18.2.2 菱形 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.1菱形第1課時(shí)菱形的性質(zhì)導(dǎo)入新課欣賞下面圖片，圖片中框出的圖形是你熟悉的嗎？將一張矩形的紙對折，然后沿著圖中的虛線剪下，猜猜看，打開是個(gè)什么圖形，自己動(dòng)手做一做.觀察得到的四邊形的形狀，它是一個(gè)怎樣的四邊形呢？思考探究新知平行四邊形矩形

前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形，知道了矩形是由平行四邊形角的變化得到，如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),就成為了矩形.有一個(gè)角是直角思考如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長度讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的平行四邊形叫什么呢?

平行四邊形菱形鄰邊相等定義：菱形是特殊的平行四邊形.平行四邊形不一定是菱形.歸納有一組鄰邊相等的平行四邊形.探究新知活動(dòng)

在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖），并回答以下問題:問題1菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,指出它的對稱軸.是，兩條對角線所在直線都是它的對稱軸.問題1根據(jù)上面折疊過程，猜想菱形的四邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?菱形的兩條對角線有什么關(guān)系?

猜想1

菱形的四條邊都相等.

猜想2

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=AD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，ABCOD證一證求證:(1)AB=BC=CD=AD；

(2)AC⊥BD；

∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.∴AB=CD，AD

=BC（平行四邊形的對邊相等）.又∵AB=AD,∴AB

=

BC

=

CD

=AD.解：（2）∵AB=AD,ABCOD∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分）.在等腰三角形ABD中,∵OB=OD，∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.同理可證∠DCA=∠BCA，

∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.知識歸納對邊相等四個(gè)角都是直角對角線互相平分且相等四邊相等對角相等兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角矩形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)對角相等對角線互相平分對邊相等平行四邊形的性質(zhì)

比較菱形的對角線和平行四邊形的對角線，我們發(fā)現(xiàn)，菱形的對角線把菱形分成4個(gè)全等的直角三角形，而平行四邊形通常只被分成兩對全等三角形.探究新知

由菱形兩條對角線的長，你能求出它的面積嗎？FMNEGABDCO問題2

菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形的面積公式計(jì)算菱形ABCD的面積呢?ABCD思考

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了菱形的對角線互相垂直,那么能否利用對角線來計(jì)算菱形ABCD的面積呢?E過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,則S菱形ABCD=底×高=BC·AE.能如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O,試用對角線表示出菱形ABCD的面積.ABCDO解：∵四邊形ABCD是菱形，你有什么發(fā)現(xiàn)？菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC

+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.菱形的面積計(jì)算有如下方法：歸納(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個(gè)小直角三角形的面積之和(或一個(gè)小直角三角形面積的4倍)；(3)兩條對角線長度乘積的一半．例題與練習(xí)例1如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD．求兩條小路的長（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）和花壇的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．A

B

C

D

O

解：∵花壇ABCD是菱形，1.四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的長.解：∵四邊形ABCD是菱形，練習(xí)∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∴△ABO是直角三角形，∴BO==3∴AC=2AO=8，BD=2BO=62.菱形ABCD的兩條對角線BD、AC長分別是6cm和8cm，求菱形的周長和面積.解：菱形的邊長==5.（cm）

練習(xí)C菱形ABCD=4×5=20（cm）

例2如圖，在菱形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．BO＝DOB．∠DAC＝∠BACC．AC⊥BDD．AO＝DOD例3如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH.求證：∠DHO＝∠DCO.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠OHB＝∠OBH.∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，又∵AB∥CD，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.∴∠OHB＝∠ODC.∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.3．菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是(

)A．兩組對邊分別平行

B．兩組對角分別相等C．對角線互相平分

D．四條邊相等D練習(xí)4．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH等于____．5．如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F.求證：CE＝CF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.ADFCBE

菱形是軸對稱圖形，它的兩條對角線所在的直線都是它的對稱軸，每條對角線平分一組對角．歸納課堂小結(jié)菱形的性質(zhì)菱形性質(zhì)有關(guān)計(jì)算邊1.周長=邊長的四倍2.面積=底×高=兩條對角線乘積的一半角對角線1.兩組對邊平行且相等；2.四條邊相等兩組對角分別相等，鄰角互補(bǔ)鄰角互補(bǔ)1.兩條對角線互相垂直平分；2.每一條對角線平分一組對角人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.1菱形第2課時(shí)菱形的判定導(dǎo)入新課有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的性質(zhì)兩組對邊平行四條邊相等兩組對角分別相等鄰角互補(bǔ)兩條對角線互相垂直平分邊角對角線回顧菱形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？每一條對角線平分一組對角根據(jù)菱形的定義,可得菱形的第一個(gè)判定的方法：AB=AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形.數(shù)學(xué)語言有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD思考

還有其他的判定方法嗎？探究新知活動(dòng)前面我們用一長一短兩根細(xì)木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周圍上一根橡皮筋,做成一個(gè)平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)平行四邊形什么時(shí)候變成菱形?對此你有什么猜想？猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？ABCOD已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O

，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形.證一證 ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是線段AC的垂直平分線.

∴BA=BC.

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.命題1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.命題2：四條邊都相等的四邊形是菱形.已知：四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.證明：∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=BC，∴ABCD是菱形.ADCB知識歸納對角線互相垂直的平行四邊形是菱形AC⊥BD幾何語言描述：∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：∵在□ABCD中，AC⊥BD,四條邊都相等的四邊形是菱形AB=BC=CD=AD幾何語言描述：∴四邊形

ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：四邊形ABCDABCD知識歸納∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD，例題與練習(xí)例1如圖，ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB=5，

AO=4，BO=3.

求證：四邊形ABCD是菱形.ABCDO又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵

OA=4,OB=3,AB=5，證明：即AC⊥BD，∴

AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形，∴四邊形ABCD是菱形.解：這是一個(gè)菱形.練習(xí)1.一個(gè)平行四邊形的一條邊長是9，兩條對角線的長分別是12和6，這是一個(gè)特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.BCDAOAO=CO=AC=6，BO=DO=BD=3.在△ABO中，S菱形ABCD=AC·BD=36BCDAO∵AO2+BO2=（3）2+62=81，AB2=92=81，∴△ABO是直角三角形，∴AC⊥BD，∴ABCD是菱形.例2如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，試問四邊形AEDF是菱形嗎？說明你的理由．解：四邊形AEDF是菱形．理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴四邊形AEDF是菱形．例3如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AF＝DC；解：∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝DB.∵AD是BC邊上的中線，∴DB＝DC，∴AF＝DC；解：四邊形ADCF是菱形．證明如下：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC邊上的中線，∴