新教材2023版高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步2.5圓的方程2.5.2圓的一般方程學(xué)生用書湘教版選擇性必修第一冊(cè)

2．5.2圓的一般方程最新課程標(biāo)準(zhǔn)(1)正確理解圓的方程的一般形式及特點(diǎn)，會(huì)由圓的一般方程求圓心和半徑．(2)會(huì)在不同條件下求圓的方程．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)圓的一般方程1．圓的一般方程的概念：當(dāng)____________時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圓的一般方程?.2．圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和半徑：圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為________，半徑長(zhǎng)為________．批注?圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點(diǎn)：x2、y2的系數(shù)相等且不為0；沒有xy項(xiàng)．基礎(chǔ)自測(cè)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)圓的一般方程可以化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個(gè)圓的方程．()(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x02+y02＋Dx0＋Ey02．圓x2＋y2－2x－3＝0的圓心坐標(biāo)及半徑分別為()A．(－1，0)與3B．(1，0)與3C．(1，0)與2D．(－1，0)與23．下列方程表示圓的是()A．x2＋y2＋xy－1＝0B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝04．若直線ax＋y＋1＝0經(jīng)過(guò)圓x2＋y2＋x＋y－2＝0的圓心，則a＝()A．1B．2C．3D．45．已知圓x2＋y2＋ax＋by＝0的圓心坐標(biāo)(3，4)，則圓的半徑是________．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1圓的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－4，4)B．(－3，3)C．(－∞，－4)∪D．(－∞，－3)∪方法歸納判定二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的兩種方法鞏固訓(xùn)練1方程x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圓心在第一象限的圓，則實(shí)數(shù)a的范圍為________．題型2根據(jù)圓的一般方程求圓心和半徑例2求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1)x2＋y2－6x＝0；(2)2x2＋2y2＋4ax－2＝0；(3)x2＋y2－2ax－23ay＋3a2＝0.方法歸納根據(jù)圓的一般方程求圓的圓心和半徑的兩種方法鞏固訓(xùn)練2求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1)x2＋y2－4x＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0.題型3求圓的一般方程例3已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑．方法歸納待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.鞏固訓(xùn)練3已知A(2，0)，B(3，3)，C(－1，1)，則△ABC的外接圓的一般方程為()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0C．x2＋y2－2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＋1＝0題型4與圓有關(guān)的最值問題(數(shù)學(xué)探究)例4已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)yx(2)y－x的最小值和最大值；(3)x2＋y2的最小值和最大值．方法歸納與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解法(1)形如u＝y(tǒng)-bx-a形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(x，y)和((2)形如z＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線y＝－abx＋z(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問題．易錯(cuò)辨析忽視圓的條件致錯(cuò)例5已知定點(diǎn)A(a，2)在圓x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，則a的取值范圍為________．解析：由題意知a解得a＞2，a＜94答案：(2，94【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視了二元二次方程表示圓的條件D2＋E2－4F＞0，從而得到錯(cuò)誤答案：a＞2.對(duì)于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圓，故求解本題在判定出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系后，要驗(yàn)證所求參數(shù)的范圍是否滿足D2＋E2－4F＞0.2．5.2圓的一般方程新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)1．D2＋E2－4F>02．(－D2，－E2)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：x2＋y2－2x－3＝0，配方得(x－1)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑r＝2.答案：C3．解析：對(duì)于A選項(xiàng)，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy項(xiàng)，該方程不表示圓；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，∵22＋22－4×2＝0，該方程不表示圓；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵(－3)2＋12－4×4<0，該方程不表示圓；對(duì)于D選項(xiàng)，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化為x2＋y2＋2x＋52y＋12＝因?yàn)?2＋522－4×1答案：D4．解析：由已知圓心坐標(biāo)為(－12，－12所以－12a－12＋1＝0，解得a答案：A5．解析：圓x2＋y2＋ax＋by＝0的圓心為(－a2，－b2)＝(3，4)?a＝－6，b＝－8，所以圓的半徑為a答案：5題型探究·課堂解透例1解析：因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋mx＋2y＋5＝0表示一個(gè)圓，則m2＋4－20>0，解得m>4或m<－4.答案：C鞏固訓(xùn)練1解析：由x2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0得x2－2ax＋a2＋y2－4ay＋4a2＋a2－a＝0，即(x－a)2＋(y－2a)2＝a－a2，因?yàn)榉匠蘹2＋y2－2ax－4ay＋6a2－a＝0表示圓心在第一象限的圓，所以a>02a>0a答案：0<a<1例2解析：(1)方程x2＋y2－6x＝0?(x－3)2＋y2＝9，所以圓心為(3，0)，半徑為3.(2)將2x2＋2y2＋4ax－2＝0兩邊同除以2，得x2＋y2＋2ax－1＝0，配方，得(x＋a)2＋y2＝1＋a2.故圓心坐標(biāo)為(－a，0)，半徑為1+a(3)方程x2＋y2－2ax－23ay＋3a2＝0?(x－a)2＋(y－3a)2＝a2，所以圓心為(a，3a)，半徑為|a|.鞏固訓(xùn)練2解析：(1)方程可變形為(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圓，圓心為C(2，0)，半徑r＝2.(2)由圓的一般方程可知a≠0，原方程可化為(x＋a)2＋y2＝a2.方程表示以(－a，0)為圓心，|a|為半徑的圓．例3解析：方法一設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圓上，∴1+16+D+4E+F=0，4+9∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.方法二∵kAB＝4-31+2＝13，kAC＝∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，∴外心是線段BC的中點(diǎn)，坐標(biāo)為(1，－1)，r＝12|BC|＝∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.鞏固訓(xùn)練3解析：設(shè)△ABC外接圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由題意可得：22+0即△ABC的外接圓的方程為：x2＋y2－2x－4y＝0.答案：C例4解析：(1)如圖所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(diǎn)(2，0)為圓心，以3為半徑的圓．設(shè)yx＝k，即y＝kx，則圓心(2，0)到直線y＝kx由2k-0k2+1＝3，解得∴kmax＝3，kmin＝－3.(也可由平面幾何知識(shí)，得OC＝2，CP＝3，∠POC＝60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°.)(2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，僅當(dāng)直線y＝x＋b與圓切于第四象限時(shí)，截距b取最小值，由點(diǎn)到直線的