2024-2025年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案

2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷21.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清晰，將條形碼精確粘貼在條形碼區(qū)域2.選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂；非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清晰3.請依據(jù)題號(hào)依次在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效4.作圖可先運(yùn)用鉛筆畫出，確定后必需用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、修正帶、刮紙刀一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。A.1+2iB.1-2iC.2+iA.{1,-3}B.{1,0}3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90πB.63π5.設(shè)x,y滿足約束條件則z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.16.支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有()7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成果.老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果，給乙看丙的成果，給丁看甲的成果.看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成果.依據(jù)以上信息，則()A.乙可以知道四人的成果B.丁可以知道四人的成果C.乙、丁可以知道對(duì)方的成果D.乙、丁可以知道自己的成果8.執(zhí)行右面的程序框圖，假如輸入的a=-1,則輸出的S=()A.2是S=S+o-K所截得的弦長為2,則C的離心率為()K=K+1A.2B.√3線AB,與BC,所成角的余弦值為()小值是()二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=14.函數(shù)的最大值是每個(gè)試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)(1)求cosB,所對(duì)的邊分別為a,b,c,的面積為2,求b.18.(12分)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計(jì)A的概率；舊養(yǎng)殖法k19.(12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD,(1)證明：直線CE//平面PAB(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角20.(12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:過M做x軸的垂線，垂足(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且OP·PQ=1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F,21.(12分)(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，按所做的第一22.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)線C?的極坐標(biāo)方程為pcosθ=4.(1)M為曲線C?上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16,求點(diǎn)P的,點(diǎn)B在曲線C?上，求△OAB面積23.[選修4-5:不等式選講](10分)(2)a+b≤2.2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)參考答案17.(12分)解：故上式兩邊平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0(2)由(2)由,故b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(18.(12分)于50kg”.故P(B)的估計(jì)值為0.62新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為故P(C)的估計(jì)值為0.66因此，事務(wù)A的概率估計(jì)值為0.62×0.66=0.4092(2)依據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表舊養(yǎng)殖法由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為19.(12分)所以EF//AD,一一又BFC平面PAB,CE平面PAB,故CE//平面PAB(2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸正方向，|AB|為單位長，則建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(,0,0),C(1,1,0),P(0,1,因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以又M在棱PC上，設(shè)PM=λPC,則;①②由①,②解得(舍去),所以1即20.(12分)(1)設(shè)P(x,y),M(x?,y?),則N(x?,O),NP=(x-xj,y),MM=(0,ys)(2)由題意知F(-1,0)又由(1)知m2+n2=2,故21.(12分)(2)由(1)知f(x)=x2-x-xlnx,f'(x)=2x-2-Inxf(x?)>f(e1)=e-2,(二)選考題：于是△OAB面積2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(1)(a+b)(a?+b?)=a?+ab(2)因?yàn)?a+b)3=α3+3a2b+3ab2+b所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清晰，將條形碼精確粘貼在條形碼區(qū)域2.選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂；非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清晰3.請依據(jù)題號(hào)依次在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效4.作圖可先運(yùn)用鉛筆畫出，確定后必需用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、修正帶、刮紙刀一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是(3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2)且(a+b)⊥b,則m=2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(5)如圖，小明從街道的E處動(dòng)身，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參與志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可(6)右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(7)若將函數(shù)y=2sin(7)若將函數(shù)y=2sin2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析起k>n查數(shù)對(duì)(x;,y?),(x?,y?)…(x?,y,),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有結(jié)(12)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數(shù)與y=f(x則2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析第Ⅱ卷,2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(17)(本小題滿分12分)(18)(本小題滿分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元),接著購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如數(shù)01234a01234(Ⅱ)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%(Ⅲ)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(19)(本小題滿分12分)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位(Ⅱ)求二面角B-D'A-C的正弦值.(20)(本小題滿分12分)已知A是橢圓E:的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于(21)(本小題滿分12分)(I)探對(duì)函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)x>0時(shí)，Ⅱ)證明：當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，函)有最小值。設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析請考生在第(22)～(24)題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。(22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC上(不與端點(diǎn)重合),且DE=DG,過D點(diǎn)作DF⊥CE,垂足為F.(Ⅱ)若AB=1,E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCG(23)(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(I)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)直線l的參數(shù)方程是·(t為參數(shù)),l與C交于A,B兩(24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講,M為不等式f(x)<2的解集2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析三.解答題(14)②③④(15)1和3(17)(本題滿分12分)b=[lg1]=0,b?=[lg11]}=1,bo?=[lg101]=2.(18)(本題滿分12分)當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.XaPEX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+(19)(本小題滿分12分)2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(I)由已知得AC⊥BD,AD=CD,又由AE=CF得故AC//EF.DO=BO=√AB2-AO2=4.于是OH=1,DH+OH2=32+12=10=DO2,故DH⊥OH.又DH⊥EF,而OH∩EF=H,所以DH⊥平面ABCD.(II)如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則H(0,0,0),A(-3,-2,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3),,,,所以2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析,,(20)(本小題滿分12分)得得得由題設(shè)，直線AN的方程為,故同理可很..1>3等價(jià)于.因此k的取值范圍是(V2,2).(21)(本小題滿分12分)(I)f(x)的定義域?yàn)?-o,-2)U(-2,+x)2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(22)(本小題滿分10分)(1)因?yàn)镈F⊥EC,所以△DEF~△CDF,2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析由G為Rt△DFC斜邊CD的中點(diǎn)，知GF=GC,故Rt△BCG～Rt△BFG,因此四邊形BCGF的面積S是△GCB面積SAccB的2倍，即(23)(本小題滿分10分)(II)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=a(p∈R)p2+12pcosa+11=0.(24)(本小題滿分10分)三種狀況解不等式，即可得(1)先去掉肯定值，再分三種狀況解不等式，即可得和2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析試題解析：(1)當(dāng)所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(II)由(1)知，當(dāng)a,b∈M時(shí)，-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(2)若a為實(shí)數(shù)且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=()(3)依據(jù)下面給出的2024年至2024年我國二氧化硫排放量(單位：萬噸)柱形圖。以下結(jié)論不正確的是(2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(C)2024年以來我國二氧化硫年排放量呈削減趨勢(D)2024年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)(A)21(B)42(5)設(shè)函(6)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則(C)4√6(D)10輸入a,b分別為14,18,則輸出的(9)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90,C為a=a-bB=b-a結(jié)束該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,A.36πB.64πC.144π10.如圖，長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則f(x)的圖像大致為(11)已知A,B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°,則E的離心率為則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是A.(-o,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+o)(14)若x,y滿足約束條!,則z=x+y的最大值為(15)(a+x)(1+x)*的綻開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=三.解答題(Ⅱ)若AD=1,求BD和AC的長.(18)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿足度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿足度評(píng)分如下：A地區(qū)：627381929585746453762024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(I)依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿足度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出詳細(xì)值，得出結(jié)論即可);(Ⅱ)依據(jù)用戶滿足度評(píng)分，將用戶的滿足度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：記時(shí)間C:“A地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿足度等級(jí)”。假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立。依據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事務(wù)發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事務(wù)發(fā)生的概率，求C的概率19.(本小題滿分12分)8,點(diǎn)E,F分別在A?B?,D?C?上，A?E=D?F=4,過點(diǎn)E,F的平(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面α所成的角的正弦值。20.(本小題滿分12分)個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M。(1)證明：直線OM的斜率與1的斜率的乘積為定值；(2)若1過點(diǎn)延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析21.(本小題滿分12分)(1)證明：f(x)在(-o,0)單調(diào)遞減，在(0,+o)單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于隨意x,x?∈[-1,1],都有|f(x?)-f(x?)≤e-1,求m的取值范圍。請考生在第22、23、24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)請寫清題號(hào)22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點(diǎn)。(2)若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2√3,求四邊形EBCF的面積。23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci:24.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明：一.選擇題二.填空題2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)參考答案(17)解：由正弦定理可得在△ABD和△ADC中，由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD.BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD.DCcos∠ADC故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6(18)解：(I)兩地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分的2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析平均值；A地區(qū)用戶滿足度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用戶滿足度評(píng)分比較分散。(19)解：(I)交線圍成的正方形EHGF如圖：因?yàn)镋HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),HE=(0,-6,8)設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，則所以可取n=(0,4,3)(20)解：,所以直線OM的斜率與1的斜率的乘積為定值(Ⅱ)四邊形OAPB能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過點(diǎn),所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp將點(diǎn)四變現(xiàn)OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP相互平分，即xp=2x2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析即①2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(22)解：又因?yàn)椤?分別與AB,AC相切于點(diǎn)E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF從而EF//BC(Ⅱ)由(I)知，AE=AF,AD⊥EF,由AG等于OO的半徑得AO=2OE,故AD是EF的垂直平分所以∠OAE=30,因,所以O(shè)D=1,于是(23)解：解得或2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4(24)解：因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前考生務(wù)必將自己的姓名、3.答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。A.{1}B,{2}C.{0,1}D.{1,2}0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,(6)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削A.(7)執(zhí)行右面的程序框圖，假如輸入的x,t均為2,(6)題圖否▼2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(10)設(shè)F為拋物線C:y2=3xA.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。(17)(本小題滿分12分)2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(18)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA上平面ABCD,E為PD的中點(diǎn)。(19)(本小題滿分12分)某地區(qū)2024年至2024年農(nóng)村居民家庭人均純y(單位：千克)的數(shù)據(jù)如下表：年份代號(hào)t1234567(1)求y關(guān)于t的線性回來方程。(II)利用(1)中的回方程，分析2024年至2024年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的改變狀況，并預(yù)料該地區(qū)2024年農(nóng)村居民家庭人均純收入。(19)(本小題滿分12分)設(shè)F?,F?分別是橢圓C:的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF?與x軸垂直，直線MF?與C的另一個(gè)焦點(diǎn)交為N。(21)(本小題滿分12分)2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析請考生在第22、23、24題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一(22)(本小題滿分10分)的延長線交⊙0于點(diǎn)E。證明：(23)(本小題滿分10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正關(guān)軸為(24)(本小題滿分10分)(1)證明f(x)≥2.1.解析D把M={0,1,2}中的數(shù)，代入不等式x2-3x+2≤0,經(jīng)檢驗(yàn)x=1,2滿足。所以選D.2.解析A3.解析A 聯(lián)立方程解得ab=1,故選A.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析4.解析B設(shè)某天空氣質(zhì)量優(yōu)良，則隨后一個(gè)空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率p,∵加工前的零件半徑為，高6,∴體積=9π·6=54π.∵加工后的零件，左半部為小圓柱，半徑2,高4,右半部為大圓柱，半徑為3,高為2.x=2,t=2,變量變化情況如下：2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析。∵。∵+n=6.+n=6.,解得則則A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0)∴BM=(-1,1,-2),AN=(0,-1,=sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sin=sin(x+φ)·cosφ-cos(x=sinx≤1.∴最大值為1.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析15.解析2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析*屬*屬即為三棱錐E-ACD的高..所以，三棱錐E-ACD的體積.設(shè)回歸方程為y=bt+a,代入公式，經(jīng)計(jì)算得∴:2007年至2013年該區(qū)人均純收入穩(wěn)增長，預(yù)計(jì)到2015年，該區(qū)人均純收入y=0.5·9+2.3=6.8(千元)所以，預(yù)計(jì)到2015年，該區(qū)人均純收入絕千8百元左右?！哂深}知EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up6(·),:)且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得2e2+3e-2=0,g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2*-e2*-4x-4b(e?-e?-2x)>0,x>0.令h(x)=e2*-e2*-4x-4b(e?-e*-2x),x>0,h(x)=2e2+2e2*-4-4b(e?+e*-2),∴3x∈(0,m),m>0,使h(x)≥0.即e2*+e2-2-2b(e2+e*-m(x)=2e2-2e2-2b(e2-e*),∴3x∈(0,t),t>0,使m(x)≥0.即e?+e?≥b,即e2+e2>2√e·e2=2≥b,所以的最大值為22024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD為等腰三角形。由切割線定理得：PA2=PB●PC,由相交弦定理得：AD●DC=BD●DC.AD·DC=2PB22024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理1)已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R),N={一1,0,1,2,3},則MNN=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C2.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2i,則z=().A.-1+iB.-1-IC.1+i3.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理3)等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S.已知S=a+10a,4.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理4)已知m,n為異面直線，m⊥平面a,n⊥平面β.直線1滿足l⊥m,l⊥n,←a,←β,則().A.a//β且l//aBC.a與β相交，且交線垂直于1D.a與β相交，且交線平行于15.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理5)已知(1+ax)(1+x)的綻開式中x的系數(shù)為rf7rf76.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理6)執(zhí)行下面的程序框圖，假如輸入的N=10,那么輸出的S=().t>N是t>N是7.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理7)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為().2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析8.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理8)設(shè)a=log,6,b=log;10,c=log,14,則().A.c>b>aB.b>c>a9.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理9)已知a>0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=().10.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理10)已知函數(shù)f(x)=x2+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是().B.函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對(duì)稱圖形C.若x0是f(x)的微小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(一～,x0)單調(diào)遞減D.若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f'(x0)=011.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理11)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為().A.y2=4x或y2=8x12.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理12)已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是().第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需做答。第22題～第24題為選考題，考生依據(jù)要求做答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中14.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理14)從n個(gè)正整數(shù)1,2,…,n中隨意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為則n=2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析15.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理15)設(shè)θ為其次象限角，若則16.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理16)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S,已知S?=0,S?=25,則nS的最小值為三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理17)(本小題滿分12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.18.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理18)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC-ABC(2)求二面角D-A?C-E的正弦值.19.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理19)(本小題滿分12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元.依據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)依據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈(100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入(100,110)的頻率),求T的數(shù)學(xué)期望.20.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理20)(本小題滿分12分)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M:最大值.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析21.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=e2-1n(x+m).(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m,并探討f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請寫清題號(hào).22.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理22)(本小題滿分10分)選修4—1:幾何證明選講弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四點(diǎn)共圓.(2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比23.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理23)(本小題滿分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=a與t=2a(0<a<2π),M為PQ的中點(diǎn).(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并推斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原24.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,理24)(本小題滿分10分)選修4—5:不等式選講設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明：2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國新課標(biāo)卷II)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2},故選A.而a?+10a?=99,不又因?yàn)閙,n為異面直線，所以a與β相交，且1平行于它們的交線.故選解析：因?yàn)?1+x)5的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)為C;x(O≤r≤5,r∈Z),則含x的項(xiàng)為C}x2+ax·C;x=(10+5a)x,所以10+5a=5,a=-1.當(dāng)k=3時(shí)，,2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析k增加1變?yōu)?1,k增加1變?yōu)?1,滿足k>N,輸出S,所以B正確.;因?yàn)?g7>1g5>1g3,所以作直線2x+y=1,因?yàn)橹本€2x+y=1與直線x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),結(jié)合題意知直線y=a(x-3)過點(diǎn)(1,-1),代入,所以2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析解析：∵x?是f(x)的微小值點(diǎn)，則y=f(x)的圖像大致如下圖所示，則在(一～,x)上不單調(diào)，故C不正確.解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,,yo),由拋物線的定義，得|MF|=x?又點(diǎn)F的坐標(biāo)所以以MF為直徑的圓的方程為yo)y=0.將x=0,y=2代入得px+8-4yo=0,即所以yo=4.得解之得p=2,或p=8.本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需做答。第22題～第24題為選考題，考生依據(jù)要求做二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.角坐標(biāo)系，如圖所示，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2),則AE=(1,2),BD=(-2,2),所以AE·BD=2.解析：從1,2,…,n中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有C?種取法，兩數(shù)之和為5的有2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析",",因?yàn)?為其次象限角，所以cos聯(lián)立①②,得a=-3.,,令f(n)=nS,令f1(n)=0,則,得n=0或小值，而n∈N,則f(6)=-48,f(7)=-49,所以當(dāng)n=7時(shí)，f(n)取最小值三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.解：(1)由已知及正弦定理得由①,②和C∈(0,π)得sinB=cosB,..當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.又a+c2≥2ac當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號(hào)成立.解：(1)連結(jié)AG交AC于點(diǎn)F,則F為AG中點(diǎn).又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF,則BG/IDF:因?yàn)镈FC平面ACD,BG廣平面ACD,2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析,,,,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C一xyZ.設(shè)CA=2,則D(1,1,0),E(0,2,1),A(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA=(2,0,2).設(shè)n=(xi,yi,z)是平面ACD的法向量，可取n=(1,-1,-1).同理，設(shè)m是平面ACE的法向量，則可取m=(2,1,-2).即二面角D-AC-E的正弦值為解：(1)當(dāng)X∈(100,130)時(shí)，T=500X-300(130-X)=800X-39000,(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為TP所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.解：(1)設(shè)A(xj,yi),B(x,y?),P(x?,yo),見見由此可得2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析""所以M的方程為或或由題意可設(shè)直線CD的方程為于是因?yàn)橹本€CD的斜率為1,當(dāng)n=0時(shí)，S取得最大值，最大值為由x=0是f(x)的極值點(diǎn)得f(O)=0,所以m=1.在(-1,+～)單調(diào)遞增，且f(0)=0.2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析所以f(x)在(一1,0)單調(diào)遞減，在(0,+～)單調(diào)遞增.在(-2,+～)單調(diào)遞增.故f(x)=0在(-2,+～)有唯一實(shí)根xo,且xo∈(-1,0).綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0.請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，做答時(shí)請寫清題號(hào).解：(1)因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線，所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.(2)連結(jié)CE,因?yàn)椤螩BE=90°,所以過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC,而DC=DB·DA=3DB,又BC=DB·BA=2DB,所以CA=4DB+BC=6DB.故過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的解：(1)依題意有P(2cosa,2sina),Q(2cos2a,2sin2a),M的軌跡的參數(shù)方程為(a為參數(shù)，0<a<2π).(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=√x2+y2=√2+2cosa(0<a<2π).解：(1)由a+b≥2ab,b+c2≥2bc,c+a≥2ca,得a+b+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的第一卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給同的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。的個(gè)數(shù)為()(A)3x=5,y=1,2,3,4,x=4,y=1,2,3,x=3,y=1,2,x=2,y=1(2)將2名老師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別支配到甲、乙兩地參與社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名老師和2名學(xué)生組成，不同的支配方案共有()【解析】選A甲地由1名老師和2名學(xué)生：C!C2=12的四個(gè)命題：其中的真命題為()p:|z|=2P?:z2=2iP?:z的共軛復(fù)數(shù)為1+iP?:z的虛部為-1【解析】選C2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析開始輸入N,a是是B是B否a?+a?=2,a?G?=a?Q?=-8=a?=4,a?=-2或a?=-2,a?=4否≥輸出A.B否≥輸出A.B結(jié)束(7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()(7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()【解析】選B(8)等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析【解析】選C開始開始輸入N,是否≥輸出A,B否是2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(9)已知o>0,函數(shù)【解析】選A不合題意解除(D)合題意解除(B)(C),則y=f(x)的圖像大致為()→g'(x)>0?-1<x<0,g'(x)<0?x>02024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(11)已知三棱錐S-ABCSC為球O的直徑，且SC=2;【解析】選A則此棱錐的體積為()(A)1-ln2(B)√2(1-In2)【解析】選A設(shè)函第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22-第24題為選考題，考生依據(jù)要求做答。二.填空題：本大題共4小題，每小題5分。2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析則z=x-2y∈[-3,3](15)某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正338超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率那么該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為(16)數(shù)列{a,}滿足a+(-1)"a,=2n-1,則{a,}的前60項(xiàng)和為【解析】{a,}的前60項(xiàng)和為1830(17)(本小題滿分12分)【解析】(1)由正弦定理得：acosC+√3asinCbc=0?sinAcosC-√3sinAsinC=sinB+sinC?sinAcosC+√3sin18.(本小題滿分12分)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝),整理得下表：日需求量以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(i)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元),求X的分布列，(ii)若花店支配一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17【解析】(1)當(dāng)n≥16時(shí)，y=16×(10-5)=80(2)(i)X可取60,70,80P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=XPEX=60×0.1+70×0.2+80DX=162×0.1+62×0.2+42(ii)購進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤為y=(14×5-3×5)×0.1+(15×5-2×5)×0.2+(16×5-1×5)×0.16+17×5×0.576.4>76得：應(yīng)購進(jìn)17枝(19)(本小題滿分12分)(2)求二面角A?-BD-C?2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析【解析】(1)在Rt△DAC中，AD=AC2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析(2)由對(duì)稱性設(shè).點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱得：坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為(21)(本小題滿分12分)(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；g'(x)=e?+1>0→y=g(x)在x∈R上單調(diào)遞增f'(x)>0=f'(O)?x>0,f'(x)<得：f(u)的解析式為2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析且單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+o),單調(diào)遞減區(qū)間為(-o,0)(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2l令F(x)=x2-x2Inx(x>0);則F(x)=x(1-2lnx)F'(x)>0?0<x<√e,F'(x)請考生在第22,23,24題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，(22)(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講△ABC的外接圓于F,G兩點(diǎn)，若CF//AB,證明：(2)△BCD-△GBD(23)本小題滿分10分)選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C?的參數(shù)方程是2024年全國卷2理科數(shù)學(xué)試題及答案解析個(gè)個(gè)且A,B,C,D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(1)求點(diǎn)A,B,C,D的直角坐標(biāo)；【解析】(1)點(diǎn)A,B,C,D的極坐標(biāo)為(2)設(shè)P(xq,y?);則t=|PA2+|PB|2+|PCF+|PD2=4(24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講(1)當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集；○2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國卷2理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。第I卷1至2頁。第Ⅱ卷3至4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，.用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，在試題卷上作答無效。3.第I卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是(1)復(fù)數(shù)z=1+i,z為z的共軛復(fù)數(shù)，則zz-z-1=(C)y=4x2(x∈R