2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元檢測01 不等式的性質(zhì)（人教A版必修5）（解析版）

01不等式的性質(zhì)

一、必備知識

1.兩個實數(shù)大小的比較:作差法

(1)a>b<^a—b；(2)a=boa—b；(3)a<b^=>a—b.

2.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：3>力=；

(2)傳遞性：a>b,6>c=;

⑶不等式加等量：a〉2a+cb+c；

(4)不等式乘正量：Gb,c>0=,不等式乘負(fù)量：a>b,。<0=；

(5)同向不等式相加：a>b,0>/;

X(6)異向不等式相減：a>b,c<d=>a-c>b-d；

(7)同向不等式相乘：a>b>0,。>/0=;

ab

※⑻異向不等式相除：a〉b>0,0G<片>[>彳

※(9)不等式取倒數(shù)：a>b,數(shù)>0=4<；；

aD

(10)不等式的乘方：a>6>0=;

(11)不等式的開方：a>b>0=.

自查自糾：

1.>0=0<02.(1)b<a(2)a>c(3)>(4)ac>beac<bc(5)a+c>b+d(7)ac>bd

(10)a"〉6(〃eN且侖2)(11)筋>傷(〃丘小且心2)

二、題組

題組一：

1.已知。>匕>0,則下列不等式一定成立的是（）

A.（；）"<（：）〃B.C.ln（a-/?）>0D.3M<1

【答案】A

【詳解】由人>0可設(shè)a=2,6=1,代入不等式中檢驗可知A正確.

2.如果。<。<0,那么下面不等式一定成立的是（）

A.a-b>QB.ac<hcC.a2>b2D.—<—

ab

【答案】C

【詳解】由a（力<0設(shè)a=—2,/?=—1,代入選項中驗證可知C正確.

3.設(shè)a,。是非零實數(shù)，若a>b,則一定有（）

A.—<—B.a1>abC.D.a--->b--

abab'a'bah

【答案】C

【詳解】因為a,6是非零實數(shù)，a>b,所以a—匕〉0,所以一1一一［=卓〉0,所以，>，-,

ab2crba2b2ab2a2b

故選c.

4.若則下列不等式成立的是（）

ab

A.a-b>abB.a-b<abC.b-a>abD.b-a<ab

【答案】D

【詳解】取。二一工，力=一1,則。一〃=次?=’，排除A,B；因為,<,<0,則”0,/?<0,從而而>（）.

22ab

又工一,>0,即佇2>0,則。一人>0,所以b-a<O<ab,故選：D.

baab

5.若a>匕>2,則下列不等式恒成立的是()

A

-口*B.坨[二卜0C.gg?->F

【答案】C

【詳解】A中，令a=5,b=3,可知，」一=」；B中，令a=l()2,b=12,可知

a-2b\b-2)

C中，a-\>b-\,即知&z—l>狗?一1:D中，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，得〈最：

所以ABD均錯誤.故選：C.

6.若(g)<1,則下列各式中一定成立的是()

A.In(a-b)>0B.2人">1C.D.log">log*(c>0且c#1)

ab

【答案】C

【詳解】解析：指數(shù)函數(shù)丁=[￡|在(-8,4W)上是單調(diào)遞減的，由(；)<(；)<1可知，a>b>0.

所以則一，>」.故。正確；a-匕>0,但不一定有a-Z?>l,則不一定有l(wèi)n(a-b)>0,故A錯

abab

誤；函數(shù)y=2*在(-8,內(nèi))上是單調(diào)遞增的，力一。<0.則2"“<2°=1，故B錯誤；當(dāng)0<c<l時，函數(shù)

y=/og,.x在(0,+00)上單調(diào)遞減，則log,a<log*.故。錯誤.故選：C

7.已知a>b,od,且c,d不為0,那么下列不等式成立的是()

A.ad>beB.ac>bdC.a-c>h-dD.a+c>b+d

【答案】D

【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可知a>A,c>d,則a+c>b+d,故選D.

8.已知&b,cGR,且a>8>c,則有（）

A.|a|>|Z?|>|c|B.\ab\>\bc\

C.|a+b\>|b+c\D.|a-c\>\a-b\

【答案】D

【詳解】當(dāng)a,b,c均為負(fù)數(shù)時，則4B,C均不成立，如a=-l,6=—2,c=—3時，有

故A錯；ab\—2,而|bc|=6,此時|ab|<|6c|,故B錯；|a+引=3,|b+c\=5,與C中|a+b|>|6+

c|矛盾，故C錯；只有D正確.故選：D

9.若|a-c|V6,則下列不等式不成立的是（）

A.|a|<|6|+|c|B.|c|<|a|+|

C.b>||c|—|a||D.b<||a|—|c||

【答案】D

【詳解】。>Ia—'c|2|a|—|c|,.1.問+時>同,故A成立，b>\a-c\>\c\—\a\,|i>|+|a|>|c|,故B

成立，，c|?<?|—Ic|I?故C成立，D不成立.故選：D

10.若加<〃，P<q,且（〃一〃?）（〃一”）<0,（q-m）（q-n）<0,則（）

A.m<p<n<qB.p<m<q<nc.p<q<nD.p<m<n<q

【答案】C

【詳解】因為（〃—加）（〃-〃）<0,所以和“?個大于P,一個小于夕，因為加<〃，所以帆</?<〃,

因為①一機(jī)）@一〃）<0,所以所以加和"一個大于一個小于4，因為加<〃，所以加<“<〃，

因為。<4,所以加<P<4<”,故選：C.

11.已知"下列說法正確的是（）

A.若a>b,c<d,則a-c>b-dB.若a>b,c>d,則ac>M

C.若。</?<0,則D.若貝!lac?>be?

ab

【答案】A

【詳解】由c<d=-c>-4,又因為。>瓦所以。一成立，A正確；當(dāng)a=2,匕=l,c=-l,"=-2

時，a>dc>d成立，-2=呢>仇/=一2不成立，B錯；當(dāng)。=-2,2=-1時，。</?<（）成立，

—=一<一=-1不成立，C錯；a>h,c—0lit,0=ac2>Z?c?=0不成立，1）錯.故選：A.

2ab

12.下列對不等關(guān)系的判斷，正確的是（）

A.若,<!，則B.若?！档龋瑒t2"<2"

abab-

C.若lna2>]n/?2,則2間>2的D.若tana>tanZ?,則

【答案】C

【詳解】A.。=一1,。=1滿足,<,，但/<。3,A錯；B.a=\,6=—2,滿足粵〉粵，但2">2"，

abab~

B錯；C.In）>in/?2=i>a2>b2=同>網(wǎng)=2」>2>,C正確；D.tan、>tan,，但〈〈券，D錯.故

選：C.

練習(xí):

1.若a,"ceR,且。>6,則下列不等式中一定成立的是（）

A.—<7B.-2a<-2bC.ac2>be2D.a2>b2

ab

【答案】B

【詳解】取。=11=一2,代入驗證A,有1<一!，錯誤，故A不正確；代入驗證D,有1>4,錯誤，故D

2

不正確；取c=0,代入驗證C,有0>0,錯誤，故C不正確；對于B：a>4.?.-2a〈一勸成立，故B正

確.故選：B

2.若。、匕、CER且。>人，則一定有（）

A.a-c>b-cB.（6Z-/7）c>0C.—<—D.a2>b2

ab

【答案】A

【詳解】對于A,由a>力，則。一。>/?一。，故A正確;對于B,由則。一%>0,當(dāng)時-5）cW0.

故B不正確；對于C,當(dāng)。>0>。時，故C不正確；對于D,當(dāng)a=L%=—2,則/</,故D

ab

不正確；故選：A

3.已知實數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）

A.ac2>be2B.—<yC.a2<abD.ab<b2

ab

【答案】B

【詳解】因為a>人>0,當(dāng)c=（）時，A不成立，因為‘一,=2二幺<0,故8正確：當(dāng)a2—ab=a（a—b）>0

abah

時，C錯誤；ab-b2=b（a-b）>0,故D錯，故選：B.

4.若匕<a<0,則下列不等式正確的是（）

A.—>—B.cib<a~C.Ifll>l/>|D.-l—>2

abah

【答案】D

【詳解】對于A中，由！—,=*■,因為匕<。<0,可得ab>0,8—a<0,

abab

所以L—,<O,即所以A不正確；對于B中，由?！ㄒ?。2=。(。一切，因為匕<a<0,可得

abab

ab—a”=a(a—b)>0,所以ab>/,所以B不正確；對于C中，由b<a<0,可得一Z?>—a,

又由同=—a,網(wǎng)=—b,可得時<同，所以C不正確；對于D中，因為b<a<0,可得2>0二>0,貝IJ

ab

-+->2J-x--2,當(dāng)且僅當(dāng)2=f時，即a=b時等號成立，又因為疝b,所以々+q>2,所以D

ab\ababab

正確.故選：D.

5.設(shè)a,b,cGR,且a>b,c>d,則下列結(jié)論中正確的是()

A.a+c〉/7+dB.a—cb_dC.cic>bdD.—>一

dc

【答案】A

【詳解】根據(jù)不等式的性質(zhì)，同向不等式相加，不等號的方向不變，故選A.

6.設(shè)實數(shù)a、b、。滿足c<h<a,且ac<0,那么下列不等式中不一定成立的是()

A.ab>ac；B.c(b-a)>0；C.cb<ab；D.ac(a-c)<0.

【答案】C

【詳解】由ac<0,c<b<a可得a>0,c<0>對于選項A：因為/?>c,a>0可得aZ?>ac,故選項

A正確;對?于選項B：因為b<a,可得人一。<0,因為c<0,所以cS—a)>0,故選項B正確：

對于選項C：因為c<a,當(dāng)/?=OR寸，ch-ab-.當(dāng)Z?〉O時，cb<ab：當(dāng)b<0時，cb>ah-.故選項C

不正確；對于選項D：因為c<a,所以a-c>0,因為ac<0，所以ac(a-c)<0,故選項D正確；

故選：C.

7.設(shè)仇c都是大于T的負(fù)數(shù)，且a>b>c則，下列不等式正確的是()

ab

A.a+b—c<0B.a—h>h—cC.abc>—lD.—>—

cc

【答案】c

【詳解】取。=一」力=-1,c=-j，a+8-c=0,A錯；取a=-」,b=-」,c=-L,a-b=b-c=-,

6326326

…口1.11a1b2ab…-l<a<0

B錯；取。=—,b=一一,c=—,-=,D錯；<八=0<?！?lt;1,又因為

632c3c3cc[-1<h<0

-1<c<0?所以一IvabcvO,即?！ā?gt;一1成立，C對，故選：C.

8.已知a〉"c,貝I」一+」一+」一的值（）

a-bb-cc-a

A.為正數(shù)B.為非正數(shù)C.為非負(fù)數(shù)D.不確定

【答案】A

【詳解】因為&〉力。，所以a-力0,b-6>0,@一0>。一c>0,所以一—0,--->0,——<——,

a-bb-ca-cb-c

所以」一+」一>0,所以」一+」一+」一>0,所以」一+」一上」一的值為正數(shù).故選：A

b-cc-aa-bb-cc-aa-bb-cc-a

9.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“二”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈

利奧特首次使用“〈”和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若。>h>0,

則下列結(jié)論錯誤的是（）

11

A.—<-

ah

C.a2>h2D.ln(6f-/?)>()

【答案】D

【詳解】對于A：丁a>Z?>0,「.cih>0「.—>0,「.Qx—>bx—,即一<一,故A止確；

ahahahab

（1b

對于B：記/（無）=-在（0,+8）上為減函數(shù)，,??a〉/?>0,故B正確;

對于C：記/（x）=f在（0,+功上為增函數(shù)，故c正確；

對于D：a>0>0,可以取a—b=,，則ln（a一加<0,故D錯誤.故選：D

2

10.已知“、b、C、d為實數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.若a<b且。力。（），則B.若■且CH（）,則a>h

abcc"

C.若a?<b2，c2<d2>則儲一°2</—陵D.若a2cb2,c2<d2>則a2c2</解

【答案】D

【詳解】對于A選項，取a=—1，b=l，則a（〃滿足，但此時L<，，A選項錯誤;對于B選項，由于芻〈與

abcc

且02>0,所以“<〃，所以B選項錯誤；對于C選項，取a=c=&，b=d=6,則。2Vd2

成立，但是a2—c2=b2—d2,所以C選項錯誤：對于D選項，當(dāng)。、C中至少有一個為零時，則從/>0,

此時a2c2=0<。22；當(dāng)且c/()時:/?2>tz2>0>J2>c2>0-有b2d2>a2c2，故D選項正確.

故選：D.

題組二：

22

1.若m=3x-x+1，n=2x+x-1，則加與〃的大小關(guān)系是()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

【答案】A

22

【詳解】m=3x-x+1?n=2x+x-1

m-n-(3x2-x+1)-(2x2+x-1)=%2-2x+2=(x-I)-+1>0,因此：m>n,故選：A

2.設(shè)5a+6,N=2a(a—2)+9,則有()

A.M>NB.M>NC.M<ND.M<N

【答案】C

,1,11

【詳解】通過作差得到M-N=——3=—(a+一>―一<N.

24

3.已知XHO,則+與/+/+1的大小關(guān)系為.

【答案】(尤2+1)2>/+》2+1

【詳解】因為，+1)2一(犬+]2+1)=/+2/+1_*4-％2_1=/,又所以9>0

所以(爐+1)2>/+1.故答案為：(1+1)2>/+1.

2020

2201912+1

4.%。十_________，一(用不等號“〈”或填空).

22020+122021+1

【答案】>

22019+122020+]_(2239+1)(22021+1)_(22°2°+1)2_2239+22°21_2.22°20

【詳解】^^77一"p5H77=(22ra)+l)(22,,2l+l)=(22O2,,+1)(22O2I+1)

2刈9(1+4—4)、八22019+122020+1……，、

(2202°+1)Q2°2I+1)0，??萍干>萍節(jié)，山I木為一

5.已知a>b>0,則JZ—6與疝工的大小關(guān)系是（）

A.\/ci-y[b>yju—bB.—yj~b<y]u—bC.y[u—y/b=y/u—bD.無法確定

【答案】B

【詳解】—(yla-bj=a+b-2y/7^—a+b=2^—y/^^=24h(4b—yfa^a>b>0,

*??yfb—■yfd.<0?(yfci—yfb^—(Ja-1j<0>yfu.—\[h<y/d—h，故選B.

6.如果％>1,p=Vx+T-Vx,q=y/x-Vx-1,那么P，4的大小關(guān)系為.

【答案】P<Q

//—(X+1)-X1/-/X-(X-1)1

[I表解]p=+1-Jx=/.......~F=—/.......~F=，q=dx-X—\=—j=/——=—r=/-?,

YX+1+A/X+l+>/尤x+yjx-T'x+Tx-1

*.**x/x+T>yjx~\，Jx+1+>[x>y/~X+\Jx-l>()，,,j.[j]，

7.A杯中有濃度為a%的鹽水龍克，3杯中有濃度為方％的鹽水>克，其中A杯中的鹽水更咸一些.若將A、

B兩杯鹽水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示為.

.ax+by

【答案】b<--------<tz

x+y

ax+byax-^-hy(b-a\y

【詳解】由題意，將A、區(qū)兩杯鹽水混合再一起后濃度為-----V--------------6Z=-———,

x+yx+yx+y

徽+"_b=(a-b)x,A杯中的鹽水更咸一些，：.a>b,b<<a

x+yx+yx+y

練習(xí):

1.設(shè)a=M—2x+2力=1—x,則實數(shù)a與b的大小關(guān)系為（)

A.a>bB.a-bC.a<bD.與％有關(guān)

【答案】A

【詳解】因為a—b==+3>0恒成立，所以故選：A

I2j4

2.已知水1,則/-I（填“〈”或"="）2冷2%

【答案】<

\（1V3-

【詳解】由（x'T）-（2x'-2x）=（xT）（X*+A+1）-2X（尸1）=（六1）（V-x+l）=（六1）IX--I+—

因為X〈l,所以『1<0,又（x-J]+->0,所以（尸1）（x-^]+|<0,所以v-l<2#-2x.故答案為：〈

I2）4|_12；4_

3.己知M="+3a+l，N=2a+~,則材N.（填'，'或“〈”）

2

【答案】>

【詳解】M-N=a2+a+-=（a+-）2+->0.：.M>N.故答案為：〉.

224

二〃<g.故答案為：p〈q.

2

4.設(shè)xeR,M=3f—%+1，N=X+X-1>則M與N的大小關(guān)系為.

【答案】M>N

【詳解】??,M-N=3x2—x+1—（x2+x—l）=2x2-2x+2=2（x2-x+l）=2[（x—g）2+j>0,

，M>N故答案為：M>N.

5.設(shè)M=X2,N=-X-1,則河與N的大小關(guān)系是

【答案】M>N

I3

【詳解】由作差比較法，可得M-N=x2-（—x—l）=x2+x+l=（x一一）2+->0,所以M〉N.

24

故答案為：M>N.

6.已知。，b為實數(shù),則2/+―/+]必+2。.（填“>”、"V"、"2"或"W"）

4

【答案】N

【詳解】2a2+；〃+l—aA—2a=（a—g。）+（a-l）2>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=l，b=2取等號.故答案為：》

7.己知a,》eR,則5a2+6+24ab+2a.（用“>”或"〈”填空）

【答案】>

【詳解】因為5/+。2+2—4"-2。=（2。一。）2+（。-1）2+1,又（2。一加220，（。一1）220,所以

5a2+b2+2-4ab-2a>0^所以5a?+/+2>4。。+2。，故答案為：>.

8.若x=（a+2）（。-3）,y=（a+3）（a-4）,則x與y的大小關(guān)系是.

【答案】%>y

［詳解］X—y=（a+2）（a—3）—（a+3）（a—4）=（6T_a_6）_（q--a—12）=6>0,因此，x>y.

9.已知6克鹽水中含有。（方>。>0）克鹽，若給鹽水加熱，蒸發(fā)了加（0<加<。一。）克水后鹽水更咸了,

請將這一事實表示為一個不等式：

……aa

【答案】-——>-

b—mb

［詳解】原來鹽占鹽水的比例為:，給鹽水加熱，蒸發(fā)了"（0<加<。-a）克水后，鹽占鹽水的比例為，一

bb-m

aa

則---->-

b-mb

題組三：

1.若實數(shù)X,y滿足—1<X<2,-2<^<1,則y-x的取值范圍是.

【答案】（<2）

【詳解】因為—l<x<2,所以一2（一x<l,又因為-2<y<l,所以-2+（—2）<y—無<1+1,即

-4<y-x<2.故答案為:（T2）.

3.若l<a<3,-4</?<2,則a-四的取值范圍是.

【答案】（-3,3）

【詳解】由T<￡<2得0W3<4,即-4〈一肝0,又l<a<3,所以一3<a—悔<3.

故答案為：（—3,3）.

4.若一3<a<力<2,則a—8的取值范圍是

【答案】（-5,0）

【詳解】：-3<a<6V2,-3<a<2①，-2<-6<3②，①+②得：-5<a-b<5,

又a<b,a-Z><0,-5<a-6V0,故答案為:（-5,0）.

6.已知-14x+y44,24x-6y43,則z=3x-4y的取值范圍是.

【答案】[O』U；

【詳解】解：z=3x-4y=2（x+y）+（x-6y）,因為一I=x+y44,24x-6y43,

所以—2W2（x+y）?8,所以0W2（x+y）+（x-6y）Wll,故答案為：[0,11]

7.已知-1<2。+匕<2,3<a-Z?<4,則4a—8的取值范圍是.

【答案】（5,10）

2m+〃=4[m=\

【詳解】解：令4“一/?=加（2。+/?）+”（。一/?）=（2加+”）。+（加一〃）/7,則〈，解得〈

[m-n=-1[n=2

所以4。一人=（2。+/?）+2（。一/?）,因為3<。一6<4,所以6<2（。一。）<8,因為一1<2a+Z?<2,

所以一1+6<2。+8+2（。一加<2+8,所以5<4。一匕<10,所以4。一匕的取值范圍為（5,10）,

故答案為:（5,10）

練習(xí)：

1.已知1<。<3,-2<b<6,則2a—3b的取值范圍是

【答案】（—16,12）

【詳解】因為1<。<3,-2<b<6,所以2<2a<6,—18<—3）<6

所以-16<2a-3》<12故答案為：（-16,12）

2.已知實數(shù)X,>滿足2Vx<4,3<j