廣東省惠州市2024屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省惠州市2024屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，則.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，則，又，所以，即.故選：C．3.對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”（）A.充分非必要條件； B.必要非充分條件；C.充要條件； D.既非充分又非必要條件.〖答案〗C〖解析〗若數(shù)列的通項公式為，則(為常數(shù))，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，則通項公式為，令，則數(shù)列的通項公式可寫為，為常數(shù)，.所以對于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.4.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.5.將最小正周期為的函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.對稱軸為， B.在內(nèi)單調(diào)遞增C.對稱中心為， D.在內(nèi)最小值為〖答案〗C〖解析〗因為的最小正周期為，所以，解得，則由平移變換可得，A選項：令得對稱軸方程為，A錯誤；B選項：由得，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以在上單調(diào)遞減，B錯誤；C選項：令得，所以的對稱中心為，C正確；D選項：因為，，所以結(jié)合B中分析可得在內(nèi)的最小值為，D錯誤.故選：C.6.設(shè)是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由雙曲線，可得，漸近線方程為，如圖所示，則焦點到漸近線的距離為，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如將有三條棱互相平行且有一個面為平行四邊形的五面體稱為芻甍，今有一芻甍，底面為平行四邊形，面，記該芻甍的體積為，三棱錐的體積為，，，若，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為面，且底面為平行四邊形，所以，所以，所以，所以，整理得，即，故選：B8.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）A.是奇函數(shù)B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.點（其中）是函數(shù)的對稱中心D.〖答案〗C〖解析〗對于A，因為為奇函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于中心對稱；又因為，所以，又因為，所以，所以，令，得，所以，所以，所以，所以關(guān)于對稱，所以，所以一定不是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，兩邊求導(dǎo)得，即，所以的圖象關(guān)于對稱，故錯誤；對于C，由A可知，關(guān)于對稱，又因為為奇函數(shù)，，所以的一個對稱中心為，又因，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，則點（其中）是函數(shù)的對稱中心，故正確；對于D，因為，關(guān)于對稱，所以，又因為的圖象關(guān)于中心對稱，所以的周期為，所以，故，所以而的值不確定，故錯誤.故選：C．二、多項選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，則，，所以，即，故A正確；對于B，由，假設(shè)，有，又，所以，故B錯誤；對于C，由，可知，，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，故D正確.故選：ACD.10.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是〖解析〗數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對的說法正確的是（）A.B.的值域為C.存在是無理數(shù)，使得D.，總有〖答案〗ABD〖解析〗由，可得的值域為，所以，故選項A、B正確；因為當是無理數(shù)時，且是無理數(shù)，所以，所以，故選項C錯誤；當是無理數(shù)時，均為無理數(shù)，此時有，當是有理數(shù)時，均為有理數(shù)，此時有所以，總有，故選項D正確.故選：ABD11.在中，，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，，所以，所以，，故A選項正確；所以，，即；所以，故D選項正確；所以，即或，所以或，故B選項錯誤；當時，，，當且僅當時，此時，不滿足內(nèi)角和定理；當時，，，當且僅當時，此時，滿足題意.綜上，的最大值為，故C選項正確.故選：ACD12.在四面體中，，，，，分別是棱，，上的動點，且滿足均與面平行，則（）A.直線與平面所成的角的余弦值為B.四面體被平面所截得的截面周長為定值1C.三角形的面積的最大值為D.四面體的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗CD〖解析〗對于A，取中點，中點，連接,由于，故，而，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，則即為直線與平面所成的角，又,而，故，則,所以，故錯誤；對于B，設(shè)平面棱的交點為，因為∥平面且平面,平面平面,所以∥，由題意可知，否則，重合，不合題意，故四邊形為梯形，同理可得四邊形為梯形，所以，，又，所以，所以，又∥，同理可證∥，則∥，同理可證∥，則四邊形為平行四邊形，故四邊形的周長為2，即四面體被平面所截得的截面周長為定值2，故錯誤；對于C，因為平面，平面，所以，而∥，所以，同理可證∥，所以，結(jié)合,所以，當且僅當時，等號成立，即三角形的面積的最大值為，故正確；對于D，由以上分析可知,所以，而平面，，故，而,設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，則即，解得，故四面體的內(nèi)切球的表面積為，故正確.故選：CD.三、填空題13.某電池廠有A，B兩條生產(chǎn)線，現(xiàn)從A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件，測得它們的可充電次數(shù)的平均值為210，方差為4；從B生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件，測得它們的可充電次數(shù)的平均值為200，方差為4．則20件產(chǎn)品組成的總樣本的方差為____________．（參考公式：已知總體分為2層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，．記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則；）〖答案〗28〖解析〗總體的平均數(shù)，則其方差．故〖答案〗為：28．14.若為偶函數(shù)，則_________.（填寫符合要求的一個值）〖答案〗，填寫符合Z的一個即可〖解析〗，只要，就偶函數(shù)，，Z，填寫一個即可，如.故〖答案〗為：，填寫符合Z的一個即可.15.如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為___________（用向量來表示）.〖答案〗〖解析〗由題意，在三棱錐中，已知平面，,∵面，∴，在中，，，∴,，∴向量在向量上的投影向量為：，故〖答案〗為：.16.已知N為拋物線上的任意一點，M為圓上的一點，，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可得拋物線與圓都關(guān)于軸對稱，且圓的圓心坐標為，半徑為.因為，圓下方與軸交點坐標為，取線段中點，中點，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.因為、分別為和的中點，所以，，所以，又因為，，所以，所以，因為，所以，所以，當且僅當、、三點共線時取到等號，此時點為線段與圓的交點.所以的最小值即為的最小值.因為N為拋物線上的任意一點，設(shè)，，因為，則，當時，，即的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題意得底面，底面，故，又，且平面，故平面；（2）解：由題意知，底面，以A為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，由于，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則；平面平面一個法向量可取為，故，故平面與平面的夾角的余弦值為.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（1）求角；（2）是的角平分線，若，，求的面積．解：（1）由，得：，即，又，所以.（2）在中，得：①，又，得：，化簡得：②，由①②得：，所以19.魔方是民間益智玩具，能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，鍛煉眼腦的協(xié)調(diào)性，全面提高專注力、觀察力、反應(yīng)力.基于此特點某小學(xué)開設(shè)了魔方興趣班，共有100名學(xué)生報名參加，在一次訓(xùn)練測試中，老師統(tǒng)計了學(xué)生還原魔方所用的時間（單位：秒），得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：時間人數(shù)年級低年級2812144高年級102216102（1）估計這100名學(xué)生這次訓(xùn)練測試所用時間的第78百分位數(shù)；（2）在這次測試中，從所用時間在和內(nèi)的學(xué)生中各隨機抽取1人，記抽到低年級學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）在這次訓(xùn)練測試中所用時間在140秒以下的學(xué)生所占比例為，所用時間在170秒以下的學(xué)生所占比例為，所以第78百分位數(shù)一定位于內(nèi)，設(shè)第78百分位數(shù)的值為，則.（2）記事件為“從所用時間在內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取1人，抽到的是低年級的學(xué)生”，事件為“從所用時間在內(nèi)的學(xué)生中隨機抽取1人，抽到的是低年級的學(xué)生”，由題意知，事件，相互獨立，且，.的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望.20.已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足,定義使為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.解：（1），當時，，故兩式相減可得：，的奇數(shù)項和偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，且公差為2，且，，奇數(shù)項，則n為奇數(shù)時，，偶數(shù)項，則n為偶數(shù)時，，數(shù)列的通項公式為.（2）且，，令，則，令，則，又，m的值取為1，2，3，4，5，區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為.21.如圖，已知半圓與x軸交于A，B兩點，與y軸交于E點，半橢圓的上焦點為，并且是面積為的等邊三角形，將滿足的曲線記為“”．（1）求實數(shù)、的值；（2）直線與曲線交于M、N兩點，在曲線上再取兩點S、T（S、T分別在直線兩側(cè)），使得這四個點形成的四邊形的面積最大，求此最大面積；（3）設(shè)點，P是曲線上任意一點，求的最小值．解：（1）設(shè)，由題意得，故，所以，.（2）由（1）得，.設(shè)與直線平行的直線與半圓相切，切點為；與直線平行的直線與半橢圓相切，切點為.當點、恰好分別取、時，四邊形面積最大.由，得，故，.設(shè)方程為，則由，得，因為相切，所以，故，即方程為，此時直線與直線的距離為；又因為直線過半圓的圓心，直線與半圓相切，所以兩平行直線，的距離為,所以四邊形面積的最大值為.（3）當時，；當時，設(shè)是半橢圓上的點，由得.此時若，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時,；若，則，在上單調(diào)遞減，故當時，；綜上所述.22.已知函數(shù)（1）若，函數(shù)的極大值為，求a的值；（2）若對任意的，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，.（i）當時，，令，得；，得，所以在單調(diào)