廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答題前，請(qǐng)將學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào)用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請(qǐng)保持條形碼整潔、不污損.3.本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其〖答案〗一律無效.答題卡必須保持清潔，不能折疊.4.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗；非選擇題〖答案〗必須用規(guī)定的筆，按作答題目的序號(hào)，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).5.考試結(jié)束，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直線即，故直線的斜率等于，設(shè)直線的傾斜角等于，則，且，故，故選：B．2.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A.0 B.1 C.e D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，根?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1.故選：B3.雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是與是雙曲線左支上的一點(diǎn)，且，則（）A.1 B.13 C.1或13 D.3〖答案〗B〖解析〗是雙曲線左支上的一點(diǎn)，所以，解得：，由雙曲線定義可知，，所以13.故選：B.4.已知等比數(shù)列滿足，則（）A.24 B.36 C.48 D.108〖答案〗C〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，同理，所以，所以，所以.故選：C.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗①中，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，，即，故為首項(xiàng)為6，公比為3的等比數(shù)列，故.故選：B6.已知，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以在上投影的長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：C7.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)在第一象限時(shí)，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以為三角形的中位線，即，所以，又根據(jù)拋物線的定義，所以，所以在直角三角形中，，所以，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)在第四象限時(shí)，，故選：D.8.過點(diǎn)可以做三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴，∴M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)得，∵過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，∴方程有三個(gè)不等實(shí)根.令，求導(dǎo)得到，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示，故，即.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數(shù)列 B.C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，取得最大值〖答案〗ABD〖解析〗當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，則，，則滿足題意，故，故選項(xiàng)A正確；，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，取最大值，但是，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD10.若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦距為4，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.離心率是 D.兩條漸近線的夾角為〖答案〗ACD〖解析〗由題意可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中即，，即，得，故A正確；此時(shí)，離心率，故C正確；雙曲線的漸近線方程為，所以其中一條直線的斜率為，傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角為，故D正確.故選：ACD11.已知圓，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)分別為和，線段的中點(diǎn)為，則下列說法正確的有（）A.若，則這樣的點(diǎn)只有一個(gè)B.四邊形面積的最小值為1C.直線恒過點(diǎn)D.平面內(nèi)存在一定點(diǎn)，使得線段的長(zhǎng)度為定值〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：設(shè)，過點(diǎn)作圓的切線，切線斜率不存在時(shí)顯然不滿足題意，設(shè)切線方程為，即，則，整理得則方程的根為，又，所以所以，解得，即若，則這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，A正確；對(duì)于B：要四邊形面積的最小值為1，則最小，當(dāng)為點(diǎn)到直線距離時(shí)最小，此時(shí)，所以四邊形面積的最小值為，B正確；對(duì)于C：由于直線為以為直徑圓與圓的公共弦，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，即，結(jié)合，兩圓方程做差可得，變形為，令，解得，即直線恒過點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由選線C得直線的方程為，即又直線的方程為，即兩式相乘得，當(dāng)時(shí)，，整理得，當(dāng)時(shí)，直線與直線的交點(diǎn)為，滿足，故直線與直線的交點(diǎn)軌跡方程為，即為點(diǎn)的軌跡方程，故存在點(diǎn)，使得線段的長(zhǎng)度為定值，D正確.故選：ABD.12.正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)為底面正方形上一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線與平面所成的角的正弦值為B.若點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為C.若，則的最小值為D.若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的長(zhǎng)度最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A，對(duì)于正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，則，則，所以直線和夾角余弦值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，所以，所以在以為圓心，為半徑的圓上（正方形內(nèi)的部分），取的中點(diǎn)，則，由于，所以，則的最小值為，故C正確；對(duì)于D，若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的長(zhǎng)度最小值即異面直線和的距離，設(shè)為直線和的法向量，又因?yàn)?，則，令，則，所以異面直線和的距離為，即的長(zhǎng)度最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，若，則的值為______.〖答案〗2〖解析〗因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：214.已知為等差數(shù)列，，則______.〖答案〗6〖解析〗根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，又，所以.故〖答案〗為：615.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是______.〖答案〗10〖解析〗設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為圓的圓心，點(diǎn)為圓外的點(diǎn)，的最大值為,,即，的最大值為，如圖，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí),“=”成立，，,,所以的最大值為.故〖答案〗為：1016.已知矩形中，將矩形沿著對(duì)角線對(duì)折，形成一個(gè)空間四邊形，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗在和中，分別過點(diǎn)作，由，代入,得，所以，同理，，，所以，設(shè)二面角大小為，則與夾角為，由，平方得，，所以，解得，所以二面角的余弦值為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)，因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以，解得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，所以到直線距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，此時(shí)直線方程為，即.綜上所述，直線的方程為或18.已知數(shù)列滿足.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所以，所以為定值，所以是首?xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以（2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以19.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以極大值為，極小值為，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，極大值，極小值（2）由題意得，，所以對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為20.如圖，在四棱錐中，，.（1）求證：平面；（2）若，若平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）取中點(diǎn),連接,因?yàn)?，則，,且,又面，所以面,面,則,又因?yàn)?平面，所以平面.（2）由（1）可知，平面，且，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以?,,,,,,所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,令，可得，所以，因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以,解得：或，因?yàn)?，所?21.已知橢圓過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線的斜率分別為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，如果存在，請(qǐng)求出的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由已知得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立，消去得，所以，則，又，要恒成立，即恒成立，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)，綜上所述：存在實(shí)數(shù)，使得