新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)三十一空間中直線平面的垂直北師大版選擇性必修第一冊

課時作業(yè)(三十一)空間中直線、平面的垂直1．已知兩直線的方向向量為a，b，則下列選項中能使兩直線垂直的為()A．a(chǎn)＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B．a(chǎn)＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C．a(chǎn)＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D．a(chǎn)＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)2．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m等于()A．－2B．2C．6D．103．若平面α，β的法向量分別為a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為()A．10B．－10C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知點A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標(biāo)為()A．(1,0，－2)B．(1,0,2)C．(－1,0,2)D．(2,0，－1)5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，則()A．EF至多與A1D，AC中的一個垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF與BD1相交D．EF與BD1異面6．[多選題]下列命題中正確的是()A．直線l的方向向量為a＝(1，－1,2)，直線m的方向向量b＝(2,1，－eq\f(1,2))，則l與m垂直B．直線l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，則l⊥αC．平面α、β的法向量分別為n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，則α∥βD．平面α經(jīng)過三點A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，則u＋t＝17．兩平面α，β的法向量分別為μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)，若α⊥β，則y＋z的值是()A．－3B．6C．－6D．－128．在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝eq\r(13)，，SB＝eq\r(29)，則直線SC與BC是否垂直________．(填“是”或“否”)9．已知點A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，點P的坐標(biāo)為(x,0，z)，若eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，則點P的坐標(biāo)為________．10.如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.[提能力]11．[多選題]已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．下列結(jié)論中正確的是()A．AP⊥ABB．AP⊥ADC.eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量D.eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→))12．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當(dāng)BF⊥PE時，AF:FD的比為()A．1:2B．1:1C．3:1D．2:113．在直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知點P(2cosx＋1，2cos2x＋2,0)和點Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為________．14．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝eq\r(21)，則n的坐標(biāo)為________．15．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝b，點E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，C1F＝eq\f(1,3)CC1.設(shè)λ＝eq\f(b,a)，當(dāng)平面AEF⊥平面A1EF時，求λ的值．[培優(yōu)生]16．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0＜λ＜2)．(1)當(dāng)λ＝1時，求證：直線BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．課時作業(yè)(三十一)1．解析：因為a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故選B.答案：B2．解析：因為a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.故選D.答案：D3．解析：因為α⊥β，所以它們的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.故選B.答案：B4．解析：由題意知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0，①eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②聯(lián)立①②得x＝－1，z＝2，故點P的坐標(biāo)為(－1，0，2).故選C.答案：C5．解析：以D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體的棱長為1，則A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，∴A1D＝(－1，0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，BD1＝(－1，－1，1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)BD1，A1D·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故選B.答案：B6．解析：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，則a·b＝1×2－1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0則a⊥b，∴直線l與m垂直，故A正確，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，－1))，則a·n＝0×1＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝0則a⊥n，∴l(xiāng)∥α或l?α，故B錯誤，∵n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，3))，n2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，2))，∴n1與n2不共線，∴α∥β不成立，故C錯誤，∵點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，－1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，2，0))∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，1))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，0))向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，u，t))是平面α的法向量∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0)))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－1＋u＋t＝0,－1＋u＝0)))，解得u＋t＝1，故D正確．故選AD.答案：AD7．解析：∵α⊥β，∴u·v＝0，即－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.答案：B8．解析：如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AS所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則由AC＝2，BC＝eq\r(13)，SB＝eq\r(29)，得B(0，eq\r(17)，0)，S(0，0，2eq\r(3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(13,17))，\f(4,\r(17))，0))，eq\o(SC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(13,17))，\f(4,\r(17))，－2\r(3)))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(\f(13,17))，\f(13,\r(17))，0)).因為eq\o(SC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以SC⊥BC.答案：是9．解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，1，－z)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，0，1)，∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1－z＝0，,－2x－z＝0，))∴x＝eq\f(1,3)，z＝－eq\f(2,3).答案：(eq\f(1,3)，0，－eq\f(2,3))10．略11．解析：eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即A正確．eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP⊥AD，即B正確．又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，即eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的一個法向量，C正確．∵eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，D不正確．故選ABC.答案：ABC12．答案：B13．解析：由OP⊥OQ，得eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∴cosx＝0或cosx＝eq\f(1,2).∵x∈[0，π]，∴x＝eq\f(π,2)或x＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,2)或eq\f(π,3)14．解析：據(jù)題意，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，0，2).設(shè)n＝(x，y，z)，∵n與平面ABC垂直，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋2z＝0，,x＋2z＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4z，,x＝－2z))∵|n|＝eq\r(21)，∴eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(21)，解得z＝1或z＝－1.當(dāng)z＝1時，y＝4，x＝－2；當(dāng)z＝－1時，y＝－4，x＝2，故n＝(－2，4，1)或(2，－4，－1).答案：(－2，4，1)或(2，－4，－1)15．略16．解析：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(xiàn)(1，0，0)，P