山西省呂梁市2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

呂梁市2023-2024學(xué)年度高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。答案一律寫(xiě)在答題卡上）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則()A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．43．雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．4．寬與長(zhǎng)的比為的矩形叫做黃金矩形，它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形中，中點(diǎn)為，則的值為（）A． B． C．4 D．25．的值為（）A． B． C．2 D．46．如圖，“蒸茶器”外形為圓臺(tái)狀，上、下底面直徑（內(nèi)部）分別為，高為（內(nèi)部），上口內(nèi)置一個(gè)直徑為，高為的圓柱形空心金屬器皿（厚度不計(jì)，用來(lái)放置茶葉）．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般水面至茶葉（圓柱下底面）下方的距離大于等于時(shí)茶葉不會(huì)外溢．用此“蒸茶器”蒸茶時(shí)為防止茶葉外溢，水的最大容積為（）A． B． C． D．7．已知圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為（）A． B． C．2 D．48．已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱C． D．的周期為3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．“”是“”的充分不必要條件C．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈．記為函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，則10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先關(guān)于軸對(duì)稱，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)滿足（與三點(diǎn)不重合），則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，平面C．當(dāng)時(shí)，平面平面D．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為12．畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（）A．直線與蒙日?qǐng)A相切B．粗圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若點(diǎn)是橢圓的蒙日?qǐng)A上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，分別交蒙日?qǐng)A于兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)恒為4D．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）某市2018年至2022年新能源汽車(chē)年銷(xiāo)量（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)的數(shù)據(jù)如下表：年份20182019202020212022年份代號(hào)01234年銷(xiāo)量1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計(jì)算相應(yīng)于樣本點(diǎn)的殘差為_(kāi)_____．15．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，則______．16．已知分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本題滿分10分）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本題滿分12分）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．19．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，．（1）線段上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由；（2）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，求異面直線與之間的距離．20．（本題滿分12分）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時(shí)間和范圍內(nèi)，制作中式面點(diǎn)和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評(píng)委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點(diǎn)和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點(diǎn)和2道中式熱菜得到認(rèn)可．（1）若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點(diǎn)、中式熱菜各2道，由此來(lái)估計(jì)小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測(cè)小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；（2）若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評(píng)委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對(duì)小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測(cè)小李能否進(jìn)入決賽？21．（本題滿分12分）已知直線與拋物線相切于點(diǎn)，動(dòng)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)異于點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程．22．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）若對(duì)任意恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值集合．呂梁市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.A解：∵A＝（1，2），B＝（﹣∞，2），∴A∪B＝B，故選A．2.B解：z=1-i1+i=3.A解：由題意，得；故離心率為.4.D解：由已知得解得則AB?AE=2×5.D解：故選：D.6.C解：如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，設(shè)截面上部延長(zhǎng)部分三角形的高為，由相似三角形性質(zhì)，得設(shè)水到達(dá)最大容量時(shí)水面的圓面半徑為，則如水的最大容量為7.解：由題意，得當(dāng)時(shí)，D解：法一：令，故A正確；，，故B正確；，令，故C正確.令法二：構(gòu)造函數(shù)二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.BCD解：對(duì)于A選項(xiàng)，“，”的否定為“”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，因此，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，故C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確.故選：BCD.10.AD解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，可得A＝2，，∴ω＝2，對(duì)于A選項(xiàng)，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，故A正確，，將函數(shù)f（x）的圖象平移后得到函數(shù)g（x）的圖象，則，對(duì)于B選項(xiàng)，顯然不是其對(duì)稱軸，故，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)g（x）顯然不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，∵﹣2＜0，∴g（x）遞增區(qū)間即y＝sin（2x+）的遞減區(qū)間，令2，解得，故g（x）的遞增區(qū)間是，當(dāng)k＝-1時(shí)，g（x）的遞增區(qū)間是[-11π12，-故D正確，故選：AD．11.ABD解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)，易得,,故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng),,故點(diǎn)在直線上，直線即為直線易得,故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，,故P為的中點(diǎn)易得，連接交于點(diǎn)O，則故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，則，可知點(diǎn)在平面內(nèi)，因?yàn)槠矫妗纹矫?，則直線與平面所成角即為直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，則直線與平面所成的角為，可得，又因?yàn)椋?，則可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可知的最小值為，則的最大值，所以直線與平面所成角的正切值的最大值為，故D正確.故選ABD.12.AC解：當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為、，所以，點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，故蒙日?qǐng)A的方程為，因?yàn)?，可?對(duì)于A選項(xiàng)，蒙日?qǐng)A圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日?qǐng)A相切，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，的蒙日?qǐng)A的方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，，所以MN為蒙日?qǐng)A的直徑，MN=4,故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，所以，，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：AC.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.20解：的第項(xiàng)為，令代入通項(xiàng)可得展開(kāi)式中的和項(xiàng)分別為：，分別與和相乘，得的展開(kāi)式中項(xiàng)為，故的系數(shù)為20.故為：2014.解：依題意，，，代入回歸直線，解得所以回歸直線為當(dāng)時(shí)，，因此殘差為，15.解：.解：點(diǎn)可知：又由知，和在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)镽x令令所以，實(shí)數(shù)的最大值為.四、解答題:本題共6小題,共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（1）;(2).解：（1）由題意，得當(dāng)...................................................3分當(dāng),適合上式....................................................4分...................................................5分...................................................7分......................10分18.（1）;(2)9解：（1）.......................1分..................................3分.................................4分.................................5分........................................................8分..........................................11分當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，所以的最小值為9............................................................12分19.（1）存在點(diǎn)Q，當(dāng)Q與P重合時(shí)成立；（2）3解：以AB,AD,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B（1,0,0），C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)（1）BP=(設(shè)Q為直線PB上一點(diǎn)，且BQ=λBP=(∴Q1-λ,0,3λ...............................................4分所以存在點(diǎn)Q，滿足，此時(shí)BQ=1..................................................................5分由（1）可得，又Q則點(diǎn)到直線的距離d=CQ2-CQ=λ2∵19∴d≥319所以異面直線PB與CD之間的距離為3191920.(1)(2)小李能進(jìn)入決賽解：(1)設(shè)A＝“在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡”，則事件A發(fā)生的所有情況有：①得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選1道，中式熱菜入選2道的概率為②得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)入選2道，中式熱菜入選1道的概率為③得到認(rèn)可的中式面點(diǎn)和中式熱菜各入選2道的概率為所以；.........................................................................5分(2)由題知，強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率為，每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率為，則強(qiáng)化訓(xùn)練后，在一輪比賽中，小李獲得通關(guān)卡的概率為，.....8分因?yàn)槊枯啽荣惤Y(jié)果互不影響，所以進(jìn)行3輪比賽可看作3重伯努利試驗(yàn)．用X表示小李在3輪比賽中獲得通關(guān)卡的次數(shù)，則....................10分∴，∴小李能進(jìn)入決賽...................................................................................12分21．（1）拋物線C的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）直線的方程為.解：（1）聯(lián)立，消得，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以，解得或（舍去），...................................................2分當(dāng)時(shí)，，解得，所以，...............................................4分所以拋物線C的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；..............................................5分（2）顯然直線的斜率存在，可設(shè)為，由，消得，則，，.............................................7分，因?yàn)橐訫N為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，所以，即，.....................................................8分整理可得，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，即或，...........................................................9分當(dāng)時(shí)，直線，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)（舍去），當(dāng)時(shí)，直線，滿足，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，................................................10分設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則...............................................................11分當(dāng)直線與垂直時(shí)，d最大又，所以，所以直線的方程為................................................................12分22.（1）(2)解：（1），...............................................................1分...............................................................2分...............................................................3分故切線方程為............................4分（2）由題意，得對(duì)任意x∈R，≥0恒成立，令g（x）＝，則g′（x）＝ax﹣a+ex+sinx，令h（x）＝ax﹣a+ex+sinx，則h′（x）＝a+ex+cosx，............................5分當(dāng)a＞1時(shí)，h