專題05 導(dǎo)數(shù)大題-【考前100天之新高考風(fēng)向標(biāo)】備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題二輪沖刺復(fù)習(xí)?？颊骖}演練（新教材新高考）含解析

專題05導(dǎo)數(shù)大題-【考前100天之新高考風(fēng)向標(biāo)】備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題二輪沖刺復(fù)習(xí)模考真題演練（新教材新高考）專題05導(dǎo)數(shù)大題解題秘籍解題秘籍導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系單調(diào)遞增，單調(diào)遞減極值極值的定義在處先↗后↘，在處取得極大值在處先↘后↗，在處取得極小值兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．(2)函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．常用函數(shù)不等式：①，其加強(qiáng)不等式；②，其加強(qiáng)不等式.③，，放縮，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）轉(zhuǎn)化為證不等式（或），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明（），因此只需在所給區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最小值即可.證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問(wèn)題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（3）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（23·24上·郴州·一模）已知函數(shù).(1)若曲線在處切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.2．（22·23下·煙臺(tái)·三模）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．3．（22·23·廣州·三模）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4．（23·24上·寧波·一模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，5．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)在（1）的條件下，求證：.6．（22·23下·無(wú)錫·三模）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)求證：.7．（22·23下·浙江·二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.8．（22·23下·蘇州·三模）設(shè)函數(shù).(1)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；①當(dāng)時(shí)，；②在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且隨著的增大而增大.9．（22·23下·江蘇·三模）已知函數(shù)，.(1)若與的圖象恰好相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)分別為，（）.（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）10．（22·23下·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．11．（22·23·深圳·二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.12．（22·23下·長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：.13．（22·23下·湖南·二模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)證明：方程有三個(gè)不等實(shí)根．14．（22·23下·長(zhǎng)沙·二模）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”.若時(shí)，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：.15．（22·23下·湖北·三模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，在內(nèi)存在不等實(shí)數(shù)，使得，證明：．16．（22·23下·武漢·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．17．（22·23·保定·二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．18．（22·23下·武漢·三模）已知，其中.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)已知是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.19．（22·23下·黃岡·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，設(shè)兩實(shí)數(shù)，其中，且.證明：.20．（22·23·德州·三模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍．21．（22·23·日照·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.22．（22·23·菏澤·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，且在上恒成立，證明：．23．（22·23·滄州·三模）已知函數(shù)，.(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對(duì)任意的，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).24．（22·23·三明·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.25．（22·23·廈門·三模）已知函數(shù).(1)若，設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若存在，使得，求的取值范圍.26．（22·23·龍巖·二模）已知函數(shù)，．(1)若滿足，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線；(2)若，且，證明：．27．（22·23下·溫州·三模）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，且不等式兩端等號(hào)均能取到，求的最大值.28．（22·23下·浙江·二模）已知函數(shù)，．(1)求證：；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，．（?。┣骯的取值范圍；（ⅱ）求證：．29．（22·23下·紹興·二模）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，①證明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②若為函數(shù)的極值點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，且，證明：.30．（22·23下·浙江·三模）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.31．（22·23下·江蘇·三模）已知函數(shù)，．(1)若，證明：當(dāng)時(shí)；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．32．（22·23·保定·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程．(2)若的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．33．（22·23·深圳·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.34．（22·23·衡水·一模）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.35．（22·23下·廣州·三模）已知函數(shù)，.(1)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若存在，使得，求證：.36．（23·24上·永州·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．37．（22·23下·襄陽(yáng)·三模）已知：函數(shù)，且，.(1)求證：；(2)設(shè)，試比較，，，的大小.38．（22·23·濰坊·三模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．39．（22·23·山東·二模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求，；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，證明：．40．（22·23·寧德·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，證明：．專題05導(dǎo)數(shù)大題解題秘籍解題秘籍導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系單調(diào)遞增，單調(diào)遞減極值極值的定義在處先↗后↘，在處取得極大值在處先↘后↗，在處取得極小值兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．(2)函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．常用函數(shù)不等式：①，其加強(qiáng)不等式；②，其加強(qiáng)不等式.③，，放縮，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）轉(zhuǎn)化為證不等式（或），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明（），因此只需在所給區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最小值即可.證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問(wèn)題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（3）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（23·24上·郴州·一模）已知函數(shù).(1)若曲線在處切線與軸平行，求；(2)若在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分類討論的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)情況，從而得到其極值情況，由此得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)榍€在處切線與軸平行，所以，解得，又，所以.（2）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不滿足題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極小值，不滿足題意；（iii）當(dāng)時(shí)，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極大值，滿足題意；綜上所述，的取值范圍為.2．（22·23下·煙臺(tái)·三模）已知函數(shù)，其中．(1)討論方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由即方程有沒(méi)有解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸有沒(méi)有交點(diǎn)問(wèn)題，分類討論即可得出結(jié)果.（2）不等式可化為：，就、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由可得，，令，令，可得，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時(shí)取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，故，而，，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故，故有兩個(gè)零點(diǎn)即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.（2）由題意可知，不等式可化為，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，由題設(shè)可得，設(shè)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，而，故.當(dāng)即時(shí)，因?yàn)椋试谏嫌星抑挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，而，故，故因?yàn)?，故，故符合，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.3．（22·23·廣州·三模）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(2)答案見解析【分析】（1）求得，令，解得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到的單調(diào)性和最值，由（1）知取最小值，分別得到、和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，則，可得，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則，可得，在單調(diào)遞增；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）解：由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)椋缘倪f增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，理由如下：因?yàn)椋裕?，由函?shù)零點(diǎn)存在定理，知在內(nèi)有零點(diǎn).又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)零點(diǎn)與有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．4．（23·24上·寧波·一模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分類討論，分別判斷的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為求證，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可得解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由可得，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，，只需證，即證，設(shè)，則，故時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.5．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)在（1）的條件下，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）二次求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性結(jié)合最值確定極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參即可;（2）構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性求最值，把分解為分別證明不等式可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所?令，則.因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不等正實(shí)根.①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去.②當(dāng)時(shí)，令得當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)；所以時(shí)，取極大值，即為最大值為.所以有兩個(gè)不等正實(shí)根的必要條件是，解得.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的，使得成立.因?yàn)?，令，則，取，則且，所以，由零點(diǎn)存在性定理知：存在唯一的，使得成立.所以時(shí)，有兩個(gè)不等正實(shí)根.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，且.所以因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，及，所以，又因?yàn)?，所?因?yàn)椋?所以，所以，所以.所以.其中（其中）構(gòu)造函數(shù)，則.因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，從而不等式成立.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:證明不等式把分解為,構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性證明不等式.6．（22·23下·無(wú)錫·三模）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)求證：.【答案】(1)的極大值為，沒(méi)有極小值(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)得，設(shè)，求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性即可確定的正負(fù)，從而得的取值情況即可確定的極值；（2）由（1）可知，結(jié)合數(shù)列累加求和即可證明結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.又因?yàn)閷?duì)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，沒(méi)有極小值.（2）由（1）可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)，取“＝”.由（1）得，累加得；由②得，累加得.綜上所述，.7．（22·23下·浙江·二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（3）分析出，，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理以及已知條件可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，.（2）解：因?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，由可得或，列表如下：增極大值減極小值增由題意可知，有個(gè)不同的零點(diǎn)，則，又因?yàn)?，令，記，則，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故不等式組的解集為.因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）解：因?yàn)椋?，結(jié)合（2）中的結(jié)論可知，①當(dāng)時(shí)，若存在符合題意的實(shí)數(shù)，則由于，因此，，，因此，、、成等差數(shù)列可得出，考慮，即，這等價(jià)于，令，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，故函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，在上存在唯一零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，，因此，在上無(wú)零點(diǎn)，在上存在唯一的零點(diǎn)，所以，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列;②當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.綜上所述，存在唯一的實(shí)數(shù)使得、、成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.8．（22·23下·蘇州·三模）設(shè)函數(shù).(1)從下面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；①當(dāng)時(shí)，；②在上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且隨著的增大而增大.【答案】(1)選①；選②(2)證明見解析【分析】（1）若選①，可得在上單調(diào)遞增，然后討論當(dāng)時(shí)，不符合要求，即可得到結(jié)果；若選②，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，先證得函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明.【詳解】（1）令，則，所以，則，令，則，選①：當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.選②：在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，從而，由在上恒成立，得，令，說(shuō)明在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明在上單調(diào)遞減，所以為極大值點(diǎn).由（1）有，則，所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，，所以使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以為極小值點(diǎn)，綜上，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；其中滿足，所以，設(shè)，則，由（1）知，所以單調(diào)遞增，所以隨著的增大而增大，又，所以，故隨著的增大而增大.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值問(wèn)題處理.9．（22·23下·江蘇·三模）已知函數(shù)，.(1)若與的圖象恰好相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)分別為，（）.（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)切線方程的公式得到方程組，解得答案.（2）求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算極值確定，再排除的情況，得到取值范圍，確定，設(shè)，轉(zhuǎn)化得到，設(shè)出函數(shù)，求導(dǎo)計(jì)算單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1），，設(shè)與的圖象的切點(diǎn)為，則，解得，.（2）（i），定義域?yàn)椋?有兩個(gè)不等實(shí)根，，考察函數(shù)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.故的極大值也是最大值為.因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，即；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，故至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上所述：.下證：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn).，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)；，令，考察函數(shù)，，可得，所以，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).綜上所述：a的取值范圍為（ii）由題設(shè)條件和（i）可知：，，，所以：，若不等式恒成立，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以，令，則，恒成立，所以在時(shí)恒成立.令，，則.若，即，則當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，所以恒成立，滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)有，故在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.綜上所述，正數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用切線求參數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)，不等式恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中變換得到，再利用換元法構(gòu)造函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.10．（22·23下·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減(2)（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義求出的解析式，再通過(guò)其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出，把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程的根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)圖象即可求出的范圍；把代入，通過(guò)兩個(gè)等式構(gòu)造，結(jié)合的范圍即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，令，則，所以（），故（）.當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故在上恒成立.所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.（2）（?。┯袃蓚€(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不同的根.而（），所以有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)椋?/p>

（），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，而當(dāng)趨向正無(wú)窮時(shí)，趨向0，趨向0時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮，為使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.（ⅱ）有兩個(gè)零點(diǎn)，則，.即，.所以，即，得，所以.因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)主要考慮其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)；零點(diǎn)問(wèn)題常?？赊D(zhuǎn)化為方程的根；關(guān)于雙變量問(wèn)題通常需要通過(guò)等式構(gòu)造，找出其等式關(guān)系.11．（22·23·深圳·二模）已知函數(shù)的圖象在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間.(2)【分析】（1）通過(guò)代值計(jì)算和求導(dǎo)解出切線方程，繼而求；構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，解單調(diào)區(qū)間.（2）將不等號(hào)兩邊變形成形如函數(shù)的同構(gòu)式，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系，然后分離參數(shù)把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，最后構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性解最值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，.所以在點(diǎn)處的切線方程為，切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則.，設(shè)，是的極小值點(diǎn)，且，因此在恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)減區(qū)間.（2）在區(qū)間上恒成立，即，令，則，即.由（1），只需要，也就是在區(qū)間上恒成立.設(shè)，.，故是的最大值，所求的取值范圍是.【點(diǎn)睛】第二問(wèn)，通過(guò)換元令是構(gòu)造同構(gòu)式的關(guān)鍵，也是此題的突破口，有了這個(gè)突破，即可將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，將問(wèn)題降低一層難度，也打開了后續(xù)的解思路.12．（22·23下·長(zhǎng)沙·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，且在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分為，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，由此得出范圍．由題意①，由在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)求得②，①②聯(lián)立化簡(jiǎn)整理即可得出結(jié)論.【詳解】（1），令，(i)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；(ii)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或，由題意，①在處的切線方程為：，該切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，②①②聯(lián)立得：，，因?yàn)?，所以，，所以，?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求函數(shù)的定義域，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)標(biāo)準(zhǔn)的確定，主要是按照是否有根，根的大小進(jìn)行分類求解的．13．（22·23下·湖南·二模）已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)證明：方程有三個(gè)不等實(shí)根．【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得的最小值，再結(jié)合在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即可求出答案；（2）令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和值域，從而判斷方程的根的個(gè)數(shù)即可【詳解】（1）設(shè)，，則，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以的最小值為；（2）由可得，整理可得，設(shè)，令，，則，由得．因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．由于，故，又由，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，∴有兩個(gè)零點(diǎn)1和，方程有兩個(gè)根和，

則如圖，時(shí)，因?yàn)?，故方程有一個(gè)根，下面考慮解的個(gè)數(shù)，其中，設(shè)，結(jié)合的單調(diào)性可得：在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，，，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，故，故即，而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故有兩個(gè)不同的根且，綜上所述，方程共有三個(gè)不等實(shí)根【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程有兩根，數(shù)形結(jié)合判斷關(guān)于m的方程的根的情況14．（22·23下·長(zhǎng)沙·二模）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”.若時(shí)，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)先估計(jì)零點(diǎn)的取值范圍，然后可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題；（2）根據(jù)新定義先找出“恒切函數(shù)”所滿足的條件，然后利用該條件，找到所滿足的條件后進(jìn)行研究.【詳解】（1）依題意，令，則，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，無(wú)零點(diǎn)；所以，所以，設(shè)，，則討論零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為討論的零點(diǎn).，設(shè)，由于，，，①時(shí)，為上的減函數(shù)，有，有為上的減函數(shù)，此時(shí)存在唯一零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，，，使得，即在上遞減，在上遞增，又，所以，由于時(shí)，，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，此時(shí)符合要求；③時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，此時(shí)的極小值為唯一零點(diǎn)，不符合要求；④當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，，使得，即在上遞減，在上遞增，且由單調(diào)性知，又由于時(shí)，，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，此時(shí)符合要求.綜上，a的取值范圍：；（2）根據(jù)題意，若函數(shù)為“恒切函數(shù)”，切點(diǎn)為，則即，函數(shù)是“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為，即，可得，則有即考查方程的解，設(shè)，因?yàn)?，令，?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以.（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，函?shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).又因?yàn)?；（ii）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，由，則，綜上所述，.【點(diǎn)睛】第二問(wèn)的處理，先需要讀懂新定義，然后根據(jù)新定義找到所滿足的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)的工具，零點(diǎn)存在定理，進(jìn)一步確定的取值范圍.15．（22·23下·湖北·三模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，在內(nèi)存在不等實(shí)數(shù)，使得，證明：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分類討論求解函數(shù)單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性證明可得.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，二次函?shù)的對(duì)稱軸是①若時(shí)，在上，從而，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；②若時(shí)，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）由對(duì)稱性不妨設(shè)，，若，由（1）得在上單調(diào)遞增，有，與已知條件矛盾；時(shí)，同理可推出矛盾．，，

要證明：，只需證明：，在上單調(diào)遞增，∴只需證明：又，∴只需證明：構(gòu)造函數(shù)，

其中．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，時(shí)，成立由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增得，，即成立．16．（22·23下·武漢·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)出的符號(hào)變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）（i）將方程變形為，令，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）將所證不等式等價(jià)變形為，由變形可得出，推導(dǎo)出，即證．令，只需證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)法即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，其?①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）解：（i）方程可化為，即．令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因?yàn)椋灾恍枳C．由（?。┲环猎O(shè)．因?yàn)?，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).17．（22·23·保定·二模）已知函數(shù)，其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，構(gòu)造，分，以及討論，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，記，則，①當(dāng)時(shí)，，，可得，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，，可知函數(shù)單調(diào)遞增，又由，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，由①②知函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故有；（2）因?yàn)楹瘮?shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，又，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，又，，所以在恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，可得，且時(shí)，，則存在，使得，此時(shí)在上，有，在上，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，可得，又，所以在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得，故當(dāng)在上，有，在上，有，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)的唯一零點(diǎn)，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，符合題意.綜上，滿足條件的值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：知道函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，要求參數(shù)的取值范圍，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)和函數(shù)的單調(diào)性來(lái)處理，分類討論時(shí)注意利用已有的確定零點(diǎn)來(lái)確定一段范圍上的函數(shù)值的符號(hào).18．（22·23下·武漢·三模）已知，其中.(1)若，討論的單調(diào)性；(2)已知是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）若，求得，分和，兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意得到，要證，轉(zhuǎn)化為，令，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，得出，再設(shè)，求得，得到，即可求解.【詳解】（1）解：若，即，可得，①若，則，即在單調(diào)遞減；②若，令有，即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)，在單調(diào)遞減；當(dāng)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）解：由題意知是的兩個(gè)零點(diǎn)，且，即，，所以，即，要證：，只需證：，即證：，即證：，令，即證：，令，可得，即在上單調(diào)遞增，則，即，設(shè)，有，所以在上單調(diào)遞減，則，即綜上可得：.【點(diǎn)睛】方法總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19．（22·23下·黃岡·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，設(shè)兩實(shí)數(shù)，其中，且.證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域，討論確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，分析零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）由已知可得，故要證明只需證明，，利用函數(shù)的單調(diào)性證明，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)證明，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)槿?，則在單調(diào)遞增；若，令，解得（舍去）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2），.若，由（1）知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.，又在單調(diào)遞減，要證，即證，即證，由的單調(diào)性可知.要證，即證.在單調(diào)遞減，即證，即證，即證，因?yàn)椋O(shè)所以，即在單調(diào)遞減又，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，，所以在恒成立，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．20．（22·23·德州·三模）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)的取值范圍為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果；（2）求導(dǎo)后，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果；（3）根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)可得，且，根據(jù)單調(diào)性可得，將化為，利用比值代換可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為，即.（2）的定義域是，，，令，則．①當(dāng)或，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（3）由（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正根，所以，則在上是減函數(shù)．所以，因?yàn)?，所以，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，由，又在上單調(diào)遞減，所以且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及到雙變量的問(wèn)題一般可以利用比值代換處理，本題中，將化為后，設(shè)，化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行處理.21．（22·23·日照·三模）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)值的符號(hào)即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）把原函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，構(gòu)造，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合根的分布得，要證，等價(jià)于證，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)從而證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又，（?。┊?dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無(wú)窮大，趨近正無(wú)窮大，趨近負(fù)無(wú)窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；（2）等價(jià)于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿足，，要證，等價(jià)于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.22．（22·23·菏澤·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，且在上恒成立，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，求出的最小值，即可得解；（3）依題意可得，參變分離可得在上恒成立，令，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，即可得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，令，解得，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，令，則，即在上恒成立，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）因?yàn)椋?，解得，所以，又在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)顯然不恒成立；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，所以，因?yàn)?，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．23．（22·23·滄州·三模）已知函數(shù)，.(1)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對(duì)任意的，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用恒成立，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）通過(guò)求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性得出，進(jìn)而利用放縮法證明不等式.【詳解】（1）由題意，，，在中，，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，∴不可能恒成立，當(dāng)時(shí)，令時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得最小值，于是，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由題意證明如下，在中，令，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得最小值，∴，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故時(shí)，，令，，則，，，以上各式相加可得，，即，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)，裂項(xiàng)求和與放縮，考查學(xué)生的邏輯推理和分析運(yùn)算能力，具有很強(qiáng)的綜合性.24．（22·23·三明·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并化簡(jiǎn)為，，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分子的判別式，討論的取值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）方法一：利用分析法，將所證明不等式分步驟變形得到要證明，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；方法二：同樣利用分析法，轉(zhuǎn)化為要證明不等式，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立.【詳解】（1）定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所?令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即在和上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）要證明：，只要證明：，只要證明：只要證明：.只要證明：，只要證明：，只要證明：.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.即要證明，即要證明.即證明.因?yàn)?，所以，所以原不等式成?解法二：要證明：，只要證明：.只要證明：只要證明：只要證明：.令，所以所以.因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增.所以，即原不等式成立【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)以及證明不等式，第二問(wèn)的方法一，利用同構(gòu)的思想，不等式兩邊變形為同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值的形式，方法二是將不等式指對(duì)互化后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.25．（22·23·廈門·三模）已知函數(shù).(1)若，設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)令，若存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)在和上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）先寫出，求，二次求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，得出，從而得出在和上單調(diào)遞減，需注意單調(diào)性在各個(gè)區(qū)間上分開描述；（2）先寫出，求，討論在上的最小值，使，解出的取值范圍，最后取并集即可.【詳解】（1）.∴.令，則，令，解得，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴，即∴在和上單調(diào)遞減.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?①當(dāng)時(shí)，則，則當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，∴存在，使得的充要條件是，即，解得；②當(dāng)時(shí)，則，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴存在，使得的充要條件是，而，不符合題意，應(yīng)舍去.③若時(shí)，，成立.綜上可得：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．26．（22·23·龍巖·二模）已知函數(shù)，．(1)若滿足，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線；(2)若，且，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，再判定該切線方程為的切線即可；（2）求，設(shè)，建立方程組，得出，為方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理確定，再由基本不等式判定，化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)求其單調(diào)性判定值域即可.【詳解】（1）由已知有，,曲線在點(diǎn)處的切線方程為：,即：，將代入即有：,由得令得：，此時(shí),可得：曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，將代入化簡(jiǎn)，可得：故曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．（2）∵，∴，令，得：，∴，為方程的兩根，∴即：，∴

∴，∴，令，則，令，則，∴在單調(diào)遞減

∴即【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在第二問(wèn)，設(shè)，由導(dǎo)函數(shù)建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理得出，再求函數(shù)值之和，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合基本不等式求其定義域內(nèi)的單調(diào)性即可證明不等式.27．（22·23下·溫州·三模）已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)設(shè)，若對(duì)任意的恒成立，且不等式兩端等號(hào)均能取到，求的最大值.【答案】(1)證明過(guò)程見詳解(2)(3)【分析】（1）將證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理即可證明；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的最小值；（3）結(jié)合（1）（2）的結(jié)論和已知條件可知，使最大，則，則，且等號(hào)取到與函數(shù)相切，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）令，得，令，要證函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即證在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，由，，則，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).故得證.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，顯然，則；當(dāng)時(shí)，令，，因?yàn)?，（令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，）所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，則，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（3）由（1）知，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)，函數(shù)趨近于，考慮到，則，則，當(dāng)變大時(shí)，則減小.

要使最大，則，則，且等號(hào)取到與函數(shù)相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則有，即，解得，（下面證明唯一性）可化為，，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，恒有，則，所以，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，恒有，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以函數(shù)與在上有唯一的交點(diǎn)，草圖如下：

故，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，一般需要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，結(jié)合題中條件即可求出最值（有時(shí)解析式中會(huì)含有參數(shù)，求解時(shí)，要討論參數(shù)的不同取值范圍，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行求解）.28．（22·23下·浙江·二模）已知函數(shù)，．(1)求證：；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，．（ⅰ）求a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)見解析(2)（?。áⅲ┮娊馕觥痉治觥浚?）代入計(jì)算即可求解，（2）（?。┓诸愑懻摰娜≈捣秶纯汕蠼猓áⅲ┙Y(jié)合函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得，，進(jìn)而結(jié)合，，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，即可利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】（1）由得，所以，故，（2）（?。┯捎冢耶?dāng)時(shí)，，故，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，令，所以，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，又,,所以存在，使得，因此在,上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)當(dāng)，所以此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，符合題意，故，當(dāng)時(shí)，令，則，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，故，此時(shí)恒成立，在單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上可知：，（ⅱ）由（?。┮约翱芍?，，又，，故也是的根，故，設(shè)所以在單調(diào)遞增，故,即,()又因?yàn)?，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.29．（22·23下·紹興·二模）設(shè)函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，①證明：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)；②若為函數(shù)的極值點(diǎn)，為函數(shù)的零點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域；（2）①由題知，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得存在唯一，使得，進(jìn)而得函數(shù)的單調(diào)性即可證明；②要證，即證，結(jié)合題意得，對(duì)求導(dǎo)，再根據(jù)得，故，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)的定義域?yàn)?令得，令，解得：；令，解得：，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..且當(dāng)趨近于，趨近于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)趨近于正無(wú)窮，趨近于負(fù)無(wú)窮，故函數(shù)的值域是.（2）①顯然，定義域?yàn)?，令，則由可知，在單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于，趨近于.而存在唯一的使得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而.，令，若，可得：；若，可得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)時(shí)取等,由知：，，，（注意：且，則，即遞增，故；且且，則，即遞減，故；所以、在上恒成立.）在都各有一個(gè)唯一零點(diǎn)，故恰有兩個(gè)零點(diǎn).②由題意得，由于，要證，即證.，由（1）知，從而，令，則，且，令，令，則；令，則；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，故.于是在上單調(diào)遞減，故，即，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式對(duì)進(jìn)行放縮得，故，進(jìn)而證明結(jié)論.30．（22·23下·浙江·三模）已知函數(shù).(1)令，討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)后，分、、三種情況討論即可；（2）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立.令，得到，從而有，即，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可證明.（3）.當(dāng)，可驗(yàn)證不滿足題意；當(dāng)，顯然成立；當(dāng)，令，求導(dǎo)后判斷單調(diào)性求得最小值為，令，則，求導(dǎo)后判斷單調(diào)性求得最小值為，從而可解.【詳解】（1），而，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上遞減，上遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.所以在上遞減，在上遞減，在上遞增；③當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得.所以在上遞減，在上遞減，在上遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞減，在上遞增.（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，此時(shí)，又當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立.令，得到，.（3）①，當(dāng)時(shí)，不等式顯然，所以此時(shí)不成立；②，不等式顯然成立.③，令，則，令，則.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以，令，則，則，令，即，則，所以當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增則，所以.綜上所述，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)，一般思路為利用條件將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).31．（22·23下·江蘇·三模）已知函數(shù)，．(1)若，證明：當(dāng)時(shí)；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）令，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性可證得，令，對(duì)求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，即可證得，即可證得；（2）由題意分析可得要使恒成立即時(shí)，恒成立，通過(guò)放縮變形證明恒成立，即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以即證：，，先證左邊：，令，，在單調(diào)遞增，∴，即．再證右邊：，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴時(shí)，．（2），令，，因?yàn)?，所以題設(shè)等價(jià)于在恒成立，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，于是：①當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，（i）當(dāng)時(shí)，，令，因?yàn)樵谏线f增，且，所以存在，使，所以當(dāng)，，即，不合題意；(ii)當(dāng)時(shí)，令，，則，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.綜上：a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或在不等式中求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，常見的幾種方法有：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).32．（22·23·保定·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程．(2)若的圖象恒在軸上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，將代入函數(shù)的解析式中，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到和，代入切線方程中即可求解；（2）將函數(shù)的圖像恒在x軸上方，轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）．又在點(diǎn)處的切線方程為（2）的圖像恒在軸上方，等價(jià)于恒成立即恒成立，令，則令，則所以在上單調(diào)遞減又，所以在上存在唯一的使當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減．故的最大值為又，故，兩邊取對(duì)數(shù)得又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故所以所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：含參不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性得到最值，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.33．（22·23·深圳·二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）①當(dāng)時(shí)，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間，利用分析法結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化證明即可．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，其單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．（2）①由定義域?yàn)?，所以，令，因?yàn)椋?，設(shè)方程的兩根分別為，，且，則，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，在處取得極大值，又，故，則，又因?yàn)椋?，且，故有，由零點(diǎn)存在性定理可知，在恰有一個(gè)零點(diǎn)，在也恰有一個(gè)零點(diǎn)，易知是的零點(diǎn)，所以恰有三個(gè)零點(diǎn)；②由①知，，則，因?yàn)椋?，所以要證，即證，即證，即證，即證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故式成立，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．34．（22·23·衡水·一模）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)可得，結(jié)合函數(shù)定義域可得的正負(fù)，由此可得的單調(diào)區(qū)間；（2）由可求得可能的兩個(gè)范圍；當(dāng)時(shí)，結(jié)合基本不等式可求得，可知不合題意；當(dāng)時(shí)，在時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可證得；在時(shí)，利用放縮的思想可證得；綜合所有情況可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由得：，即定義域?yàn)椋?，，，?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）設(shè)，，，，解得：或；①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，若，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，此時(shí)不成立，不合題意；②當(dāng)時(shí)，與均為減函數(shù)，為定義在上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；令，則，，，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又，，即當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，由，，；又，當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、恒成立問(wèn)題的求解；本題求解恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠首先利用特殊值確定參數(shù)大致的取值范圍，結(jié)合放縮的思想，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，從而確定的準(zhǔn)確范圍.35．（22·23下·廣州·三模）已知函數(shù)，.(1)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，若存在，使得，求證：.【答案】(1)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；(2)證明見詳解.【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，判斷極值、最值與零的大小，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；（2）先證，再根據(jù)轉(zhuǎn)化為，解不等式得，累加即可證明結(jié)論.【詳解】（1），所以，若，由，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，若，則，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；若，，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；若，，時(shí)，，，即使得，即此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；若，由或，，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，而，且，即使得，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若，此時(shí)恒成立，即在上單調(diào)遞增，，即使得，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；若，由或，，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，，又，即使得，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，由（1）任取設(shè)，先證，即證，設(shè)，即在定義域上單調(diào)遞增，故，則成立，由得：所以，即，解得，故，證畢.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第一問(wèn)，求導(dǎo)后需要詳細(xì)的分類討論的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值，判斷極值、最值與零的大小，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，討論需要不重不漏；第二問(wèn)，利用常用的不等式得出，再放縮得，解不等式得，累加即可證明結(jié)論，通過(guò)整體思想將三個(gè)零點(diǎn)整合，有較高的技巧性，需要多加積累思想方法.36．（23·24上·永州·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1