微積分課件1-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

微積分課件1-8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2024-01-24函數(shù)的連續(xù)性概念函數(shù)的間斷點(diǎn)概念函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系函數(shù)連續(xù)性與積分的關(guān)系函數(shù)連續(xù)性與微分的關(guān)系目錄01函數(shù)的連續(xù)性概念設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若$lim_{Deltaxto0}[f(x_0+Deltax)-f(x_0)]=0$，則稱函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。若函數(shù)$f(x)$在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)連續(xù)；若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的定義反函數(shù)性質(zhì)若函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$I$上單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)$x=f^{-1}(y)$在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上也連續(xù)。局部有界性若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則$f(x)$在$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有界。四則運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）也在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)。復(fù)合函數(shù)性質(zhì)若函數(shù)$y=f(u)$在點(diǎn)$u_0$處連續(xù)，函數(shù)$u=g(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，且$g(x_0)=u_0$，則復(fù)合函數(shù)$y=f[g(x)]$在點(diǎn)$x_0$處也連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如$y=c$（其中c為常數(shù)），在任何區(qū)間上都是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)的例子常數(shù)函數(shù)如$y=ax+b$（其中a、b為常數(shù)），在任何區(qū)間上都是連續(xù)的。一次函數(shù)如$y=ax^2+bx+c$（其中a、b、c為常數(shù)），在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。二次函數(shù)如$y=e^x$，在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。指數(shù)函數(shù)如$y=lnx$，在其定義域$(0,+infty)$內(nèi)是連續(xù)的。對(duì)數(shù)函數(shù)如$sinx,cosx,tanx$等，在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。三角函數(shù)02函數(shù)的間斷點(diǎn)概念間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)是指函數(shù)在某一點(diǎn)處不連續(xù)的現(xiàn)象。具體來說，如果函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的極限值與其在該點(diǎn)的函數(shù)值不相等，或者函數(shù)在該點(diǎn)沒有定義，則稱$x_0$為函數(shù)$f(x)$的間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)左右極限都存在但不相等，或者左右極限存在且相等但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值。第二類間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在。可去間斷點(diǎn)左右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值，或者該點(diǎn)沒有定義。跳躍間斷點(diǎn)左右極限存在但不相等。間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的性質(zhì)01間斷點(diǎn)處的函數(shù)值可能不存在，或者與左右極限值不相等。02在間斷點(diǎn)處，函數(shù)可能不具有某些性質(zhì)，如可導(dǎo)性、可積性等。對(duì)于不同類型的間斷點(diǎn)，需要采用不同的方法進(jìn)行處理，例如補(bǔ)充定義、分段討論等。0303函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)的關(guān)系連續(xù)函數(shù)與間斷點(diǎn)的關(guān)系01連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)沒有間斷點(diǎn)，函數(shù)圖像是一條不間斷的曲線。02間斷點(diǎn)是函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)，即函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值不等于函數(shù)值或者函數(shù)在該點(diǎn)處無定義。03連續(xù)函數(shù)與間斷點(diǎn)的關(guān)系是互斥的，一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處要么是連續(xù)的，要么是不連續(xù)的（有間斷點(diǎn)）。如果函數(shù)在某一點(diǎn)處有間斷點(diǎn)，那么該函數(shù)在該點(diǎn)處不連續(xù)。在間斷點(diǎn)處，函數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)跳躍、無窮大或者振蕩等不連續(xù)現(xiàn)象。連續(xù)函數(shù)在間斷點(diǎn)處的性質(zhì)取決于間斷點(diǎn)的類型，如可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)等。010203連續(xù)函數(shù)在間斷點(diǎn)的性質(zhì)間斷點(diǎn)的存在破壞了函數(shù)的連續(xù)性，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)不再是連續(xù)的曲線。間斷點(diǎn)可能會(huì)影響函數(shù)的性質(zhì)和行為，如函數(shù)的單調(diào)性、可微性和可積性等。在處理函數(shù)問題時(shí)，需要注意間斷點(diǎn)的存在和影響，以避免出現(xiàn)錯(cuò)誤或者不準(zhǔn)確的結(jié)果。間斷點(diǎn)對(duì)函數(shù)連續(xù)性的影響04函數(shù)連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系123例如，絕對(duì)值函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)。連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，那么它一定在該點(diǎn)連續(xù)?？蓪?dǎo)函數(shù)一定連續(xù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系連續(xù)函數(shù)與可導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系03無窮間斷點(diǎn)如果函數(shù)在間斷點(diǎn)的左右極限至少有一個(gè)不存在，則該間斷點(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn)。01可去間斷點(diǎn)如果函數(shù)在間斷點(diǎn)的左右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則該間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。02跳躍間斷點(diǎn)如果函數(shù)在間斷點(diǎn)的左右極限存在但不相等，則該間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)?？蓪?dǎo)函數(shù)在間斷點(diǎn)的性質(zhì)分段函數(shù)例如，函數(shù)f(x)={x^2,x≥0;-x^2,x<0}在x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)。含有尖點(diǎn)的函數(shù)例如，函數(shù)f(x)=(x^2)*sin(1/x)在x=0處有一個(gè)尖點(diǎn)，因此它在該點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。連續(xù)不可導(dǎo)函數(shù)的例子05函數(shù)連續(xù)性與積分的關(guān)系如果一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，那么它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)必定可積。連續(xù)函數(shù)一定是可積的雖然連續(xù)函數(shù)必定可積，但可積函數(shù)并不一定連續(xù)。只要函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)的“不連續(xù)點(diǎn)”數(shù)量有限且都是第一類間斷點(diǎn)，那么該函數(shù)仍然可積?？煞e函數(shù)不一定連續(xù)連續(xù)函數(shù)與可積函數(shù)的關(guān)系積分值不受有限個(gè)間斷點(diǎn)影響對(duì)于連續(xù)函數(shù)，即使存在有限個(gè)間斷點(diǎn)，其在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的定積分值仍然不受影響。積分中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(c)等于該區(qū)間上函數(shù)值的平均值。連續(xù)函數(shù)在積分中的性質(zhì)第一類間斷點(diǎn)可積如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限都存在（即第一類間斷點(diǎn)），那么該點(diǎn)不影響函數(shù)的可積性。第二類間斷點(diǎn)不可積如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限至少有一個(gè)不存在（即第二類間斷點(diǎn)），那么該點(diǎn)將使函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不可積。跳躍間斷點(diǎn)的處理對(duì)于跳躍間斷點(diǎn)，可以通過分段積分的方式進(jìn)行處理，即分別計(jì)算間斷點(diǎn)左右兩側(cè)的定積分并相加。間斷點(diǎn)對(duì)函數(shù)積分的影響06函數(shù)連續(xù)性與微分的關(guān)系連續(xù)函數(shù)不一定可微例如，絕對(duì)值函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)但不可微。連續(xù)性與可微性的關(guān)系連續(xù)是可微的必要條件，但不是充分條件。可微函數(shù)一定連續(xù)如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)可微，那么它一定在該點(diǎn)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)與可微函數(shù)的關(guān)系連續(xù)函數(shù)的微分定理如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)且在該區(qū)間的端點(diǎn)處單側(cè)連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的微分與積分關(guān)系連續(xù)函數(shù)的微分與積分是互逆運(yùn)算，即一個(gè)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是其微分函數(shù)的反函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的微分性質(zhì)連續(xù)函數(shù)在其定義域內(nèi)具有局部微分性質(zhì)，即在其定義域的任意子區(qū)間上都可微。連續(xù)函數(shù)在微分中的性質(zhì)間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)可分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)，其中第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)，第二類間斷點(diǎn)包括無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)對(duì)微分的影響在間斷點(diǎn)處，函數(shù)可能不存在導(dǎo)數(shù)或者導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。具體來說，對(duì)于第一類間斷點(diǎn)，如果函數(shù)在該點(diǎn)處存在左右極限且相等，則函數(shù)在該點(diǎn)處可微；對(duì)于第二類間斷點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)處不存