2.1 兩角和與差的三角函數(shù) 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第二章三角恒等變換2.1兩角和與差的三角函數(shù)2.1.1兩角和與差的余弦公式教材要點(diǎn)要點(diǎn)兩角和與差的余弦公式狀元隨筆公式的特點(diǎn)：公式左邊是差角的余弦，公式右邊的式子是含有同名弦函數(shù)之積的和式，可用口訣“余余，正正，號(hào)相反”記憶公式．名稱簡(jiǎn)單符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝____________________α，β為任意角兩角和的余弦C(α＋β)cos(α＋β)＝____________________cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)對(duì)任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(

)(2)存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)(3)對(duì)任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)(4)存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cosα－cosβ.(

)×√×√

答案：C

答案：A

方法歸納利用兩角和與差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和差，正用公式直接求解．(2)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角和差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值．

答案：A

(2)cos63°sin57°＋sin117°sin33°＝________．

方法歸納(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一個(gè)弦值，求另一個(gè)弦值時(shí)，一定注意已知角的范圍．

答案：B

方法歸納(1)要求角需先求這個(gè)角的三角函數(shù)值，然后根據(jù)范圍得出角的值．(2)已知一個(gè)角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)時(shí)，要根據(jù)角的范圍確定其符號(hào)．

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得只考慮α，β為銳角，得0＜α＋β＜π.忽視角的隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)了兩解．利用三角函數(shù)值求值時(shí)，不僅要注意有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合一些特殊角的三角函數(shù)值把角的范圍縮小到盡可能小的范圍內(nèi)，這樣可以避免多解的情況．

答案：A

答案：A

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第二章三角恒等變換2.1兩角和與差的三角函數(shù)2.1.2兩角和與差的正弦公式教材要點(diǎn)要點(diǎn)兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝______________________α，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝____________________α，β∈Rsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ

基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)對(duì)任意的α，β角，都有sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(

)(2)存在α，β角，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(

)(3)存在α，β角，使得sin(α－β)＝sinα＋sinβ.(

)(4)?α，β，有sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.(

)×√√√

答案：D

答案：C

答案：A

方法歸納(1)對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問(wèn)題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角函數(shù)式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．(2)一般途徑有：將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，變換分子、分母的形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要注意逆用或變用公式．跟蹤訓(xùn)練1

(1)化簡(jiǎn)：sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(63°－x)·sin(18°－x)＝________．

方法歸納(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(2)已知角的一個(gè)弦值，求另一個(gè)弦值時(shí)，一定注意已知角的范圍．

答案：A

方法歸納(1)要求一個(gè)角，一般可以先求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，具體求哪種三角函數(shù)值，應(yīng)根據(jù)所求角的范圍確定．(2)考慮角的拼湊，注意到β＝α－(α－β)，故sinβ＝sin[α－(α－β)]，或cosβ＝cos[α－(α－β)].(3)本題還可以將cos(α－β)展開(kāi)，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解，但比較復(fù)雜．

答案：D

答案：ABC

答案：C

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊(cè)第二章三角恒等變換2.1兩角和與差的三角函數(shù)2.1.3兩角和與差的正切公式教材要點(diǎn)要點(diǎn)

兩角和與差的正切公式名稱公式簡(jiǎn)記符號(hào)使用條件兩角和的正切tan(α＋β)＝__________________T(α＋β)兩角差的正切tan(α－β)＝__________________T(α－β)

狀元隨筆公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律(1)公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號(hào)變化規(guī)律可簡(jiǎn)記為“分子同，分母反”．

×√×

答案：D

答案：B

答案：B

方法歸納(1)注意兩角和與差的正切公式的特點(diǎn)，逆用公式求值．(2)第(1)小題用到了“1”的變換，即將常數(shù)1轉(zhuǎn)化為tan45°，這種技巧在解三角函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常用到．

答案：A

答案：D

方法歸納由三角函數(shù)定義與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求已知角的正切值，再運(yùn)用兩角和與差的正切公式求解．

答案：C

答案：C

易錯(cuò)辨析忽略條件中隱含的角的范圍出錯(cuò)例5

已知tan2α＋6tanα＋7＝0，tan2β＋6tanβ＋7＝0，α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因