2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之立體幾何

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之立體幾何

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.當(dāng)3B.3+甚C.2+73D,3巫

2222

2.（2020?北京）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）

3.（2018?北京）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為

()

C.3D.4

則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

C.2y2D.2

5.（2017?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（)

正（主〉視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.60B.30C.20D.10

填空題（共2小題）

6.（2019?北京）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：.

三.解答題（共8小題）

8.（2021?北京）如圖，在正方體ABCD-AIBICIOI，E為AiOi的中點(diǎn)，囪。交平面COE

交于點(diǎn)F.

（I）求證：F為BiCi的中點(diǎn)；

后A1財(cái)

（II）若點(diǎn)M是棱4以上一點(diǎn)，且二面角M-CF-E的余弦值為匚，求一一的

3AiBi

值.

9.(2020?北京)如圖，在正方體A8CD-4B1GO1中，E為的中點(diǎn).

(I)求證：平面AOiE；

(II)求直線44與平面AGE所成角的正弦值.

10.(2019?北京)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，用J_平面ABC。，ADLCD,AD//BC,PA

PF1

^AD=CD=2,BC=3.E為PO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且-----=—

PC3

(I)求證：CO_L平面PAD-.

(II)求二面角尸-AE-P的余弦值;

pG2

(III)設(shè)點(diǎn)G在尸8上，且-----=—.判斷直線AG是否在平面AE尸內(nèi)，說明理由.

11.(2019?北京)如圖，在四棱錐P-A8C。中，B4_L平面4BCD,底面ABCZ)為菱形，E

為CO的中點(diǎn).

(1)求證：平面PAC；

(II)若NA8C=60°,求證：平面以8,平面以E；

(III)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF〃平面B4E?說明理由.

12.(2018?北京)如圖，在三棱柱ABC-AiBCi中，CCi，平面ABC,D,E,F,G分別

為A4i，AC,A\C\,B8i的中點(diǎn)，AB=8C=/^,AC=44i=2.

(I)求證：AC_L平面BEF；

(II)求二面角B-CD-C\的余弦值；

(III)證明：直線FG與平面8C￡＞相交.

13.(2018?北京)如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面A8CD為矩形，平面平面A8CD,

PALPD,PA=PD,E,F分別為40,PB的中點(diǎn).

(I)求證：PELBC；

(II)求證：平面以B_L平面PCD；

14.(2017?北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面4BCD為正方形，平面以。，平面

ABC。，點(diǎn)M在線段PB上，〃平面MAC,PA=PD=AB=4.

(1)求證：例為尸8的中點(diǎn);

(2)求二面角B-PC-A的大??；

(3)求直線MC與平面BOP所成角的正弦值.

15.(2017?北京)如圖，在三棱錐P-ABC中，PALAB,PA1.BC,ABLBC,PA^AB^BC

=2,。為線段AC的中點(diǎn)，E為線段尸C上一點(diǎn).

(1)求證：PA±BD；

(2)求證：平面平面B4C；

(3)當(dāng)以〃平面BOE時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積.

2017-2021年北京高考數(shù)學(xué)真題分類匯編之立體幾何

參考答案與試題解析

選擇題（共5小題）

1.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

3J3L3廠73

A.—+-^—B.3+/3C.—+/gD.3+^—

2222

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由三視圖還原原幾何體，其中必，底面ABC,AB±AC,PA=AB=AC^2,再

由三角形面積公式求解.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

B4_L底面ABC,ABLAC,B4=AB=AC=1,

則APBC是邊長(zhǎng)為v歷的等邊三角形，

則該四面體的表面積為S=3X^X1Xl+^Xy攵X樣

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

2.（2020?北京）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）

C.12+D.12+2

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可.

【解答】解：幾何體的直觀圖如圖：是三棱柱，底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)都是2,

幾何體的表面積為：3X2X2+2X」-X2X<3X2=12+2/O.

22V

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是基

本知識(shí)的考查.

3.（2018?北京）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】畫出三視圖的直觀圖，判斷各個(gè)面的三角形的情況，即可推出結(jié)果.

【解答】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：布_L底面ABCZ）,

叱=啰，3=6

PC=3,尸。=20,可得三角形PC￡＞不是直角三角形.

所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形，分別為：△以8,△P8C,

△B4D.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

4.（2017?北京）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

一工

富嘉

俯視圖

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何.

【分析】根據(jù)三視圖可得物體的直觀圖，結(jié)合圖形可得最長(zhǎng)的棱為南，根據(jù)勾股定理求

出即可.

【解答】解：由三視圖可得直觀圖,

在四棱錐P-ABC。中,

最長(zhǎng)的棱為限,

即雨2&+（2展）2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的問題，關(guān)鍵畫出物體的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2017?北京）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

正（主〉視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.60B.30C.20D.10

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】數(shù)形結(jié)合：轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，如圖所示.

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，

11

該三棱錐的體積=——X——X5X3X4=10.

32

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐的三視圖、體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

二.填空題（共2小題）

6.（2019?北京）某兒何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果

網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為40.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】由三視圖還原原幾何體，然后利用一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)棱柱的體積作和求解.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是把棱長(zhǎng)為4的正方體去掉一個(gè)四棱柱，

則該幾何體的體積U=4X2X2+L(2+4)X2X4=40.

2

故答案為：40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

7.(2019?北京)已知/，機(jī)是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_1_相；②《i〃a；(3)/±a.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：若/

Ja,/1加，則加〃a(或若/Ja,"?〃a,則.

【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【分析】由是平面a外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若da,山n,

則機(jī)〃a.若/，a,m//a,則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得

【解答】解：由/,機(jī)是平面a外的兩條不同直線，知：

由線面平行的判定定理得：

若/_La,ILm,則m//a.

若/_La,m//a,則由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)得/，相，

...若/J_a，機(jī)〃a,則/_1_根

故答案為：若/_La,/_!_〃?，則〃?〃a.（或若/J_a,m//a,則/L"）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

三.解答題（共8小題）

8.（2021?北京）如圖，在正方體E為的中點(diǎn)，81cl交平面C￡>E

交于點(diǎn)F.

（I）求證：F為BiCi的中點(diǎn)；

（II）若點(diǎn)M是棱A\B\上一點(diǎn)，且二面角M-CF-E的余弦值為士一，求--------的

3A1%

值.

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（I）連結(jié)OE,利用線面平行的判定定理證明8〃平面AIBICIOI，從而可證

明CD〃E凡即可證明四邊形為平行四邊形，四邊形EFG5為平行四邊形，可

得AiE=BiF,ED\=FC\,即可證明BiF=fC”故點(diǎn)尸為BiCi的中點(diǎn)；

（II）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（相，0,0）,且m<0,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)

和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面CMF與CQEF的法向量，由向量的夾角公

式列出關(guān)于帆的關(guān)系式，求解即可得到答案.

【解答】(I)證明：連結(jié)。E,

在正方體ABCD-AiBiCDl中,CD//C\D\,平面A|81clz>i,C￡>C平面A181CQ1,

則CO〃平面A1B1C1O1，因?yàn)槠矫?B1C1O1C平面CDEF=EF,

所以CD〃EF,則砂〃C1D1,

故A1B〃即〃Cd,又因?yàn)锳IOI〃BIC”

所以四邊形A181FE為平行四邊形，四邊形EFCiOi為平行四邊形，

所以4E=5iF,ED\=FC\,

而點(diǎn)E為4。的中點(diǎn)，所以4E=EG,

故BiF=FCi，則點(diǎn)F為B1C1的中點(diǎn)；

(H)解：以點(diǎn)囪為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,設(shè)點(diǎn)M(m,0,0),

/5

因?yàn)槎娼荕-CF-E的余弦值為,則〃?<0,所以m#0,

3

則C(0,2,-2),￡(-2,1,0),F(0,1,0),

故版=(-2,0,0),FC=(0,1,-2),=-1,0)，

設(shè)平面CA75的法向量為小=(a,b,1：，

方，F(xiàn)M=0ma—b=0

則

)\m-FC=0b—2—Q

2t2

所以a=—,b=2,故m=(—,2,1)，

mm

設(shè)平面COE尸的法向量為n=(*,y,1)，

,fn-FE=0—2a?=0

則T一，

[n*FC=0y-2=0‘

所以x=0,y=2,故7=(0,2,1；，

/5

因?yàn)槎娼荕-CF-E的余弦值為

3

則Icos<m,n>I=——————=r=—

1句即|L±-+4+lxy22+l3

\lm

解得m=±1,又mVO,

所以m=-1,

AyM1

故一--=—

A月2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角

的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角

問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

9.(2020?北京)如圖，在正方體A8CO-481GO1中，E為的中點(diǎn).

(I)求證：BCi〃平面AOiE；

(II)求直線與平面ADE所成角的正弦值.

【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；直觀想象.

【分析】(I)根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得BC\//AD\,再利用線面平行的判定定理即可得

證；

(II)解法一：以A為原點(diǎn)，AD,AB,44分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

直線441與平面AGE所成角為。，先求出平面AGE的法向量募再利用sine=|cos<溢,

-->,

m,AA,

AA>1=|-^——-------|以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

解法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2"，易知S_,c=2J,結(jié)合勾股定理和余弦定理可求得

/I51

cosZ￡ADi=-^——，再求得S=-ADrAfsinZEADi；設(shè)點(diǎn)4到平面EAD\

10ZE2'2

的距離為〃，根據(jù)等體積法V,…,，可求出/?的值，設(shè)直線A4與平

A1-EADlE-AAtD

面AOiE所成角為。，則sin8=---,從而得解.

AA1

【解答】解：(I)由正方體的性質(zhì)可知，A8〃CiOi中，且力”

四邊形AB。。是平行四邊形，

又BC1C平面AGE,AQiu平面AOiE,；.BCi〃平面AOiE.

(II)解法一：以A為原點(diǎn)，A。、A&441分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

>

y

1

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則A(0,0,0),A\(0,0,a),D\(a,0,a),E(0,a,—?),

2

——‘r八］、

?y=(o,o,吟AD.=(a,0a)，AE=(0?a,—

152

'a(t+z)=0

m?AD]=0

設(shè)平面AD\E的法向量為/=gy,Z：,則一一，即

a(y+-z)=0'

nvAE=02

令z=2,則x=-2,y=-1,山=(-2,-1,2),

設(shè)直線Mi與平面AD\E所成角為0,則sine=|cos<蔡，AA>I=

eA%2。2

----------=------=---,

|rn|?|AAj|八33

2

故直線A4與平面AD\E所成角的正弦值為一.

3

1

解法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則A￡h=2/a，AE=E￡>i=3a,S

&441刀2

?2a*2a=22,

AD：2+AE2-ED：2222

80+5。-9Qyio

由余弦定理知，cos/E4Oi=--------------------

2,AD]'AE2-272010

10

...S&EAD=—ADrAE'sinZEADi=3a2,

i2

設(shè)點(diǎn)Ai到平面EAD\的距離為h,

7

vAi.SAD=vs.AAiD

22.4

A—h-3a=--2G-2Q.?>h——a，

333

4

一a八

h32

設(shè)直線A4i與平面AD1E所成角為。，則sinO=

AA12a3

故直線A4i與平面AOiE所成角的正弦值為上.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面的位置關(guān)系和線面夾角問題，熟練掌握線面平行的判定定

理和利用空間向量求線面夾角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

10.(2019?北京)如圖，在四棱錐P-ABC。中，以_L平面ABC。，AD±CD,AD//BC,PA

PF1

=AD=CD=2,BC=3.E為P0的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且----=—.

PC3

(I)求證：COL平面力。；

(H)求二面角F-AE-P的余弦值；

PQ2

(III)設(shè)點(diǎn)G在P8上，且-----=—.判斷直線AG是否在平面AEr內(nèi)，說明理由.

PB3

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直.

【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；數(shù)學(xué)建模.

【分析】(I)推導(dǎo)出B4_LCD,ADLCD,由此能證明CO_L平面外Z).

(II)以A為原點(diǎn)，在平面ABC。內(nèi)過A作C￡＞的平行線為x軸，AO為y軸，AP為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角尸-AE-P的余弦值.

___,42一____,

(IID求出標(biāo)=(——，0,——)，平面AEF的法向量山=(1,1,-1),m,AG=0,

33

從而直線AG在平面4EF內(nèi).

【解答】證明：(I)；以_L平面48C￡),...以_LC。，

'：AD±CD,PAC\AD=A,

.*.C￡)_L平面PAD.

解：(H)以A為原點(diǎn)，在平面ABC。內(nèi)過A作CD的平行線為x軸，

為y軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

224

A(0,0,0),E(0,1,1),F(——，——，——),

333

P(0,0,2),B(2,-1,0),

—，,—,224

AE~(°，L1)，AF~(——，——，——)，

333

平面AEP的法向量扇=(1,0,0),

設(shè)平面AEF的法向量盛=(x,y,z),

m,AE=y+z=0

貝—>224，取x=i,得蔡=(1.I,-1),

nvAF=—*+—y+—z=0

333

設(shè)二面角尸-AE-P的平面角為。，

八1mn|1/

則COS0=——...——=----=———.

ImI,In|\/33

/3

...二面角尸-AE-P的余弦值為￥一.

3

(III)直線AG在平面AEF內(nèi)，理由如下：

PG2422

?.?點(diǎn)G在PB上，且----=——.：.G(―,-—,——),

PB3333

.—，4

,,AG=(——>12)

333

?.?平面AEF的法向量山=(1,1,-1),

—-,422

m,AG---------——=°，

333

故直線AG在平面AEF內(nèi).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線是否在已知

平面內(nèi)的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推

理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.(2019?北京)如圖，在四棱錐尸-ABCZ)中，布_L平面A8CZ),底面ABCZ)為菱形，E

為C。的中點(diǎn).

(I)求證：B￡)_L平面PAC；

(II)若NABC=60°,求證：平面以B_L平面%E；

(III)棱尸8上是否存在點(diǎn)F,使得C/〃平面B4E?說明理由.

【考點(diǎn)】直線與平面垂直；平面與平面垂直.

【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合：數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理.

【分析】(I)推導(dǎo)出BD1.PA,BD1AC,由此能證明平面PAC.

(II)推導(dǎo)出AB1.AE,PA1AE,從而4瓦1_平面PAB,由此能證明平面附8，平面PAE.

(III)棱PB上是存在中點(diǎn)F,取A8中點(diǎn)G,連結(jié)GF,CG,推導(dǎo)出CG〃AE,FG//PA,

從而平面CFG〃平面PAE,進(jìn)而CF〃平面PAE.

【解答】證明：(I):四棱錐尸-A8C￡＞中，出_L平面48CZ),底面ABCD為菱形，

：.BDA.PA,BDLAC,

VB4nAC=A,平面出C.

(II)?..在四棱錐P-ABC。中，B4_L平面A8CO,底面ABC。為菱形，

E為CD的中點(diǎn)，/ABC=60°,

：.ABLAE,PAA,AE,

'：PAnAB=A,；.AE_L平面%8,

：AEu平面南￡,平面平面RIE.

解：(HD棱P8上是存在中點(diǎn)F,使得CF〃平面

理由如下：取4B中點(diǎn)G,連結(jié)GF,CG,

；在四棱錐P-ABCD中，出J_平面ABCO,底面A8CD為菱形，E為C。的中點(diǎn)，

J.CG//AE,FG//PA,

\"CGCiFG=G,AEOPA=A,

.?.平面CFG〃平面PAE,

：CFu平面CFG,：.CF//平面PAE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查滿足線面平行的瞇是否存在的判斷

與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

12.（2018?北京）如圖，在三棱柱Ai81cl中，CCi_L平面D,E,F,G分別

為A4,AC,A\C\,BBi的中點(diǎn),AB=BC=^,AC=AAi=2.

（I）求證：AC_L平面BEF；

（ID求二面角B-CD-Ci的余弦值；

（HI）證明：直線尸G與平面BCD相交.

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直；直線與平面所成的角.

【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】（/）證明AC_LBE,AC_LEF即可得出AC_L平面BEF；

（//）建立坐標(biāo)系，求出平面8。的法向量通過計(jì)算；;與宣的夾角得出二面角的

大小:

(/〃)計(jì)算近與；;的數(shù)量積即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：IE,F分別是AC,4。的中點(diǎn)，尸〃CG，

CC11平面ABC,：.EF±平面ABC,

又ACu平面A8C,：.EFLAC,

'：AB=BC,E是AC的中點(diǎn)，

J.BELAC,

又BECEF=E,BEu平面BEF,EFu平面BEF,

；.AC_L平面BEF.

(〃)解：以E為原點(diǎn)，以EB,EC,EF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

則B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,I),

二B占(-2,1,0),cd=(0，-2，1)，

[n-BC=0-2x-\-y=0

設(shè)平面BCD的法向量為n=(X,yfz)，則T一>

[n，CD=0一2y+z=0

令y=2可得7；=(1,2,4),又EB_L平面ACC1A1，

(2,0,0)為平面CO-Ci的一個(gè)法向量,

n；2721

/.cos<n，R§>=

InI|721X221

由圖形可知二面角8-CO-Cl為鈍二面角,

二面角B-CD-C\的余弦值為-上一.

21

(///)證明：F(0,0,2),G(2,0,1),A~FG=(2,0,-1),

???FG-n=2+0-4=-2W0,

???訪與7；不垂直，

.?.fG與平面BC￡＞不平行，又FGC平面8C￡),

尸G與平面BCD相交.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，二面角的計(jì)算與空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.(2018?北京)如圖，在四棱錐P-ABCC中，底面ABCD為矩形，平面fl4Q_L平面ABCC,

PA±PD,PA=PD,E,尸分別為AO,P8的中點(diǎn).

(I)求證：PELBC；

(II)求證：平面以8,平面PC￡＞；

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】(I)由等腰三角形的三線合一性質(zhì)和矩形的對(duì)邊平行性質(zhì)，即可得證；

(H)作出平面出B和平面PCD的交線，注意運(yùn)用公理4,再由面面垂直的性質(zhì)和兩個(gè)

平面所成角的定義，即可得證；

(IH)取PC的中點(diǎn)”，連接QH,FH,運(yùn)用中位線定理和平行四邊形的判斷和性質(zhì)，

結(jié)合線面平行的判定定理，即可得證.

【解答】證明：(I)PA=PD,E為A。的中點(diǎn)，

可得PELAD,

底面A8CO為矩形，可得BC〃AD,

則PE±BC；

(II)由于平面PAB和平面PCD有一個(gè)公共點(diǎn)P,

S.AB//CD,

在平面PAB內(nèi)過P作直線PG〃AB,

可得PG〃CD,

即有平面RIBC平面PCD=PG,

由平面附O_L平面ABC￡>,又AB_LA。，

可得AB_L平面附。，即有AB_L必，

PAVPGx

同理可得C￡)_LP￡>,即有PO_LPG,

可得NAP。為平面PAB和平面PCD的平面角，

由PA±PD,

可得平面B4B，平面PCD；

(III)取PC的中點(diǎn)H,連接。H,FH,

在三角形PBC中，尸，為中位線，可得FH〃BC,

1

FH=——BC,

2

1

由?！?〃BC,DE=——BC,

2

可得DE=FH,DE//FH,

四邊形為平行四邊形，

可得

ERt平面PCD,￡Wu平面PCD,

即有EF〃平面PCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面和面面的位置關(guān)系，考查線面平行、垂直的判定和性質(zhì)，以及面

面垂直的判斷和性質(zhì)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

14.(2017?北京)如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面A8CD為正方形，平面以DJ_平面

ABCC,點(diǎn)M在線段PB上，PZ)〃平面MAC,PA=PD=^Q,AB=4.

(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；

(2)求二面角B-PD-A的大??；

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面所成的角.

【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間角.

【分析】(1)設(shè)ACnB￡>=0,則。為8。的中點(diǎn)，連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明

OM//PD,再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點(diǎn)；

(2)取AO中點(diǎn)G,可得PG_LAO,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG_L平面A8CD,則PG

VAD,連接。G,則PGLOG,再證明OGLAD以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G。、GO、

GP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBD與平面PAD的一個(gè)法向

量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大??；

(3)求出行的坐標(biāo)，由葡與平面尸8。的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值可得直線

MC與平面BDP所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：如圖，設(shè)ACCB￡>=。，

,.,ABC。為正方形，工。為80的中點(diǎn)，連接OM,

〃平面MAC,POu平面尸8。，平面PBZ)C平面AMC=OM,

J.PD//OM,則3一=----,即M為PB的中點(diǎn)；

BDBP

(2)解：取中點(diǎn)G,

'：PA^PD,：.PGLAD,

?.?平面J_平面ABCD,且平面B4OC平面ABCD=AD,

：.PG±^ABCD,貝IJPGLAO,連接OG,貝iJPGLOG,

由G是A。的中點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，可得OG〃Z)C,則OGLAO.

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G。、GO、GP所在直線為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由PA=PD=^,AB=4,得。(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0,0),C(2,

%。入3,4,。)，〃一，2,E

2

赤=(-2,0,㈤RB=(-4,4,0)-

設(shè)平面PBO的一個(gè)法向量為藍(lán)=(*,y,0,

n]G'DP=0'-21+/'z=0

則由(t>，得<,取z="，得01=(1,1,修:

，DB=0一4i+4y=0

取平面玄。的一個(gè)法向量為n=(0,1,0；.

—*―,

-9-im'n11

?'-cos<m,n>=-----------

Im||n|2X12

二二面角B-P。-A的大小為60°；

(3)解：CM=(-3,-2,—；.平面BOP的一個(gè)法向量為情=Q,小

2

cM-*

直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos＜下而藍(lán)＞|=|-----:~三—尸

ICM||ni|

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角與面面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求空間角，屬中檔題.

15.(2017?北京)如圖，在三棱錐P-ABC中，PALAB,PALBC,ABLBC,PA=AB=BC

=2,。為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

(1)求證：PA1.BD；

(2)求證：平面BCE_L平面出C；

(3)當(dāng)孫〃平面8OE時(shí)，求三棱錐E-2CZ)的體積.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直；平面與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】(1)運(yùn)用線面垂直的判定定理可得出，平面ABC,再由性質(zhì)定理即可得證；

(2)要證平面8OE_L平面PAC,可證8￡>_L平面PAC,由(1)運(yùn)用面面垂直的判定定

理可得平面H1CJ■.平面A8C,再由等腰三角形的性質(zhì)可得8。_LAC,運(yùn)用面面垂直的性

質(zhì)定理，即可得證；

(3)由線面平行的性質(zhì)定理可得出〃QE,運(yùn)用中位線定理，可得QE的長(zhǎng)，以及DE

，平面48C,求得三角形38的面積，運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可得到所求值.

【解答】解：(1)證明：由朋，48,PA1BC,

ABu平面ABC,BCu平面ABC,且48nBe=8,

可得應(yīng)_L平面ABC,

由8￡>u平面ABC,

可得以J_8。；

(2)證明：由AB=8C,O為線段AC的中點(diǎn)，

可得BO_LAC,

由辦_L平面ABC,B4u平面以C,

可得平面網(wǎng)C_L平面ABC,

又平面Bien平面ABC=AC,

BOu平面ABC,且BO_LAC,

即有BO_L平面PAC,

BOu平面BDE,

可得平面平面PAC；

(3)朋〃平面BQE,出u平面%C,

且平面以CC平面BDE=DE,

可得雨〃。E,

又。為4c的中點(diǎn)，

1

可得E為PC的中點(diǎn)，且。E=—以=1,

2

由以，平面ABC,

可得￡＞《_1_平面48(7,

111

可得S&BDC=—SAMC=—X—X2義2=1,

222

111

則三棱錐E-BCD的體積為一DE,S&BDC=—X1X1=—.

333

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間的線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷，主要是平行和垂直的關(guān)

系，注意運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，面面垂直的判

定定理和性質(zhì)定理，同時(shí)考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力和推理能力，屬

于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.由三視圖求面積、體積

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.三視圖：觀測(cè)者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫出的空間幾何體的圖形，包括:

(1)主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和長(zhǎng)度；

(2)左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和寬度；

(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖，反映物體的長(zhǎng)度和寬度.

2.三視圖的畫圖規(guī)則：

主視圖左視圖

,長(zhǎng)對(duì)TF'

(1)高平齊：主視圖和左視圖的高保持平齊;

(2)長(zhǎng)對(duì)正：主視圖和俯視圖的長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)；

(3)寬相等：俯視圖和左視圖的寬度相等.

3.常見空間幾何體表面積、體積公式

'圓柱：S圖柱=2?tr(r+l)

圖錐：S圖錐=Hr(r+?)

(1)表面積公式：,周臺(tái)：S向臺(tái)=兀(/+「'"+rl+r'，)

球：S/=4兀

'柱體：V■柱=Sh

1

錐體：丫雄=—Sh

錐3

（2）體積公式「臺(tái)體：丫臺(tái)=」（5+/利+S，）h

口3

【解題思路點(diǎn)撥】

1.解題步驟：

（1）由三視圖定對(duì)應(yīng)幾何體形狀（柱、錐、球）

（2）選對(duì)應(yīng)公式

（3）定公式中的基本量（一般看俯視圖定底面積，看主、左視圖定高）

（4）代公式計(jì)算

2.求面積、體積常用思想方法：

（1）截面法：尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，常用軸截面進(jìn)行分析求解;

（2）割補(bǔ)法：求不規(guī)則圖形的面積或幾何體的體積時(shí)常用割補(bǔ)法；

（3）等體積轉(zhuǎn)化：充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可以作為底面的特點(diǎn)，靈活求解三棱錐

的體積；

（4）還臺(tái)為錐的思想：這是處理臺(tái)體時(shí)常用的思想方法.

【命題方向】三視圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容之一，是新課程高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.解答此類問題，

必須熟練掌握三視圖的概念，弄清視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正視圖、俯視圖之間長(zhǎng)相等，左視

圖、俯視圖之間寬相等，正視圖、左視圖之間高相等（正俯長(zhǎng)對(duì)正，正左高平齊，左俯寬相

等），要善于將三視圖還原成空間幾何體，熟記各類幾何體的表面積和體積公式，正確選用，

準(zhǔn)確計(jì)算.

例：某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

冗冗

A.8-27rA8-irC.8-——D.8--

24

1

分析：幾何體是正方體切去兩個(gè)一圓柱，根據(jù)三視圖判斷正方體的棱長(zhǎng)及切去的圓柱的底

4

面半徑和高，把數(shù)據(jù)代入正方體與圓柱的體積公式計(jì)算.

解答：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個(gè)」圓柱，

4

正方體的棱長(zhǎng)為2,切去的圓柱的底面半徑為1,高為2,

1

，幾何體的體積v=23-2X—XirX?X2=8-n.

4

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的

幾何量是解題的關(guān)鍵.

2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：

1

V^=sh,v!?=—Sh.

3

3.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：

位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號(hào)表示圖示

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)aua/—5/

直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)aDa=A/p7

a

直線和平面平行無a//a

4.直線與平面平行

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、直線與平面平行的判定定理：

如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.用符

號(hào)表示為：若aCa,bua,a//b,貝!Ia〃a.

2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條

直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行.即由線線平行得到線面平行.

1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：

如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和

交線平行.

用符號(hào)表示為：若“〃a,ocp,an0=4貝

2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：

已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行.即由

線面平行=線線平行.

由線面平行=線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行.

正確的結(jié)論是：a//a,若bua,則6與a的關(guān)系是：異面或平行