“接收到的信號為1”，所以P(A)＝0.5，P(eq\x\to(A))＝0.5，P(B|A)＝0.9，P(eq\x\to(B)|A)＝0.1，P(B|eq\x\to(A))＝0.05，P(eq\x\to(B)|eq\x\to(A))＝0.95，所以接收信號為0的概率為：P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝0.5×0.9＋0.5×0.05＝0.475，所以接收信號為1的概率為：P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－0.475＝0.525.故選B.二、多項(xiàng)選擇題9.(2023·鹽城模擬)某籃球運(yùn)動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運(yùn)動員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是(ABC)A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55【解析】依題意，P(A)＝eq\f(55,100)＝0.55，P(B)＝eq\f(18,100)＝0.18，顯然事件A，B互斥，P(C)＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，事件B，C互斥，則P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.45，于是得選項(xiàng)A、B、C都正確，選項(xiàng)D不正確．故選ABC.10.(2023·海珠區(qū)校級三模)已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，則(ABD)A．如果B?A，那么P(AB)＝0.3B．如果B?A，那么P(A∪B)＝0.4C．如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A∪B)＝0.7D．如果A與B相互獨(dú)立，那么P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.42【解析】如果B?A，則P(AB)＝P(B)＝0.3，故A正確；如果B?A，則P(A∪B)＝P(A)＝0.4，故B正確；如果A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.4＋0.3－P(AB)＝0.7－P(A)P(B)＝0.7－0.4×0.3＝0.58，故C不正確；如果A與B相互獨(dú)立，則P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－0.4)×(1－0.3)＝0.42，故D正確．故選ABD.11.(2023·南京模擬)甲罐中有2個紅球、2個黑球，乙罐中有3個紅球、2個黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則(ACD)A．P(A)＝eq\f(1,2) B．P(B|A)＝eq\f(1,3)C．P(B)＝eq\f(7,12) D．P(A|B)＝eq\f(4,7)【解析】因?yàn)榧坠拗杏?個紅球、2個黑球，所以P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)镻(B)＝eq\f(2,4)×eq\f(4,6)＋eq\f(2,4)×eq\f(3,6)＝eq\f(7,12)，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)镻(AB)＝eq\f(2,4)×eq\f(4,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(7,12)，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,7)，故選項(xiàng)D正確；因?yàn)镻(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3)，所以選項(xiàng)B錯誤．故選ACD.12.(2023·船營區(qū)校級模擬)現(xiàn)有甲、乙兩個箱子，甲中有2個紅球，2個黑球，6個白球，乙中有5個紅球和4個白球，現(xiàn)從甲箱中取出一球放入乙箱中，分別以A1，A2，A3表示由甲箱中取出的是紅球，黑球和白球的事件，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則下列說法正確的是(ABC)A．A1，A2，A3兩兩互斥．B．根據(jù)上述抽法，從乙中取出的球是紅球的概率為eq\f(13,25).C．以B表示由乙箱中取出的是紅球的事件，則P(A2|B)＝eq\f(5,26).D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同時再從甲箱取出一球，則取出的兩球都是紅球的概率為eq\f(13,45).【解析】依題意，P(A1)＝P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，事件A1，A2不可能同時發(fā)生，即P(A1A2)＝0，因此事件A1，A2互斥，同理：事件A2，A3，事件A1，A3互斥，故A正確；從乙箱中取出的是紅球的事件為B，則P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝P(B|A3)＝eq\f(1,2)，因此P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(13,25)，故B正確；由選項(xiàng)B知，P(A2|B)＝eq\f(PA2B,PB)＝eq\f(PB|A2PA2,PB)＝eq\f(\f(1,2)×\f(1,5),\f(13,25))＝eq\f(5,26)，故C正確；取出乙箱中一球的同時再從甲箱取出一球，取出的兩球都是紅球的事件可以分拆成2個互斥事件的和，記甲箱中取紅球入乙箱，再從乙箱取紅球、甲箱中取紅球的事件為M1，則P(M1)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,75)，記甲箱中取黑球或白球入乙箱，再從乙箱取紅球、甲箱中取紅球的事件為M2，則P(M2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(2,9)＝eq\f(4,45)，所以所求概率為P(M1)＋P(M2)＝eq\f(1,75)＋eq\f(4,45)＝eq\f(23,225)，故D錯誤．故選ABC.三、填空題13.(2023·山西模擬)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，σ2))，且P(ξ＜－1)＝P(ξ＞m)，則(x＋m)6的展開式中x的系數(shù)為_192__.【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，σ2))，且P(ξ＜－1)＝P(ξ＞m)，所以－1＋m＝2×eq\f(1,2)，故m＝2，二項(xiàng)式(x＋2)6展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－k2k，令6－k＝1，可得k＝5，所以(x＋2)6展開式中x的系數(shù)為Ceq\o\al(5,6)25＝192.14.(2023·宿遷模擬)若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))).【解析】∵隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<PA<1，,0<PB<1，,PA＋PB≤1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<2－a<1，,0<4a－5<1，,3a－3≤1，))解得eq\f(5,4)<a≤eq\f(4,3)，即a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))).15．已知P(B)＝eq\f(3,10)，P(B|A)＝eq\f(9,10)，P(B|eq