三角函數(shù)的最值問題初探

三角函數(shù)的最值問題分類例析三角函數(shù)式的最值問題是函數(shù)最值的重要組成部分，也是歷屜高考的熱點之一。三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識密切相關(guān)，而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次議程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切。因此，三角函數(shù)的最值問題的求解，往往要綜合應(yīng)用多方面的知識。三角函數(shù)的最值問題的類型很多，其常見類型有以下幾種：y=asinx+b（或y=acosx+b）型處理方法：利用，即可求解，此時必須注意字母a的符號對最值的影響。例1函數(shù)y=acosx+b（a、b為常數(shù)），若－7≤y≤1，求bsinx+acosx的最大值.剖析：函數(shù)y=acosx+b的最值與a的符號有關(guān)，故需對a分類討論.解：當(dāng)a＞0時，a=4，b=－3；當(dāng)a=0時，不合題意；當(dāng)a＜0時，a=－4，b=－3.當(dāng)a=4，b=－3時，bsinx+acosx=－3sinx+4cosx=5sin（x+）（tan=－）；當(dāng)a=－4，b=－3時，bsinx+acosx=－3sinx－4cosx=5sin（x+）（tan=）.∴bsinx+acosx的最大值為5.例2．例3已知函數(shù)的定義域為，值域為，求常數(shù)、的值.解：∵，.∵，∴，∴.當(dāng)時，.∴解得當(dāng)時，.∴解得故、的值為或感悟：分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，本例若不對常數(shù)進行討論，將會出錯。y=asinx+bcosx型處理方法：引入輔助角，化為y=sin（x+）,利用函數(shù)即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。例3。已知f(x)=2cosx+sin2x+a,若x＜2,求a的取值范圍。注：本題綜合運用三角恒等變形，三角函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立等知識，是一個較好的三角函數(shù)綜合題。例4．求函數(shù)y=asinx+bcosx的最值。解：y=asinx+bcosx=sin(x+arctg)∴當(dāng)x=2k+--arctg時，ymax=當(dāng)x=2k+--arctg時，ymin=--例5．求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并寫出函數(shù)y取最值時的x的集合。解：∵y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2∴當(dāng)sin（2x+）=--1時，有ymin=2--.當(dāng)sin（2x+）=1時，有ymax=2+.此時有2x+=2k--,x=k--(kz)2x+=2k+,x=k+(kz)故函數(shù)y取最小值2--時x的集合是{x∣x=k--,kz}y取最大值2+時x的集合是{x∣x=k+,kz}從上面三例可以清晰地看出，這一類的三角函數(shù)的最值求解中運用的基本的方法是“利用輔助角法”，將較復(fù)雜的三角式轉(zhuǎn)化成“Asin()”的形式，將異名三角比化歸成同名三角比。同時，也應(yīng)對自變量的取值范圍要仔細地考察。y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c）型例6．已知：定義在上的減函數(shù)，使得對一切實數(shù)均成立，求實數(shù)的范圍。解：由題意可得，即，又，，，，，或.例7．如果∣x∣≤求函數(shù)f(x)=cos2x+sinx的最大、最小值。解：y=--sin2x+sinx+1=--（sinx--）2+設(shè)sinx=t得y=--（t--）2+由題設(shè)∣x∣≤.∴-≤sinx≤∴-≤t≤因為f(x)在[-，]是增函數(shù)，在[，]是減函數(shù)∴當(dāng)x=-時，=當(dāng)x=時，=上例就是利用在閉區(qū)間上求二次函數(shù)最值的方法，就可以求含三角式的二次函數(shù)的最值。但是在運用這個方法前，首先要將引用三角比之間的轉(zhuǎn)換使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比視為二次函數(shù)的自變量。例8、在△ABC中，求cosAcosBcosC的最大值。本題是一個經(jīng)典習(xí)題，有多種解法。下面解法中把角C當(dāng)作主元化為二次形式，再進行配方，又利用，此法具有一般性。例9．設(shè)。求f(x)的最大、小值。分析：二次函數(shù)，分類討論。令。所以則ⅰ）當(dāng)時，即：-4≤a≤4時，；當(dāng)-4≤a≤0時，；當(dāng)0≤a≤4時，；ⅱ）當(dāng)時，即a≤-4，；。ⅲ）當(dāng)時，即a≥4，；。形如y=的最值例10．求函數(shù)y=的最小值（0<x<）解：∴0<x<∵sinx+cosx–1≠0y=1+=1+(0<x<)∴0<-1≤-1∴y≥1+=3+2∴函數(shù)y在0<x范圍內(nèi)的最小值3+2這是一例分子、分母只有常數(shù)項不同的三角函數(shù)式，便可以在分子中添置輔助項后，通過恒等變形把它化成只有分母含有自變量的三角函數(shù)式，只需研究分母的最值，就能求出原函數(shù)的最值。在這樣的變形中若遇到要把分子“翻下去”作為繁分式分母一部分時，這個“翻下去”的式子不能為零，如果這個式子可能為零，則應(yīng)將為零的情況另作處理。“設(shè)其不為零的”情況下繼續(xù)解下去，最后把各種情況下求得的值綜合起來考慮最值。例11．.y=的最大值是_________，最小值是_________.解析一：y==1－.當(dāng)sinx=－1時，得ymin=－1，當(dāng)sinx=1時，得ymax=.解析二：原式sinx=（∵y≠1）||≤1－1≤y≤.∴ymax=，ymin=－1.答案：－1例12．.y=（0＜x＜π）的最小值是________.解析一：y=ysinx+cosx=2sin（x+）=2sin（x+）=（x∈（0，π））0＜≤1y≥.∴ymin=.解析二：y可視為點A（－sinx，cosx），B（0，2）連線的斜率kAB，而點A的軌跡x∈（0，π）是單位圓在第二、三象限的部分（如下圖），易知當(dāng)A（－，）時，ymin=kAB=.用三角代換求某些代數(shù)函數(shù)的最值。例13．求函數(shù)y=x+的最大、最小值解：∵xR∴可設(shè)x=sin(-)則有y=sin+∣cos∣∵-∴cos≥0∴y=sin+cos=sin(+)∵-∴-≤≤+≤∴-1≤sin(+)當(dāng)=-亦即x=-1函數(shù)y=-1當(dāng)=亦即x=函數(shù)y=上述例中都運用了三角代換能使某些代數(shù)函數(shù)的最值問題得到最解決。在這類題型的解題中，必需確定所設(shè)三角中角的變化范圍，這是十分重要的環(huán)節(jié)，否則在后面的解題就得分類討論或者發(fā)生矛盾的現(xiàn)象，甚至使整題前功盡棄。六、含有sinx±cosx,sinxcosx的函數(shù)的最值型對于含有sinx±cosx,sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sinx±cosx=t,,將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。例14．求y=的最值？思悟小結(jié)1.求三角函數(shù)最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函數(shù)理論及三角函數(shù)的有界性）；②化為一個角的三角函數(shù)（主要利用和差角公式及三角函數(shù)的有界性）；③數(shù)形結(jié)合