2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題100題含答案

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題100題精選含答案

【001］如圖，拋物線y=a(x—l)2+3x5(aWO)經(jīng)過點(diǎn)A(—2,0),拋物線的頂點(diǎn)為。，

過。作射線。0〃A￡>.過頂點(diǎn)。平行于x軸的直線交射線于點(diǎn)C,B在x軸正半

軸上，連結(jié)BC.

(1)求該拋物線的解析式；

12)假設(shè)動點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線Q0運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動

的時間為問當(dāng)f為何值時，四邊形ZMOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

(3)假設(shè)OC=QB,動點(diǎn)P和動點(diǎn)。分別從點(diǎn)。和點(diǎn)8同時出發(fā)，分別以每秒1個長度

單位和2個長度單位的速度沿0C和運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停

止運(yùn)動.設(shè)它們的運(yùn)動的時間為f(s),連接尸。，當(dāng)f為何值時，四邊形6cp。的面積最

小？并求出最小值及此時尸。的長.

［002］如圖16,在Rt/XW中，Z6>90°,AC=3,AB=5.點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每

秒1個單位長的速度向點(diǎn)1勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)力后立刻以原來的速度沿4C返回；點(diǎn)0從點(diǎn)

力出發(fā)沿48以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)6勻速運(yùn)動.伴隨著只0的運(yùn)動，應(yīng)保持垂直平

分⑶，且交切于點(diǎn)〃交折線妙叱以于點(diǎn)正點(diǎn)尸、0同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)8時停

止運(yùn)動，點(diǎn)〃也隨之停止.設(shè)點(diǎn)只。運(yùn)動的時間是/秒(f>0).

(1)當(dāng)力=2時，AP=，點(diǎn)0到4c的距離是；

(2)在點(diǎn)P從。向力運(yùn)動的過程中，求戶0的面積S與

t的函數(shù)關(guān)系式：(不必寫出t的取值范圍)

(3)在點(diǎn)〃從6向C運(yùn)動的過程中，四邊形磔?能否成B

為直角梯形？假設(shè)能，求力的值.假設(shè)不能，請說明理由；/

一」

(4)當(dāng)應(yīng)經(jīng)過點(diǎn)。時，請直接寫出t的值.//

A<—pC

圖16

[003]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形力靦的三個頂點(diǎn)6(4,0)、C(8,0)>D(8,

8).拋物線片ax,班x過爾C兩點(diǎn).

(1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

(2)動點(diǎn)/從點(diǎn)1出發(fā).沿線段46向終點(diǎn)6運(yùn)動，同時點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段切

向終點(diǎn)〃運(yùn)動.速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為力秒.過點(diǎn)一作PEUB交4C于點(diǎn)

E,①過點(diǎn)6作EFUD于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時，線段用最長？

②連接員?.在點(diǎn)只。運(yùn)動的過程中，判斷有幾個時刻使得△口笫是等腰三角形？

請直接寫出相應(yīng)的Z值。

2Q

【004】如圖，直線4：y=y+W與直線4：)=一2x+16相交于點(diǎn)C,卜勻分別交x軸于

A、B兩點(diǎn).矩形OEFG的頂點(diǎn)。、E分別在直線h4上，頂點(diǎn)/、G都在x軸上，且

點(diǎn)G與點(diǎn)8重合.

(1)求△ABC的面積；

(2)求矩形OEFG的邊OE與EF的長；

(3)假設(shè)矩形。EFG從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，

設(shè)移動時間為“0W/W12)秒，矩形。EFG與△A6C重疊局部的面積為S,求S關(guān)

f的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的/的取值范圍.

【005]如圖1,在等腰梯形ABC。中，AD//BC,E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作龍廣〃6C

交CD于點(diǎn)F.AB=4,BC=6,ZB=60°.

(1)求點(diǎn)E到BC的距離；

(2)點(diǎn)P為線段跖上的一個動點(diǎn)，過P作尸M_L所交BC于點(diǎn)用，過M作MN〃⑷3

交折線ADC于點(diǎn)N,連結(jié)尸N,設(shè)EP=x.

①當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(如圖2),△PMN的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不變，求出

△PAW的周長；假設(shè)改變，請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(如圖3),是否存在點(diǎn)P,使△PMN為等腰三角形？假設(shè)存

在，請求出所有滿足要求的x的值；假設(shè)不存在，請說明理由.

圖1

[006]如圖

B

于點(diǎn)C[0,-1),圖&Bg省塘積為:。

圖5(備用)

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;

(2)過y軸上的一點(diǎn)M(0,m)作y軸的垂線，假設(shè)該垂線與△ABC的外接圓有公共點(diǎn)，

求m的取值范圍；

(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形ABCD為直角梯形？假設(shè)存在，求

出點(diǎn)D的坐標(biāo)：假設(shè)不存在，請說明理由。

圖13

【007］如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABC0是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)

為［一3,4),

點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M,AB邊交y軸于點(diǎn)H.

(1)求直線AC的解析式：

(2)連接BM,如圖2,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向

終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，設(shè)△PMB的面積為S(SW0),點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，求S與t之間的

函數(shù)關(guān)系式(要求寫出自變量t的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)t為何值時，/MPB與NBC0互為余角，并求此時直線0P

與直線AC所夾銳角的正切值.

【008】如下圖，在直角梯形ABCD中,ZABC=90°,AD//BC,AB=BC,E是AB的中點(diǎn)，CE±

BDo

(1)求證：BE=AD；

(2)求證：AC是線段ED的垂直平分線；

(3)ADBC是等腰三角形嗎？并說明理由。

(第26題圖)

k

【009】一次函數(shù)丁=公+6的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M,N,與反比例函數(shù)y=—的

x

圖象相交于點(diǎn)A,3.過點(diǎn)A分別作AC軸，AEJ_y軸，垂足分別為C,E；過點(diǎn)B分

別作軸，軸，垂足分別為凡D,AC與BD交于點(diǎn)、K，連接。.

k

(1)假設(shè)點(diǎn)A5在反比例函數(shù)y=—的圖象的同一分支上，如圖1,試證明：

x

①S四邊形AEDK=S四邊形CFBK；

②AN=BM.

(2)假設(shè)點(diǎn)A8分別在反比例函數(shù)y=A的圖象的不同分支上，如圖2,那么AN與

x

6M還相等嗎？試證明你的結(jié)論.

[010]如圖，拋物線y=內(nèi)：2+云-3與x軸交于AB兩點(diǎn),與y軸交于。點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)

(2,-3a),對稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)是A/.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

(2)經(jīng)過C,M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N,在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)

P,AC,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,

請說明理由；

(3)設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是。，在線段8D上任取一點(diǎn)E(不與8,。重合)，

經(jīng)過AB,￡三點(diǎn)的圓交直線6C于點(diǎn)/，試判斷尸的形狀，并說明理由；

(4)當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時，(3)中的結(jié)論是否成立？(請直接寫出結(jié)論).

(第10題圖)

【011】正方形/及力中，i1為對角線劃上一點(diǎn)，過E點(diǎn)、作EF1BD交BC于?F,連接加G

為加'中點(diǎn)，連接EG,CG.

(1)求證：階CG；

(2)將圖①中△呼繞8點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示，取〃中點(diǎn)G,連接EG,CO.問

(1)中的結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)成立，請給出證明；假設(shè)不成立，請說明理由.

(3)將圖①中△頗繞夕點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)

中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？(均不要求證明)

第24題圖②第24題圖③

【012］如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓的圓心。在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)

軸分別交于A、B、C,。四點(diǎn).拋物線丁=依2+區(qū)+。與y軸交于點(diǎn)。，與直線y=x交

于點(diǎn)M、N,且M4、NC分別與圓。相切于點(diǎn)4和點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)。E,并延長交圓。于尸，求EF的長.

(3)過點(diǎn)3作圓。的切線交DC的延長線于點(diǎn)P,判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由.

【013]如圖，拋物線經(jīng)過A(4,0),5(1,0),C(0,—2)三點(diǎn).

(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上一動點(diǎn)，過一作軸，垂足為M是否存在0點(diǎn)，使得以4P,

."為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？假設(shè)存在，請求出符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；假設(shè)不存在,

請說明理由；

(3)在直線4c上方的拋物線上有一點(diǎn)〃，使得△OC4的面積最大，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo).

[014]在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形。鉆。的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸

的正半軸上，點(diǎn)O04BC繞。點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn),

旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線y=兀于點(diǎn)M,邊交x軸于點(diǎn)N(如圖).

(1)求邊Q4在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；

[2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形

Q4BC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；

(3)設(shè)AWBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形

的過程中，〃值是否有變化？請證明你的結(jié)論.

Nx

(第26題)

【015】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0,Lg,且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸

上截得的線段AB的長為6.

⑴求二次函數(shù)的解析式；

⑵在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：

⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使aQAB與AABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果

不存在，請說明理由.

[016]如圖9,正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(3,3).

(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

(2)把直線04向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B(6,m),求加的值和這個一次函

數(shù)的解析式；

(3)第(2)問中的一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于GD,求過爪B、〃三點(diǎn)的二

次函數(shù)的解析式；

14)在第(3)間的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)￡,使四邊形0以力的面積，與

2

四邊形04?的面積S滿足：，=—S?假設(shè)存在，求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

13

假設(shè)不存在，請說明理由.

O3

【017］如圖，拋物線丁=1+笈+。經(jīng)過4(1,0),3(0,2)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將△Q46繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，將拋物線沿y軸平移后

經(jīng)過點(diǎn)C,求平移后所得圖象的函數(shù)關(guān)系式；

(3)設(shè)(2)中平移后，所得拋物線與y軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)為A，假設(shè)點(diǎn)N在平移后的

拋物線上，且滿足△NB片的面積是面積的2倍，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【018］如圖，拋物線y=or2+法一4。經(jīng)過A(—1,0)、C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)8.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)￡>(〃?，加+1)在第一象限的拋物線上，求點(diǎn)。關(guān)于直線8C對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接BO,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且NO6P=45°,求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【019】如下圖，將矩形OABC沿AE折疊，使點(diǎn)。恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形

CFGH,延長BC至M,使CM=ICF—E0I,再以CM、CO為邊作矩形CMN0

(1)試比擬E0、EC的大小，并說明理由

⑵令加=S四邊形CFG”，請問m是否為定值？假設(shè)是，請求出m的值；假設(shè)不是，請說明理

S四邊形CMWV:

由

1?

⑶在⑵的條件下，假設(shè)C0=l,CE=-,Q為AE上一點(diǎn)且QF=W,拋物線yumx'bx+c

33

經(jīng)過C、Q兩點(diǎn)，請求出此拋物線的解析式.

(4)在(3)的條件下，假設(shè)拋物線y=mx2+bx+c與線段AB交于點(diǎn)P,試問在直線BC上是否存

在點(diǎn)K,使得以P、B、K為頂點(diǎn)的三角形與4AEF相似?假設(shè)存在，請求直線KP與y軸

的交點(diǎn)T的坐標(biāo)?假設(shè)不存在，請說明理由。

【020】如圖甲，在AABC中，NACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連結(jié)AD,以AD為

一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEFo

解答以下問題：

(1)如果AB=AC,ZBAC=90°,①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合)，如圖乙，

線段CF、BD之間的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為。

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果ABWAC,/BAC#90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動。

試探究：當(dāng)AABC滿足一個什么條件時，CF1BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形,

并說明理由。（畫圖不寫作法）

（3）假設(shè)AC=4亞，BC=3,在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交

于點(diǎn)P,求線段CP長的最大值。

【001］解：（1）;拋物線［=4（》物）2+3百（4X0）經(jīng)過點(diǎn)4—2,0）,

0=9a+3A/3ci------1分

3

???二次函數(shù)的解析式為：=x2+—x+.........................3分

333

⑵為拋物線的頂點(diǎn).百）過。作于N,那么。'=38,

A7V=3,r.A。=J32+?KA=6AZDAO=60°4分

\-OM//AD

①當(dāng)A￡)=OP時，四邊形D4OP是平行四邊形

OP=6t=6(s)?????????????5分

②當(dāng)。P_LQM時，四邊形。AOP是直角梯形

過。作于“，49=2,那么AH=1

(如果沒求出ZDAO=60°可由RtAOHAsRtZ\￡)N4求AH=l)

??,OP=DH=5f=5(s)................................................................................................6分

③當(dāng)PD=Q4時，四邊形D4OP是等腰梯形

.?.OP=AO—2A//=6—2=4.」=4(s)

綜上所述：當(dāng)￡=6、5、4時，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形.7分

(3)由(2)及，NCQB=60°,OC=OB4OCB是等邊三角形

那么O8=OC=AQ=6,OP=t,BQ=2r,r.OQ=6—2r(0＜，＜3)

過P作PEJ.OQ于E,那么2￡=立，......................................8分

?q

??OBCPQ=1x6x3^-1x(6-2/)x^=^^-|j+畀.......9分

當(dāng)f=?時，Sy”。的面積最小值為國G

10分

28

此時0。=3,OP=-,OE=t:.QE^3--=-PE=—

24444

11分

[002]解：(1)1,-；

5

⑵作中UC于點(diǎn)月如圖3,AQ=CP-t,：.AP=3-t.

由△?!什△腋，BC=y/52-32=4,

得如/.QF=-t.A5=-(3-O--r,/

即三

(3)能.A-P

①當(dāng)比〃/時，如圖4.圖'

,JDEA.PQ,J.PQLQB,四邊形M力是直角梯形.

此時//華90°.

由△｛閭s叢ABC,得絲=絲，

ACAB

②如圖5,當(dāng)國〃比1時，DELBC,四邊形敗》是直角梯形.

此時/"。=90°.

D

c(f)

由△/Q/5S/\ABC,得箜=竺

ABAC

即解得y

538

【注：①點(diǎn)夕由C向4運(yùn)動，場經(jīng)過點(diǎn)C

方法一、連接“，作夢_!根于點(diǎn)G,如圖6.

PC=t,QC-=QG2+CG2=r|(5-0]2+r4-^(5-r)]2.

SPC2=QC2,^t2=[|(5-r)]2+[4-1(5-f)]2,解得f=g.

方法二、由CQ=CP=AQ,得NQAC=NQC4,進(jìn)而可得

ZB=NBCQ,得CQ=BQ,...AQ=80=5：^=~

②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動，DE經(jīng)過點(diǎn)C,如圖7.

(6-02=[|(5-/)J2+l4-^(5-/)]2t=—

5514]

【003】解.(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,8)..............1分

將A(4,8)>C(8,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx

「8=16a+4b

得J

I0=64a+8b

J_

解得a=-2,b二4

拋物線的解析式為：y=-..............3分

2X2+4X

PEBCPE4

(2)①在RtZ\APE和RtZ\ABC中，tan/PAE=AP=AB,即AP=8

J_

；.PE=2AP=2t.PB=8-t.

￡

點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4+2t,8-t).

_L_L11

22

...點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：一2(4+t)2+4(4+t)-8t2+8...............5分

/.EG=-8t2+8-（8-t）=-8t2+t.

2

：-8<o,.?.當(dāng)t=4時，線段EG最長為2...........................7分

②共有三個時刻...............8分

16408后

tl=3,t2=13,t3=2+石...............11分

[004]（1）解：由3'得x=-4./.A點(diǎn)坐標(biāo)為（TQb

由—2x+16=0,得x=&;.3點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）....AB=8—（~4）=12.（?分）

由［尸一2x+16.解得［y=6.，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,6）?㈠分）

=：X12>

<6=36.

22（4分）

28

=x?=8,y=_x84—=8./QQ\

(2)解：?.?點(diǎn)。在4上且“D33,。點(diǎn)坐標(biāo)為（&8>（5分）

又...點(diǎn)E在4上且%=%=*；,.一24+16=8.；.4=4...E點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）.［6分）

OE=8—4=4,EF=8.(7分）

(3)解法一：①當(dāng)°W,<3時，如圖1,矩形DEFG與△A8C重疊局部為五邊形。川七/?

(，=°時，為四邊形CHFG).過C作CM_LA6于M,那么RtARGBsRtaCMB.

.XV|oGMy；^G|o-M\x

(圖1)（圖2）（圖3）

BGRGtRG

—CM，即3一6，二RG=It.?：RtAA/77sRtAAMC,

1i2

.S=SAABC-S4BRG-SAAFH=36--X/X2/--(8-r)x-(8-/).

)(乙乙〉

s，/+￡+絲.

即333(10分)

[005](1)如圖1,過點(diǎn)E作EG,BC于點(diǎn)G.

E為AB的中點(diǎn),

BE=-AB^2.

2

圖1

在RfAEBG中,ZB=60°,ZBEG=30°.2分

BG=-BE=\,EG=&-，=瓜

：.2

即點(diǎn)E到BC的距離為瓜3分

(2)①當(dāng)點(diǎn)N在線段ADI；.運(yùn)動時，△PMN的形狀不發(fā)生改變.

?/PM±EF,EG±EF,PM//EG.

，：EF〃BC,：.EP=GM,PM=EG=M.

同理肱V=A8=4.4分

如圖2,過點(diǎn)P作WMN于"，

/NMC=NB=60°,NPMH=30°.

PH=-PM=~.

22

3

MH=PM.cos30°=-.

2

35

NH=MN—MH=4—±='.

那么22

PN=>JNH2+PH2=(->|+—=不.

在RtAPNH中,'八2127

/\PMN的周長=PM+PN+MN=+J7+4.6分

②當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動時，2MN的形狀發(fā)生改變，但AM7VC恒為等邊三角形.

當(dāng)PM=PN時，如圖3,作PR工MN于R,那么MR=NR.

3

MR=~.

類似①，2

MN=2MR=3.7分

是等邊三角形，MC=MN=3.

此時，x=EP=GM=BC-BG-MC=6—1—3=2.8分

A___________D

當(dāng)MP=MN詠如圖的這時C=MN

N

此向百。5—￡F(P)

N

的加如閉/N啊=/PMN=3(.

p=MVf",3(C

GMGM

那么NP碗二120。,又/M/VC=60。，圖4圖5

/PNM+/MNC=180°.

因此點(diǎn)尸與尸重合，△尸吹為直角三角形.

A/C=PA/.tan30°=l.

此時，x=EP=GM=6—1—1=4.

綜上所述，當(dāng)x=2或4或（5—6）時，為等腰三角形.

55

XAB=4,得AB=2,

_____,5+3_3

設(shè)A(a,0),B(b,0)AB=b-a=J(a+bf-4ab=萬,解得p=-5,但p<o,所以p=2o

…2'1

所以解析式為：2

x2--x-l=0=2--

(2)令y=0,解方程得2，得2，所以A(2,O),B(2,0),在直

角三角形AOC中可求得AC=2,同樣可求得BC=^,顯然AC2+BC2=AB2,得4ABC是直角

三角形。AB為斜邊，所以外接圓的直徑為AB=2,所以440

(3)存在，AC1BC,①假設(shè)以AC為底邊，那么BD〃AC,易求AC的解析式為y=-2x-l,可設(shè)

[23

y=x——x-1

V2

BD的解析式為y=-2x+b,把B⑵0)代入得BD解析式為y=-2x+4,解方程組3=-2犬+4

_5

得D(2.9)

②假設(shè)以BC為底邊，那么BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-l,可設(shè)AD的解析式為

y-x1--x-1

2

y=0.5x+b,把A(2,0)代入得AD解析式為y=0.5x+0.25,解方程組〔＞=°.5"+025得

53_553

D(5'5)綜上，所以存在兩點(diǎn)：(5,9)或(5'5)。

【007】.⑴過點(diǎn)A作AEJLX軸垂足為E(如圖1)

?■?A(-3,4),-.AE=4OE=3,-.OA=VAE2+OE2=5

?.?四邊形ABCO為菱形.-.OC=CB=BA=OA=5.-.C(5,0)................................

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b桂:I。...

l-3k+b=4b=y-

直線AC的解析式為:產(chǎn)-/x+*.......................................................................................................1分

(2)由(1)得M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1-).-.0M=|-

如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時

由題意得0H=4

.?.S=}BP-MH=:(5-2t)

.?.S=-1-t+詈(OWt吟)...............2分

當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動時，記為P,

vZOCM=ziBCMCO=CBCM=CM

.-.△OMC^ABMC.-.OM=BM=1-NMOC=aMBC=90°

.?.S』HB?BM』(2t-5)件.岳％筌得VtW5)...............................................................2分

444J*T乙

(3)設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K?.?乙AOC二乙ABC/.ZAOM=Z.ABM

???Z.MPB+乙BCO=90。乙BAO二4BCOZ.BAO+Z.AOH=90°y

???Z.MPB=乙AOH/.Z.MPB=Z.MBH

當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，如圖2\

vZ.MPB=Z.MBH/.PM=BMvMH.LPB^A\PHB

.*.PH=HB=2/.PA=AH-PH=1.?.t=1-…1分

?」AB〃OC.-.ZPAQ=ZOCQ|\\\

?.2AQPMCQ0/.△AQP-ACQO,量=能=/j\

在RtAAEC中AC=VAE2+EC2=V^+^=4VT-p--------菜-----：

.AQ_2VTQC-IOV5~\

?八丫一3丫J3\

在RtAOHB中OB=VHB2+HO2=VT+4r=2A/T

vAC±OBOK=KBAK=CK圖2

.-.OK=VTAK=KC=2V5"...QK=AK-AQ=^^.-.tanZOQC=^-=^-...................1分

當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動時，如圖3?.?Z.BHM=ZPBM=90°ZMPB=zLMBH

53

...tan4MPB=tan乙MBH:?^=揩轟=/

.恥=乎.?*=*??1分

3o

.?.PC=BC-BP=5-4F-=^-

33

由PC〃OA同理可證△PQC-ZkOQA,魯=票

AQAU

.CQ_=LCQ=-J-AC=V5~.?.QK=KC-CQ=V5-

"AQ3

■.OK=V5".".tanLOQK=/§*=11分

i圖3

綜上所述，當(dāng)t=:時，4MPB與乙BCO互為余角，直線0P與直線AC所夾銳角的正切值為今

當(dāng)t=￥-時,NMPB與ZBCO互為余角，直線0P與直線AC所夾銳角的正切值為1

6

[008]證明：(1)：NABC=90°,BD±EC,

與/3互余，/2與N3互余,

.??Z1=Z2.......................................1分

VZABC=ZDAB=90°,AB=AC

.'.△BAD^ACBE.................................2分

，AD=BE......................3分

⑵是AB中點(diǎn)，

；.EB=EA由(1)AD=BE得：AE=AD......................5分

?；AD〃BC，/7=NACB=45°VZ6=45°/.Z6=Z7

由等腰三角形的性質(zhì)，得：EM=MD,AMIDEo

即，AC是線段ED的垂直平分線。................7分

⑶ADBC是等腰三角(CD=BD)................8分

理由如下：

由(2)得：CD=CE由(1)得：CE=BD/.CD=BD

.?.△DBC是等腰三角形。......................10分

【009】解：(1)①:ACLx軸，AE'y軸,

二.四邊形AEOC為矩形.

軸，BO'y軸，

???四邊形尸為矩形.

?.?AC_Lx軸，軸，圖1

:?四邊形AEDK，DOCK,CFBK均為矩形.i分

..0C—玉，AC—?y,玉?丁1=k

?,

S矩形Ago。=OC?AC=Xj=k

..OF-x,FB=y2,x?y-k

?222,

s矩形如「=OF*FB=/?%=%

/.S矩形AEOC=S矩形800廣

??,S矩形AEOK-S矩形AEOC—S矩形,

S矩形CF8K二S矩形8QO/-S矩形,

/.S矩形A&JK=S矩形5K.2分

②由(1)矢口S矩形AEOK-S矩形c尸8K.

.?.AK，DK=BK*CK

AKBK

CKDK.4分

ZAKB=NCKD=90。,

:.△AKBsMKD.5分

:.4CDK=ZABK.

AB//CD,6分

...AC〃y軸，

???四邊形ACDN是平行四邊形.

AN=CD7分

同理BM=CD.

/.AN=BM.g分

(2)AN與3M仍然相等.9分

?/S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC,

S矩形BKCF=S矩形切RF+S矩形0QKC,

q=q=k

又,/“矩形AEOC一“矩形BQOF一兒，

S矩形A￡DK=S矩形BKCF.]0分

AK.DK=BKCK.

CKDK

:.~AK~~BK,圖2

NK=NK,

△COKMABK.

ZCDK=ZABK.

AB//CDu分

...AC〃y軸，

???四邊形棲DC是平行四邊形.

AN=CD

同理3M=CD

AN=BM.12分

—3a=4a+2b—3,

-±=1

[010]解：（1〕根據(jù)題意，得2a

解得伍=-2-拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=V-2“一3.3分

(2)存在.弋，

在y=f_2x_3中，令％=0,得y=-3.

令y=0,得％2_2_￥—3=0,?.?玉=_1，X2=3

A(-LO)，8(3,0)，C(0,-3)?

又>=(1>-4,...頂點(diǎn)M(L-4).5分

容易求得直線CM的表達(dá)式是'=一％一3.

在y=_x_3中，令y=0,得x=-3.

，N(-3,0),；,AN=2.6分

在y=x2_2x_3中，令y=-3,得X|=0,x2-2

:.CP=Z:.AN=CP.

???/W〃CP,.?.四邊形A7VCP為平行四邊形，此時尸(2,-3),8分

(3)△AM是等腰直角三角形.

理由：在y=_%+3中，令x=o,得y=3,令y=o,得*=3.

...直線y=—X+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是0(0,3),8(3,0).

：.OD=OB,;.NOBD=45°9分

又?.點(diǎn)C(0,—3),：.OB=OC.;.NOBC=45°.分

由圖知NAEE=NABE=45°.“分

.?.NE4尸=90°,且AE=AF..?.△AEE是等腰直角三角形.此分

(4)當(dāng)點(diǎn)后是直線丁=一1+3上任意一點(diǎn)時，(3)中的結(jié)論成立.14分

【011］解：(1)證明:在Rt^FCD中，；G為DF的中點(diǎn)，...CG=FD......1分

同理,在Rt/XDEF中,EG=FD.........2分，CG=EG...............3分

⑵(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.....................4分

證法一：連接AG,過G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點(diǎn).

在4DAG與4DCG中，；AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,

ADAG^ADCG.；.AG=CG...................5分

在與△FNG中，*.?NDGM=NFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,

ADMG^AFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN........6分

在RtZ\AMG與Rt^ENG中，；AM=EN,MG=NG,

AAMG^AENG.AG=EG./.EG=CG....................8分

證法二：延長CG至M,使MG=CG,

連接MF,ME,EC,................4分

在4DCG與△FMG中，VFG=DG,ZMGF=ZCGD,MG=CG,

AADCG^AFMG..\MF=CD,NFMG=NDCG.

；.MF〃CD〃AB...................5分；.在Rt^MFE與RtZXCBE中，

MF=CB,EF=BE,AAMFE^ACBE.AZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCEB+ZCEF=90°.△

MEC為直角三角形.VMG=CG,；.EG=MC......8分

(3)(1)中的結(jié)論仍然成立,即EG=CG.其他的結(jié)論還有:EG_LCG.……10分

【012］解：(1).??圓心。在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓。的半徑為1,

.?.點(diǎn)A、B、C、。的坐標(biāo)分別為4(一10)、8(0,-1)、C(l,0)>￡)(0,1)

.??拋物線與直線y=x交于點(diǎn)M、N,且M4、NC分別與圓。相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C,

...M(-1,-1)、N(l,l)....點(diǎn)。、“、N在拋物線上，將。(。，1)、A/(-L-l)>N(l,l)的坐

-1=a-b+c

a+b+c

標(biāo)代入y="+"+c,得:解之，得:

:?拋物線的解析式為：y=—x-+x+L4分

,/y=-x+x+1

x—_1

,拋物線的對稱軸為2,

連結(jié)3F,NBFD=90°,

DEOP

：./\BFD^/\EOD"DB~FD,

DE=—,0D=\,DB=2

又2,

：.FD=-

5

.-.EF=FD-DE=---=—

5210.8分

(3)點(diǎn)尸在拋物線上.9分

設(shè)過0、0點(diǎn)的直線為：y="+",

將點(diǎn)C(l，0)、0(0,1)的坐標(biāo)代入戶依+b,得：k=-l,b=l,

二直線oc為：y=—x+Lio分

過點(diǎn)B作圓°的切線BP與X軸平行，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=~1,

將y=-l代入尸一無+1,得：x=2.

二戶點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，-1),當(dāng)x=2時，y=_/+x+l=_22+2+l=_l,

所以，尸點(diǎn)在拋物線'=一無2+x+l上.12分

【013】解：(1).??該拋物線過點(diǎn)以°，—2),可設(shè)該拋物線的解析式為y=^^+法-？

將44,0),8(1,0)代入，

16。+46—2=0,]5

〈b=—

得口+。一2=0,解得〔2

1，5°

y=——x+—x-2

，此拋物線的解析式為22（3分）

（2）存在.（4分）

如圖，設(shè)尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〃，，

1，5c

——m+—m-2

那么尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為22

當(dāng)1vm＜4時，

15

PM=——根9~+一加一2

AM=4—機(jī)，22

又???NCQ4=NQA例=90。，

AMAO2

①當(dāng)PMocT時，

△APAf^AACO,

4-m=2|--+-m-2|

HPI22J.

解得叫=2,嗎=4（舍去），,仍2,1）,8分）

AMOC1c125

--------=--=—A2（4-77?）