上海市靜安區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、填空題1.準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．〖答案〗〖解析〗由拋物線準(zhǔn)線方程可知，拋物線開口向右，其中，得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故〖答案〗為：.2.的二項展開式中的系數(shù)為______.〖答案〗6〖解析〗由的二項展開式得通項為：，使，解得：，故的二項展開式中的系數(shù)為.故〖答案〗為：6.3.若一個圓柱的底面半徑和母線長都是1，則這個圓柱的體積是______.〖答案〗〖解析〗這個圓柱的體積.故〖答案〗為：.4.已知，是虛數(shù)單位，的虛部為______.〖答案〗〖解析〗由題，所以的虛部為.故〖答案〗為：.5.計算_____________．〖答案〗2〖解析〗.故〖答案〗為：2.6.某果園種植了222棵蘋果樹，現(xiàn)從中隨機抽取了20棵蘋果樹，算得這20棵蘋果樹平均每棵產(chǎn)量為28kg，則預(yù)估該果園的蘋果產(chǎn)量為______kg．〖答案〗6216〖解析〗設(shè)該果園的蘋果產(chǎn)量預(yù)估值為，則.故〖答案〗為：6216.7.下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點成中心對稱的是______（請?zhí)钊肴空_的序號）．①；②；③；④．〖答案〗②〖解析〗因為冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，故④不滿足題意,因為該冪函數(shù)圖象關(guān)于原點成中心對稱，所以為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，因為定義域為，所以圖象不關(guān)于原點成中心對稱，故①不滿足題意；因為的定義域為，且，故②滿足題意；因為的定義域為，且，故③不滿足題意.故〖答案〗為：②.8.若不等式對所有實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗∵由絕對值的幾何意義知：對于任意實數(shù)x都有，∴對所有實數(shù)x恒成立，則必有，故〖答案〗為：.9.如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，是上的點，直線與平面所成的角是，則的長為______.〖答案〗2〖解析〗由題意知在四棱錐中，平面，底面是矩形，以A為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角是，則，故，即，解得（負(fù)值舍去），故的長為2，故〖答案〗為：2.10.不等式的解集為______.〖答案〗〖解析〗令，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以的解集為，故〖答案〗為：.11.在國家開發(fā)西部的號召下，某西部企業(yè)得到了一筆400萬元的無息貸款用做設(shè)備更新．據(jù)預(yù)測，該企業(yè)設(shè)備更新后，第1個月收入為20萬元，在接下來的5個月中，每月收入都比上個月增長20%，從第7個月開始，每個月的收入都比前一個月增加2萬元．則從新設(shè)備使用開始計算，該企業(yè)用所得收入償還400萬無息貸款只需______個月．（結(jié)果取整）〖答案〗10〖解析〗由題意設(shè)每個月的收入為數(shù)列，其前n項和記作，前6個月的收入成等比數(shù)列，且公比為，第7個月開始收入成等差數(shù)列，公差為2，則，又，，，，而，，所以該企業(yè)用所得收入償還400萬元貸款只需10個月.故〖答案〗為：10.12.記，若存在實數(shù)，滿足，使得函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由題意知在區(qū)間內(nèi)有解，即，即在區(qū)間內(nèi)有解，設(shè)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故在上的最大值為，故，即實數(shù)的取值范圍是，故〖答案〗為：.二、選擇題13.已知：，：，則是的（）A.必要非充分條件 B.充分非必要條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件〖答案〗B〖解析〗因為，解得或，根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”得出是充分不必要條件，故選：B.14.設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（）A.第一象限 B.第三象限C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限〖答案〗C〖解析〗因為是第一象限的角，所以，，所以，當(dāng)時，，為第一象限角；當(dāng)時，，為第三象限角.故選：C15.教材在推導(dǎo)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式“（其中）”的過程中，運用了以下哪些結(jié)論作為推理的依據(jù)（）①向量坐標(biāo)的定義；②向量數(shù)量積的定義；③向量數(shù)量積的交換律；④向量數(shù)量積對數(shù)乘的結(jié)合律；⑤向量數(shù)量積對加法的分配律．A.①③④ B.②④⑤C.①②③⑤ D.①②③④⑤〖答案〗D〖解析〗在坐標(biāo)系中，是軸，軸上的單位向量，，則，故，.則在推導(dǎo)過程中，運用了向量坐標(biāo)的定義；

向量數(shù)量積的定義；

向量數(shù)量積的交換律；向量數(shù)量積對數(shù)乘的結(jié)合律；向量數(shù)量積對加法的分配律.故選：D16.記點到圖形上每一個點的距離的最小值稱為點到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點的距離相等的點的軌跡不可能是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.直線〖答案〗D〖解析〗排除法：設(shè)動點為Q，1.當(dāng)點A在圓內(nèi)不與圓心C重合，連接CQ并延長，交于圓上一點B，由題意知QB=QA，又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的軌跡為一橢圓；如圖。2.如果是點A在圓C外，由QC?R=QA，得QC?QA=R，為一定值，即Q的軌跡為雙曲線的一支；3.當(dāng)點A與圓心C重合，要使QB=QA，則Q必然在與圓C的同心圓，即Q的軌跡為一圓；則本題選D.故選D.三、解答題17.記，其中為實常數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1）．∴函數(shù)的最小正周期為．（2），，則．令，則．當(dāng)或，即或時，．當(dāng)，即時，．18.甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸?shù)母怕蕿?.9．（1）若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；（2）若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設(shè)兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．解：（1）設(shè)事件表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸．則．因為和棋與獲勝是互斥的，由概率的可加性，得．因為，所以（2）設(shè)事件表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設(shè)下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，則，因為兩盤棋之間的勝負(fù)互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的.所以19.已知雙曲線：，點的坐標(biāo)為．（1）設(shè)直線過點，斜率為，它與雙曲線交于、兩點，求線段的長；（2）設(shè)點在雙曲線上，是點關(guān)于軸的對稱點．記，求的取值范圍．解：（1）直線的方程為．由方程組得．設(shè),則，．（2）設(shè)點，則點的坐標(biāo)為．，，．因為，所以．20.如下圖，某公園東北角處有一座小山，山頂有一根垂直于水平地平面的鋼制筆直旗桿，公園內(nèi)的小山下是一個水平廣場（虛線部分）．某高三班級數(shù)學(xué)老師留給同學(xué)們的周末作業(yè)是：進入該公園，提出與測量有關(guān)的問題，在廣場上實施測量，并運用數(shù)學(xué)知識解決問題．老師提供給同學(xué)們的條件是：已知米，規(guī)定使用的測量工具只有一只小小的手持激光測距儀（如下圖，該測距儀能準(zhǔn)確測量它到它發(fā)出的激光投射在物體表面上的光點之間的距離）．（1）甲同學(xué)來到通往山腳下的筆直小路上，他提出的問題是：如何測量小山的高度？于是，他站在點處，獨立的實施了測量，并運用數(shù)學(xué)知識解決了問題．請寫出甲同學(xué)的解決問題方案，并用假設(shè)的測量數(shù)據(jù)（字母表示）表示出小山的高度；（2）乙同學(xué)是在一陣大風(fēng)過后進入公園的，廣場上的人紛紛議論：旗桿似乎是由于在根部處松動產(chǎn)生了傾斜．她提出的問題是：如何檢驗旗桿是否還垂直于地面？并且設(shè)計了一個不用計算就能解決問題的獨立測量方案．請你寫出她的方案，并說明理由；（3）已知（1）中的小路是東西方向，且與點所確定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同學(xué)已經(jīng)斷定旗桿大致向廣場方向傾斜．如果你是該班級的同學(xué)，你會提出怎樣的有實際意義的問題？請寫出實施測量與解決問題的方案，并說明理由（如果需要，可通過假設(shè)的測量數(shù)據(jù)或運算結(jié)果列式說明，不必計算）．解：（1）解一：(1)如圖1，設(shè)點在水平面的投影點為．用測距儀測得，．在中，，在中，，所以．解二：如圖2，在平面上，以點為原點，向量為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則，用測距儀測得，，則，解得（2）如圖，用電子尺測得，，在廣場上從點移動至點，使得，再移至點，使得，此時再測量，若，則可知旗桿垂直于地面，否則就是傾斜了．理由如下：已知，，設(shè)點是的中點，則在等腰中，．同理，又平面，所以平面；又因為平面，故．同理可證．綜上所述，旗桿垂直于地面．（3）提問：旗桿向哪個方向傾斜多少角度？說明：用在地平面上的投影來刻畫的傾斜方向是合理的，也可以采用在廣場上確定一個位于在地平面上投影上點來刻畫，用與小路的夾角刻畫扣1分．關(guān)于如何刻畫傾斜多少角度的問題，既可以用與垂直于地面的直線所成角的大小，也可以用與地平面所成角的大小來刻畫．解答方案1：如圖，在地面畫出離點距離相等的點的軌跡圓，再在圓上找到離點距離最近的點，作垂直于地面，垂足為，則的大小就是旗桿傾斜角度．理由如下：先證明與圓的交點既是點．只需證明：對于圓上任意一點，．因為在中，，所以，故．如圖5，從圖4中的點向點的方向走到點，放置一個物體，測得、、的長，利用余弦定理可得的大?。砜傻玫拇笮。虼?，可以求得圖4中的、、、的長．在中，三邊已知，利用余弦定理可求得，即旗桿向西偏南的方向傾斜．又由于、已求得，故傾斜角度為．測量傾斜角的大小方案2：如圖5，從點向點方向走到點，測得、、的長，利用余弦定理可得的大小，從而求得點的高度．同理可求得點的高度．如圖，即是由于旗桿傾斜旗桿頂點所下降的高度．所以，在中，即為所求，測量傾斜角的大小方案3：在圖5中，以點為原點，以為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則容易求出點與點的坐標(biāo)與，故的傾斜角為．21.如果函數(shù)滿足以下兩個條件，我們就稱為型函數(shù)．①對任意的，總有；②當(dāng)時，總有成立．（1）記，求證：為型函數(shù)；（2）設(shè)，記，若是型函數(shù)，求取值范圍；（3）是否存在型函數(shù)滿足：對于任意的，都存在，使得等式成立？請說明理由．（1）證明：