初中三角形中做輔助線的技巧與典型例題

./三角形中做輔助線的技巧口訣：三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線,三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法,一般有兩種。①從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線,構(gòu)造對(duì)稱圖形〔如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊。通常情況下,出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí),一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線〔一、截取構(gòu)全等如圖1-2,AB//CD,BE平分∠BCD,CE平分∠BCD,點(diǎn)E在AD上,求證：BC=AB+CD。已知：如圖1-4,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線,在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形,此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的,在長(zhǎng)的線段上截取短的線段,來證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？〔二、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線,利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如圖2-1,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。已知如圖2-3,△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過點(diǎn)P。分析：連接AP,證AP平分∠BAC即可,也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15,PC//OA,PD⊥OA,如果PC=4,則PD=〔A4B3C2D12.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F為BC上的點(diǎn),∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。3.已知：如圖2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,AE平分∠CAB交CD于F,過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH?！踩鹤鹘瞧椒志€的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,則截得一個(gè)等腰三角形,垂足為底邊上的中點(diǎn),該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)?！踩绻}目中有垂直于角平分線的線段,則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交。已知：如圖3-1,∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中點(diǎn)。求證：DH=〔AB-AC分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。例2.已知：如圖3-2,AB=AC,∠BAC=90,AD為∠ABC的平分線,CE⊥BE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交,近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．已知：如圖3-3在△ABC中,AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線,過頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線,可得EA⊥AF,從而有BF//AE,所以想到利用比例線段證相等。已知：如圖3-4,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=〔AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換,作△ABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED,然后只需證DM=EC,另外由求證的結(jié)果AM=〔AB+AC,即2AM=AB+AC,也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM,然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：已知：在△ABC中,AB=5,AC=3,D是BC中點(diǎn),AE是∠BAC的平分線,且CE⊥AE于E,連接DE,求DE。已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線,AF⊥BF于F,AE⊥BE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=BC〔四、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí),常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線,從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交,從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。BDCA例1如圖,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求證：∠BDCAABECD例2如圖,AB∥CD,AE、DE分別平分ABECD練習(xí)：1.已知,如圖,∠C=2∠A,AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。ABCD2．已知：如圖,AB=2AC,∠1=∠ABCDAEBAEBDCABDC12CAB3．已知CE、AD是△ABC的角平分線,∠B=60°,求證：AC=AE+CD4．已知：如圖在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分線,求證：BC=AB+AD二、由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式,移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式,通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊,故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí),如直接證不出來,可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中,再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明,如：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí),可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上,小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證：∠BDC>∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中,沒有直接的聯(lián)系,可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形,使∠BDC處于在外角的位置,∠BAC處于在內(nèi)角的位置；注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí),通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用不等式性質(zhì)證明。有角平分線時(shí),通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線,且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明,須把BE,CF,EF移到同一個(gè)三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等,把EN,FN,EF移到同個(gè)三角形中。注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí),?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖6-1：在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系,定理證之,因?yàn)橛C的線段之差,故用兩邊之差小于第三邊,從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再連接PN,則PC=PN,又在△PNB中,PB-PN<BN,即：AB-AC>PB-PC。例1．如圖,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求證：AE=AD+BE。DDAECB例2如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,AD+AB=2AE,求證：∠ADC+∠B=180o例3已知：如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,A=108°,BD平分ABC。DCDCBAMBDCA例4如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分線,DMMBDCA[夯實(shí)基礎(chǔ)]例：中,AD是的平分線,且BD=CD,求證AB=AC[方法精講]常用輔助線添加方法——倍長(zhǎng)中線△ABC中方式1：延長(zhǎng)AD到E,AD是BC邊中線使DE=AD,連接BE方式2：間接倍長(zhǎng)作CF⊥AD于F,延長(zhǎng)MD到N,作BE⊥AD的延長(zhǎng)線于E使DN=MD,連接BE連接CD[經(jīng)典例題]例1：△ABC中,AB=5,AC=3,求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形,倍長(zhǎng)中線AD,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延長(zhǎng)線上,DE交BC于F,且DF=EF,求證：BD=CE方法1：過D作DG∥AE交BC于G,證明ΔDGF≌ΔCEF方法2：過E作EG∥AB交BC的延長(zhǎng)線于G,證明ΔEFG≌ΔDFB方法3：過D作DG⊥BC于G,過E作EH⊥BC的延長(zhǎng)線于H證明ΔBDG≌ΔECH例3：已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),且BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于F,求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G,連接BG,證明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,過D作交AE于點(diǎn)F,DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長(zhǎng)AE至G,連結(jié)DG方法2：倍長(zhǎng)FE至H,連結(jié)CH例5：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中線,求證：∠C=∠BAE提示：倍長(zhǎng)AE至F,連結(jié)DF證明ΔABE≌ΔFDE〔SAS進(jìn)而證明ΔADF≌ΔADC〔SAS[融會(huì)貫通]1、在四邊形ABCD中,AB∥DC,E為BC邊的中點(diǎn),∠BAE=∠EAF,AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)AE、DF交于G證明AB=GC、AF=GF所以AB=AF+FC2、如圖,AD為的中線,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F.求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD,連結(jié)EG、FG證明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長(zhǎng)ED至H,連結(jié)CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖,ABC中,C=90,CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,過D作DE//AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TN⊥AB于N證明ΔBTN≌ΔECD四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣：三角形中兩中點(diǎn),連接則成中位線。三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。在三角形中,如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn),那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)〔直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì),然后通過探索,找到解決問題的方法。〔一、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1,AD是ΔABC的中線,則SΔABD=SΔACD=SΔABC〔因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的。例1．如圖2,ΔABC中,AD是中線,延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2,求：ΔCDF的面積。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線,所以SΔACD=SΔABC=×2=1,又因CD是ΔACE的中線,故SΔCDE=SΔACD=1,因DF是ΔCDE的中線,所以SΔCDF=SΔCDE=×1=?！唳DF的面積為?！捕?、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3,在四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD,并取BD的中點(diǎn)為M,連結(jié)ME、MF,∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線,∴MECD,∴∠MEF=∠CHE,∵M(jìn)F是ΔABD的中位線,∴MFAB,∴∠MFE=∠BGE,∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,從而∠BGE=∠CHE。〔三、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3．圖4,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,連BC上的中線AD=2,求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,則AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中,

∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD,∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE,從而BE=AC=3。在ΔABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB2,故∠E=90°,∴BD===,故BC=2BD=2。例4．如圖5,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分線,AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,又∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,從而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形?！菜摹⒅苯侨切涡边呏芯€的性質(zhì)例5．如圖6,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE、CE,則DE、CE分別為RtΔABD,RtΔABC斜邊AB上的中線,故DE=CE=AB,因此∠CDE=∠DCE?！逜B//DC,∴∠CDE=∠1,∠DCE=∠2,∴∠1=∠2,在ΔADE和ΔBCE中,∵DE=CE,∠1=∠2,AE=BE,∴ΔADE≌ΔBCE,∴AD=BC,從而梯形ABCD是等腰梯形,因此AC=BD。〔五、角平分線且垂直一線段,應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F,在ΔBEF和ΔBEC中,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC=90°,∴ΔBEF≌ΔBEC,∴EF=EC,從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°,故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中,∵∠1=∠3,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴ΔABD≌ΔACF,∴BD=CF,∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線?！擦芯€延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,常延長(zhǎng)加倍此線段,再將端點(diǎn)連結(jié),便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線,且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。證明：廷長(zhǎng)ED至M,使DM=DE,連接CM,MF。在△BDE和△CDM中,BD=CD〔中點(diǎn)定義∠1=∠5〔對(duì)頂角相等ED=MD〔輔助線作法∴△BDE≌△CDM〔SAS又∵∠1=∠2,∠3=∠4〔已知∠1+∠2+∠3+∠4=180°〔平角的定義∴∠3+∠2=90°即：∠EDF=90°∴∠FDM=∠EDF=90°在△EDF和△MDF中ED=MD〔輔助線作法∠EDF=∠FDM〔已證DF=DF〔公共邊∴△EDF≌△MDF〔SAS∴EF=MF〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等∵在△CMF中,CF+CM>MF〔三角形兩邊之和大于第三邊∴BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí),可通過延長(zhǎng)加倍此線段,構(gòu)造全等三角形,使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線,求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD,由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題,而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線,把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接BE,CE∵AD為△ABC的中線〔已知∴BD=CD〔中線定義在△ACD和△EBD中BD=CD〔已證∠1=∠2〔對(duì)頂角相等AD=ED〔輔助線作法∴△ACD≌△EBD〔SAS∴BE=CA〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等∵在△ABE中有：AB+BE>AE〔三角形兩邊之和大于第三邊∴AB+AC>2AD。練習(xí)：DMDMCDEDADBDBEBECDABADC862如圖,AB=CD,E為BC的中點(diǎn),∠BAC=∠BCA,求證：AD=2AE。3如圖,AB=AC,AD=AE,M為BE中點(diǎn),∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。4,已知△ABC,AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形,如圖5-2,求證EF=2AD。AABDCEF5．已知：如圖AD為△ABC的中線,AE=EF,求證：BF=AC常見輔助線的作法有以下幾種：遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用"三線合一"的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的"對(duì)折"．遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"旋轉(zhuǎn)"．遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的"對(duì)折",所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的"平移"或"翻轉(zhuǎn)折疊"截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí),常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,利用三角形面積的知識(shí)解答．〔一、倍長(zhǎng)中線〔線段造全等1：〔"希望杯"試題已知,如圖△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖,△ABC中,E、F分別在AB、AC上,DE⊥DF,D是中點(diǎn),試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn),求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用〔09崇文二模以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．〔1如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是,線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)<0<<90>后,如圖②所示,〔1問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．〔二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證：CD⊥AC2：如圖,AC∥BD,EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA,CD過點(diǎn)E,求證;AB＝AC+BD3：如圖,已知在內(nèi),,,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖,在四邊形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求證：5:如圖在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P為AD上任意一點(diǎn),求證;AB-AC＞PB-PC中考應(yīng)用〔08海淀一模例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí),我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖①中,若∠ABC＝2∠C,如果作BD平分∠ABC,則△DBC是等腰三角形；如圖②中,若∠ABC＝2∠C,如果延長(zhǎng)線CB到D,使BD＝BA,連結(jié)AD,則△ADC是等腰三角形；BCDA①②BCDA③BCDA如圖③中,若∠B＝2∠ACB,如果以BCDA①②BCDA③BCDADCBA1、如圖,△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC交AC于D.求證：∠DBC＝∠DCBAAABC2、如圖,△ABC中,∠ACB＝2∠B,BC＝2AC.求證：∠A＝90°二、利用角平分線+平行線,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí),我們就可以尋找到等腰三角形.如圖①中,若AD平分∠BAC,AD∥EC,則△ACE是等腰三角形；如圖②中,AD平分∠BAC,DE∥AC,則△ADE是等腰三角形；如圖③中,AD平分∠BAC,CE∥AB,則△ACE是等腰三角形；①ADCBE②ECBDA①ADCBE②ECBDABACDE③④ABFCDEG3、如圖,△ABC中,AB＝AC,在AC上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作EF⊥BC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F.求證：.AE＝AP.E圖1ABCD4、如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分別在BD、AD上,且DE＝CDE圖1ABCD圖2BFDCAFC圖2BFDCAFCDEBAFBACPE三、利用角平分線+垂線,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí),我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中,若AD平分∠BAC,AD⊥DC,則△AEC是等腰三角形.ABCDE5、如圖2,已知等腰Rt△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF的延長(zhǎng)線于D。求證：ABCDE四：其他方法總結(jié)1．截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖,已知：正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC于E,求證：AB+BE=AC．2．倍長(zhǎng)中線法題中條件若有中線,可延長(zhǎng)一倍,以構(gòu)造全等三角形,從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。EABCEABCDF求證：AC=BFAE8、已知△ABC,AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形,如圖,求證EF＝2AD。AEFFBDCBDC3．平行線法〔或平移法若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線,對(duì)Rt△,有時(shí)可作出斜邊的中線．9、△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求證：AB+BP=BQ+AQ．ABCPQABCPQOOABCPQD圖〔1ABCPQDE圖〔2O構(gòu)造全等三角形,即"截長(zhǎng)補(bǔ)短法"．⑵本題利用"平行法"解法也較多,舉例如下：如圖〔1,過O作OD∥BC交AC于D,則△ADO≌△ABO來解決．ABCPABCPQ圖〔3DO則△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO來解決．AABCPQ圖〔4DO如圖〔3,過P作PD∥BQ交AB的延長(zhǎng)線于D,