定積分應(yīng)用求面積

1一、定積分的元素法求由和所圍成的曲邊梯形的面積A須經(jīng)過以下四個(gè)步驟：（2）近似替代：（4）取極限：（3）求和：（1）分割:設(shè)第i個(gè)小曲邊梯形的則：分成n個(gè)小區(qū)間，把面積為2在上面的問題中，所求的量面積A有如下性質(zhì)：（1）A是一個(gè)與變量x的區(qū)間[a,b]有關(guān)的量；（2）A對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性，即整個(gè)曲邊梯形的面積等于所有小曲邊梯形面積的和。即：高階的無窮小，精確值，它們只相差一比近似代替部分量（3）以時(shí)，的極限就是A的因此和式3（3）寫出A的積分表達(dá)式，即：求A的積分表達(dá)式的步驟可簡(jiǎn)化如下：（1）確定積分變量x及積分區(qū)間[a，b]；的近似值。即：以（2）在[a,b]上任取小區(qū)間作為叫做面積元素,記為4具體步驟是：（1）確定積分變量，和它的變化區(qū)間[a,b]；（2）寫出積分元素（3）寫出U

的積分表達(dá)式，即：一般地，如果某一實(shí)際問題中的所求量

U符合下列條件：（1）U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量；（2）U對(duì)于區(qū)間[a，b]具有可加性；的近似值可表為（3）部分量可以用積分來表示。那么這個(gè)量就5二、平面圖形的面積

(一)直角坐標(biāo)情形(二)極坐標(biāo)情形6(一)直角坐標(biāo)情形X型在上任取小區(qū)間則X型cdxyY型Y型在上任取小區(qū)間則7例１計(jì)算由所圍成的圖形的面積。和得拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)解解方程組11故所求面積為，取x為積分變量，積分區(qū)間為在上任取小區(qū)間面積元素為注：所求的面積可以看作是兩個(gè)曲邊梯形面積的差，即8例２計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形的面積。解（1），得交點(diǎn)解方程組以y為積分變量，積分區(qū)間為[-2,4]，在[-2,4]上任取小區(qū)間[y,y+dy],面積元素為

所求面積為：注：若將所求圖形的面積看成兩個(gè)曲邊梯形的面積之差：則9注：如果取x為積分變量不好！不好！不好！不好！不好！在上任取小區(qū)間則X型10例3求曲線y=ln

x,x=2及x軸，所圍成的平面圖形的面積。解：按照X型，Y型計(jì)算都可以。按X型：按Y型：12x=2y=lnxxyO12x=2y=lnxxyO11例4

求橢圓所圍成的圖形的面積。則橢圓的面積為解：設(shè)橢圓在第一象限部分的面積為利用橢圓的參數(shù)方程則：應(yīng)用定積分換元法，令12

1．極坐標(biāo)系

，過點(diǎn)引射線度單位及角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向），這樣就確定了叫做極點(diǎn)，射線叫做極軸。在平面內(nèi)任取一定點(diǎn)，再規(guī)定一個(gè)長(zhǎng)一個(gè)極坐標(biāo)系。其中，定點(diǎn)在極坐標(biāo)系下，平面上任一點(diǎn)的位置就可以用線段的長(zhǎng)度及從到的角度來確定。有序?qū)崝?shù)對(duì)就稱為點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為。叫做極徑，叫做極角。極點(diǎn)的極徑為，極角可取任何值。

其中補(bǔ)充：極坐標(biāo)13對(duì)于給定的極坐標(biāo)，平面上有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；但，則都可以作為它的極坐標(biāo)。對(duì)于平面上的點(diǎn)之間，一般沒有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)但若規(guī)定，除極點(diǎn)外，平面上的點(diǎn)與極坐標(biāo)之間就一一對(duì)應(yīng)了。，而極角可以取任意實(shí)數(shù)。在通常情況下,我們規(guī)定:14

2．極坐標(biāo)方程

以極點(diǎn)為圓心，以為半徑的的圓的極坐標(biāo)方程:以點(diǎn)為圓心，以為半徑的的圓的極坐標(biāo)方程曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)與之間的關(guān)系可以用式表示，稱為曲線的極坐標(biāo)方程。過極點(diǎn)O，且與極軸的夾角為的直線方程153．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系

),(qr以極點(diǎn)為圓心，以為半徑的的圓的極坐標(biāo)方程:以點(diǎn)為圓心，以為半徑的的圓的極坐標(biāo)方程16(二)

極坐標(biāo)情形求這個(gè)曲邊扇形的面積:所以曲邊扇形的面積為：設(shè)由曲線及射線圍成一圖形（稱為曲邊扇形）。圓扇形面積公式為在上連續(xù)，且假設(shè)。面積元素為：取極角為積分變量，。任取小區(qū)間積分區(qū)間為17O18解：積分變量為積分區(qū)間為在此區(qū)間上任取小區(qū)間面積元素為于是所求面積為:例5

計(jì)算阿基米德螺線