微積分基本公式練習

$number{01}微積分基本公式練習2024-01-24目錄微分基本公式積分基本公式微分方程基本公式練習題及解析01微分基本公式123常數(shù)與冪函數(shù)微分特殊冪函數(shù)微分$frachgluriw{dx}(sqrt{x})=frac{1}{2sqrt{x}}$，$fraclqzeesq{dx}(frac{1}{x})=-frac{1}{x^2}$。常數(shù)微分$frachhewuqj{dx}(C)=0$，其中$C$為常數(shù)。冪函數(shù)微分$fracnos7aby{dx}(x^n)=nx^{n-1}$，其中$n$為實數(shù)。正切函數(shù)微分正弦函數(shù)微分余弦函數(shù)微分三角函數(shù)微分$fracnfllzrn{dx}(tanx)=sec^2x$。$fracrbxmejt{dx}(sinx)=cosx$。$fracqhmvbf7{dx}(cosx)=-sinx$。指數(shù)函數(shù)微分$fracvuvs3zz{dx}(e^x)=e^x$，$fracmvblzif{dx}(a^x)=lnacdota^x$，其中$a>0$且$aneq1$。自然對數(shù)函數(shù)微分$fracnebkpp2{dx}(lnx)=frac{1}{x}$。常用對數(shù)函數(shù)微分$fraccbc7thh{dx}(log_{a}x)=frac{1}{xlna}$，其中$a>0$且$aneq1$。指數(shù)與對數(shù)函數(shù)微分若$y=f(u)$和$u=g(x)$都是可微函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)$y=f[g(x)]$的導數(shù)為$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。鏈式法則冪指函數(shù)微分隱函數(shù)微分形如$y=[u(x)]^{v(x)}$的函數(shù)，可化為指數(shù)函數(shù)形式進行微分。對于形如$F(x,y)=0$的隱函數(shù)，可通過求全微分或利用鏈式法則求解$frac{dy}{dx}$。030201復(fù)合函數(shù)微分02積分基本公式03對數(shù)函數(shù)的積分公式∫ln|x|dx=xln|x|-x+C01冪函數(shù)的積分公式∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C(n≠-1)02指數(shù)函數(shù)的積分公式∫e^xdx=e^x+C不定積分基本公式010203不定積分基本公式三角函數(shù)的積分公式∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C區(qū)間可加性∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx=∫[a,c]f(x)dx牛頓-萊布尼茲公式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個原函數(shù)保號性若f(x)在[a,b]上非負，則∫[a,b]f(x)dx≥0絕對值不等式|∫[a,b]f(x)dx|≤∫[a,b]|f(x)|dx定積分基本公式第一類換元法（湊微分法）通過湊微分將原函數(shù)化為易于積分的函數(shù)形式，如∫f[g(x)]g'(x)dx=∫f[g(x)]d[g(x)]第二類換元法（變量代換法）通過變量代換簡化被積函數(shù)，如令t=g(x)，則原積分可化為∫f(t)dt的形式換元積分法分部積分公式多項式與指數(shù)函數(shù)多項式與三角函數(shù)多項式與對數(shù)函數(shù)分部積分法如∫xsinxdx=-xcosx+sinx+C如∫xlnxdx=(1/2)x^2lnx-(1/4)x^2+C∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分別是被積函數(shù)中的兩部分，且v易于求導，u易于積分如∫xe^xdx=xe^x-e^x+C03微分方程基本公式一階線性微分方程的標準形式$y'+p(x)y=q(x)$求解一階線性微分方程的通解公式$y=e^{-intp(x)dx}left(intq(x)e^{intp(x)dx}dx+Cright)$一階線性微分方程$y'=f(x)g(y)$可分離變量微分方程的標準形式$intfrac{dy}{g(y)}=intf(x)dx+C$求解可分離變量微分方程的通解公式可分離變量微分方程$y'=Fleft(frac{y}{x}right)$齊次方程的標準形式令$u=frac{y}{x}$，則$y=xu$，$y'=u+xu'$，代入原方程求解求解齊次方程的通解公式$y'+p(x)y=q(x)y^n$伯努利方程的標準形式通過變量替換$z=y^{1-n}$，將伯努利方程化為可分離變量的微分方程求解求解伯努利方程的通解公式齊次方程與伯努利方程04練習題及解析練習題1解析練習題2解析求函數(shù)$f(x)=x^2+3x-2$的導數(shù)$f'(x)$。根據(jù)導數(shù)的定義和多項式函數(shù)的求導法則，有$f'(x)=2x+3$。求函數(shù)$f(x)=sin(x)$在$x=pi/4$處的導數(shù)$f'(pi/4)$。根據(jù)三角函數(shù)的求導法則，有$f'(x)=cos(x)$，代入$x=pi/4$得$f'(pi/4)=cos(pi/4)=sqrt{2}/2$。01020304微分練習題及解析積分練習題及解析練習題1被動收入是指個人投資一次或一二三四五六七八九十次或被動收入投資一次次或少數(shù)幾次后，被動收入是指個人投人投人投人投資一次或被動收入投資收入投收入投解析根據(jù)定積分的計算方法和多項式函數(shù)的積分公式，有$int_{0}^{2}f(x)dx=int_{0}^{2}(x^2+2x+1)dx=[frac{1}{3}x^3+x^2+x]_{0}^{2}=frac{38}{3}$。練習題2求函數(shù)$f(x)=cos(x)$在區(qū)間$[0,pi]$上的定積分$int_{0}^{pi}f(x)dx$。解析根據(jù)定積分的計算方法和三角函數(shù)的積分公式，有$int_{0}^{pi}f(x)dx=int_{0}^{pi}cos(x)dx=[sin(x)]_{0}^{pi}=0$。練習題1求解微分方程$y'+y=e^x$。解析首先，將微分方程化為標準形式$y'+p(x)y=q(x)$，其中$p(x)=1,q(x)=e^x$。接著，求解對應(yīng)的齊次方程$y'+y=0$，得到通解$y=Ce^{-x}$。然后，通過常數(shù)變易法求得特解$y=frac{e^x}{2}$。最后，將通解和特解相加得到微分方程的通解$y=Ce^{-x}+frac{e^x}{2}$。微分方程練習題及解析求解微分方程$xy'+y=x^2$。練習題2首先，將微分方程化為標準形式