2020-2021大學(xué)《高等代數(shù)》期末課程考試試卷B（含答案）

?1，久2,《稱為?

2020-2021《高等代數(shù)》期末課程考試試卷B

8.相似矩陣的特征值_______.

適用專業(yè)：考試日期：

試卷類型：閉卷考試時間：120分鐘試卷總分：100分

9.向量a=(1,2,3,4),￡=(4,2,3,1),則內(nèi)積(a,/7)=.

中一、填空(共50分，每小題5分)

性

/-20O\/-I00\10.若A是實(shí)對稱矩陣，則A的特征值為.

1>設(shè)矩陣4=2*2與8=020相似，則

\311/\0Oy/

鄒

-x=,y=。

-二、(15分)用非退化線性替換化二次型2xj+3xj+3x1+4*2*3為標(biāo)

-

-2、已知是矩陣A=的一個特征向量，則

XK準(zhǔn)型。

袋-a=,b=特征向量a對應(yīng)的特征值4=o

-

-3、￡滿足時，二次型f=q+宕++2￡占*2—2%［力+4右與是正定

-

-的。

-、向量空間的子空間卬=((x,X2，^,,,x_,x)\x｝的維數(shù)為

-4P”1n1n14-x2=0,GP

-

-,它的一組基為o

白-

康

忠5、在p3中，(T(X1,X2,X3')=(2x1—x2,x2+x3,x1)；則a1在基

當(dāng)-

口=(1,0,0)^2=(0,1,0),j=(0,0,1)下的矩陣為o

的-

-

-6.〃元實(shí)二次型八勺42,…,X”)是正定的充分必要條件是它的正慣性指

-

-數(shù)等于.三、(10分)設(shè)4是”級實(shí)對稱矩陣，證明：4正定的充分必要條件是4的

-

7.對于線性空間V中向量…,6"(廠21)，若在數(shù)域P中有心不全特征多項(xiàng)式的根全大于零。

為零的數(shù)匕*2,,使+k2a24-------卜krCL.=0,則向量

四、（15分）求由向量《生成的子空間與由向量優(yōu)生成的子空間的交的

生=(

基和維數(shù)，已知?=(1,2,1,0),2,-1,0,1)

。2=(T,1,L1),魚=(1,-1,3,7)°

五、（10分）設(shè)J,￡2，￡3，J是四維線性空間U的一組基，已知線性變換（7

/5-2-43

/3-1-32

在這組基下的矩陣為4=,19

—

1-322

\一10311-7

1）求。的特征值與特征向量;

2）求一可逆矩陣T,使尸1471成對角形

2020-2021《高等代數(shù)》期末課程考試試卷B2.對于線性空間V中向量％,a?，…M(『21)，若在數(shù)域P中有，?個不全為零

的數(shù)勺,火2,…使用/+ka+…+3,=0,則向量a”a”…,4稱為一線性相

答案22

關(guān).

適用專業(yè)：考試日期：

3.相似矩陣的特征值—相同.

即-

-試卷類型：閉卷考試時間：120分鐘試卷總分：100分

性-

-一、填空(共25分，每小題5分)4.向量a=(1,2,3,4),夕=(42,3,1),則內(nèi)積(a/)=_21.

-

r-200、r-l00、

然5.若A是實(shí)對稱矩陣，則A的特征值為—實(shí)數(shù).

-1、設(shè)矩陣A=2A-2與B=020相似，則

-11三、(分)用非退化線性替換化二次型+氣弓為標(biāo)準(zhǔn)型。

-?<0。X1524+34+34

-

-’200'

-x=_0_—?y=-_-2______0

-解：二次型的矩陣為人=032

-/

X-⑴2-12、[022)

袋-

-2、已知a=1是矩陣A=5a3的一個特征向量，則

-l-ib-2)"200

|花-川=02-3-2=(A-2)(/i-l)a-5)

區(qū)

a=一3_.b=_()_____一特征向量々對應(yīng)的特彳正值4=-1____0-2A-3

-

3、/滿足_一1<Z<0—時，二次型f=累+宕+5石4-2tvx>-2斗q+4芍不是正定的。

-1所以矩陣A的特征值為1,2,5

-

既-

-4、向量空間P"的子空間W={(x，w，…,九,天)歸+毛二(),玉.cP}的維數(shù)為

界-

-_〃-1,它的一組基為(0]0

m-A=1,矩陣A對應(yīng)的特征向量為4=1,單位化與

-鳥％

的-=(1,-1,0,…,0,0),/=(0,0,1,…,0,0),…,_2=9,0,0,…,1,0),=(0,0,0,…,0,1)

--VV2

堞5、在p3中，cr(&,林曰)=(2%一電,%+馬,%)；貝Ub在基<~T>

-

-‘2-10、

-A=2,矩陣A對應(yīng)的特征向量為4=|7|

與=(1,0,0),￡2=(。，1，0)，￡3=(°，°，1)下的矩陣為_01?________________。

-?！?/p>

-[1

-

-二、填空題(共25分，每小題5分)

-

-1.〃元實(shí)二次型/(斗/是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等

于—?

O

;a=（-5,5,1,-3）;L（%,上）cL（3的）的基為a，維數(shù)為1。

單

位化V-2Pl=

A=5,矩陣A對應(yīng)的特征向量為九=2

V-2

2

六、（10分）設(shè)用是四維線性空間V的一組基，已知線性變換。在

’5-2-43

1。

3-1-32

亞0

oV2這組基下的矩陣為A=__[9_5

Q=2則Y=QX為正交變換，可將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型3

―22~2

也V，

n叵「10311-7

22J

-1）求o的特征值與特征向量;

￡-.=2療+5$+及

-

-2）求一可逆矩陣r,使r"7,成對角形

-g、（10分）設(shè)A是〃級實(shí)對稱矩陣，證明：4正定的充分必要條件是A

解：1）

斑J特征多項(xiàng)式的根全大于零。

3.11w3513311.H

0一/t----3-A,-----XH------Ao42-------A-

2-524-32

E明:/（xpx2,.-,xn）=XXX經(jīng)過非退化線性替換X=CT化為22222

-3A+13-2,131

0nA4—3

（如了2,…，必）=?。?…4丫3則A正定的充分必要條件是4,4,…,4|2E-4|=；95=222

-3A.-----

-~2220410A-124-32

-二大于零，而4,%…4是A的特征多項(xiàng)式的根，故A正定的充分必要條10-3-112+7_3

-1--3A2--

-~222

-卜是A的特征多項(xiàng)式的根全大于零

22

區(qū)32-116Z-352+33-22+lU-ll

-1（15分）求由向量區(qū)生成的子空間與由向量4生成的子空間的交的--22+122-31

-4

-4102-124-32

-區(qū)=(121,0),[/?,=(2,-1,0,1)

-W和維數(shù)，已知3222

-a=(-l,l,l,l),[fi=(1,-1,3,7)4A-202+142-2A+62-2A+1U-11

-22I4A2-20/l4-14A-3

-=--00I2

-42v6A-51

L(aa)nL(/^,^);?=xa+Aa2=(—七)直+(一七)A6/l2-52-224-3A

-r21I2

-22

-\21、q013、00-P=-1r(-2A+3A-1)=A(22-1)(2-1)；

熱2-1-1o2-2-20103

父a；因局卜二0,

1030-1-1-70014

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