2023-2024學(xué)年河北省唐山市八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省唐山市八年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)剛剛落下帷幕，在以下給出的運(yùn)動(dòng)圖片中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．2．要使分式的值為0，則x的值應(yīng)滿足（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝03．x8÷x2＝（）A．x4 B．x6 C．x10 D．x164．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，則m的值是（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣75．約分的結(jié)果是（）A． B． C． D．6．四邊形的內(nèi)角和等于x°，五邊形的外角和等于y°，則下列關(guān)系成立的是（）A．x＝y(tǒng) B．x＝2y C．x＝y(tǒng)+180 D．y＝x+1807．如果把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么這個(gè)分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 C．?dāng)U大為原來(lái)的4倍 D．縮小為原來(lái)的8．如圖，將△ABC沿折痕l折疊，使AC邊落在AB邊上，則得到結(jié)論一定正確的是（）A．AD＝AC B．BD＝CD C．∠ADC＝90° D．∠BAD＝∠CAD9．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，則a+b的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．510．如圖，已知△ABC，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于D點(diǎn)，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于E點(diǎn)．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠EAD的度數(shù)是（）A．34° B．36° C．38° D．40°11．對(duì)于下列多項(xiàng)式，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）①a2+b2；②a2﹣b2；③﹣a2+b2；④﹣a2﹣b2．A．①② B．①④ C．③④ D．②③12．如圖，點(diǎn)P在線段AB外，且PA＝PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．在證明該結(jié)論時(shí)，三位同學(xué)輔助線的作法如下：甲：作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C．乙：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C．丙：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，且AC＝BC．其中，正確的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全對(duì)13．嘉淇準(zhǔn)備完成題目：解方程+＝0．發(fā)現(xiàn)分母的位置印刷不清，查閱答案后發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案是x＝﹣1，請(qǐng)你幫助嘉淇推斷印刷不清的位置可能是（）A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣114．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝AB′＝3，AC＝A'C＝4，已知∠C＝n°，則∠C′的度數(shù)是（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）15．20＝．16．如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B＝40°，∠A＝70°，則∠ACD等于°．17．如圖，△ABC是等邊三角形，AC＝4，AD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝．18．如圖，將一張三角形紙片沿著DE折疊（點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上），點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，若∠A＝70°，則∠1+∠2＝°．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（1）a2?a4﹣（a2）3﹣（2a）3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．20．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求∠C的度數(shù)．21．化簡(jiǎn)：，下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過(guò)程：解：原式＝[+]?…解：原式＝?+?…（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是，乙同學(xué)解法的依據(jù)是；（填序號(hào)）①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．（2）請(qǐng)選擇一種解法，寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．22．如圖，∠A＝∠B＝50°，P為AB中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作直線分別交射線AC、BD于點(diǎn)M、N（分別不與點(diǎn)A、B重合），設(shè)∠BPN＝α．（1）求證：PM＝PN；（2）當(dāng)△APM為直角三角形時(shí)，求α的度數(shù)．23．已知k為任意整數(shù)，設(shè)a＝2k+3，b比a小3．（1）b＝；（用含k的代數(shù)式表示）（2）求證：a2﹣b2總能被3整除．24．如圖，已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AB＝6km，AC＝10km，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，同向而行，分別前往B地和C地，甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)目的地．（1）設(shè)甲的速度為3xkm/h，完成下表：路程速度時(shí)間甲63x乙10（2）求甲、乙的速度．25．如圖1和圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB﹣BC勻速移動(dòng)，速度為1單位/秒，運(yùn)動(dòng)到C時(shí)停止，點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠B．（設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒）（1）如圖1，點(diǎn)P在AB上時(shí)，AP＝，CQ＝；（用含t的代數(shù)式表示）（2）如圖2，點(diǎn)P在邊BC上，∠APC＝60°時(shí)，∠BAP＝°，∠AQP＝°；（3）如圖2，點(diǎn)P在邊BC上，若BP＝6﹣6，求證：△ABP≌△PCQ；（4）當(dāng)6≤t≤6+6時(shí)，若△CPQ為等腰三角形，直接寫(xiě)出AQ的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)剛剛落下帷幕，在以下給出的運(yùn)動(dòng)圖片中，屬于軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念解答即可．解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；D選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．要使分式的值為0，則x的值應(yīng)滿足（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可得x＝0且x﹣1≠0，再解即可．解：由題意得：x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式的值為零的條件，熟知分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵．3．x8÷x2＝（）A．x4 B．x6 C．x10 D．x16【分析】利用同底數(shù)冪冪的除法公式求解即可．解：x8÷x2＝x8﹣2＝x6；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，熟練掌握該運(yùn)算法則是關(guān)鍵．4．已知（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，則m的值是（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算（2x+1）（x+3），然后根據(jù)（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，求出m即可．解：（2x+1）（x+3）＝2x2+6x+x+3＝2x2+7x+3，∵（2x+1）（x+3）＝2x2+mx+3，∴m＝7，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則．5．約分的結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】先確定分式的分子與分母的公因式，再約分即可．解：＝＝﹣，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的約分，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．6．四邊形的內(nèi)角和等于x°，五邊形的外角和等于y°，則下列關(guān)系成立的是（）A．x＝y(tǒng) B．x＝2y C．x＝y(tǒng)+180 D．y＝x+180【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理與多邊形外角的關(guān)系即可得出結(jié)論．解：∵四邊形的內(nèi)角和等于x°，∴x°＝（4﹣2）?180°＝360°．∵五邊形的外角和等于y°，∴y°＝360°，∴x＝y(tǒng)．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，熟知多邊形的內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．7．如果把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，那么這個(gè)分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大為原來(lái)的2倍 C．?dāng)U大為原來(lái)的4倍 D．縮小為原來(lái)的【分析】根據(jù)題意得出新的分式，然后約分比較即可．解：把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則，即分式的值不變，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式的分子、分母都乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變．8．如圖，將△ABC沿折痕l折疊，使AC邊落在AB邊上，則得到結(jié)論一定正確的是（）A．AD＝AC B．BD＝CD C．∠ADC＝90° D．∠BAD＝∠CAD【分析】由折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果．解：由折疊的性質(zhì)得：∠BAD＝∠CAD，而AD長(zhǎng)和AC長(zhǎng)不一定相等，BD長(zhǎng)和CD長(zhǎng)不一定相等，∠ADC不一定是90°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．已知（3x+2）（ax+b）＝9x2﹣4，則a+b的值是（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，從而可得：a＝3，b＝﹣2，然后把a(bǔ)，b的值代入式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：∵（3x+2）（3x﹣2）＝9x2﹣4，∴a＝3，b＝﹣2，∴a+b＝3+（﹣2）＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握平方差公式的特征是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知△ABC，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于D點(diǎn)，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于E點(diǎn)．若∠B＝40°，∠C＝36°，則∠EAD的度數(shù)是（）A．34° B．36° C．38° D．40°【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，而∠B＝40°，∠C＝36°，即可求出∠BDA＝70°，∠CEA＝72°，由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠EAD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．解：由題意得：BA＝BD，CA＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，∵∠B＝40°，∠C＝36°，∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，∠CEA＝×（180°﹣36°）＝72°，∴∠EAD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BDA、∠CEA的度數(shù)．11．對(duì)于下列多項(xiàng)式，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）①a2+b2；②a2﹣b2；③﹣a2+b2；④﹣a2﹣b2．A．①② B．①④ C．③④ D．②③【分析】利用平方差公式檢驗(yàn)即可．解：①a2+b2，不能用平方差公式分解；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合題意；③﹣a2+b2＝（﹣a+b）（a+b），符合題意；④﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．12．如圖，點(diǎn)P在線段AB外，且PA＝PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．在證明該結(jié)論時(shí)，三位同學(xué)輔助線的作法如下：甲：作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C．乙：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C．丙：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，且AC＝BC．其中，正確的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．全對(duì)【分析】利用三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定判斷四個(gè)選項(xiàng)是否成立即可．解：∵作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C，∴∠APC＝∠BPC，在△PCA和△PCB中，，∴△PCA≌△PCB（SAS），∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，故甲符合題意；∵PC⊥AB，∴△PCA和△PCB是直角三角形，在Rt△PCA和Rt△PCB中，，∴△PCA≌△PCB（HL），∴CA＝CB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，故乙符合題意；∵過(guò)線段外一點(diǎn)作已知線段的垂線，不能保證也平分此條線段，故丙不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判斷方法是解本題的關(guān)鍵．13．嘉淇準(zhǔn)備完成題目：解方程+＝0．發(fā)現(xiàn)分母的位置印刷不清，查閱答案后發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)答案是x＝﹣1，請(qǐng)你幫助嘉淇推斷印刷不清的位置可能是（）A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1【分析】設(shè)印刷不清的位置的式子為a，把x＝﹣1代入分式方程計(jì)算確定出a即可．解：設(shè)印刷不清的位置的式子為a，即+＝0，把x＝﹣1代入得：+1＝0，解得：a＝﹣2，檢驗(yàn)：把a(bǔ)＝﹣2代入得：a≠0，∴分式方程的解為a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，則推斷印刷不清的位置可能是x﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．14．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝AB′＝3，AC＝A'C＝4，已知∠C＝n°，則∠C′的度數(shù)是（）A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150°【分析】分兩種情況討論，當(dāng)BC＝B′C′時(shí)，則△ABC≌△A′B′C′，得出∠C′＝∠C＝n°，當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，從而求得∠A′C″B′＝180°﹣n°．解：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SSA），∴∠C′＝∠C＝n°，當(dāng)BC≠B′C′時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∠A′C″B′＝180°﹣n°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形兩底角相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）15．20＝1．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)得出答案．解：20＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查零指數(shù)冪，掌握“任意一個(gè)不為0的零次冪等于1”是正確解答的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B＝40°，∠A＝70°，則∠ACD等于110°．【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故答案為：110．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．17．如圖，△ABC是等邊三角形，AC＝4，AD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝2．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)推出BC＝AC＝4，BD＝BC＝2．解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝4，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD＝BC＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)推出BD＝BC．18．如圖，將一張三角形紙片沿著DE折疊（點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上），點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，若∠A＝70°，則∠1+∠2＝140°．【分析】在△ADE中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠ADE+∠AED的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，再結(jié)合∠ADE+∠A′DE+∠2＝180°，∠AED+∠A′ED+∠1＝180°，即可求出∠1+∠2的度數(shù)．解：在△ADE中，∠A＝70°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．由折疊的性質(zhì)，可知：∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED．∵∠ADE+∠A′DE+∠2＝180°，∠AED+∠A′ED+∠1＝180°，∴∠ADE+∠A′DE+∠2+∠AED+∠A′ED+∠1＝180°+180°，即2（∠ADE+∠AED）+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×110°＝140°．故答案為：140．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換（折疊問(wèn)題），牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7個(gè)小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（1）a2?a4﹣（a2）3﹣（2a）3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加減，即可解答；（2）利用完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：（1）a2?a4﹣（a2）3﹣（2a）3＝a6﹣a6﹣8a3＝﹣8a3；（2）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2+4x+4﹣（x2﹣1）＝x2+4x+4﹣x2+1＝4x+5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求∠C的度數(shù)．【分析】（1）由題意，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出底角，（2）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系即可求出內(nèi)角∠C，解：（1）在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣20°）×＝80°，（2）∵AD＝DC，∴∠C＝∠CAD＝∠ADB＝×80°＝40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角的關(guān)系．利用三角形的內(nèi)角求角的度數(shù)是一種常用的方法，要熟練掌握．21．化簡(jiǎn)：，下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運(yùn)算過(guò)程：解：原式＝[+]?…解：原式＝?+?…（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是②，乙同學(xué)解法的依據(jù)是③；（填序號(hào)）①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．（2）請(qǐng)選擇一種解法，寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．【分析】（1）根據(jù)乘法分配律，以及分式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）若選擇甲同學(xué)的解法：先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，即可解答；若選擇乙同學(xué)的解法：先利用乘法分配律計(jì)算分式的乘法，再算加減，即可解答．解：（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，故答案為：②；③；（2）若選擇甲同學(xué)的解法：＝[+]?＝?＝?＝2x；若選擇乙同學(xué)的解法：＝?+?＝?+?＝x﹣1+x+1＝2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22．如圖，∠A＝∠B＝50°，P為AB中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作直線分別交射線AC、BD于點(diǎn)M、N（分別不與點(diǎn)A、B重合），設(shè)∠BPN＝α．（1）求證：PM＝PN；（2）當(dāng)△APM為直角三角形時(shí)，求α的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)AAS證明△APM≌△BPN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）分兩種情況，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】（1）證明：∵P是AB的中點(diǎn)，∴PA＝PB，在△APM和△BPN中，，∴△APM≌△BPN（ASA），∴PM＝PN；（2）解：∵∠A＝50°，∴當(dāng)△APM為直角三角形時(shí)，∠APM＝90°或∠AMP＝90°，當(dāng)∠APM＝90°時(shí)，α＝∠APM＝90°，當(dāng)∠AMP＝90°時(shí)，∠APM＝180°﹣∠AMP﹣∠A＝40°，∴α＝40°，綜上，當(dāng)△APM為直角三角形時(shí)，α的度數(shù)為90°或40°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．已知k為任意整數(shù)，設(shè)a＝2k+3，b比a小3．（1）b＝2k；（用含k的代數(shù)式表示）（2）求證：a2﹣b2總能被3整除．【分析】（1）已知a＝2k+3，b比a小3，可得b的值；（2）先因式分解a2﹣b2，再代值，最后化簡(jiǎn)可證．解：（1）∵a＝2k+3，b比a小3，∴b＝2k，故答案為：2k；（2）證明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（2k+3+2k）（2k+3﹣2k）＝（4k+3）×3，∵（4k+3）×3總能被3整除，∴a2﹣b2總能被3整除．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式、因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握因式分解的運(yùn)用．24．如圖，已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AB＝6km，AC＝10km，甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，同向而行，分別前往B地和C地，甲、乙的速度比是3：4，結(jié)果甲比乙提前20min到達(dá)目的地．（1）設(shè)甲的速度為3xkm/h，完成下表：路程速度時(shí)間甲63x乙104x（2）求甲、乙的速度．【分析】（1）設(shè)甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，得乙到達(dá)C地所用的時(shí)間為h即可；（2）根據(jù)甲比乙提前20min到達(dá)目的地．列出分式方程，解方程即可．解：（1）設(shè)甲的速度為3xkm/h，則乙的速度為4xkm/h，∴乙到達(dá)C地所用的時(shí)間為：h，故答案為：4x，；（2）由題意得：﹣＝，解得：x＝1.5，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1.5是原方程的解，且符合題意，∴3x＝3×1.5＝4.5，4x＝4×1.5＝6，答：甲的速度為4.5km/h，乙的速度為6km/h．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．25．如圖1和圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AB﹣BC勻速移動(dòng)，速度為1單位/秒，運(yùn)動(dòng)到C時(shí)停止，點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動(dòng)，且始終保持∠APQ＝∠B．（設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒）（1）如圖1，點(diǎn)P在AB上時(shí)，AP＝t，CQ＝6﹣t；（用含t的代數(shù)式表示）（2）如圖2，點(diǎn)P在邊BC上，∠APC＝60°時(shí)，∠BAP＝15°，∠AQP＝60°；（3）如圖2，點(diǎn)P在邊BC上，若BP＝6﹣6，求證：△ABP≌△PCQ；（4）當(dāng)6≤t≤6+6時(shí)，若△CPQ為等腰三角形，直接寫(xiě)出AQ的長(zhǎng)．【分析】（1）由AB＝AC＝6，得∠B＝∠C，因?yàn)辄c(diǎn)P在AB上，∠APQ＝∠B，所以AP＝t，PQ∥BC，可證明∠APQ＝∠AQP，則AQ＝AP＝t，所以CQ＝6﹣t，于是得到問(wèn)題的答案；（2）由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠APQ＝∠B＝∠C＝45°，而∠APC＝60°，則∠PAC＝180°﹣∠APC﹣∠C＝75°，可求得∠BAP＝∠BAC﹣∠PAC＝15°，∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠PAC＝60°，于是得到問(wèn)題的答案；（3）由∠B＝∠C＝∠APQ＝45°，推導(dǎo)出∠BAP＝∠CPQ＝135°﹣∠APB，則BC＝6，BP＝6﹣6，求得PC＝BC﹣BP＝6，則AB＝PC，即可根據(jù)“AAS”證明△ABP≌△PCQ；（4）當(dāng)PQ＝CQ，則∠QPC＝∠C＝45°，則∠APC＝∠APQ+∠PQC＝90°，∠PQC＝180°﹣∠QPC﹣∠C＝90°，所以AP⊥BC，PQ⊥AC，則AP＝CP＝BP＝BC，所以AQ＝AC＝3；當(dāng)CP＝CQ，則∠CPQ＝∠CQP＝67.5°，可推導(dǎo)出∠BPA＝∠BAP＝67.5°，則PB＝AB＝6，所以CP＝CQ＝6﹣6，求得AQ＝AC﹣CQ＝12﹣