2018-2018學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2課時(shí)跟蹤檢測 含解析

課時(shí)跟蹤檢測（九）曲邊梯形的面積汽車行駛的路程

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.和式三8+1）可表示為（）

i=i

A.（xi+l）+（xs+l）

B.X1+X2+X3+X4+X5+I

C.X1+X2+X3+X4+X5+5

D.（xi+1）（x2+l）―（xs+l）

5

解析：選CZ（X,+1）=（X1+1）+（X2+1）+（X3+1）+（X4+1）+（X5+1）=X1+X2+X3+X4

1=1

+4+5.

2.在求由x=a,x—b（a<b）,y=/（x）（Ax），O）及y=0圍成的曲邊梯形的面積5時(shí)，在

區(qū)間⑶句上等間隔地插入〃一1個(gè)分點(diǎn)，分別過這些分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成

〃個(gè)小曲邊梯形，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①"個(gè)小曲邊梯形的面積和等于S；

②〃個(gè)小曲邊梯形的面積和小于S；

③"個(gè)小曲邊梯形的面積和大于S；

④〃個(gè)小曲邊梯形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選A〃個(gè)小曲邊梯形是所給曲邊梯形等距離分割得到的，因此其面積和為S.

.,.①正確，②③④錯(cuò)誤，故應(yīng)選A.

3.在“近似代替”中，函數(shù)式x）在區(qū)間國，輅1］上的近似值等于（）

A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值/（X,）

B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值HH+I）

C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值大*格1］）

D.以上答案均不正確

解析：選C由求曲邊梯形面積的“近似代替”知，C正確，故應(yīng)選C.

4.在求由函數(shù)與直線x=Lx=2,y=0所圍成的平面圖形的面積時(shí)，把區(qū)間［1,2］

等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為（）

A尸,￡［中

Ln〃」L〃nJ

C.[/—I,J

解析：選B把區(qū)間［1,2］等分成“個(gè)小區(qū)間后，每個(gè)小區(qū)間的長度為1且第i個(gè)小區(qū)

間的左端點(diǎn)不小于1,排除A、D;C顯然錯(cuò)誤；故選B.

5.函數(shù)危）=/在區(qū)間彳；月上（）

A./U）的值變化很小

B.1Ax）的值變化很大

C./U）的值不變化

D.當(dāng)〃很大時(shí)，/（x）的值變化很小

解析：選D當(dāng)〃很大時(shí)，區(qū)間亍，*的長度［越來越小，/U）的值變化很小，故選

D.

6.求由拋物線八*）=*2,直線x=o,x=l以及X軸所圍成的平面圖

形的面積時(shí)，若將區(qū)間［0,1］5等分，如圖所示，以小區(qū)間中點(diǎn)的縱坐標(biāo)

為高，則所有矩形的面積之和為.

解析：s=/x

端2+（舒+（舒+盼+朗=°.33?

答案：0.33

7.由直線x=0,x=Ly=0和曲線y=x2+2x圍成的圖形的面積為.

解析：將區(qū)間［0,1］〃等分，每個(gè)區(qū)間長度為:，區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值產(chǎn)6）2+25=§+之

〃\f*yflfltl

作和s,=i6+職=E(5+S)=凈+|鄉(xiāng)=3x》(〃+1)(2〃+D+J

+1)(〃+1X2〃+1)L〃+18〃2+9〃+1

X2—6n2n—6n2

々u土jlim8/+9〃+IlimG+景白W

工所求面積S=-8------------=「8

fg4

答案：3

8.汽車以o=（3f+2）m/s做變速直線運(yùn)動(dòng)，在第1s到第2s間經(jīng)過的路程是

解析：將口,2］〃等分，并取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn)的速度近似代替，則Af=］,

嗚）=。（1+目=3（1+亍）+2=沁1)+5.

所以S"=W永1)+51：

={$0+1+2H-----F(〃-1)]+5舊

4哼45=KT)+5，

,lim3

所以s=…8s"=5+5=6.5(m).

答案：6.5m

9.求由拋物線7=爐與直線7=4所圍成的圖形的面積.

解AFT.?

如圖，?.，=工2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于丁軸對(duì)稱，.,?所求圖形的面積應(yīng)為y=x2(x,0)與直

線x=0,y=4所圍成的圖形面積S陰影的2倍，

下面求S陰影.

0=總

由卜=4,得交點(diǎn)為(2,4).

先求由直線x=0,x=2,y=0和曲線y=x2圍成的圖形的面積.

⑴分割

將區(qū)間。2]〃等分，

22(7—1)

則AX=G，取.=\"(i=l，2,…，〃).

(2)近似代替、求和

S,=?0在

Q

=^[02+12+22+32+...+(/7-1)2]

=Ki4Xi-i)

⑶取極限

s」嗯[KTX-HH

?q————西?—這

??ama-XA43—j???iomt)—j.

32

即拋物線y=*2與直線產(chǎn)4所圍成的圖形的面積為學(xué)

10.汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度(單位：km/h)為v(t)=t2+2,那么它在

lWf42(單位：h)這段時(shí)間行駛的路程為多少？

解：將區(qū)間［1,2］等分成“個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)小區(qū)間為1+、/,1+^(i=l,2,???,n).

第i個(gè)時(shí)間區(qū)間的路程的近似值為

A衿A&J=v(t)-^=v(1+5%

3」2(1)(Lip

一〃十n2，

手具SnAR」「32(1)(LI)2：

于是s〃=ZA媼=Z-+\2+^3

<=1L

=?-7-+^2-［0+l+2+...+(/7-l)］+^1［02+l2+22+...+(f7-l)2］

,,2(?—l)-n1("-1)"(2"-1)

十~?十二?

=3nl2tr67

=3+(T)+KT)(lW)

所以S=!吧s“=l吧3+(1-0+1(1-￡)(1-9=呈

故這段時(shí)間行駛的路程為葭km.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.設(shè)函數(shù)Ax)在區(qū)間［3，0上連續(xù)，用分點(diǎn)。=XO〈X1V…Vx—iCxiV…Vx〃=》，把區(qū)

間⑶?等分成〃個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間［Wi,M上任取一點(diǎn)氛i=1,2，…，〃)，作和式

n

s“=ZA給Ax(其中Ax為小區(qū)間的長度)，那么S"的大小()

1=1

A.與/U)和區(qū)間［a,牙有關(guān)，與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)"和卻的取法無關(guān)

B.與段)和區(qū)間［a,用的分點(diǎn)的個(gè)數(shù)〃有關(guān)，與卻的取法無關(guān)

C.與｛x)和區(qū)間⑶廳的分點(diǎn)的個(gè)數(shù)"，卻的取法都有關(guān)

D.與/U)和區(qū)間⑶到的卻的取法有關(guān)，與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)〃無關(guān)

解析：選C用分點(diǎn)a=xo〈xiV…VjG-iVxiV…VX"=Z>把區(qū)間［a,夕等分成"個(gè)小區(qū)

間，在每個(gè)小區(qū)間［儂1,%］上任取一點(diǎn)氛i=1,2,…，n),作和式S"=X4>Ax.若對(duì)和式求

極限，則可以得到函數(shù)y=/（x）的圖象與直線x=a,x=b,y=0圍成的區(qū)域的面積，在求極

限之前，和式的大小與函數(shù)式、分點(diǎn)的個(gè)數(shù)和變量的取法都有關(guān).

2.對(duì)于由直線x=l,y=0和曲線所圍成的曲邊三角形，把區(qū)間3等分，則曲邊

三角形面積的近似值（取每個(gè)區(qū)間的左端點(diǎn)）是（）

1Bi

A.9**25

解析：選A將區(qū)間[0口三等分為[0,I],I],[1,1,各小矩形的面積和為s產(chǎn)

嗎+04+@44

3.血加8維制的含義可以是（）

A.求由直線x=l,x=5,y=0,y=3x圍成的圖形的面積

B.求由直線x=0,x=Ly=0,y=15x圍成的圖形的面積

C.求由直線x=0,x=5,y=0,y=3x圍成的圖形的面積

D.求由直線x=0,x=5,y=0及曲線圍成的圖形的面積

解析：選C將區(qū)間[0,5]〃等分，則每一區(qū)間的長度為盛，各區(qū)間右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為y

=號(hào)，因此⑤可以表示由直線x=0,x=5,y=0和y=3x圍成的圖形的面積的

<=1

近似值.

2

4.若做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體v（t）=tf在0小￡W〃內(nèi)經(jīng)過的路程為9,則a的值為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析:選C將區(qū)間[0,切分為等長的"個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)區(qū)間記為[]/“，（1=1,2,???,

”），取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)的速度近似代替，則所以0（"）=（吩，s“=￡（野。=今

（1+22+…+〃2）=—=太1+認(rèn)2+/,于是s="f=，—加+或2+?

“3

=y=9,得a=3.故選C.

5.已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為。=f,[0,10],若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)

處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為.

解析：?.?把區(qū)間[0,10]10等分后，每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為“5=1,2.…，10),

每個(gè)小區(qū)間的長度為1.

，物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值S=1X(1+2+…+10)=55.

答案：55

6.如圖，曲線C：y=2*(0WxW2)兩端分別為M,N,且y

軸于點(diǎn)A,把線段分成”等份，以每一段為邊作矩形，使其與x

軸平行的邊的一個(gè)端點(diǎn)在曲線C上，另一端點(diǎn)在曲線C的下方，設(shè)A/-rTfL.I

。人

這"個(gè)矩形的面積之和為S,,,貝IJl“im3[(2〃-3)(S-1)S“]=

解析：依題意可知從原點(diǎn)開始，矩形的高成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1,公比為,，則S"=?

122n

(l+2^+2^H------|_22H2^_^-.所以Ii"Th8[(2"-3)(踞-1)S"]=!必

'Fi-S

(2〃-3)(版一l)f—=[2.

_1-啊

答案：12

7.汽車行駛的速度為。=凡求汽車在這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s.

解：⑴分割

將區(qū)間[0,口等分為〃個(gè)小區(qū)間

每個(gè)小區(qū)間的長度為A，=(-

(2)近似代替

在區(qū)間U，；(i=l,2,…，")上，汽車近似地看作以時(shí)刻5/處的速度。匕9=

2作勻速行駛，

則在此區(qū)間上汽車行駛的路程為行

(3)求和

在所有小區(qū)間上，汽車行駛的路程和為

S"=*X1+?>xHe>X)+…+(*>義:和2+22+...+(〃-1)2]=*

X』—)?

(4)取極限

汽車行駛的路程$=!%"=!吧!(i—^)(1—^)=j.

［.展選做題

8.彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力尸(x)=?x(A為常數(shù)，x是伸長量),

求將彈簧從平衡位置拉長b所做的功.

解：將物體用常力產(chǎn)沿力的方向拖動(dòng)距離x,則所做的功

⑴分割

在區(qū)間［0,到上等間隔地插入〃一1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間［0,勾等分成〃個(gè)小區(qū)間：

［。高,償智、P5空［

記第i個(gè)區(qū)間為［*更，(i=l,2,…，?),

讓*■信%A_勁(Ll)bb

其長度為Ax—“一?

把在分段［。，皆，［1，~\,…，b上所做的功分別記作：AWi,AW2,…,

AW”.

(2)近似代替

取各小區(qū)間的左端點(diǎn)函數(shù)值作為小矩形的高，由條件知：人用二《‘

=2n.薩=1，2,…，〃)?

(3)求和

"g(i—l)bb

W〃=ZAWf

尸i尸i

女方2

=^-[O+l+2+...+(/7-l)l

kb2、，〃("-1)kb2(,.

十X2=力—沙

從而得到W的近似值用產(chǎn)華(1-￡).

(4)取極限

limlim?limkb2(1、kb2

W=”>8w〃=”A8￡A用=”-8-yd1--j=—.

i=i17

所以將彈簧從平衡位置拉長b所做的功為早.

課時(shí)跟蹤檢測(六)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.已知函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)y=/(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)y=

_/U)在這點(diǎn)處取得極值的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

解析：選B根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可知，若函數(shù)y=/(x)在這點(diǎn)處取得極值，則(x)=0,

即必要性成立；反之不一定成立，如函數(shù)風(fēng)口二^3在R上是增函數(shù)，/'(*)=3*2,則，(0)

=0,但在x=0處函數(shù)不是極值，即充分性不成立.故函數(shù)y=,/(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0

是函數(shù)y=_Ax)在這點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件，故選B.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=1+lnx,則()

A.x=：為,/(x)的極大值點(diǎn)

B.x=g為J(x)的極小值點(diǎn)

C.x=2為f(x)的極大值點(diǎn)

D.x=2為/U)的極小值點(diǎn)

解析：選D由,r(x)=一1+：=氐1-3=0可得x=2.當(dāng)0?2時(shí)(x)V0,八*)

單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，/(x)>0,大x)單調(diào)遞增.故x=2為犬x)的極小值點(diǎn).

3.已知函數(shù)_/U)=2V+ax2+36x—24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是

()

A.(2,3)B.(3,+8)

C.(2,+8)D.(-8,3)

解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)式幻=/+"2+36丫-24在x=2處有極值，又/(x)=6x2+2ax

+36,所以/(2)=0解得。=-15.令/'(x)>0,解得x>3或xV2,所以函數(shù)的一個(gè)遞增

區(qū)間是(3,+°°).

4.設(shè)函數(shù)八x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且函數(shù)式丫)在X=一2處取得極小值，

則函數(shù)y=W'(x)的圖象可能是()

ABCD

解析：選C由題意可得/'(一2)=0,而且當(dāng)xG(—8,—2)時(shí),/'(x)V0,此時(shí)A/'(x)

>0;排除B、D,當(dāng)x6(-2,+8)時(shí)，f(x)>0,此時(shí)若xd(—2,0),xf(x)<0,若x

G(0,+~),xf(x)>0,所以函數(shù)(x)的圖象可能是C.

5.已知函數(shù)4%)=好一p%2一”的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則人上)的極大值、極小值分

別為()

44

A.藥，0B.0,行

4/

44

一行，

C.//0D~27

解析：選Af(x)=3x2—2px-q,

由，(1)=0,犬1)=0得，

3f一片。，解得

l—p—q=0,

114

由f'(x)=3x2—4x+l=o得或x=l,易得當(dāng)x=可時(shí)/(X)取極大值行.當(dāng)x=l時(shí)八x)

取極小值0.

6.設(shè)x=l與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個(gè)極值點(diǎn)，則常數(shù)a

f?+2Z>+l=0,

解析：(x)=?+2bx+l,由題意得A

x5+4)+1=0.

?〃一一2

??“一3-

答案T

7.函數(shù)大*)=?2+就在x=1處有極值，則力的值為.

解析：/'(x)=2ax+方，?函數(shù)/(X)在x=｝處有極值，

:(3=2*+)=。，即b--2.

答案：一2

8.已知函數(shù)｛x)=ax3+Z>x2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0).如圖,

則下列說法中不正確的是.(填序號(hào))

3

①-時(shí)

2函數(shù),/U)取得最小值;

頷X)有兩個(gè)極值點(diǎn)；I

③當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)值取得極小值；

④當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得極大值.

解析：由圖象可知，x=1,2是函數(shù)的兩極值點(diǎn)，.?.②正確；又xC(-8,I)U(2,+°0)

時(shí)，y>0;xG(l,2)時(shí)，y<0,是極大值點(diǎn)，x=2是極小值點(diǎn)，故③④正確.

答案：①

9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)_/U)=e，-2x+2a,xGR,求大x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

解：由八x)=e*-2x+2a,xCR知/'(x)=ex-2,xGR.令/'(x)=0,得x=ln2.

于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x),_Ax)的變化情況如下表：

X(一°0,In2)In2(In2,+0°)

f(X)—0+

fix)單調(diào)遞減、2(1—In2+a)單調(diào)遞增/

故/U)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,E2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+~);

且/U)在x=ln2處取得極小值.

極小值為./Un2)=2(l—ln2+a),無極大值.

10.已知大外=“好+法2+(^3#0)在*=±1時(shí)取得極值，且八1)=-1.

(1)試求常數(shù)a,6,c的值；

(2)試判斷x=±l時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由.

解：⑴由已知，./7(x)=3a*2+2加;+c,

且/'(-1)=/(1)=0,得3a+2b+c=0,3a—25+c=0.

又/U)=—1,...“+/>+，=—1.

13

.,.a=3，5=0,c=~~.

13

(2)由(1)知2X>

333

(》)=/2-5=聲-1)(%+1),

當(dāng)xv—1或x>l時(shí)，f(x)>0;當(dāng)一Ivxvl時(shí)，f1(x)<0,

???函數(shù)人用在(一8,—1)和(1,+8)上是增函數(shù)，在(一1,1)上為減函數(shù).

???當(dāng)*=一1時(shí)，函數(shù)取得極大值八一1)=1;

當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)取得極小值41)=—1.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)式%)=°始+加:在x=l處有極值一2,則a,力的值分別為()

A.1,-3B.1,3

C.一1,3D.-1,~3

3〃+方=0,

解析：選AV/(x)=3ax2+b由題意知，(1)=0,{1)=-2,???一.

90十。=-2,

。=1,b=-3.

2.已知段)=/+標(biāo)+3+6比+1有極大值和極小值，則〃的取值范圍是()

A.(—1,2)B.(—3,6)

C.(一8,-3)U(6,+8)D.(一8,-1)U(2,+8)

解析：選Cf(x)=3x2+2flrx+?+6,

???/U)有極大值與極小值，???/'(x)=0有兩不等實(shí)根，AJ=4a2-12(a+6)>0,:.a—

3或a>6.

3.設(shè)aGR,若函數(shù)y=e*+ox(xGR)有大于零的極值點(diǎn)，貝！]()

A.a<—\B.a>-1

C.a<—~D.a>—~

ee

解析：選Ay=ex+ax,".y'=e*+a.令y'=e*+a=O,則e*=-a,.,.x=ln(—a).又

Vx>0,：.-a>l,即aV-1.

4.已知函數(shù)1x)=e、(sinx-cosx),xe(0,2017n),則函數(shù)人x)的極大值之和為()

e2"(]_e201阮)e"(l—e2。呵

B,2

A.e2^—i1—e"

e”(l—eiwM)e:(l-e】008")

。

1—e2"Dl-e"

x

解析：選Bf(x)=2esinx9令，(x)=0得sinx=0,kEZ,當(dāng)2kn<x<2kn

+n時(shí)，f(x)>0,?r)單調(diào)遞增，S(2Zr-\)n<x<2kn時(shí)，fr(x)<0,大幻單調(diào)遞減，???當(dāng)x

=(2女+1加時(shí),大幻取到極大值,Vxe(0,20177r),A0<(2*+l)7r<2017n,008,k

￡Z.??J(x)的極大值之和為S=f(n)+f(3n)+f(5n)+???+f(20157r)=e7r+e3n+e57r+-+e20,5n

en[[—(e2“yoo8]?兀([—e2016兀)

=l-e2n=1-e2"，故選A

5.若函數(shù)7=—三+65+機(jī)的極大值為13,則實(shí)數(shù)機(jī)等于.

解析：=-3x2+12x=-3x(x-4).由y'=0,得x=0或4.且xC(-8,0)U(4,

+8)時(shí)，y'<0;xG(0,4)時(shí)，y'>0,，x=4時(shí)取到極大值.故一64+96+機(jī)=13,解得

〃2=—19.

答案：-19

6.若函數(shù)"x)=V+x2—依一4在區(qū)間(-1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

為.

解析：由題意，f(x)=3r2+2x—a,

則，(-l)f(1)<0,Fp(l-a)(5-a)<0,解得l<a<5,另外，當(dāng)a=l時(shí),函數(shù)|x)=V

+*2—*一4在區(qū)間(一1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)<》)=3+*2-5*—4在區(qū)

間(一1,1)沒有極值點(diǎn).故實(shí)數(shù)a的范圍為［1,5).

答案：口,5)

7.已知函數(shù)八x)=e*(ax+b)-x2-4x,曲線y=/U)在點(diǎn)(0,八0))處的切線方程為y=4x

+4.

⑴求a,〃的值；

(2)討論人x)的單調(diào)性，并求;(X)的極大值.

解：(1^(x)=ex(ax+a+b)-2x~4.

由已知得人0)=4,f(0)=4,故b=4,a+h=8.

從而a=4,b=4.

(2)由(1)知，/<x)=4ex(x+1)—X2—4x,

f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-￡).

令/(x)=0得，x=—In2或x==-2.

從而當(dāng)xG(-8,-2)U(-ln2,+8)時(shí)，/(x)>0;當(dāng)xG(-2,—In2)時(shí)，，(x)<0.

故人x)在(一8,—2),(—In2,+8)上單調(diào)遞增，在(一2,一In2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)上=一2時(shí)，函數(shù)./U)取得極大值，極大值為八-2)=4(1—eP).

8.已知人x)=21n(x+a)-*2-x在*=0處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若關(guān)于x的方程_/U)+b=0的區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取

值范圍.

2

解：aif(x)=1一2X—1,當(dāng)x=0時(shí)，Ax)取得極值，

所以(0)=0,解得a=2,檢驗(yàn)知a=2符合題意.

2

(2)令g(x)=f(x)+b=2\n(x+2)-x-x+hf

22++()

則g'(")=羊_2*_1=_x+2(x>—2).

g(x),g'(x)在(-2,+8)上的變化狀態(tài)如下表：

X(-2,0)0(0,+°0)

g'(X)+0—

g(x)/2ln2+b

由上表可知函數(shù)在x=0處取得極大值，極大值為21n2+b.

要使犬x)+Z>=0在區(qū)間［-LU上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

卜(一1)/0,

只需1g(0)>0,

L⑴《0,

產(chǎn)0,

即?2加2+/>>0,

121n3-2+〃W0,

所以一21n2VbW2-21n3.

故實(shí)數(shù)b的取值范圍是（一21n2,2-2ln3].

課時(shí)跟蹤檢測(七)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.設(shè)何，，”分別是函數(shù)/U)在［a,句上的最大值和最小值，若M=m,則,/(x)()

A.等于0B.小于0

C.等于1D.不確定

解析：選A因?yàn)镸=m,所以/U)為常數(shù)函數(shù)，故/'(x)=0,故選A.

2.函數(shù)y=2/—3*2—i2x+5在［-2,1］上的最大值、最小值分別是()

A.12,-8B.1,—8

C.12,-15D.5,-16

解析：選Ay'=6x2—6x—12,

由y'=0=x=—1或x=2(舍去).

x=-2時(shí)，j=l;x=—1時(shí)，y=12;x=l時(shí)，j=—8.

?"?Jmax=12,Jmin=—8.故選A.

3.函數(shù)4x(|x|<l)()

A.有最大值，無最小值

B.有最大值，也有最小值

C.無最大值，有最小值

D.既無最大值，也無最小值

解析：選D/'(x)=4xJ-4=4(x-l)(x2+x+l).

令(x)=0,得x=l.又xG(—1,1)且1陣(-1,1),

該方程無解，故函數(shù)/U)在(一1,1)上既無極值也無最值.故選D.

4.函數(shù)f(x)=25+］,xG(0,5］的最小值為()

A.2B.3

C.學(xué)D.

』一1

112

解析：選B由/'(*)=7一=0,得x=l,

且xG(0,1)時(shí)，f(x)<0,xG(l,5］時(shí)，f(x)>0,

.?.x=l時(shí),#x)最小，最小值為#1)=3.

5.函數(shù)y=乎的最大值為()

A.e-1B.e

C.e2D.10

,(Inx)zx-Inx1—Inx,,,

解析：選A令y=p=—p—=OOx=e.當(dāng)x>e時(shí)，y<0;當(dāng)OVx

Ve時(shí)，y1>0,所以y極大值=/(e)=e—i,在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以小.=￡一1.

6.函數(shù)3=爪一x(x20)的最大值為.

解析：<=大一1=與守,令v=°得“4

?；0Vx<：時(shí)，y'>0;時(shí)，y'<0.

時(shí),-

1

答案：4

7.函數(shù)｛x)=xer,xG［0,4］的最小值為.

解析：f(x)=e-x—xe-x=e-JC(l—x).

令/'(x)=0,得x=l(e-*>0),

14

."./ii)=；>o,10)=0,yi4)=-j>o,

所以y(x)的最小值為o.

答案：o

8.若函數(shù)八*)=/—3x—?“在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為，〃，"，則wi—"=

解析：???，(X)=3*2—3,

...當(dāng)X>1或xV-l時(shí)，f(x)>0;

當(dāng)一IVxVl時(shí)，f'(x)<0.

.?./醫(yī))在［0口上單調(diào)遞減，在［L3］上單調(diào)遞增.

?'?/(?v)niin=/(l)=l-3—a=—2—a=/i.

又；/(0)=-a,人3)=18—。，，人0)勺(3).

/./(x)niax=/(3)=18—a=m,

.*./?—n=18—a—(―2—a)=20.

答案：20

9.設(shè)函數(shù)人x)=e*—。―x.

(1)若《=0,求Ax)的最小值；

(2)若A=l,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解：(1法=0時(shí)，yu)=e，-X,/(X)=ex-1.

當(dāng)xC(-8,0)時(shí)，/(x)<0;當(dāng)xC(0,+8)時(shí)，，(X)>O,所以八x)在(一8,0)上單

調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，故式x)的最小值為｛0)=1.

(2)若4=1,則/(x)=eX—；好一x,定義域?yàn)镽.

'.f(x)=ex-x—l,令g(x)=e*-xT,

則g'(x)=ex—1,

由g'(x)，0得x，0,所以g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

由g'(x)<0得x<0,所以g(x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

...g(X)min=g(0)=0,即，(X)min=0,故/'(X)2O.

所以/U)在R上單調(diào)遞增.

10.已知函數(shù)大制=必+"2+必+5,曲線y=Hx)在點(diǎn)尸(1,<1))處的切線方程為y=3x

+1.

⑴求a,?的值;

(2)求乎=,危：)在[-3,1]上的最大值.

解：⑴依題意可知點(diǎn)尸(1,川))為切點(diǎn)，代入切線方程y=3x+l可得，A1)=3X1+1

=4,

.?JU)=l+a+b+5=4,即a+b=-2,

又由八x,uj^+axZ+bx+S得，

又f'(x)=3x2+2ax+b,

而由切線y=3x+l的斜率可知/'(1)=3,

：.3>+2a+h=3,即2a+》=0,

a+b=—2,[a=2,

由,解得

[2a+b=0.[b=~4,

.*.a=2,b=—4.

(2)由(1)知/CDuV+Zx2—4x+5,

f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),

2

令/'(x)=0,得x=3或X=—2.

當(dāng)了變化時(shí)，f(x),r(X)的變化情況如下表:

2

X-3(-3,-2)-21

(乜D3(Q)

f(X)+0—0+

Ax)8Z極大值\極小值/4

.7/U)的極大值為八-2)=13,極小值為痣)=!|,

又大-3)=8,41)=4,

.?.於)在［-3,1］上的最大值為13.

層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)大*)=如一3好一。在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()

A.［0,1)B.(0,1)

C.(-1,1)D.(0,D

解析：選B'：/'(*)=3產(chǎn)-3a,令/'(x)=0,可得a=*2,又1),.?.OVaVl,

故選B.

2.若函數(shù)八上)=好一3*2—%+?在區(qū)間［-4,4］上的最大值為10,則其最小值為()

A.-10B.-71

C.-15D.-22

解析：選Bf(x)=3x2—6x—9=3(x—3)(x+l).由/'(x)=0,得x=3或x=-1.又

人-4)=A—76,f(3)=k~27,八-1)=攵+5,{4)=左一20.由/(x)niax=*+5=10,得k=5,

?：Hx)min=A—76=—71.

3.設(shè)直線x=￡與函數(shù)式》)=》2,g(x)=ln工的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最

小值時(shí)t的值為()

A.1B.^

C坐D坐

解析：選D因?yàn)?(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以|MN|="r)—g(x)=x2—E%,設(shè)

h(x)=x2^lnx,則h(x)=2x-—=--,令h(x)=--=0,得工=半，所以h(x)

XXX/

在(o,多上單調(diào)遞減，在停，+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=￥時(shí)有最小值，故，=坐.

4.函數(shù)人*)=必+”—2在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.［3,4-00)B.［-3,+0°)

C.(-3,+8)D.(-8,-3)

解析：選B?.??r)=x3+ax—2在［1,+8)上是增函數(shù)，.?.，(%)=3X2+〃20在［1,

22

+8)上恒成立，即3X在［1,+8)上恒成立，又?.?在［1,+oo)Ji(—3x)max=~3,:.

Q》一3.

5.設(shè)函數(shù)人x)=$2e*,若當(dāng)xG［—2,2］時(shí)，不等式人幻＞機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是.

解析：f(x)=xev+lx2ex=y-x(x+2),

由，(x)=0得x=0或x=-2.

當(dāng)工￡［-2,2］時(shí)，/(x),八幻隨x的變化情況如下表:

X-2(-2,0)0(0,2)2

f'(X)0一0+

fix)遞減遞增

???當(dāng)X=0時(shí)，,/U)min=./(0)=0,要使八X)>M對(duì)XW［—2Z恒成立，只需機(jī)V/(X)min,

2Vo.

答案：(一8,0)

6.已知函數(shù)y=-/—2x+3在區(qū)間⑶2］上的最大值為竽，貝！|。=.

解析：=-2x—2,令=0,得x=-1,J函數(shù)在(-8,一i)上單調(diào)遞增，在(一

2

1,+8)上單調(diào)遞減.若?>—1,則最大值為f(a)=-a—2a+3=^9解之得〃=一：

(〃=一,舍去)；若aW—1,則最大值為八-1)=—1+2+3=4#竽.綜上知，〃=一；.

答案：V

7.已知函數(shù)｛x)=ox3+x2+Bx(其中常數(shù)°,/>eR),g(x)=/(x)+r(x)是奇函數(shù).

(1)求/(x)的表達(dá)式；

(2)求g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值.

解：(I)：/'(x)=^ax2+2x+h,

???g(x)=Hx)+/'(x)

=0^+(34+1)*2+彷+2)*+尻

：g(x)是奇函數(shù)，

/.g(—x)=—g(x),

從而3a+l=0,b=0,

解得a=一b=0,

因此#x)的表達(dá)式為/(x)=—￥+產(chǎn).

(2)由(1)知g(x)=—1^+2工，

：.g'(x)=—x1+2,令g'(x)=0.

解得Xl=一也(舍去)，*2=也，

5(-4、歷4

而g(D=§,g(\2)=3'g(2)=§,

L4s4

因此g(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值為g(柩二晉最小值為g(2)=§.

［.我/做題

8.已知函數(shù)八x)=lnx+%

(1)當(dāng)。<0時(shí)，求函數(shù)/U)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)_/U)在口，e］上的最小值是*求〃的值.

解：函數(shù)次x)=lnx+f的定義域?yàn)?0,+°°),

f(x)=--?=—,

(l)Va<0,：.f(x)>0,

故函數(shù)在其定義域(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)xG［1,e］時(shí)，分如下情況討論：

①當(dāng)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)人x)單調(diào)遞增，其最小值為/U)=a<l,這與函數(shù)在［1,e］

上的最小值是抑矛盾；

3

②當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)段)在［1,e］上單調(diào)遞增，其最小值為")=1,同樣與最小值是太相

矛盾；

③當(dāng)l<a<e時(shí)，函數(shù)人用在［1,a)上有尸(才<0,4)單調(diào)遞減，在(a,e］上有/，(x)>0,

大x)單調(diào)遞增，

3I—

所以，函數(shù)O)的最小值為/(。)=加。+1,由加。+1=不，得a=#.

④當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)#x)在口，e］上有，(x)<0,Ax)單調(diào)遞減，其最小值為Ae)=2,這

與最小值是引3日矛盾；

⑤當(dāng)a>e時(shí)，顯然函數(shù)及)在口，e］上單調(diào)遞減，其最小值為作)=1+42,仍與最小

值是3油矛盾；

綜上所述，a的值為#.

課時(shí)跟蹤檢測(三)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.已知函數(shù)人的切線的斜率等于3,則切線