初中數(shù)學(xué)邊緣問題

剪拼圖形：

1.平行四邊形剪拼成一個(gè)三角形.

用“面積不變”的思想,平行四邊形變?nèi)切斡袃纱箢惙椒?，每一大類都有無(wú)數(shù)種拼法.如

圖3,圖7.

1.1一般的方法：

如圖1,找出AB邊中點(diǎn)E,作射線DA、射線CE,兩條射線交與點(diǎn)D'.易證AAED'

絲△BEC,將aBEC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,就和aAED'重合.這樣將平行四邊形ABCD沿CE

剪開就可以拼成一個(gè)三角形（4DCD'）.

如圖2,也可以在BC邊上找中點(diǎn)，作法同上.

D'

圖1圖2

那么是否只有這兩種做法呢？當(dāng)然不是，它的做法有無(wú)數(shù)種呀！下面我們來(lái)看一看.

1.2以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看問題：

如圖3,找出AD、BC的中點(diǎn)G、H,而D'點(diǎn)是AB上任意一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)），作射線D'

G和射線D'H,分別交DC所在的直線于E、F,易證4DGE絲AGD',Z\HBD'絲△HCF,

這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個(gè)三角形（AEFD'）.

當(dāng)點(diǎn)D'在AB上移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的AEFD'也在變化，所以也就產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)三角形△

EFD'也就有無(wú)數(shù)種剪拼方法.

AD'B

，一歹F

EDCF

圖6

1.2.1當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)到圖4位置時(shí)，ZXEFD'為銳角三角形.

1.2.2當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)到圖5位置時(shí)，^EFD'為直角三角形.

1.2.3當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)到圖6位置時(shí)，AEFD'為等腰（鈍角）三角形.

124當(dāng)點(diǎn)D'在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EFD,能否為等邊三角形？若不能什么條件下能?

1.3同樣以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看問題，又有以下方法:

該方法實(shí)際上是1.1方法的一般化.

1

利用剪拼后“面積不變"S=ah=2a（2h）還可以有如圖7作法.D'點(diǎn)是AB上任意

一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)），過D'點(diǎn)作D'A'平行且等于DA,易證△EADgED'A',△FA'D'絲

△FCB,這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個(gè)三角形（4DCA'）.

當(dāng)點(diǎn)D'在AB上移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的aDCA'也在變化，所以也就產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)三角形△

DCA'也就有無(wú)數(shù)種剪拼方法.

同理，也可以將動(dòng)點(diǎn)D'選在BC（或AD）上，方法原理同上面一樣.

2.平行四邊形剪拼成一個(gè)特殊四邊形.

2.1平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形.

如圖8,過A點(diǎn)作AF±DC與F.易證RtAADF^RtABCE,^AADF剪下平移到4BCE

的位置就拼成了長(zhǎng)方形.

2.2平行四邊形剪拼成正方形.

平行四邊形剪拼成正方形的過程較復(fù)雜，要先將平行四邊形拼成長(zhǎng)方形，再把長(zhǎng)方形拼

成正方形.下面通過圖像來(lái)說明怎么把長(zhǎng)方形剪拼成正方形的方法.

用“面積不變”的思路，我們可以將給定的矩形剪拼成正方形，如圖9所示.請(qǐng)大家探

討有沒有更好的方法.

b

圖9

2.3平行四邊形剪拼成梯形.

同樣以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看問題，有下述方法.

用“面積不變”的思路平行四邊形變梯形的方法.如圖10所示.

點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一動(dòng)點(diǎn)（F不與A、B兩點(diǎn)重合，思考為什么？），易

證AFBE絲ZXGCE,將4FBE剪下使它和4GCE重合即拼成了梯形.（因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)的所以有

無(wú)數(shù)種剪拼成梯形的方法.）

2.3.1當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)位置時(shí)可拼成為三角形即1.1的情況.

2.3.2當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到圖11位置時(shí)可拼成為直角梯形.

2.3.3當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到圖12位置時(shí)可拼成為等腰梯形.

2.3.4如圖13,另外以點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，G為BC上一動(dòng)點(diǎn)，G在BC上運(yùn)動(dòng)（不包

括B、C兩點(diǎn)），原理同上也可以剪拼梯形.因?yàn)镚在BC上運(yùn)動(dòng)，所以有無(wú)數(shù)種剪拼成梯

形的方法.特別的當(dāng)G運(yùn)動(dòng)到圖13位置時(shí)，能剪拼成直角梯形.

FB

圖10

圖12

2.4平行四邊形剪拼成任意四邊形.

如圖14,在平行四邊形ABCD的AC邊上任取一點(diǎn)E（或者說點(diǎn)E是AC上一動(dòng)點(diǎn)），

過E點(diǎn)作AB的平行線，交BD于點(diǎn)F.在線段EF上任取兩點(diǎn)G、H（或者說點(diǎn)G、H是線

段EF上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不能到點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置）.分別過G、H作AC的平行線，交CD于

K,交AB于L,作H點(diǎn)關(guān)于AB的反射點(diǎn)H',作G點(diǎn)關(guān)于CD的反射點(diǎn)G',易證圖中的相

關(guān)三角形全等，從而得以剪拼成功.（因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)的所以有無(wú)數(shù)種剪拼成梯形的方法.）

圖14

3.任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法.

將2.4的過程反過來(lái)則就成了將任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法了.

4.任意四邊形剪拼成長(zhǎng)方形的方法.

只需要圖14中，GG'±EF,HH'_LEF剪拼的結(jié)果就是矩形.

5.梯形的剪拼.

5.1梯形剪拼成平行四邊形.

如圖15,點(diǎn)H是BC上的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作AD的平行線交AB的延長(zhǎng)線于E,交DC于

G,易證4HEB四△HGC,將aHGC繞H旋轉(zhuǎn)180°到AHEB的位置，就剪拼成了平行四邊

形.同理可以像圖16那樣剪拼.

圖15

5.2一般梯形剪拼成等腰梯形的方法.

如圖17,作梯形中位線的中垂線，沿中垂線將梯形對(duì)折（作點(diǎn)D關(guān)于中垂線的對(duì)稱點(diǎn)

G）H為腰BC的中點(diǎn)，射線GH交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，易證aBEH絲Z\CGH,AD=EG從

而可以剪拼成功.

同理，圖18那樣也可以.

5.3梯形變長(zhǎng)方形.

可以先將梯形剪拼成平行四邊形，再將平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形.或者用前面（4.任

意四邊形剪拼成長(zhǎng)方形的方法.）講的方法.

5.4特殊梯形的特殊變化.

例如：底角都是60°的等腰梯形變等邊三角形.這要有特殊的方法，有興趣大家可以

研究一下.

圖24

如圖：從圖19到圖24是剪拼的過程，供大家研究.

6.兩個(gè)正方形剪拼成一個(gè)正方形.

這個(gè)問題簡(jiǎn)稱“兩方拼一方”，人教版八年級(jí)課本上有這樣一個(gè)閱讀.方法不止一種,

下面我寫幾種供大家欣賞.

圖25中，邊長(zhǎng)分別為a、b兩個(gè)正方形連成一體，你能否在上面劃兩條直線，沿線把圖

形分成幾塊，然后拼成一個(gè)正方形而無(wú)剩余.

6.1方法一:

用剪拼后“面積不變”的方法，可知剪拼后的正方形邊長(zhǎng)為JL+，,那么只需要在

圖中找到兩條這樣的線剪開就可以了.如圖26到圖32是剪拼過程示意圖.

以D點(diǎn)為圓心小正方形的邊長(zhǎng)b為半徑作圓，交DC于H,如圖27,則AH=FH=7<22+^2,

易證圖28中甲、乙兩個(gè)三角形和圖29中甲、乙兩個(gè)三角形全等.將圖28中的甲、乙放到

圖29的位置即完成了剪拼,圖31是完成剪拼后的圖形.（不做過多論述，看圖.）

圖26圖27圖28

圖29圖30

6.2方法二:

如圖32,易證DGMAG1壽,易證圖33中的甲、乙、丙、丁分別和圖34中的甲、乙、

丙、丁全等.將圖33中的甲、乙、丙、丁分別放到圖34的位置即完成了剪拼，圖35是完

成剪拼后的圖形.（不做過多論述，看圖.）

6.3方法三：請(qǐng)大家看圖36,不做詳細(xì)介紹.

圖36

十字相乘：

同學(xué)們都知道，x2+(p+g)x+pq型的二次三項(xiàng)式是分解因式中的常見題型，那么此類多

項(xiàng)式該如何分解呢？

觀察(X+PXx+q)=x2+3+[)x+pg,可知x2+(p+g”+pg=(x+M(x+g)。

這就是說，對(duì)于二次三項(xiàng)式V+ax+小，如果常數(shù)項(xiàng)b可以分解為p、q的積，并且有

p+q=a,那么乂+“+8=*+切熾+/。這就是分解因式的十字相乘法。

下面舉例具體說明怎樣進(jìn)行分解因式。

例1、因式分解/一X一56。

XX\

分析：因?yàn)閊------上

7x+(-8x)=-x

解：原式=(x+7)(x-8)

例2、因式分解/-10工+16。

:X：

分析：因?yàn)椤煲欢?/p>

-2x+(-8x)=-10x

解：原式二(x-2)(x-8)

例3、因式分解6/+1*+15°

分析：該題雖然二次項(xiàng)系數(shù)不為1,但也可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解。

2y*3

因?yàn)椤?

9y+10y=19y

解：原式二(2y+3)(3y+5)

例4、因式分解14-+3工一27。

2彳Y3

7彳八一9

分析：因?yàn)槎?----1

21x+(-18x)=3x

解：原式二(2x+3)(7x-9)

例5、因式分解10(X+2)2-29(X+2)+10。

分析：該題可以將(x+2)看作一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行因式分解。

2(x+2)*-5

因?yàn)?(x+2)/-2

-25(x+2)+[-4(x+2)]=-29(x+2)

解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]

=(2x-l)(5x+8)

例6、因式分解(1-。尸-14(1-4)+24。

分析：該題可以先將(a?-4)看作一個(gè)整體進(jìn)行十字相乘法分解，接著再套用一次

十字相乘。

-2(。-△)+[-12(。-a)]=-14(。一。)a+(-2a)=-a3a+(-4a)=-a

解：原式二[(/一以)-2][(/一以)-12]

=(a+l)(a-2)(a+3)(a-4)

從上面幾個(gè)例子可以看出十字相乘法對(duì)于二次三項(xiàng)式的分解因式十分方便，大家一定

要熟練掌握。但要注意，并不是所有的二次三項(xiàng)式都能進(jìn)行因式分解，如x'-2x+5在實(shí)

數(shù)范圍內(nèi)就不能再進(jìn)一步因式分解了

兩線合一必等腰：

學(xué)習(xí)了等腰三角形的三線合一后，筆者認(rèn)為，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，補(bǔ)充“三線合一”

的逆命題的教學(xué)，因?yàn)檫@種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了

它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：

①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.（線段垂直平分線的性質(zhì)）

②一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

③一邊上的中線與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對(duì)角的平分線”三線中“兩線合一”就

能證明它是等腰三角形.

為了便于記憶，筆者簡(jiǎn)言之：兩線合一，必等腰。

本文重點(diǎn)利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明之來(lái)解

決問題。

一、我們先來(lái)證明“三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：

證明①：已知：如圖1,ZiABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高。

A

BDC

圖1

求證：AABC是等腰三角形。

分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC,

所以aABC是等腰三角形。具體證明過程略。

證明②：已知:如圖1,4ABC中，AD是NBAC的角平分線，AD是BC邊上的高。

求證：AABC是等腰三角形。

分析：利用ASA的方法來(lái)證明△ABD^^ACD,由此推出AB=AC得出AABC是等腰三角形。

具體證明過程略。

證明③：已知：如圖2,△ABC中，AD是NBAC的角平分線，AD是BC邊上的中線。

求證：aABC是等腰三角形。

方法一：

分析：要證aABC是等腰三角形就是要證AB=AC,直接通過證明這兩條線段所在的三角

形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在有中點(diǎn)的幾何證明題中常用的添輔助線的方

法是“倍長(zhǎng)中線法”（即通過延長(zhǎng)三角形的中線使之加倍，以便構(gòu)造出全等三角形來(lái)解決問

題的方法），即延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使DE=AD,由此問題就解決了。

證明：如圖2,延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使DE=AD,連接BE

I在4ADCffiAEDB中

AD=DE

ZADC=ZEDB

CD=BD

.-.△ADC^AEDB

AAC=BE,NCAD=/BED

TAD是NBAC的角平分線

???NBAD二NCAD

???ZBED=ZBAD

AAB=BE

又TAOBE

AAB=AC

???△ABC是等腰三角形。

方法二：

分析：上面的“倍長(zhǎng)中線法”稍微有點(diǎn)麻煩，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，遇到角的平分線，我們可

以利用角的平分線的性質(zhì)：過角的平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，從而構(gòu)造出了高，再利

用面積公式開辟出新思維。具體做法是：如圖2,

過點(diǎn)D作DFLAB,DE_LAC垂足分別為F、E。又因AD是NBAC的角平分線，所以DF=DE。

因?yàn)锽D=DC,利用“等底同高的三角形面積相等”的原理，所以=再根據(jù)“等

—ACDE

積三角形高相等則底也相等”，因?yàn)?皿=5=S.CD=5，又因DF=DE,

所以AB=AC,可見“面積法”給解題帶來(lái)了簡(jiǎn)便，這種方法也正是被人們易忽視的。

圖3

當(dāng)然，學(xué)生在作出角的平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離時(shí)，很容易形成思維定勢(shì)，證明

兩組直角三角形分別全等，從而證明/B=/C,所以AB=AC,此法明顯較麻煩些，但是思路

要給予肯定。

需要提醒讀者的是：以上我們證明了“三線合一”的逆定理的正確性，但是這種逆命題

不能作為定理來(lái)用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方

法。

二、利用“三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三角形來(lái)解決問題

1、逆命題①的應(yīng)用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用）

例1人教版八（上）第十二章章節(jié)復(fù)習(xí)題中的第5題：如圖4,D、E分別是AB、AC的

中點(diǎn)，CDLAB于D,BE_LAC于E,求證：AC=AB0

經(jīng)筆者驗(yàn)證，學(xué)生一拿到題目就找全等三角形或構(gòu)建全等三角形，所以連接A0（圖略），

證明△AOC絲ZSAOB或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)，

證明OA=OB=OC,方法相當(dāng)?shù)芈闊?/p>

分析：題目沒有直接給出“CD、BE分別是AB、AC的垂直平分線”這樣的語(yǔ)句，所以學(xué)

生最初拿到這個(gè)題目，很難把分立的垂直和平分兩個(gè)條件聯(lián)系在一起.如果學(xué)生有“兩線合

必等腰”的思維，很容易想到CD、BE分別可以是以AB、AC為底邊的等腰三角形底邊上

的高和中線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。

簡(jiǎn)單證明：連結(jié)BC,CD±AB,AD=BD

AC=BC（注：利用線段垂直平分線的性質(zhì)）

同理可得：AB=BC

,AC=AB

由于逆命題①的應(yīng)用與線段垂直平分線的性質(zhì)相一致，所以筆者在此就不過多的舉例。

2、逆命題②的應(yīng)用

例2已知：如圖5,在△ABC中，AD平分/BAC,CD，AD,D為垂足，AB〉A(chǔ)C。

求證：Z2=Z1+ZB

分析：由“AD平分NBAC,CD1AD"可以想到AD可以是同一個(gè)等腰三角形底邊上的高

和底邊所對(duì)角的平分線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。

簡(jiǎn)單證明：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,由題目提供的條件，可證4AED絲z^ACD,Z2-ZAEC,

又/AEC=/1+NB,所以結(jié)論得證。

例3在學(xué)習(xí)等腰三角形知識(shí)時(shí)，會(huì)遇到這個(gè)典型題目：如圖6,在AABC中，ZBAC=90°,

AB=AC,BE平分NABC,且CD_LBE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,

求證：CD=2BE

分析：由已知條件可知：BD滿足了逆命題②的“兩線合一”，所以延長(zhǎng)CD和BA,交于

點(diǎn)F,補(bǔ)全等腰三角形。

簡(jiǎn)單證明：由所添輔助線可證△BFDg^BCD,可知4BCF是等腰三角形

:.CD=DF=2CF

再證△ABEg^ACF

,BE=CF

:.CD=2BE

可見，學(xué)會(huì)“兩線合一，必等腰”的思維，對(duì)滿足“三線合一”性質(zhì)的逆命題的條件，

添加適當(dāng)?shù)妮o助線來(lái)構(gòu)造等腰三角形，為我們解決相關(guān)問題開辟了新思維。

筆者認(rèn)為，三個(gè)逆命題中以逆命題②在幾何證明的應(yīng)用中尤為突出。

例4逆命題②還可以與中位線綜合應(yīng)用：

已知：如圖7,在△ABC中，AD平分NBAC,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F為BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF。

求證：EF〃AB,EF=2(AC-AB)

分析：由已知可知，線段AE既是/BAC的角平分線，又是EC邊上的高，即“兩線合

一”，就想到把AE所在的等腰三角形構(gòu)造出來(lái)，因而就可添輔助線：分別延長(zhǎng)CE、AB交于

點(diǎn)G。

簡(jiǎn)單證明：由所添輔助線可證AAGE絲AACE,得出AAGC是等腰三角形，AG=AC

；.EG=CE

又?.,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)

AEF是△BGC的中位線

11

，EF〃AB,EF=2BG=2(AG-AB)=2(AC-AB)

3、逆命題③應(yīng)用：

例5已知：如圖8,aABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE〃AC、DF〃AB分別

與AB、AC相交于點(diǎn)E,F。求證：DE=DF

分析：根據(jù)已知條件，利用相似性知識(shí)，可證：點(diǎn)E,F分別是AB、AC的中點(diǎn)（初中階段不

能用三角形的中位線的逆定理），又因點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，再利用三角形中位線的性質(zhì)可知,

21

DE=2AC,DF=2AB,可見只要證明AC=AB,題目所求證的結(jié)論就可得證。因?yàn)锳D既是/BAC

的角平分線，又是BC邊上的中線，即“兩線合一”，所以AABC是等腰三角形可證，方法

見逆命題③的證明。

證明：過程略。

還有的題目沒有直接給出“兩線合一”的條件，而是需要證明其中一個(gè)條件或者通過

作輔助線構(gòu)建另一個(gè)條件，使題目符合“兩線合一”思路。

AD=CD+AB

例7

分析：拿到這個(gè)題目，學(xué)生的思維很活躍，有的用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”；有的用“角的平

分線性質(zhì)”；有的用“梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題”的方法；筆者發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)學(xué)生延長(zhǎng)DC、

AE相交于點(diǎn)F,易證AABE絲Z\FCE,所以AB=CF,AE=EF,可見只要證明AD=FD,題目所求

證的結(jié)論就可得證?？墒菍W(xué)生想到這一步，思維受阻：DE此時(shí)既是NADC的角平分線，又是

AF邊上的中線，4DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么證明?？梢姡瑢W(xué)生如果有“兩線

合一，必等腰”的思維和掌握了它的證明方法，那么此法是可行。只是此法用于這個(gè)題目較

為麻煩、不可取，但是對(duì)于學(xué)生的思維火花還是要給予肯定的。

由于筆者在研究過程中，發(fā)現(xiàn)逆命題③的應(yīng)用不是很多，所以在此就不過多的舉例。

三、請(qǐng)讀者小試牛刀

學(xué)習(xí)了以上“兩線合一，必等腰”的新思路，筆者最后再一次警告讀者：由于“三線合

一”性質(zhì)的逆命題①與線段垂直平分線的性質(zhì)相吻合，所以可直接應(yīng)用；但是運(yùn)用逆命題②

或③添加輔助線構(gòu)造的等腰三角形必須先要證明，不能作為定理用，切記切記！謹(jǐn)防與“三

線合一”性質(zhì)搞混淆。

請(qǐng)讀者試解下面問題（前2題提示，后3題不予提示）

1、已知，如圖10,ZXABC中，NBAC=90°,AD_LBC于D,/ABC的平分線交AD于E,

交AC于P,ZCAD的平分線交BP于Q。求證：AQAD是等腰三角形。（提示：可證NAQB=90°,

延長(zhǎng)AQ。此題把逆命題②與直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用）

2、如圖（圖略，讀者自己畫），在△ABC中（ABWAC）,M為BC的中點(diǎn)，AD平分/BAC

交BC于點(diǎn)D,BE_LAD于E,CF_LAD于F.求證：ME=MF.（提示：延長(zhǎng)BE、CF.）

3、如圖（圖略），BE、CF是AABC的角平分線，AMLCF于M,ANLBE于N.求證：MN〃BC.（畫

圖時(shí)，注意ABWAC）

4、如圖（圖略），已知梯形ABCD中，AB//CD,NC的平分線CE_LAD于E,且DE=2AE,

CE把梯形ABCD分成兩部分，求這兩部分面積之比.（畫圖時(shí)，注意AB為上底，CD為下底，

E點(diǎn)在線段AD上）

5、BD、CE是4ABC的兩個(gè)外角的平分線，AD±BD于D,AE±CE于E.求證：（DDE/7BC.（2）DE

等于AABC的周長(zhǎng)的一半.（畫圖時(shí)，注意BD,CE在直線BC的同側(cè)）

等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題的應(yīng)用不斷為學(xué)生開辟了新思維，強(qiáng)化了學(xué)生通

過添加輔助線解題的能力，而且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想。

巧用韋達(dá)定理：

韋達(dá)定理揭示了一元二次方程的兩根之和、之積與系數(shù)的關(guān)系，然而在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常還

會(huì)遇到兩根之差、之比、平方和等問題，如果能將它們與系數(shù)建立起來(lái)關(guān)系，直接用這種關(guān)

系來(lái)解題，豈不妙哉？下面是韋達(dá)定理的三個(gè)推論，它會(huì)給大家?guī)?lái)驚喜.

推論一設(shè)xi、X2是一元二次方程ax'+bx+c=0（aW0）的兩個(gè)實(shí)根，則

2

推論二設(shè)XI、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（acW0）的兩個(gè)實(shí)根，令叼，則

（1+k）2_廿

kac。

b2-2ac

彳？+x?=

推論三設(shè)XI、X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的兩個(gè)實(shí)根，則1

利用上述推論來(lái)解題，顯得簡(jiǎn)捷、明快、直觀，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力很有幫助，下面舉

例說明它們的應(yīng)用.

一、求值

例1已知山、X2為方程2x2+2x-l=0的二根，則|xi—X21的值為____

.2—4x2x(—l)—拒

解：由推論一，得：|xi—X21=2

例2設(shè)Xi、X2是方程x?+6x+q=0的兩根，且3xi+2x?2=0,則q=.

_62

k=^-=-~二一q

解：由3XI+2X2=0,得為23。由推論二，得：3；.q=-216.

例3已知關(guān)于x的方程xZ—(k+l)x+k+2=0的兩實(shí)根的平方和等于6,求k的值.

解設(shè)方程X.—(k+l)x+k+2=0的兩根為Xi、X2,

二X；+君=(用+1尸一2(上+2)=上一3,由題意知1<2—3=6,二1<2=9,k=±3.

由于當(dāng)k=3時(shí)，原方程無(wú)實(shí)根，，k=3應(yīng)舍去.故k的值為-3.

二、求系數(shù)間的關(guān)系

例4如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍,那么p,q所滿足的關(guān)系式是一.

(1+2)]儲(chǔ)2

解：因?yàn)樽?2,由推論二得20,即272=9，。

例5方程x2+px+q=0的兩根之差與x2+qx+p=0的兩根之差相等，則p,q的關(guān)系

式是____.(A)p=q；(B)p+q=—4；(C)p=q或p+q=—4；(D)無(wú)關(guān).

解設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為a,B,方程x2+qx+p=O的兩根為a',B,則

即戶|=加-乜口叫=揚(yáng)-4乙由題意得物-4[=&2_4乙

即(p—q)(p+q+4)=0..,.p=q或p+q=-4.故選即).

三、求最值

例7已知xi、也是方程十一(1?一2及+(1?+31:+5)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(其中卜為實(shí)數(shù)),

則+的最大值是一

解：?.?*；+君=(左_2)2_2(上2+3上+5)=_(上+5)2+]9

又,；△=(k-2)2—4(k?+3k+5)20,

4

-4二上4-

即3kz+16k+16W0,二解得3

22

當(dāng)k=-4時(shí),劉+用的最大值是18。

梯形常用輔助線作法：

梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的“綜合”。可以通過適當(dāng)?shù)靥?/p>

加輔助線，構(gòu)造三角形、平行四邊形，再運(yùn)用三角形、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)去解決梯形問

題。下面就梯形中輔助線的常見添加方法舉例說明，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助。

一、平移對(duì)角線：平移一條對(duì)角線，使之經(jīng)過梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)。

例1如圖，在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,ACJ_BD,梯形的高CF為10,求梯形ABCD的

面積。

分析：由于等腰梯形ABCD的對(duì)角線ACLBD且AC=BD,所以我們可以平移一對(duì)角線構(gòu)造

一等腰直角三角形，通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)梯形的面積與這個(gè)三角形的面積相等，因此只需求出三角

形的面積即可。

解：過點(diǎn)C作CE〃DB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

VDC/7AE；四邊形CDBE為平行邊形；，DB=CE,DC=BE

?.?梯形ABCD為等腰梯形；.,.AD=BC,AC=BD；；.AC=CE

AADC^ACBE即SAADC=SACBE：；.S梯形ABCD=SAACE

VAC±BD,CE〃DB；AACICE；ZXACE為等腰直角三角形

：CF為高，；.CF也為等腰直角三角形ACE斜邊上的中線

VCF=10,AAE=20

梯形ABCD=SAACE=2AEXCF=2X20X10=100

二、平移一腰或兩腰：平移一腰，使之經(jīng)過梯形的另一個(gè)頂點(diǎn)或另?xiàng)l腰的中點(diǎn)；或者

同時(shí)移動(dòng)兩腰使它們交于一點(diǎn)。

例2如圖，等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長(zhǎng)，那么這個(gè)梯形較小的一個(gè)內(nèi)角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

解析：由條件“兩底之差等于一腰的長(zhǎng)”，可平移一腰。如圖所示平移DC到AE,AE

交BC于E。可知BE=BC-AD=AB.又AB=DC=AE.故AB=BE=AE,AABE是等邊三角形。所以N

B=60°.故選B?

例3如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC.AD<BC,E、F分另4為AD、BC的中點(diǎn)，且EF_LBC。

解析：要證NB=NC,可把它們移到同一個(gè)三角形中，利用等腰三角形的有關(guān)性偵加以

證明。

過點(diǎn)E作EH〃AB,EG〃DC,分別交BC于H、G。

???AD〃BC,...四邊形ABIIE和四邊形EGCD都是平行四邊形。

.\AE=BH,ED=GC,又E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),所以AE=ED,BF=FC

.*.BII=GC,BF-BH=FC-GC,從而FH=FG.又EF_LBC,所以EH=EG,故NEHF=/EGF,得NB=

ZCo

三、延長(zhǎng)兩腰：將梯形兩腰延長(zhǎng)相交構(gòu)造三角形。

例4在梯形ABCD中，AD〃BC,ZABC=ZBCD=60°,AD+BC=30,BD平分NABC,求梯形

的周長(zhǎng)。

解析：延長(zhǎng)兩腰相交于點(diǎn)E,如圖，因?yàn)镹ABC=NBCD=60°,故NE=60°,4BCE為等

1

邊三角形。又BD平分NABC,所以BD垂直平分CE,所以CD=5BC。又AD〃BC,故△ADE為

等邊三角形。AD=ED=CD.由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10o

匕

，梯形的周長(zhǎng)為30+AB+CD=30+2CD=50。

四、作梯形的高：過梯上底的兩個(gè)端點(diǎn)分別作梯形的高。

例5已知等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角為60。，它的上底是3cm,腰長(zhǎng)是4cm,則下底是

解析：如圖，梯形ABCD中，ZB=ZC=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,過點(diǎn)A、D分別作

1

AE±BC,DF_LBC,垂足分另ij為E、F貝ij有NBAE=NCDF=30°，BE=FC=2AB=2cm。

，BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm).

梯形中添加輔助線的方法有很多，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中還須活學(xué)活用，也可以以口訣

的形式記憶下來(lái)：“移動(dòng)梯形對(duì)角線，兩腰之和成一線；平行移動(dòng)一條腰，兩腰同在

現(xiàn)；延長(zhǎng)兩腰交一點(diǎn)，''△"中有平行線；作出梯形兩高線，矩形顯示在眼前；已知腰上一中

線，莫忘作出中位線”。

三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

在中考和一些競(jìng)賽題目中常有與三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)的題目，若平時(shí)不注意總結(jié)是很難

一下子解決的.下面來(lái)一起學(xué)習(xí)一下.

命題1如圖1,點(diǎn)D是AABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則ND=90°+2ZA.

證明：如圖1：

VZ1-Z11,Z2-Z21,

.?.2/l+2/2+NA=180。①

Z1+Z2+ZD=I8O°②

①一②得：

Z1+Z2+ZA=ZD(3)

由②得：

Zl+Z2=1800-ZD?

把③代入④得：

.?.180°-ZD+ZA=ZD

J

ZD=90°+2ZA.

點(diǎn)評(píng)利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等于180°,不難證明.

1

命題2如圖2,點(diǎn)D是AABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則ND=90°-2ZA.

圖2

證明：如圖2：

VDB和DC是4ABC的兩條外角平分線,

，ND=180°-Z1-Z2

J

=180°-2(ZDBE+ZDCF)

J

=180°-2(ZA+Z4+ZA+Z3)

!_

=180°-2(ZA+180°)

!_

=180°-2ZA-90°

1

=90°—2NA；

點(diǎn)評(píng)利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形

的內(nèi)角和等于180°,可以證明.

J

命題3如圖3,點(diǎn)E是AABC一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)，則/E=5/

A.

證明：如圖3：

VZ1=Z2,/3=/4,

ZA+2Z1=2Z4?

/l+/E=/4②

J

①x5代入②得：

1

ZE=2ZA.

點(diǎn)評(píng)利用角平分線的定義和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證

H

命題4如圖4,點(diǎn)E是aABC一個(gè)內(nèi)角平分線BE與一個(gè)外角平分線CE的交點(diǎn)，證

明:AE是aABC的外角平分線.

證明：如圖3：

：BE是/ABC的平分線,可得：EH=EF

CE是/ACD的平分線，可得：EG=EF

???過點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.

即EF=EG=EH

VEG=EH

.,AE是4ABC的外角平分線.

點(diǎn)評(píng)利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明.

應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來(lái)一起看.

例1如圖5,PB和PC是4ABC的兩條外角平分線.

①已知NA=60°,請(qǐng)直接寫出NP的度數(shù).

②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？

解析：①由命題2的結(jié)論直接得：ZP=90°-2ZA=90°-2X60°=60°

圖5

J

②根據(jù)命題2的結(jié)論/P=90°-2NA,知三角形的三條外角平分線所在的直線形成

的三角形的三個(gè)角都是銳角，則該三角形是銳角三角形.

點(diǎn)評(píng)此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡(jiǎn)單.同時(shí)要知道三角形按角分為銳角三角形、直

角三角形和鈍角三角形.

例2如圖6,在aABC中，延長(zhǎng)BC到D,/ABC與NACD的角平分線相較于4點(diǎn),

/&BC與/&CD的平分線交與4點(diǎn)，以此類推，…，若NA=96°,則/&=_度.

解析：由命題③的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律NZA.

可以直接得：/4=32x96°=3°.

點(diǎn)評(píng)此題是要找出規(guī)律的但對(duì)要有命題③的結(jié)論作為基礎(chǔ)知識(shí).

例3(2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題3分)如圖7,4ABC的

外角/ACD的平分線CP的內(nèi)角NABC平分線BP交于點(diǎn)P,若/BPC=40°,則N

CAP=.

解析：此題直接運(yùn)用命題4的結(jié)論可以知道AP是4ABC的一個(gè)外角平分線，結(jié)合命

題3的結(jié)論知道NBAC=2/BPC,CAP=2(180°-ZBAC)=2(180°-2ZBPC)=50°.

點(diǎn)評(píng)對(duì)命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時(shí)候花時(shí)間也不一

定做的出來(lái)的題目.

例4(2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)如圖，在RtZSABC中，

ZACB=90°,ZBAC=30°,NACB的平分線與NABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE,

則/AEB=度.

E

A

解析：有題目和命題4的結(jié)論可以知道AE是4ABC的一個(gè)外角平分線，結(jié)合命題2的

結(jié)論知道/AEB=NACB-5ZACB=90°-2X9O°=45°

點(diǎn)評(píng)從上面的做題過程來(lái)看題目中給出的“/A=30°”這個(gè)條件是可以不用的.

一個(gè)有關(guān)長(zhǎng)方形的結(jié)論的妙用；

一類有關(guān)反比例函數(shù)的題目，要用到一個(gè)有關(guān)長(zhǎng)方形的結(jié)論來(lái)解顯得極其容易，若對(duì)這個(gè)結(jié)

論沒掌握好要解這類題目是不容易的，下面我們來(lái)一起學(xué)習(xí)一下.

結(jié)論1:如圖1,長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線把長(zhǎng)方形分成面積相等的兩部分.

利用三角形全等容易證明'三粘廢幽=S=樹8.

AB

....、

DC

圖1

結(jié)論2::如圖2,AC是長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別

做AB、AD的平行線段IF、HG,點(diǎn)I、F分別在AD、BC上，點(diǎn)H、G分別在AB、DC上.則圖

中陰影部分的面積相等即5=$2.

證明：如圖2,在長(zhǎng)方形ABCD中，由結(jié)論1知$三角四嶼=$三角出函①.

DGC

圖2

同理在長(zhǎng)方形AHEI中，由結(jié)論1知3三用用如=5三免用AS出②.

同理在長(zhǎng)方形EFGC中，由結(jié)論1知,N角感MG=S三角族1cF③.

①一②一③得：工=$2.

例1（2011年浙江省杭州市城南初級(jí)中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題）如圖3,矩形ABCD的對(duì)角

k

y——

線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)x的圖象上.若

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,-2）,則k的值為（）

圖3

A.-2B.2C.3D.4

點(diǎn)評(píng)由結(jié)論2,易知k=4,答案：D

例2（2011甘肅蘭州，15,4分）如圖4,矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形

/+2上+1

y二----------

的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)x的圖象上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一

2,-2）,則k的值為（）

A.1B.-3C.4D.1或一3

點(diǎn)評(píng)由結(jié)論2,易知K'+2K+1=4,解得：k=l或一3答案：D

動(dòng)點(diǎn)最值問題解法探析

一、問題原型：

（人教版八年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)探究）如圖1-1,要在燃?xì)夤艿?上修建一個(gè)泵站，分別向4、

B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?

這個(gè)“確定最短路線”問題，是一個(gè)利用軸對(duì)稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題

二、基本解法：

對(duì)稱共線法。利用軸對(duì)稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長(zhǎng)度不變），

確定動(dòng)點(diǎn)位置，計(jì)算線路最短長(zhǎng)度。

三、一般結(jié)論：

FA+產(chǎn)8之（產(chǎn)在線段工歸上時(shí)取等號(hào)）（如圖1-2）

?B

A?

圖1-1

線段和最小，常見有三種類型：

（一）“I定動(dòng)1+1定動(dòng)I”型：兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小

通過軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)中的其中一個(gè)，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)

動(dòng)點(diǎn)在這個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最

小值，最小值為定點(diǎn)線段的長(zhǎng)。

1.兩個(gè)定點(diǎn)+一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

如圖1-3,作一定點(diǎn)工關(guān)于動(dòng)點(diǎn)C所在直線，的對(duì)稱點(diǎn)入，，線段幺石（3是另一定點(diǎn)）

與/的交點(diǎn)即為距離和最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)C位置，最小距離和=A'B.

例1（2006年河南省中考題）如圖2,正方形N8C。的邊長(zhǎng)為2,￡是8c的中點(diǎn)，P

是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是

圖2

解析：B與Z）關(guān)于直線4C對(duì)稱，連結(jié)D尸，則如=尸8。

CE=-BC=1

連結(jié)在及A3CS1中，DC=2,2，則

DE=YDC'+EC"=722+12=君

PB+PE=PD+PE>DE=y/5故尸B+%的最小值為J5

例2(2009年濟(jì)南市中考題)如圖3,已知：拋物線丁=a/+—+c(aw0)的對(duì)

稱軸為x=-1,與x軸交于上、B兩點(diǎn)，與軸V交于點(diǎn)C,其中j(一3,0),C(0-2)o

(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)尸，使得△尸3C的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)。

解析：(1)對(duì)稱軸為x=-l,A-X0),由對(duì)稱性可知：8(1,0)。根據(jù)力、B、C

22),

y=-x+一二一2

三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：33

(2)5與B關(guān)于對(duì)稱軸x=-l對(duì)稱，連結(jié)HC,工C與對(duì)稱軸交點(diǎn)即為所求產(chǎn)點(diǎn)。

設(shè)直線工C解析式為：丁=以+占。把工(一3,0)、C(0,—2)代入得，,一.

244

當(dāng)x=-l時(shí)，33,則'3，

2.兩個(gè)定點(diǎn)+兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)(一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng))，并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不

變。用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”類型來(lái)解。

例3如圖4,河岸兩側(cè)有上、5兩個(gè)村莊，為了村民出行方便，計(jì)劃在河上修一座橋,

橋修在何處才能兩村村民來(lái)往路程最短？

B

圖4

解析：設(shè)橋端兩動(dòng)點(diǎn)為反、N,那么N■點(diǎn)隨“點(diǎn)而動(dòng)，■等于河寬，且加H垂

直于河岸。

將3向上平移河寬長(zhǎng)到夕，線段工夕與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端M點(diǎn)位置。四邊形

8*兒W為平行四邊形，B'M=BN,此時(shí)力舷+即=工舷+8'河=力8'值最小。那么

來(lái)往力、B兩村最短路程為：AM+MN+NB=AB'+MNa

例4（2010年天津市中考）在平面角坐標(biāo)系中，矩形Q43c的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂

點(diǎn)4、8分別在x軸、丁軸的正半軸上，04=3,03=4,Z）為邊03的中點(diǎn)。

（1）若￡為邊。力上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC%的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

（2）若尸為邊。工上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且防=2,當(dāng)四邊形COEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，

求點(diǎn)下，尸的坐標(biāo)。

r）D

0D'=0D=—=2、

Dn”0

解析：作點(diǎn)Z）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)￡），，則2,（0-2）o

（1）連接CO交x軸于點(diǎn)5，連接,此時(shí)ACD內(nèi)的周長(zhǎng)最小。由LD'