動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律

第二講質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)

質(zhì)點(diǎn)組的單粒子運(yùn)動(dòng)和集體運(yùn)動(dòng)

基本概念動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒定律動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律兩體問(wèn)題質(zhì)心坐標(biāo)系與實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)第二講質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)一、質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)組{m1,m2,m3,…….,mN}：對(duì)質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)求和，得：（II－1）（II－2）定義：質(zhì)心：（II－3）動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律（II－4）質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)宛如質(zhì)點(diǎn)組的全部質(zhì)量集中于質(zhì)心上，而全部外力都作用于質(zhì)心。這是一種帶權(quán)重的平均值，是權(quán)重。分量式是連續(xù)性物體質(zhì)心要用重積分定義為常數(shù)的物體，質(zhì)心就是幾何中心?？倓?dòng)量也就是質(zhì)心動(dòng)量質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理此方程表示質(zhì)心組質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，就像一個(gè)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量，而作用于這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力等于作用在質(zhì)點(diǎn)組的總外力，這樣雖然不能求出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，但是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)是能知道的。動(dòng)量定理個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組的合力為牛頓第二定律，對(duì)質(zhì)點(diǎn)

這樣的方程共有個(gè)，由于內(nèi)力通常未知，這個(gè)方程組無(wú)法解。由于牛頓第二定律，得但是，把這個(gè)方程加起來(lái)得到是質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矢量和，所以

分量式是注意這不是講沒(méi)有外力，而是指外力之和為零。對(duì)質(zhì)點(diǎn)組，由于外力作用在不同質(zhì)點(diǎn)上，使外力之和為零，同時(shí)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)也可能有加速度，即使這樣也不影響結(jié)果。這意味①質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量守恒，②質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)——質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量守恒律同樣如作用在質(zhì)點(diǎn)組的諸外力之和不為零，但它們?cè)谀骋惠S的投影之和為零。這樣我們有結(jié)論：內(nèi)力雖然可以使質(zhì)點(diǎn)組中個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量改變，但不能改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量之和，也不能改變質(zhì)心的速度。如，沿水平方向發(fā)射的大炮，炮彈和炮身構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)組，火藥爆炸是內(nèi)力，發(fā)射前總動(dòng)量分量發(fā)射后，也必為零，故炮彈向前，要求炮身反沖，來(lái)平衡內(nèi)力改變炮彈

炮身的動(dòng)量，但總動(dòng)量不變。

常數(shù)恒矢量動(dòng)量守恒定律如果質(zhì)點(diǎn)組只在內(nèi)力作用下運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律動(dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律二、質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的分解質(zhì)心坐標(biāo)系：當(dāng)質(zhì)心靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐標(biāo)系為慣性系，稱為質(zhì)心坐標(biāo)系。在地面坐標(biāo)系的質(zhì)心的位矢為，質(zhì)點(diǎn)i的位矢為在質(zhì)心坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)i的位矢為,則有質(zhì)點(diǎn)組平移運(yùn)動(dòng)動(dòng)能：在沒(méi)有外勢(shì)的情形下，質(zhì)點(diǎn)組的總能量是系統(tǒng)的總能量，定義為：（II－5）O質(zhì)心i（II－6）1.克尼希定理(K?nigtheorem)動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒律質(zhì)心相對(duì)于O-xyz平動(dòng)1.克尼希定理(K?nigtheorem)克尼希定理表明，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能與質(zhì)心對(duì)慣性系的動(dòng)能之和。（II－7）動(dòng)能由兩項(xiàng)組成：①質(zhì)點(diǎn)組全部質(zhì)量集中在質(zhì)心上時(shí)，運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能——質(zhì)心的動(dòng)能。②在質(zhì)心系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能——相對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能。這就是柯尼希定理。注意此定理只對(duì)質(zhì)心系成立，對(duì)別的點(diǎn)就不成立了。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，合力作的元功為：質(zhì)點(diǎn)從位置1

位置2，合力作的總功一質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，各質(zhì)點(diǎn)所受合力的元功的總和即為質(zhì)點(diǎn)系作的元功，為：積分得：微分形式的動(dòng)能定理（II－8）積分形式的動(dòng)能定理:有限路程中質(zhì)系動(dòng)能的改變量等于作用在質(zhì)系上所有力在該路程上的有限功之和

（II－9）無(wú)限小位移中動(dòng)能的微分等于作用在質(zhì)系上所有力的元功之和

2.質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理注意在動(dòng)量定理，內(nèi)力的作用能相互抵消，但在動(dòng)能定理中，內(nèi)力是不能消去的，這是由于一切內(nèi)力做功和不為零。變化，內(nèi)力就做功，的方向永遠(yuǎn)與方向共線，故能使質(zhì)點(diǎn)組不受外力，但動(dòng)能并不守恒，這是因?yàn)閮?nèi)力做功不為零。若外力為保守力，故：積分后得：內(nèi)力的功為：（II－10）（II－11）（II－12）如果質(zhì)點(diǎn)組所受得內(nèi)力、外力都是保守力，則質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能、內(nèi)勢(shì)能和外勢(shì)能得總和在運(yùn)動(dòng)中保持不變——機(jī)械能守恒一般而言，內(nèi)勢(shì)能不為零，且隨時(shí)間變化，即：質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)力的總功并不為零。3.機(jī)械能守恒4.對(duì)質(zhì)心系的動(dòng)能定理由運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，非慣性系給出對(duì)第個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)組在質(zhì)心系中，總動(dòng)能的變化等于作用在質(zhì)點(diǎn)組的外、內(nèi)力做的元功之和。質(zhì)心系動(dòng)能定理形式上與慣性系相同，慣性力不起作用，可把質(zhì)心系當(dāng)成慣性系來(lái)用。三.質(zhì)點(diǎn)組轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)組的總角動(dòng)量：為各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量之和：（II－13）（II－14）質(zhì)心繞地面參照系坐標(biāo)原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)質(zhì)心的總角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)組對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量可被分解為質(zhì)心的角動(dòng)量和相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量?jī)刹糠謩?dòng)量矩定理與動(dòng)量矩守恒律由(II-13)式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)：質(zhì)點(diǎn)組總角動(dòng)量的改變總是由外力矩引起的，與將運(yùn)動(dòng)分解成質(zhì)心部分及相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分無(wú)關(guān)。（II－15）對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理這就是質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定理。分量表示常數(shù)動(dòng)量矩守恒定律如所有的作用在質(zhì)點(diǎn)組上的外力對(duì)某一固定點(diǎn)O的力矩為零，則恒矢量同樣，雖力矩之和不為零，但對(duì)通過(guò)質(zhì)點(diǎn)O的某一坐標(biāo)軸的力矩為零有兩個(gè)坐標(biāo)系：隨C而平動(dòng)。系中講質(zhì)點(diǎn)的方程，非慣性系(但是特殊的)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理在內(nèi)力矩互相抵消是質(zhì)心到質(zhì)點(diǎn)的位矢

系看質(zhì)心相對(duì)C的位矢這樣或是諸外力對(duì)質(zhì)心的力矩之和。這是質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，跟固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理的形式一樣，慣性力不起作用，也就是對(duì)系是非慣性系，動(dòng)量矩定理也成立。但是必須注意，這只是對(duì)質(zhì)心而言才對(duì)，不是對(duì)任何質(zhì)點(diǎn)。都對(duì)但對(duì)質(zhì)心，可以放心用動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩作業(yè)1：在具有水平軸的滑輪上懸有一根繩子，繩子的兩端距通過(guò)該軸水平面的距離為r。兩個(gè)質(zhì)量分別為m的人抓著繩子的兩端，他們同時(shí)開(kāi)始以勻加速度向上爬并同時(shí)到達(dá)滑輪軸所在的水平面。假設(shè)滑輪的質(zhì)量可忽略，且所有的阻力也都忽略不計(jì)，問(wèn)需多久時(shí)間，兩人可以同時(shí)到達(dá)？四、二體系統(tǒng)在中心力的作用下，可將二體系統(tǒng)問(wèn)題化為等效的單體問(wèn)題，即兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式上等同于一個(gè)等效質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)m1,m2間的相互作用僅依賴于兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置坐標(biāo)zxym1m2O運(yùn)動(dòng)方程：為約化質(zhì)量一般說(shuō)來(lái),r的運(yùn)動(dòng)并不是與Rc

無(wú)關(guān)。如果二質(zhì)點(diǎn)不受外力，或所受外力為萬(wàn)有引力等，有：則：與質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力心處于r＝0的力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程一致，成為有心力場(chǎng)中的單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。如果為有心力：耦合擺——由彈簧連接兩個(gè)單擺的裝置假定擺只作水平的簡(jiǎn)諧振動(dòng)y1－第一個(gè)擺在水平方向偏離平衡位置的位移y2－第二個(gè)擺在水平方向偏離平衡位置的位移則：令：K=mg/l,則:二振子耦合系統(tǒng)可按(II-18a)方式作集體振動(dòng)，以w作同頻振動(dòng)或按(II-18b)方式作集體振動(dòng)，以作異步振動(dòng)耦合振子三彈簧耦合振子系統(tǒng)，外側(cè)兩彈簧彈性系數(shù)為K，中間彈簧彈性系數(shù)為k運(yùn)動(dòng)方程：（II－17a）（II－17b）解得：（II－18a）（II－18b）振子的通解為兩種集體振動(dòng)模式的疊加：五、一維質(zhì)點(diǎn)組固體中原子振動(dòng)的模型——一維原子鏈模型：

N>>1的原子構(gòu)成一維鏈，原子間隙為a，原子間相互作用以一個(gè)彈性系數(shù)為k的彈簧代替采用循環(huán)邊界條件：鏈端的原子連接成一個(gè)一維閉合環(huán)第n個(gè)原子相對(duì)于其平衡位置的位移為作用于其上的力包括：左邊彈簧產(chǎn)生的向左的拉(或斥)力右邊彈簧產(chǎn)生的向右壓縮(或拉伸)的力運(yùn)動(dòng)方程：M為原子質(zhì)量設(shè)其解：代入(II-16)式，得：一維單原子鏈中原子的最高振動(dòng)頻率的關(guān)系稱為色散關(guān)系一維原子鏈中所有的原子都參與頻率為w的振動(dòng)－集體振動(dòng)或簡(jiǎn)正振動(dòng)，每個(gè)原子不是獨(dú)立的諧振子根據(jù)循環(huán)邊界條件，有：要求：P為正整數(shù)λ為波長(zhǎng)，在原子鏈中，要求波長(zhǎng)故P只有N種取值范圍，簡(jiǎn)正振動(dòng)的獨(dú)立模式正好等于原子的數(shù)目N作業(yè)2：

一長(zhǎng)為2a，質(zhì)量可以忽略的輕桿，兩端各有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，O為一固定軸，桿的中點(diǎn)O與固定軸相連，并可繞該軸以勻角速度w旋轉(zhuǎn)，桿與軸相交為q角，試求以兩小球組成的質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于固定點(diǎn)O的角動(dòng)量，所受的力矩以及可能的守恒量。（忽略重力作用）作業(yè)3：一半徑R的水平圓盤M可繞