福建省廈門市思明區(qū)東埔中學2022年中考數(shù)學五模試卷含解析

2021-2022中考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，在四邊形ABCD中，如果NADC=NBAC,那么下列條件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）

,ADDC

A.ZDAC=ZABCB.AC是NBCD的平分線c.AC2=BC?CDD.——=——

ABAC

2.已知關于X的方程kx2+（l—k）x-l=0,下列說法正確的是

A.當k=0時，方程無解

B.當k=l時，方程有一個實數(shù)解

C.當k=-1時，方程有兩個相等的實數(shù)解

D.當ko0時，方程總有兩個不相等的實數(shù)解

3.如圖，O為坐標原點，四邊彤OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sinNAOB=：,反比例函數(shù)y=與在第一象限

內的圖象經過點A,與BC交于點F,刪AAOF的面積等于（）

A.10B.9C.8D.6

4.如圖在AABC中，AC=BC,過點C作垂足為點O,過。作交AC于點E,若3。=6,AE=

5,則sinZEDC的值為（）

A

424

A.-C.一D.—

5525

5.如圖，直線a〃b,直線c與直線a、b分別交于點A、點B,ACJLAB于點A,交直線b于點C.如果Nl=34。,

那么N2的度數(shù)為（)

A.34°B.56°D.146°

6.如圖，在平行四邊形ABCD中,NABC的平分線BF交AD于點F,FE〃AB.若AB=5,AD=7,BF=6,則四邊

C.30D.24

x+12x

7.計算的結果是（)

x-1x一1

3x+l

A.1C.1-xD.

x-1

8.小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分另

對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現(xiàn)將（x2-y2）a2-（x2-y2）b?因式分解，結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是

()

A.我愛美B.宜晶游C.愛我宜昌D.美我宜昌

9.在一3,-1,（）,1這四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-3B.-1C.0D.1

10.如圖，AB/7CD,DB_LBC,Z2=50°,則N1的度數(shù)是()

A.40°B.50°C.60°D.140°

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

4

11.如圖，在四邊形ABCD中，NB=ND=90。，AB=3,BC=2,tanA=一，貝!JCD=___

3

12.已知，大正方形的邊長為4厘米，小正方形的邊長為2厘米，起始狀態(tài)如圖所示，大正方形固定不動，把小正方

形向右平移，當兩個正方形重疊部分的面積為2平方厘米時，小正方形平移的距離為____厘米.

13.如圖，點O是矩形紙片ABCD的對稱中心，E是BC上一點，將紙片沿AE折疊后，點B恰好與點O重合.若

BE=3,則折痕AE的長為

14.如圖，在正方形網格中，線段A，B，可以看作是線段AB經過若干次圖形的變化（平移、旋轉、軸對稱）得到的,

寫出一種由線段AB得到線段A，B，的過程

15.如圖，A3是。。的直徑，點E是8尸的中點，連接AF交過￡的切線于點。，A8的延長線交該切線于點C,若

ZC=30°,。。的半徑是2,則圖形中陰影部分的面積是.

16.如果一個正多邊形每一個內角都等于144。，那么這個正多邊形的邊數(shù)是

17.如圖，五邊形AB8E是正五邊形，若"4,則Nl—N2=.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖，安徽江淮集團某部門研制了繪圖智能機器人，該機器人由機座、手臂和末端操作器三部分組成,

底座至，直線L且他=25的，手臂AB=5C=60cm,末端操作器8=35的，Ab||直線L.當機器人運作時,

ZBAF=45°,ZABC=75°,ZBCD=60°,求末端操作器節(jié)點。到地面直線L的距離.（結果保留根號）

19.（5分）如圖，某校自行車棚的人字架棚頂為等腰三角形，。是AB的中點，中柱。=1米，NA=27。，求跨度

AB的長（精確到0.01米）.

20.（8分）（10分）如圖，AB是。O的直徑，OD_L弦BC于點F,交。O于點E,連結CE、AE、CD,若NAEC=NODC.

(1)求證：直線CD為。O的切線；

(2)若AB=5,BC=4,求線段CD的長.

21.(10分)如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為(m,n)(m<0,

n>0),E點在邊BC上，F(xiàn)點在邊OA上.將矩形OABC沿EF折疊，點B正好與點O重合，雙曲線一過點E.

口=二

(1)若m=-8,n=4,直接寫出E、F的坐標；

(2)若直線EF的解析式為二=二+3,求k的值；

(3)若雙曲線——過EF的中點，直接寫出tanNEFO的值.

22.(10分)如圖，△ABC內接于0O,CD是。O的直徑，AB與CD交于點E,點P是CD延長線上的一點，AP=AC,

且NB=2NP.

(1)求證：PA是。。的切線；

(2)若PD=6,求。O的直徑；

(3)在(2)的條件下，若點B等分半圓CD,求DE的長.

23.(12分)如圖1,點P是平面直角坐標系中第二象限內的一點，過點P作PAJ_y軸于點A,點P繞點A順時針

旋轉60。得到點P',我們稱點P，是點P的“旋轉對應點”.

(1)若點P(-4,2),則點P的“旋轉對應點”P，的坐標為:若點P的“旋轉對應點”P，的坐標為(-5,16)

則點P的坐標為;若點P(a,b),則點P的“旋轉對應點”P，的坐標為；

(2)如圖2,點Q是線段AP，上的一點(不與A、P，重合)，點Q的“旋轉對應點”是點Q，，連接PP'QQ',求證:

PP/7QQ'；

(3)點P與它的“旋轉對應點”P，的連線所在的直線經過點(6，6),求直線PP，與x軸的交點坐標.

24.(14分)如圖，PB與。O相切于點B,過點B作OP的垂線BA,垂足為C,交。O于點A,連結PA,AO,AO

的延長線交OO于點E,與PB的延長線交于點D.

(1)求證：PA是。O的切線;

參考答案

一、選擇題(每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分)

1、C

【解析】

結合圖形，逐項進行分析即可.

【詳解】

在△ADC和ABAC中，ZADC=ZBAC,

如果AADCs/XBAC,需滿足的條件有：①NDAC=NABC或AC是NBCD的平分線；

ADDC

②——=—,

ABAC

故選C.

【點睛】

本題考查了相似三角形的條件，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.

2、C

【解析】

當k=0時，方程為一元一次方程x—l=O有唯一解.

當kwO時，方程為一元二次方程，的情況由根的判別式確定：

VA=(l-k)2-4-k-(-l)=(k+l)2,

???當k=-l時，方程有兩個相等的實數(shù)解，當k#0且kw-1時，方程有兩個不相等的實數(shù)解.綜上所述，說法C正

確.故選C.

3、A

【解析】

過點A作AMJ_x軸于點M,過點F作FNLx軸于點N,設OA=a,BF=b,通過解直角三角形分別找出點A、F的

坐標，結合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出a、b的值，通過分割圖形求面積，最終找出AAOF的面積等于

梯形AMNF的面積，利用梯形的面積公式即可得出結論.

解：過點A作AMJ_x軸于點M,過點F作FN_Lx軸于點N,如圖所示.

設OA=a,BF=b,

在RtAOAM中，ZAMO=90°,OA=a,sinNAOB=；

J

:.AM=OA?sinNAOB=：a,OM=VZZ--ZZ=^a,

???點A的坐標為爭，

???點A在反比例函數(shù)y=E的圖象上,

/.Tax^a=^a2=12,

JJ25

解得：a=5,或a=-5（舍去）.

，AM=8,OM=1.

?.?四邊形OACB是菱形，

.?.OA=OB=10,BC〃OA,

.,.ZFBN=ZAOB.

在RSBNF中，BF=b,sinZFBN=；,ZBNF=90°,

:.FN=BF?sinNFBN=J,BN=?二二：一二二’=務,

二點F的坐標為（10+；b,7b）.

???點F在反比例函數(shù)y=:的圖象上，

二（10+%）x-b=12,

JJ

SAAOF=SAAOM+S精彩AMNF-SAOFN=S??,\MNF=10

故選A.

“點睛”本題主要考查了菱形的性質、解直角三角形以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是找出SAAOF=;S

SJgOBCA.

4、A

【解析】

由等腰三角形三線合一的性質得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根據正弦函數(shù)的概念求解可得.

【詳解】

?.,△ABC中，AC=BC,過點C作

：.AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,

'：AE=5,DE//BC,

：.AC=2AE=10,NEDC=NBCD,

,,BD63

..sinNEZ)C=sinN3a>==—=—,

BC105

故選：A.

【點睛】

本題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質和平行線的性質及直角三角形的性質

等知識點.

5、B

【解析】

分析：先根據平行線的性質得出N2+NBAZ)=180。，再根據垂直的定義求出N2的度數(shù).

詳解：,??直線?！╞,：.Z2+ZBAD=180°.

,.?AC_LA3于點A,Nl=34°,/.Z2=180°-90°-34°=56°.

故選B.

點睛：本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補，此題難度不大.

6、D

【解析】

分析：首先證明四邊形ABEF為菱形，根據勾股定理求出對角線AE的長度，從而得出四邊形的面積.

詳解：VAB/7EF,AF〃BE,二四邊形ABEF為平行四邊形，?：BF平分NABC,

.,?四邊形ABEF為菱形，連接AE交BF于點O,VBF=6,BE=5,.\BO=3,EO=4,

.?.AE=8,則四邊形ABEF的面積=6x8+2=24,故選D.

點睛：本題主要考查的是菱形的性質以及判定定理，屬于中等難度的題型.解決本題的關鍵就是根據題意得出四邊形

為菱形.

7、B

【解析】

根據同分母分式的加減運算法則計算可得.

【詳解】

x+l-2x

解:原式=

x-1

i-x

--3)

x-\

=-i,

故選B.

【點睛】

本題主要考查分式的加減法，解題的關鍵是熟練掌握同分母分式的加減運算法則.

8、C

【解析】

試題分析：(x?-爐)a2-(x2-y2)b2=(x2-y2)(a2-b2)=(x-y)(x+y)(a-b)(a+b),因為x-y,x+y,a+b,

a-b四個代數(shù)式分別對應愛、我，宜，昌，所以結果呈現(xiàn)的密碼信息可能是“愛我宜昌”，故答案選C.

考點：因式分解.

9,A

【解析】

【分析】根據正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，即可得答案.

【詳解】由正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，得

-3<-1<0<1,

最小的數(shù)是-3,

故選A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)比較大小，利用好“正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小”是解題關鍵.

10、A

【解析】

試題分析：根據直角三角形兩銳角互余求出N3,再根據兩直線平行，同位角相等解答.

解：VDB1BC,N2=50°,

:.Z3=90°-Z2=90°-50°=40°,

VAB/7CD,

.?.Zl=Z3=40°.

故選A.

5/1

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

6

11、一

5

【解析】

延長AD和BC交于點E,在直角△ABE中利用三角函數(shù)求得BE的長，則EC的長即可求得，然后在直角△CDE中

利用三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】

如圖，延長AD、BC相交于點E,

“BE4

..tanA-=—

AB3

4

.,.BE=--A6=4,

3

CE=BE-BC=2,AE=JAB2+BE)=5，

AE5

XVZCDE=ZCDA=90°,

CD

/?在RtACDE中，sinE------,

CE

CD=CE?sinE=2x3=—.

55

12、1或5.

【解析】

小正方形的高不變，根據面積即可求出小正方形平移的距離.

【詳解】

解：當兩個正方形重疊部分的面積為2平方厘米時，重疊部分寬為2+2=1,

①如圖，小正方形平移距離為1厘米;

②如圖，小正方形平移距離為4+1=5厘米.

故答案為1或5,

【點睛】

此題考查了平移的性質，要明確，平移前后圖形的形狀和面積不變.畫出圖形即可直觀解答.

13、6

【解析】

試題分析：由題意得：AB=AO=CO,即AC=2AB,且OE垂直平分AC,

.*.AE=CE,

設AB=AO=OC=x,

貝！J有AC=2x,ZACB=30°,

在RtAABC中，根據勾股定理得：BC=73X,

在RtAOEC中，NOCE=30°,

11

.\OE=-EC,nBnPBE=-EC,

22

VBE=3,

.?.OE=3,EC=6,

貝?。軦E=6

故答案為6.

14、將線段AB繞點B逆時針旋轉90。，在向右平移2個單位長度

【解析】

根據圖形的旋轉和平移性質即可解題.

【詳解】

解：將線段AB繞點B逆時針旋轉90。，在向右平移2個單位長度即可得到A，B，、

【點睛】

本題考查了旋轉和平移，屬于簡單題，熟悉旋轉和平移的概念是解題關鍵.

3732

13、-------TC

23

【解析】

首先根據切線的性質及圓周角定理得C￡的長以及圓周角度數(shù)，進而利用銳角三角函數(shù)關系得出OE,AO的長，利用

SAADE-S扇影FOE=圖中陰影部分的面積求出即可.

【詳解】

解：連接OE,OF、EF,

???OE是切線，

：.OELDE,

VZC=30°,0B=0E=2,

:.NEOC=60。,OC=2OE=4,

：.CE=OCxsin60°=4xsin60=2石，

I?點E是弧BF的中點，

NEAB=NZX4E=30。，

：.F,E是半圓弧的三等分點，

:.NEOF=NEOB=ZAOF=60°,

J.OE//AD,ZDAC=60°,

，NAOC=90。，

VCE=AE=2百，

:.DE=C，

.,.AD=DExtan60°=百x6=3,

?c1門口12國3>/3

?-SAADE=-4AnD-DE=-X3X>/3=----

222

'.,△fOE和AAE尸同底等高,

:.△FOE和4AEF面積相等,

3660-7TX223百2

???圖中陰影部分的面積為：孔ADE-扇形FOE=---------------=--------71.

236023

故答案為垣-2萬

23

【點睛】

此題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據已知得出A尸OE和△AE尸面積相等是解題關鍵.

16、1

【解析】

設正多邊形的邊數(shù)為n,然后根據多邊形的內角和公式列方程求解即可.

【詳解】

解：設正多邊形的邊數(shù)為n,

由題意得，（"2）.180。=14明

n

解得n=l.

故答案為L

【點睛】

本題考查了多邊形的內角與外角，熟記公式并準確列出方程是解題的關鍵.

17、72

【解析】

分析：延長AB交4于點F,根據右/〃2得到N2=N3,根據五邊形ABCDE是正五邊形得到NFBC=72。,最后根據三角

形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和即可求出.

詳解：延長AB交6于點F,

二N2=N3,

V五邊形ABCDE是正五邊形,

.?.ZABC=108°,

:.ZFBC=72°,

Z1-Z2=Z1-Z3=ZFBC=72°

故答案為：72°.

點睛：此題主要考查了平行線的性質和正五邊形的性質，正確把握五邊形的性質是解題關鍵.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(300+20)cm.

【解析】

作BG_LCD,垂足為G,BH±AF,垂足為H,解RfACBG和RfAABH,分別求出CG和BH的長，根據D到L的

距離=BH+AE-(CD-CG)求解即可.

【詳解】

如圖，作BGJ_CD,垂足為G,BH1AF,垂足為H,

CG=BCcos60°=30,

在RMABH中，NBAF=45。，AB=60cm,

:.BH=AB?sin45°=3O>/2,

D到L的距離=HH+AE-(CD-CG)=30夜+25-5=(30&+20)cvn.

【點睛】

本題考查解直角三角形，解題的關鍵是構造出適當輔助線，從而利用銳角三角函數(shù)的定義求出相關線段.

19、AB^3.93m.

【解析】

想求得A8長，由等腰三角形的三線合一定理可知45=2A。，求得即可，而AO可以利用NA的三角函數(shù)可以求

出.

【詳解】

'：AC=BC,。是AB的中點，

：.CDLAB,

又?.?CD=1米，ZA=27°,

???AO=CZ>Haii270Hl.96,

：.AB=2AD9

：.AB^3.93m.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)，直角三角形，等腰三角形等知識，關鍵利用了正切函數(shù)的定義求出AD,然后就可以求出A5.

20、(1)證明見試題解析；(2)—.

3

【解析】

試題分析：(1)利用圓周角定理結合等腰三角形的性質得出NOCF+NDCB=90。，即可得出答案；

(2)利用圓周角定理得出NACB=90。，利用相似三角形的判定與性質得出DC的長.

試題解析：(1)連接OC,VZCEA=ZCBA,NAEC=NODC,/.ZCBA=ZODC,又；NCFD=NBFO,

.,.ZDCB=ZBOF,VCO=BO,.,.ZOCF=ZB,VZB+ZBOF=90°,/.ZOCF+ZDCB=90°,，直線CD為(DO的切

線；

(2)連接AC,：AB是<90的直徑，/.ZACB=90°,AZDCO=ZACB,又：ND=NB,AOCD^AACB,

COCD2.5CD?10

VZACB=90°,AB=5,BC=4,；.AC=3,:.——=——，即an——=——，解得；DC=—.

ACBC343

考點：切線的判定.

21、(1)E(—3,4)、F(-5,0)；(2)_；(3)、K.

【解析】

(1)連接OE,BF,根據題意可知：--=--=片--=--=4設--=-則--=--=￡_-根據勾股定理可得：

二二二十二二：二二二，即4,+二二=二)，解得：-=；即可求出點E的坐標，同理求出點F的坐標.

(2)連接BF、OE,連接BO交EF于G由翻折可知：GO=GB,BE=OE,證明△BGEgZ\OGF,證明四邊形OEBF

為菱形，令y=0,貝U、？二+W=0，解得二=9根據菱形的性質得OF=OE=BE=BF=\7令y=n,則力二+3=二，

解得_.則CE=_在RtACOE中，根據勾股定理列出方程一，，即可求出點E的坐標,

L一—3口一3(一號)；+口；=(@：

“=百~~jT

即可求出k的值；

(3)設EB=EO=x,則CE=-m-x,在RtACOE中，根據勾股定理得.到(一m—x)2+n2=x2,解得一一，求出

點_)、F(_；+_;),根據中點公式得到EF的中點為(二。，將_),(_。代入__中,

,r——-

得；__，得m2=2n2

一4口口

即可求出tanZEFO=_.

一二=?2

【詳解】

解：(1)如圖：連接OE,BF,

ElN

/F0]?

E(—3,4)、F(—5,0)

⑵連接BF、OE,連接BO交EF于G由翻折可知：GO=GB,BE=OE

上7:

/F0\?

可證：△BGE^AOGF(ASA)

.,.BE=OF

:.四邊形OEBF為菱形

令y=0,貝!)、,弓二+3=0，解得二=y，/.OF=OE=BE=BF=v^

令y=n,則H匚+3=二，解得__三，CE=_o^

U一下

在RtACOE中,

(-<)；+匚；=(H)；

解得一

,El仃?

(3)設EB=EO=x,則CE=-m-x,

在RtACOE中，(—m—x)2+n2=x2,解得

，EF的中點為(__)

將)、(「_)代入一中，得

--,得m2=2n2

口(丁_二》_1一一

~=7口口

.e.tanZEFO=

py

一二0二72

【點睛】

考查矩形的折疊與性質，勾股定理，一次函數(shù)的圖象與性質，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)等，綜

合性比較強，難度較大.

22、(1)證明見解析；(2)26;(3)3—6；

【解析】

(1)連接OA、AD,如圖，利用圓周角定理得到NB=NADC,則可證明NADC=2

NACP,利用CD為直徑得到NDAC=90。，從而得到NADC=60。，NC=30。，則NAOP=60。，

于是可證明NOAP=90。，然后根據切線的判斷定理得到結論；

(2)利用NP=30。得至ljOP=2OA,則=0。=百，從而得到。O的直徑；

(3)作EHJ_AD于H,如圖，由點B等分半圓CD得到NBAC=45。，則NDAE=45。，設

DH=x,則DE=2x,HE=也x,A"=HE=所以(萬+1卜=6，然后求出x即可

得到DE的長.

【詳解】

(1)證明：連接OA、AD,如圖，

VZB=2ZP,NB=NADC,

；.NADC=2NP,

VAP=AC,

.".ZP=ZACP,

二ZADC=2ZACP,

VCD為直徑，

.*.ZDAC=90o,

.?.ZADC=60°,NC=30。，

/.△ADO為等邊三角形，

ZAOP=60°,

而NP=NACP=30°,

:.ZOAP=90°,

，OA_LPA,

...PA是OO的切線；

(2)解：在RtAOAP中，VZP=30°,

.?.OP=2OA,

:.PD=OD=y[3

二。0的直徑為26；

(3)解：作EH_LAD于H,如圖，

???點B等分半圓CD,

二ZBAC=45°,

.,.ZDAE=45°,

設DH=x,

在RtADHE中，DE=2x,HE=4?>x,

在RtAAHE中，AH=HE=&

AD-y/3x+x-^\/3+x,

即（百+l）x=G,

解得a*

【點睛】

本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.圓的切線垂直于經過切點的

半徑.判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”：有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心

得半徑”.也考查了圓周角定理.

23、(1)(-2,2+273)，(-10,16-5百)，(-,b-走a)；(2)見解析；(3)直線PP,x軸的交點坐標(-G，

22

0)

【解析】

(1)①當P(-4,2)時，OA=2,PA=4,由旋轉知，ZP'AH=30°,進而PH=；P'A=2,AH=73P'H=273,即可得

出結論；

②當P(-5,16)時，確定出P，A=10,AH=5百，由旋轉知，PA=PA'=10,OA=OH-AH=16-5月，即可得出結論；

③當P(a,b)時，同①的方法得，即可得出結論；

(2)先判斷出NBQQ，=60。，進而得出NPAP，=NPP，A=60。，即可得出NP，QQ，=NPAP，=60。，即可得出結論；

(3)先確定出ypp'=Gx+3,即可得出結論.

【詳解】

解：(1)如圖1,

①當P(-4,2)時，

?.，PAJ_y軸，

/.ZPAH=90°,OA=2,PA=4,

由旋轉知，P'A=4,ZPAP'=60°,

.,.ZP'AH=30°,

.a1

在RSP'AH中，P'H=-P'A=2,

2

.,.AH=73P'H=273,

:.OH=OA+AH=2+2百，

AP'(-2,2+273)?

②當P(-5,16)時，

在RtAPAH中，ZP'AH=30°,P'H=5,

.,.P'A=10,AH=573,

由旋轉知，PA=PA'=10,