復合函數(shù)求偏導解讀課件

復合函數(shù)求偏導解讀課件復合函數(shù)的基本概念復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的偏導數(shù)求解復合函數(shù)求偏導的實例解析復合函數(shù)求偏導的應用contents目錄復合函數(shù)的基本概念CATALOGUE01復合函數(shù)的定義01復合函數(shù)是由兩個或多個函數(shù)的組合而成的函數(shù)。02復合函數(shù)通常表示為外部函數(shù)和內部函數(shù)的乘積或其他運算形式。復合函數(shù)可以看作是“包裝”了內部函數(shù)的外部函數(shù)。03010203復合函數(shù)具有與內部函數(shù)相同的奇偶性。復合函數(shù)的單調性取決于內部函數(shù)的單調性。復合函數(shù)的值域取決于內部函數(shù)的值域和外部函數(shù)的定義域。復合函數(shù)的性質復合函數(shù)的例子$f(u)=u^2,g(x)=x+1$，則$f(g(x))=(x+1)^2$是復合函數(shù)。$f(u)=sqrt{u},g(x)=x^2$，則$f(g(x))=sqrt{x^2}=|x|$是復合函數(shù)。$f(u)=log_au,g(x)=x+1$，則$f(g(x))=log_a(x+1)$是復合函數(shù)。復合函數(shù)的求導法則CATALOGUE02鏈式法則總結詞鏈式法則是復合函數(shù)求偏導的核心法則，它描述了函數(shù)內部和外部的偏導數(shù)之間的關系。詳細描述鏈式法則是說，如果一個復合函數(shù)y=f(u)的內部函數(shù)u=g(x)對x的偏導數(shù)存在，則y對x的偏導數(shù)等于y對u的偏導數(shù)乘以u對x的偏導數(shù)。即：?y/?x=?y/?u*?u/?x。乘積法則是用來求兩個函數(shù)的乘積的偏導數(shù)的?？偨Y詞乘積法則是說，如果兩個函數(shù)的乘積的偏導數(shù)存在，則等于兩個函數(shù)分別對x的偏導數(shù)的乘積加上兩個函數(shù)分別對y的偏導數(shù)的乘積。即：(uv)'x=u'x*v+u*v'x。詳細描述乘積法則總結詞商式法則是用來求兩個函數(shù)的商的偏導數(shù)的。詳細描述商式法則是說，如果兩個函數(shù)的商的偏導數(shù)存在，則等于被除函數(shù)對x的偏導數(shù)除以除函數(shù)對x的偏導數(shù)減去被除函數(shù)對y的偏導數(shù)除以除函數(shù)對y的偏導數(shù)。即：(u/v)'x=(u'x*v-u*v'x)/(v^2)。商式法則反函數(shù)求導法則反函數(shù)求導法則是用來求反函數(shù)的偏導數(shù)的。總結詞反函數(shù)求導法則是說，如果一個函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)存在，則反函數(shù)的偏導數(shù)等于原函數(shù)的偏導數(shù)的倒數(shù)。即：?y/?x=1/(?u/?y)。詳細描述復合函數(shù)的偏導數(shù)求解CATALOGUE03偏導數(shù)的符號表示用符號"?"表示偏導數(shù)，例如f'x(x0,y0)表示函數(shù)f在點(x0,y0)處對x的偏導數(shù)。偏導數(shù)的幾何意義在二維空間中，偏導數(shù)表示函數(shù)圖像在某一點處切線的斜率。偏導數(shù)的定義對于一個多變量函數(shù)，如果一個變量變化，而其他變量保持不變，則該函數(shù)對變化變量的導數(shù)稱為偏導數(shù)。偏導數(shù)的定義123對于復合函數(shù)，如果u是內層函數(shù)，v是外層函數(shù)，則(uv)'=u'v+uv'。鏈式法則對于一個由方程F(x,y,z)=0定義的隱函數(shù)z=f(x,y)，求偏導數(shù)時需要用到全微分。隱式求導對于一個多變量函數(shù)的二階偏導數(shù)，可以用一階偏導數(shù)來表示，即"?2/?x2=?/?x(?/?x)"。高階偏導數(shù)偏導數(shù)的計算方法切線斜率在二維空間中，偏導數(shù)表示函數(shù)圖像在某一點處切線的斜率。曲面的法線在三維空間中，偏導數(shù)表示曲面在某一點處的法線方向。梯度在多維空間中，偏導數(shù)可以組成一個向量，稱為梯度，表示函數(shù)在某一點處的方向導數(shù)的最大值。偏導數(shù)的幾何意義復合函數(shù)求偏導的實例解析CATALOGUE04總結詞一元復合函數(shù)求偏導是基礎，需要掌握鏈式法則。詳細描述一元復合函數(shù)通常形式為$f(u)$，其中$u$是中間變量，$u$是自變量$x$的函數(shù)，即$u=g(x)$。求導時需要使用鏈式法則，即$(fcircg)'(x)=f'(g(x))cdotg'(x)$。實例設$f(u)=u^2$，$g(x)=x^3$，求$(fcircg)'(x)$。解答$(fcircg)'(x)=2cdotx^3cdot3x^2=6x^5$。01020304一元復合函數(shù)求偏導的實例二元復合函數(shù)求偏導的實例總結詞：二元復合函數(shù)求偏導需要分清內外層函數(shù)，并正確應用鏈式法則。詳細描述：二元復合函數(shù)通常形式為$f(u,v)$，其中$u$和$v$是中間變量，分別由自變量$x$和$y$通過函數(shù)$g(x,y)$和$h(x,y)$確定。求偏導時需要分別對$u$和$v$求導，并使用鏈式法則。實例：設$f(u,v)=u^2\cdotv^3$，$g(x,y)=x^3+y^2$，$h(x,y)=x^2-y^3$，求$\frac{\partial(f\circg\circh)}{\partialx}(0,0)$。解答：$\frac{\partial(f\circg\circh)}{\partialx}(0,0)=\frac{\partial(u^2\cdotv^3)}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}\cdot\frac{\partialv}{\partialy}|_{x=0,y=0}=2u\cdot3x^2\cdot(-3y^2)=-18x^2y^2$。高元復合函數(shù)求偏導的實例總結詞：高元復合函數(shù)求偏導需要逐步對每個中間變量求偏導，并應用鏈式法則。詳細描述：高元復合函數(shù)由多個中間變量組成，每個中間變量都由自變量通過不同的函數(shù)確定。求偏導時需要按照復合函數(shù)的嵌套結構，從外層函數(shù)向內層函數(shù)逐步求偏導。實例：設$f(u_1,u_2,u_3)=u_1^2+u_2^3+u_3^4$，$g_1(x,y,z)=x^3+y^2+z$，$g_2(x,y,z)=y-z^2+x$，$g_3(x,y,z)=x+y^3-z^4$，求$\frac{\partial(f\circg_1\circg_2\circg_3)}{\partialx}(1,2,3)$。解答：$\frac{\partial(f\circg_1\circg_2\circg_3)}{\partialx}(1,2,3)=\frac{\partial(u_1^2+u_2^3+u_3^4)}{\partialu_1}\cdot\frac{\partialu1}{\partialy}\cdot\frac{\partialy}{\partialz}\cdot\frac{\partialz}{\partialx}|{x=1,y=2,z=3}=2u_1\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot1=-2$。復合函數(shù)求偏導的應用CATALOGUE05計算復雜函數(shù)的導數(shù)01復合函數(shù)是微積分中常見的函數(shù)形式，通過求偏導可以計算復雜函數(shù)的導數(shù)，進一步研究函數(shù)的單調性、極值和曲線的切線等性質。解決優(yōu)化問題02在微積分中，優(yōu)化問題是非常常見的問題，例如求函數(shù)的最大值和最小值。通過求偏導可以將優(yōu)化問題轉化為求解駐點或一階導數(shù)等于零的點，從而找到最優(yōu)解。曲線和曲面的幾何解釋03在微積分中，曲線和曲面的幾何形狀是非常重要的研究對象。通過求偏導可以得到曲線或曲面在某一點的切線或法線，從而更好地理解其幾何意義。在微積分中的應用VS在矩陣計算中，經常會遇到矩陣函數(shù)求導的問題，例如矩陣函數(shù)的導數(shù)、矩陣函數(shù)的值域和定義域等。通過求偏導可以得到矩陣的導數(shù)，進一步研究矩陣函數(shù)的性質和計算方法。線性方程組的求解在求解線性方程組時，經常會遇到求解系數(shù)矩陣的逆或行列式的問題。通過求偏導可以將這些問題轉化為求解偏導數(shù)等于零的點，從而找到方程組的解。矩陣的導數(shù)