微積分教學(xué)課件多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)的極值與最值

微積分教學(xué)課件多元函數(shù)微積分學(xué)多元函數(shù)的極值與最值2024-01-26CATALOGUE目錄多元函數(shù)基本概念與性質(zhì)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)積分法及其應(yīng)用多元函數(shù)極值與最值求解方法多元函數(shù)在幾何、物理等方面應(yīng)用舉例總結(jié)回顧與拓展延伸01多元函數(shù)基本概念與性質(zhì)多元函數(shù)定義域與值域定義域多元函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)有意義的自變量取值范圍，通常表示為D。對(duì)于二元函數(shù)，定義域通常是二維平面上的一個(gè)區(qū)域。值域多元函數(shù)的值域是指函數(shù)所有可能取到的函數(shù)值的集合。與一元函數(shù)類(lèi)似，多元函數(shù)的值域也可以是實(shí)數(shù)集或其子集。連續(xù)性的定義設(shè)多元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)，則稱(chēng)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)。連續(xù)性的性質(zhì)多元函數(shù)的連續(xù)性具有一些與一元函數(shù)類(lèi)似的性質(zhì)，如局部有界性、四則運(yùn)算性質(zhì)等。多元函數(shù)連續(xù)性設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，給P以增量Δx,Δy，函數(shù)有增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)。如果函數(shù)的增量Δz可表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A,B不依賴(lài)于Δx,Δy而僅與x,y有關(guān)，ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]，則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微?？晌⑿缘亩x多元函數(shù)的可微性具有一些重要的性質(zhì)，如可微必連續(xù)、連續(xù)不一定可微、可微函數(shù)的和、差、積、商仍可微等?？晌⑿缘男再|(zhì)多元函數(shù)可微性偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率。設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz與Δx之比當(dāng)Δx→0時(shí)的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的定義全微分反映的是多元函數(shù)在某一點(diǎn)附近的全局變化率。如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A和B是與Δx和Δy無(wú)關(guān)的常數(shù)，ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]，則稱(chēng)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微，而AΔx+BΔy稱(chēng)為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。全微分的定義02多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用01對(duì)于復(fù)合函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算，即先對(duì)內(nèi)部函數(shù)求導(dǎo)，再與外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘。鏈?zhǔn)椒▌t02對(duì)于多次復(fù)合的函數(shù)，可以反復(fù)應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)。高階鏈?zhǔn)椒▌t03復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了內(nèi)部函數(shù)和外部函數(shù)的變化率之間的關(guān)系。復(fù)合函數(shù)的微分性質(zhì)復(fù)合函數(shù)微分法隱函數(shù)的定義隱函數(shù)是指由方程所確定的函數(shù)關(guān)系，而不是顯式地給出因變量與自變量的關(guān)系。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可以求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的微分性質(zhì)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了因變量與自變量之間的變化率關(guān)系。隱函數(shù)微分法方向?qū)?shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)沿某一方向的變化率。方向?qū)?shù)的定義梯度是一個(gè)向量，其方向指向函數(shù)值增加最快的方向，大小等于該方向的方向?qū)?shù)。梯度的定義方向?qū)?shù)等于梯度與方向向量的點(diǎn)積。方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向?qū)?shù)與梯度一階必要條件多元函數(shù)在極值點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)必須為零。二階充分條件如果多元函數(shù)在極值點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣（Hessian矩陣）正定，則函數(shù)在該點(diǎn)取得極小值；如果二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣負(fù)定，則函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值；如果二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣不定，則需要進(jìn)一步判斷。極值的判定方法可以通過(guò)比較函數(shù)在極值點(diǎn)附近的函數(shù)值或者使用數(shù)值方法來(lái)判斷極值點(diǎn)的類(lèi)型（極大值、極小值或鞍點(diǎn)）。多元函數(shù)極值條件03多元函數(shù)積分法及其應(yīng)用二重積分的定義在平面區(qū)域上，對(duì)二元函數(shù)進(jìn)行積分，得到的結(jié)果稱(chēng)為二重積分。二重積分的幾何意義表示以二元函數(shù)為頂面，以平面區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積。二重積分的性質(zhì)包括線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等。二重積分概念與性質(zhì)直角坐標(biāo)法將二重積分轉(zhuǎn)化為累次積分進(jìn)行計(jì)算，適用于被積函數(shù)和積分區(qū)域較簡(jiǎn)單的情況。極坐標(biāo)法利用極坐標(biāo)變換將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的累次積分，適用于被積函數(shù)或積分區(qū)域含有圓、圓環(huán)或扇形等圖形的情況。變量替換法通過(guò)變量替換簡(jiǎn)化被積函數(shù)或積分區(qū)域，從而簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。二重積分計(jì)算技巧三重積分的性質(zhì)與二重積分類(lèi)似，具有線性性、可加性、保號(hào)性、絕對(duì)值不等式等性質(zhì)。三重積分的幾何意義表示以三元函數(shù)為頂面，以空間區(qū)域?yàn)榈酌娴那斨w的體積。三重積分的定義在空間區(qū)域上，對(duì)三元函數(shù)進(jìn)行積分，得到的結(jié)果稱(chēng)為三重積分。三重積分概念與性質(zhì)三重積分計(jì)算技巧將三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分進(jìn)行計(jì)算，適用于被積函數(shù)和積分區(qū)域較簡(jiǎn)單的情況。柱面坐標(biāo)法利用柱面坐標(biāo)變換將三重積分轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)系下的累次積分，適用于被積函數(shù)或積分區(qū)域含有圓柱、圓錐等圖形的情況。球面坐標(biāo)法利用球面坐標(biāo)變換將三重積分轉(zhuǎn)化為球面坐標(biāo)系下的累次積分，適用于被積函數(shù)或積分區(qū)域含有球、球殼等圖形的情況。直角坐標(biāo)法04多元函數(shù)極值與最值求解方法VS通過(guò)求解多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得到可能的極值點(diǎn)。進(jìn)一步利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的性質(zhì)（極大值、極小值或鞍點(diǎn)）。二階偏導(dǎo)數(shù)法直接利用多元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)造Hessian矩陣，通過(guò)判斷Hessian矩陣的正定性來(lái)確定極值點(diǎn)的性質(zhì)。一階偏導(dǎo)數(shù)法無(wú)約束條件下極值求解方法將有約束條件的多元函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的拉格朗日函數(shù)極值問(wèn)題。通過(guò)求解拉格朗日函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，得到可能的極值點(diǎn)，并結(jié)合約束條件判斷極值點(diǎn)的有效性。將有約束條件的多元函數(shù)極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的罰函數(shù)極值問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)造罰函數(shù)，將約束條件加入到目標(biāo)函數(shù)中，然后利用無(wú)約束條件下的極值求解方法求解罰函數(shù)的極值。拉格朗日乘數(shù)法罰函數(shù)法有約束條件下極值求解方法經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用最大化問(wèn)題在給定預(yù)算約束下，求解使消費(fèi)者效用最大化的商品組合。通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，求解一階偏導(dǎo)數(shù)，得到商品組合的最優(yōu)解。工程學(xué)中的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題在滿(mǎn)足一定設(shè)計(jì)要求和約束條件下，求解使某項(xiàng)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)。通過(guò)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，結(jié)合約束條件求解最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。拉格朗日乘數(shù)法應(yīng)用舉例梯度下降法原理梯度下降法是一種迭代算法，用于求解無(wú)約束條件下的多元函數(shù)最小值。它沿著目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度方向進(jìn)行迭代更新，逐步逼近最小值點(diǎn)。梯度下降法步驟首先選擇初始點(diǎn)，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)的梯度；然后沿著負(fù)梯度方向更新自變量，得到新的點(diǎn)；重復(fù)以上步驟直到滿(mǎn)足收斂條件或達(dá)到最大迭代次數(shù)。梯度下降法優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量??；缺點(diǎn)是收斂速度較慢、容易陷入局部最小值。針對(duì)這些缺點(diǎn)，可以采用改進(jìn)的梯度下降法如隨機(jī)梯度下降法、動(dòng)量梯度下降法等來(lái)提高收斂速度和全局搜索能力。最優(yōu)化問(wèn)題中梯度下降法介紹05多元函數(shù)在幾何、物理等方面應(yīng)用舉例空間曲線方程通過(guò)參數(shù)方程或普通方程表示空間曲線，例如螺旋線、擺線等。要點(diǎn)一要點(diǎn)二曲面方程通過(guò)顯式方程、隱式方程或參數(shù)方程表示曲面，例如球面、柱面、馬鞍面等?？臻g曲線和曲面方程表示方法切線求解通過(guò)求導(dǎo)得到空間曲線或曲面上一點(diǎn)的切線方向向量，進(jìn)而得到切線方程。法線求解根據(jù)切線方向向量求解法線方向向量，得到法線方程?？臻g曲線和曲面切線、法線求解方法物理中常遇到的矢量場(chǎng)有力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等，它們都是空間位置的函數(shù)，且每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)矢量。矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)運(yùn)算規(guī)則溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等是標(biāo)量場(chǎng)的例子，它們也是空間位置的函數(shù)，但每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)標(biāo)量。介紹矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)的梯度、散度、旋度等基本概念及運(yùn)算規(guī)則。物理中矢量場(chǎng)、標(biāo)量場(chǎng)等概念引入及運(yùn)算規(guī)則將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，例如最小二乘法、線性規(guī)劃等。優(yōu)化問(wèn)題建模通過(guò)具體案例展示優(yōu)化問(wèn)題的求解過(guò)程，包括目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建、約束條件的處理以及優(yōu)化算法的選擇等。求解過(guò)程展示工程中優(yōu)化問(wèn)題建模及求解過(guò)程展示06總結(jié)回顧與拓展延伸02030401關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧多元函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像表示方法偏導(dǎo)數(shù)、全微分及其幾何意義多元函數(shù)的極值條件、判別法及求解方法多元函數(shù)的最值定理、求解步驟及實(shí)際應(yīng)用誤區(qū)一混淆偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，理解不清誤區(qū)二誤區(qū)三易錯(cuò)點(diǎn)0102