水力學(xué)全套課件

流體（氣體和液體）區(qū)別於固體的主要物理特性是易於流動(dòng)。運(yùn)動(dòng)流體具有抵抗剪切變形的能力，這種抵抗體現(xiàn)在限制剪切變形的速率而不是大小上，這就是粘滯性。

課程概述和流體的物理性質(zhì)流體能承受壓力，抵抗壓縮變形。一般情況下流體可看成是連續(xù)介質(zhì)。流體不能承受集中力，只能承受分佈力。流體的上述物理力學(xué)特性使流體力學(xué)（水力學(xué)）成為宏觀力學(xué)的一個(gè)獨(dú)特分支。力學(xué)§1—1

課程概述流體力學(xué)（水力學(xué)）的學(xué)科性質(zhì)研究對(duì)象力學(xué)問(wèn)題載體宏觀力學(xué)分支遵循三大守恆原理流體力學(xué)水力學(xué)流體水力學(xué)強(qiáng)調(diào)水是主要研究對(duì)象比較偏重於工程應(yīng)用土建類(lèi)專(zhuān)業(yè)常用有無(wú)固定的體積？能否形成自由表面？是否容易被壓縮？流體氣體無(wú)否易液體有能不易流體固體流體最主要的物理特性呈現(xiàn)流動(dòng)性？流體力學(xué)（水力學(xué)）的主要研究?jī)?nèi)容流體在外力作用下，靜止與運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；流體與邊界的相互作用。固定邊界：水工建築物、河床、海洋平臺(tái)等運(yùn)動(dòng)邊界：飛機(jī)、船隻等海洋水利航空航天交通運(yùn)輸環(huán)境氣象石油化工機(jī)械冶金生物空氣和水是地球上廣泛存在的物質(zhì)，所以與流體運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的力學(xué)問(wèn)題是很普遍的。流體力學(xué)在許多學(xué)科和工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)水利水電建築工程專(zhuān)業(yè)來(lái)講，其重要性不言而喻。與流體力學(xué)相關(guān)的工程領(lǐng)域和學(xué)科空氣和水是地球上廣泛存在的物質(zhì)，所以與流體運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)的力學(xué)問(wèn)題是很普遍的。流體力學(xué)在許多學(xué)科和工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)水利水電建築工程專(zhuān)業(yè)來(lái)講，其重要性不言而喻。流體力學(xué)排球足球網(wǎng)球游泳賽艇鐵餅高爾夫球賽跑賽車(chē)標(biāo)槍乒乓球羽毛球大部分競(jìng)技體育項(xiàng)目與流體力學(xué)有關(guān)大部分競(jìng)技體育項(xiàng)目與流體力學(xué)有關(guān)水力學(xué)是一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，它是連接前期基礎(chǔ)課程和後續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的橋樑。課程的學(xué)習(xí)將有利於數(shù)理、力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與提高，培養(yǎng)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。課程地位水力學(xué)是一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程，它是連接前期基礎(chǔ)課程和後續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的橋樑。課程的學(xué)習(xí)將有利於數(shù)理、力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與提高，培養(yǎng)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。數(shù)理、力學(xué)基礎(chǔ)課程數(shù)理、力學(xué)基礎(chǔ)課程水力學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程水力學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程水利學(xué)科有關(guān)專(zhuān)業(yè)課程水利學(xué)科有關(guān)專(zhuān)業(yè)課程

水工建築物及河槽所受水力荷載

水工建築物及河槽過(guò)水能力

水流流動(dòng)形態(tài)

水流能量消耗和利用水工建築物及河槽所受水力荷載水工建築物及河槽過(guò)水能力水流流動(dòng)形態(tài)水流能量消耗和利用水利水電建築工程專(zhuān)業(yè)中的水力學(xué)問(wèn)題：水利水電建築工程專(zhuān)業(yè)中的水力學(xué)問(wèn)題：理論分析、實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合。三個(gè)方面是互相補(bǔ)充和驗(yàn)證，但又不能互相取代的關(guān)係。水力學(xué)的研究方法理論分析、實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合。三個(gè)方面是互相補(bǔ)充和驗(yàn)證，但又不能互相取代的關(guān)係。理論分析數(shù)值計(jì)算實(shí)驗(yàn)研究基本假設(shè) 數(shù)學(xué)模型 解析表達(dá)數(shù)學(xué)模型 數(shù)值模型 數(shù)值解模型試驗(yàn)量測(cè)數(shù)據(jù)換算到原型優(yōu)

勢(shì)局

限理論分析對(duì)流動(dòng)機(jī)理解析表達(dá)，因果關(guān)係清晰。受基本假設(shè)局限，少數(shù)情況下才有解析結(jié)果。實(shí)驗(yàn)研究（模型試驗(yàn)）直接測(cè)量流動(dòng)參數(shù)，找到經(jīng)驗(yàn)性規(guī)律。成本高，對(duì)量測(cè)技術(shù)要求高，不易改變工況，存在比尺效應(yīng)。數(shù)值計(jì)算擴(kuò)大理論求解範(fàn)圍，成本低，易於改變工況，不受比尺限制。受理論模型和數(shù)值模型局限，存在計(jì)算誤差?！?—2

流體的物理性質(zhì)?

流體幾乎不能承受拉力，沒(méi)有抵抗拉伸變形的能力。?

流體能承受壓力，具有抵抗壓縮變形的能力。?

關(guān)於流體承受剪切力，抵抗剪切變形能力的敘述：流體幾乎不能承受拉力，沒(méi)有抵抗拉伸變形的能力。流體能承受壓力，具有抵抗壓縮變形的能力。關(guān)於流體承受剪切力，抵抗剪切變形能力的敘述：一.

流體的基本特性

—

流動(dòng)性什麼是剪切力、剪切變形和抵抗剪切變形的能力？流體在靜止時(shí)不能承受剪切力，抵抗剪切變形。流體在靜止時(shí)不能承受剪切力，抵抗剪切變形。流體只有在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能抵抗剪切變形。流體只有在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，才能抵抗剪切變形。只要有剪切力的作用，流體就不會(huì)靜止下來(lái)，發(fā)生連續(xù)變形而流動(dòng)。只要有剪切力的作用，流體就不會(huì)靜止下來(lái)，發(fā)生連續(xù)變形而流動(dòng)。作用在流體上的剪切力不論多麼微小，只要有足夠的時(shí)間，便能產(chǎn)生任意大的變形。作用在流體上的剪切力不論多麼微小，只要有足夠的時(shí)間，便能產(chǎn)生任意大的變形。運(yùn)動(dòng)流體抵抗剪切變形的能力（產(chǎn)生剪切應(yīng)力的大小）體現(xiàn)在變形的速率上，而不是變形的大小（與彈性體的不同之處）。運(yùn)動(dòng)流體抵抗剪切變形的能力（產(chǎn)生剪切應(yīng)力的大小）體現(xiàn)在變形的速率上，而不是變形的大小（與彈性體的不同之處）。?

設(shè)想放置在敞口容器中初始表面有隆起或凹陷的液體之運(yùn)動(dòng)和變形過(guò)程可以幫助理解以上論述。當(dāng)液面不水準(zhǔn)時(shí)，重力起到剪切力的作用，使液體變形，最終當(dāng)液面絕對(duì)水準(zhǔn)時(shí)，剪切力為零，液體變形也終止。不同的液體都能完成上述變形過(guò)程，但所需的時(shí)間不同。設(shè)想放置在敞口容器中初始表面有隆起或凹陷的液體之運(yùn)動(dòng)和變形過(guò)程可以幫助理解以上論述。當(dāng)液面不水準(zhǔn)時(shí)，重力起到剪切力的作用，使液體變形，最終當(dāng)液面絕對(duì)水準(zhǔn)時(shí)，剪切力為零，液體變形也終止。不同的液體都能完成上述變形過(guò)程，但所需的時(shí)間不同。二.

流體質(zhì)點(diǎn)概念和連續(xù)介質(zhì)假設(shè)1mm3空氣(

1個(gè)大氣壓，00C)?

流體質(zhì)點(diǎn)概念流體質(zhì)點(diǎn)概念宏觀（流體力學(xué)處理問(wèn)題的尺度）上看，流體質(zhì)點(diǎn)足夠小，只佔(zhàn)據(jù)一個(gè)空間幾何點(diǎn)，體積趨於零。微觀（分子自由程的尺度）上看，流體質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)足夠大的分子團(tuán)，包含了足夠多的流體分子，以致於對(duì)這些分子行為的統(tǒng)計(jì)平均值將是穩(wěn)定的，作為表徵流體物理特性和運(yùn)動(dòng)要素的物理量定義在流體質(zhì)點(diǎn)上。2.7

10

16個(gè)分子1mm3空氣(

1個(gè)大氣壓，00C)

以密度為例，考察物理量是怎樣定義在流體質(zhì)點(diǎn)上的。若流體微團(tuán)的體積為ΔV，品質(zhì)為Δm，則流體質(zhì)點(diǎn)密度度為

連續(xù)介質(zhì)假設(shè)將流體區(qū)域看成由流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)組成，

占滿(mǎn)空間而沒(méi)有間隙，其物理特性和運(yùn)動(dòng)要素在空間是連續(xù)分佈的。?

連續(xù)介質(zhì)假設(shè)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)將流體區(qū)域看成由流體質(zhì)點(diǎn)連續(xù)組成，

占滿(mǎn)空間而沒(méi)有間隙，其物理特性和運(yùn)動(dòng)要素在空間是連續(xù)分佈的。以密度為例，考察物理量是怎樣定義在流體質(zhì)點(diǎn)上的。若流體微團(tuán)的體積為ΔV，品質(zhì)為Δm，則流體質(zhì)點(diǎn)密

lim

m

V

0

V

連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是近似的、宏觀的假設(shè)，它為數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用提供了依據(jù)，在其他力學(xué)學(xué)科也有廣泛應(yīng)用，使用該假設(shè)的力學(xué)統(tǒng)稱(chēng)為“連續(xù)介質(zhì)力學(xué)”。除了個(gè)別情形外，在水力學(xué)中使用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是合理的。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是近似的、宏觀的假設(shè)，它為數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用提供了依據(jù)，在其他力學(xué)學(xué)科也有廣泛應(yīng)用，使用該假設(shè)的力學(xué)統(tǒng)稱(chēng)為“連續(xù)介質(zhì)力學(xué)”。除了個(gè)別情形外，在水力學(xué)中使用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是合理的。其中

ΔV

0的含義應(yīng)理解為流體微團(tuán)趨於流體質(zhì)點(diǎn)。其中

ΔV

0的含義應(yīng)理解為流體微團(tuán)趨於流體質(zhì)點(diǎn)。?

運(yùn)動(dòng)流體具有抵抗剪切變形的能力，這就是粘滯性。值得強(qiáng)調(diào)的是，這種抵抗體現(xiàn)在剪切變形的快慢上。?

在剪切變形中，流體內(nèi)部出現(xiàn)成對(duì)的切應(yīng)力τ，稱(chēng)為內(nèi)摩擦力，來(lái)抵抗相鄰兩層流體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)流體具有抵抗剪切變形的能力，這就是粘滯性。值得強(qiáng)調(diào)的是，這種抵抗體現(xiàn)在剪切變形的快慢上。在剪切變形中，流體內(nèi)部出現(xiàn)成對(duì)的切應(yīng)力τ，稱(chēng)為內(nèi)摩擦力，來(lái)抵抗相鄰兩層流體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。?

連續(xù)介質(zhì)假設(shè)為建立流場(chǎng)的概念奠定了基礎(chǔ)：設(shè)在

t

時(shí)刻，有某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)佔(zhàn)據(jù)了空間點(diǎn)

(x,y,z)，將此流體質(zhì)點(diǎn)所具有的某種物理量（數(shù)量或向量）定義在該時(shí)刻和空間點(diǎn)上，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，就可形成定義在連續(xù)時(shí)間和空間域上的數(shù)量或矢量場(chǎng)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)為建立流場(chǎng)的概念奠定了基礎(chǔ)：設(shè)在

t

時(shí)刻，有某個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)佔(zhàn)據(jù)了空間點(diǎn)

(x,y,z)，將此流體質(zhì)點(diǎn)所具有的某種物理量（數(shù)量或向量）定義在該時(shí)刻和空間點(diǎn)上，根據(jù)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，就可形成定義在連續(xù)時(shí)間和空間域上的數(shù)量或矢量場(chǎng)。三.流體的粘滯性?

對(duì)於如圖的平面流動(dòng)，流體速度

u

都沿

x

方向，且不隨

x

變化，只隨

y

變化。兩層流體之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)和剪切（角）變形，同時(shí)也出現(xiàn)成對(duì)的切應(yīng)力，流動(dòng)快的一層要帶動(dòng)流動(dòng)慢的一層，而流動(dòng)慢的一層則要阻礙流動(dòng)快的一層，它起到抵抗剪切變形的作用。對(duì)於如圖的平面流動(dòng)，流體速度

u

都沿

x

方向，且不隨

x

變化，只隨

y

變化。兩層流體之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)和剪切（角）變形，同時(shí)也出現(xiàn)成對(duì)的切應(yīng)力，流動(dòng)快的一層要帶動(dòng)流動(dòng)慢的一層，而流動(dòng)慢的一層則要阻礙流動(dòng)快的一層，它起到抵抗剪切變形的作用。?

容易解釋為什麼

是剪切（角）變形速率，它表示流體直角減小的速度。（角）變形速率，它表示流體直角減小的速度。?

滿(mǎn)足牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱(chēng)為牛頓流體，否則稱(chēng)為非牛頓流體。滿(mǎn)足牛頓內(nèi)摩擦定律的流體稱(chēng)為牛頓流體，否則稱(chēng)為非牛頓流體。牛頓內(nèi)摩擦定律告訴我們：切應(yīng)力τ

和剪切（角）變形速率比例係數(shù)

稱(chēng)為動(dòng)力粘性係數(shù)，是粘性流體的物理屬性。d

y容易解釋為什麼

d

u

是剪切d

y

d

ud

yd

u之間存在正比例關(guān)係形成牛頓內(nèi)摩擦力物理機(jī)理形成牛頓內(nèi)摩擦力物理機(jī)理①

分子間的吸引力①

分子間的吸引力②

分子運(yùn)動(dòng)引起流體層間的動(dòng)量交換②

分子運(yùn)動(dòng)引起流體層間的動(dòng)量交換液體以此為主氣體以此為主?

隨著溫度升高，液體的粘性係數(shù)下降；氣體的粘性系數(shù)上升。隨著溫度升高，液體的粘性係數(shù)下降；氣體的粘性系數(shù)上升。今後在談及粘性係數(shù)時(shí)一定指明當(dāng)時(shí)的溫度。今後在談及粘性係數(shù)時(shí)一定指明當(dāng)時(shí)的溫度。?

運(yùn)動(dòng)粘性係數(shù)運(yùn)動(dòng)粘性係數(shù)具有運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱。注意注意

空氣

水

理想流體假設(shè)?

理想流體假設(shè)是忽略粘性影響的假設(shè)，可近似反映粘性作用不大的實(shí)際流動(dòng)，粘性作用不大是相對(duì)於其他因素的作用而言的。理想流體假設(shè)是忽略粘性影響的假設(shè)，可近似反映粘性作用不大的實(shí)際流動(dòng)，粘性作用不大是相對(duì)於其他因素的作用而言的。而

是流體的客觀屬性，所以往往是在變形速率不大的區(qū)域?qū)?shí)際流體簡(jiǎn)化為理想流體。d

y

d

ud

y?

我們將會(huì)看到，是否忽略粘性影響將對(duì)流動(dòng)問(wèn)題的處理帶來(lái)很大的區(qū)別，理想流體假設(shè)可以大大簡(jiǎn)化理論分析過(guò)程。我們將會(huì)看到，是否忽略粘性影響將對(duì)流動(dòng)問(wèn)題的處理帶來(lái)很大的區(qū)別，理想流體假設(shè)可以大大簡(jiǎn)化理論分析過(guò)程。忽略粘性影響實(shí)際上就是忽略切應(yīng)力，切應(yīng)力d

uτ，五.

流體的壓縮性?

流體能承受壓力，在受外力壓縮變形時(shí)，產(chǎn)生內(nèi)力（彈性力）予以抵抗，並在撤除外力後恢復(fù)原形，流體的這種性質(zhì)稱(chēng)為壓縮性。流體能承受壓力，在受外力壓縮變形時(shí)，產(chǎn)生內(nèi)力（彈性力）予以抵抗，並在撤除外力後恢復(fù)原形，流體的這種性質(zhì)稱(chēng)為壓縮性。VV-ΔVpp+Δp稱(chēng)為壓縮係數(shù)，其倒數(shù)V將相對(duì)壓縮值

dV

與壓強(qiáng)增量d

p之比值d

p dp

dV/V

d

/

d

/

dp

稱(chēng)為體積彈性係數(shù)。K

越大，K

1

?

液體的

K

隨溫度和壓強(qiáng)而變，隨溫度變化不顯著。液體的

K值很大，除非壓強(qiáng)變化很劇烈、很迅速，一般可不考慮壓縮性，作不可壓縮流體假設(shè)，即認(rèn)為液體的

K

值為無(wú)窮大，密度為常數(shù)。但若考慮水下爆炸、水擊問(wèn)題時(shí)，則必須考慮壓縮性。越不易被壓縮。

液體的

K

隨溫度和壓強(qiáng)而變，隨溫度變化不顯著。液體的

K值很大，除非壓強(qiáng)變化很劇烈、很迅速，一般可不考慮壓縮性，作不可壓縮流體假設(shè)，即認(rèn)為液體的

K

值為無(wú)窮大，密度為常數(shù)。但若考慮水下爆炸、水擊問(wèn)題時(shí)，則必須考慮壓縮性。?

品質(zhì)力分佈在流體品質(zhì)（體積）上，是一種遠(yuǎn)程力。我們定義的品質(zhì)力為力的品質(zhì)密度

f

，即單位品質(zhì)流體所承受的質(zhì)量力，是加速度的單位。品質(zhì)力分佈在流體品質(zhì)（體積）上，是一種遠(yuǎn)程力。我們定義的品質(zhì)力為力的品質(zhì)密度

f

，即單位品質(zhì)流體所承受的質(zhì)量力，是加速度的單位?！?—3

作用在流體上的力流體不能承受集中力，只能承受分佈力。分佈力按表現(xiàn)形式又分為：品質(zhì)力、表面力。流體不能承受集中力，只能承受分佈力。分佈力按表現(xiàn)形式又分為：品質(zhì)力、表面力。一.

品質(zhì)力的含義，按連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，即為流體團(tuán)趨於流體質(zhì)點(diǎn)。所以品質(zhì)力是定義在流體質(zhì)點(diǎn)上的。的含義，按連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，即為流體團(tuán)趨於流體質(zhì)點(diǎn)。所以品質(zhì)力是定義在流體質(zhì)點(diǎn)上的。?

設(shè)體積為ΔV的流體團(tuán)，其品質(zhì)為

Δm，所受品質(zhì)力為

ΔF，則設(shè)體積為ΔV的流體團(tuán)，其品質(zhì)為

Δm，所受品質(zhì)力為

ΔF，則f

lim

F

V

0

mΔV

0ΔV

0二.

表面力?

表面力分佈在流體面上，是一種接觸力。定義表面力的面積密度，即單位面積上流體所承受的表面力為應(yīng)力。表面力分佈在流體面上，是一種接觸力。定義表面力的面積密度，即單位面積上流體所承受的表面力為應(yīng)力。n

P?

設(shè)面積為ΔA的流體面元，法向?yàn)閚

，指向表面力受體外側(cè)，所受表面力為

ΔP

，則應(yīng)力設(shè)面積為ΔA的流體面元，法向?yàn)閚

，指向表面力受體外側(cè)，所受表面力為

ΔP

，則應(yīng)力p

lim

Pn

A

0

A的含義為面元趨於面元上的某定點(diǎn)，所以應(yīng)力是定義在流體面上一點(diǎn)處的。同一點(diǎn)處的應(yīng)力還與作用面的方位有關(guān)，所以須將作用面的法向用腳標(biāo)指明。的含義為面元趨於面元上的某定點(diǎn)，所以應(yīng)力是定義在流體面上一點(diǎn)處的。同一點(diǎn)處的應(yīng)力還與作用面的方位有關(guān)，所以須將作用面的法向用腳標(biāo)指明。ΔA

0ΔA

0?

應(yīng)力pn

是向量，可向作用面的法向或切向投影，分解成法應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力pn

是向量，可向作用面的法向或切向投影，分解成法應(yīng)力和切應(yīng)力。?

凡談及應(yīng)力，應(yīng)注意明確以下幾個(gè)要素：①

哪一點(diǎn)的應(yīng)力；②

哪個(gè)方位作用面上的應(yīng)力；③

作用面的哪一側(cè)流體是研究對(duì)象（表面力的受體），從而決定法線的指向；④

應(yīng)力在哪個(gè)方向上的分量。凡談及應(yīng)力，應(yīng)注意明確以下幾個(gè)要素：①

哪一點(diǎn)的應(yīng)力；②

哪個(gè)方位作用面上的應(yīng)力；③

作用面的哪一側(cè)流體是研究對(duì)象（表面力的受體），從而決定法線的指向；④

應(yīng)力在哪個(gè)方向上的分量。水力學(xué)課程中使用的單位制SI

國(guó)際單位制（米、公斤、秒制）三個(gè)基本單位長(zhǎng)度單位：m（米）品質(zhì)單位：kg（公斤）時(shí)間單位：s（秒）導(dǎo)出單位，如：密度

單位：kg/m3力的單位：N（牛頓），1

N=1

kg

m/s2應(yīng)力、壓強(qiáng)單位：Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m2動(dòng)力粘性係數(shù)

單位：N

s/m2

=Pa

s運(yùn)動(dòng)粘性係數(shù)

單位：m2/s體積彈性係數(shù)

K

單位：

Pa與水和空氣有關(guān)的一些重要物理量的數(shù)值33

水

1000kg/m

空氣

1.248kg/m1大氣壓，40C 1大氣壓，100C常壓常溫下，空氣的密度是水的

1/8003

海水

1020

kg/m一般取海水密度為空氣的密度隨溫度變化相當(dāng)大，溫度高，密度低。水的密度隨溫度變化很小。

1大氣壓，00C1大氣壓，800C3

空氣

1.293kg/m3

空氣

1.000kg/m3

水

999.9kg/m3

水

971.8kg/m150C，海平面

(標(biāo)準(zhǔn)大氣壓)32ap

101.33kN/m ,

1.225

kg/m20C，海拔2km32ap

79.50

kN/m ,

1.007

kg/m工程大氣壓（相當(dāng)於10m水柱底部壓強(qiáng)）2pa

98.10

kN/m空氣容易被壓縮

00C1000C

水

0.282

10 Pa

s

3

水

1.781

10 Pa

s

3

水

0.294

10 m

/s

6 2

水

1.785

10 m

/s

6 2

-40C1000C

2.18

10 Pa

s

5

5空氣

空氣

1.49

10 Pa

s

2.31

10

5

m2

/s

0.98

10

5

m2

/s

空氣 空氣

空氣的動(dòng)力粘性係數(shù)比水小2個(gè)數(shù)量級(jí)，但空氣的運(yùn)動(dòng)粘性係數(shù)比水大。

空氣的粘性係數(shù)隨溫度升高而增大，而水的粘性系數(shù)隨溫度升高而減小。

法向應(yīng)力沿內(nèi)法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個(gè)法向應(yīng)力稱(chēng)為靜壓強(qiáng)，記作

pn(x,y,z)，因目前還不知靜壓強(qiáng)是否與作用面方位有關(guān)，腳標(biāo)中須標(biāo)上作用面法線方向。法向應(yīng)力沿內(nèi)法線方向，即受壓的方向（流體不能受拉）。這個(gè)法向應(yīng)力稱(chēng)為靜壓強(qiáng)，記作

pn(x,y,z)，因目前還不知靜壓強(qiáng)是否與作用面方位有關(guān)，腳標(biāo)中須標(biāo)上作用面法線方向?！?—1

流體靜壓強(qiáng)及其特性靜止流體的應(yīng)力只有內(nèi)法向分量

—

靜壓強(qiáng)

靜止流體的應(yīng)力只有法向分量（流體質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在切應(yīng)力）。靜止流體的應(yīng)力只有法向分量（流體質(zhì)點(diǎn)之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)不存在切應(yīng)力）。PnnPnnpn

(x,

y,

z)

pn

(x,

y,

z)

n靜止流體中一點(diǎn)的應(yīng)力在這個(gè)表達(dá)式中，已包含了應(yīng)力四要素：作用點(diǎn)、作用面、受力側(cè)和作用方向。靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)在靜止流體中取出以

M

為頂點(diǎn)的四面體流體微元，它受到的品質(zhì)力和表面力必是平衡的，以

y

方向?yàn)槔瑢?xiě)出平衡方程Y

是品質(zhì)力在

y

方向的分量y n2d

A

d

A

cos(n,

y)

1

d

x

d

z6dV

1

dxdyd

zdzpxpndxdypzpyxyznopydAy

pndAncos(n,y)

YdV

0此時(shí)，pn，px，py，pz已是同一點(diǎn)（M點(diǎn)）在不同方位作用面上的靜壓強(qiáng)，其中斜面的方位

n

又是任取的，這就證明了靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)。此時(shí)，pn，px，py，pz已是同一點(diǎn)（M點(diǎn)）在不同方位作用面上的靜壓強(qiáng)，其中斜面的方位

n

又是任取的，這就證明了靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無(wú)關(guān)。

當(dāng)四面體微元趨於M

點(diǎn)時(shí)，注意到品質(zhì)力比起面力為

高

階

無(wú)

窮

小

，

即

得pn=py，同理有

pn=px，pn=pz當(dāng)四面體微元趨於M

點(diǎn)時(shí)，注意到品質(zhì)力比起面力為

高

階

無(wú)

窮

小

，

即

得pn=py，同理有

pn=px，pn=pzpn

px

py

pzdzpxpndxdypzpyxyzno

靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)只須用一個(gè)靜壓強(qiáng)數(shù)量場(chǎng)

p

=

p(x,

y,

z)來(lái)描述，有了這個(gè)靜壓強(qiáng)場(chǎng)，即可知道在任意一個(gè)作用點(diǎn)、以任意方位

n為法向的面元上的應(yīng)力為：靜止流體的應(yīng)力狀態(tài)只須用一個(gè)靜壓強(qiáng)數(shù)量場(chǎng)

p

=

p(x,

y,

z)來(lái)描述，有了這個(gè)靜壓強(qiáng)場(chǎng)，即可知道在任意一個(gè)作用點(diǎn)、以任意方位

n為法向的面元上的應(yīng)力為：pn

(x,

y,

z)

p(x,

y,

z)n

靜壓強(qiáng)

pn(x,y,z)

與作用面的方位無(wú)關(guān)，僅取決於作用點(diǎn)的空間位置，所以可將腳標(biāo)去掉寫(xiě)成

p(x,y,z)靜壓強(qiáng)

pn(x,y,z)

與作用面的方位無(wú)關(guān)，僅取決於作用點(diǎn)的空間位置，所以可將腳標(biāo)去掉寫(xiě)成

p(x,y,z)Pnn§2—2

流體的平衡微分方程平衡微分方程的推導(dǎo)表面力在

y

方向上的分量只有左右一對(duì)面元上的壓力，合力為pdxdz

(p

p

dy)dxdz

p

dxdyd

z

y

yo

pp

yd

ydxdzpxyzdy在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。微元所受

y

方向上的品質(zhì)力為

Y

d

x

d

y

d

zo

pp

yd

ydxdzpxyzdy平衡方程為或同理有同理有和其中

X,

Y,Z

是品質(zhì)力

f

的三個(gè)分量。Y

1

p

0

yZ

1

p

0

z平衡方程為

Y

p

0

yX

1

p

0

x稱(chēng)為靜壓強(qiáng)場(chǎng)的梯度。它是數(shù)量場(chǎng)

p(x,y,z)

對(duì)應(yīng)的一個(gè)向量場(chǎng)。稱(chēng)為靜壓強(qiáng)場(chǎng)的梯度。它是數(shù)量場(chǎng)

p(x,y,z)

對(duì)應(yīng)的一個(gè)向量場(chǎng)。

f

1

p

0X

1

p

0

xY

1

p

0

yZ

1

p

0

z

p

p

i

p

j

p

k

x

y

z稱(chēng)為哈米爾頓算子,它同時(shí)具有向量和微分（對(duì)跟隨其後的變數(shù)）運(yùn)算的功能。用它來(lái)表達(dá)梯度，非常簡(jiǎn)潔，並便於記憶。稱(chēng)為哈米爾頓算子,它同時(shí)具有向量和微分（對(duì)跟隨其後的變數(shù)）運(yùn)算的功能。用它來(lái)表達(dá)梯度，非常簡(jiǎn)潔，並便於記憶。

i

j

k

x

y

z平衡微分方程的向量形式其中其中

的三個(gè)分量是壓強(qiáng)在三個(gè)座標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)，它反映了數(shù)量場(chǎng)在空間上的不均勻性。

流體的平衡微分方程實(shí)質(zhì)上表明了品質(zhì)力和壓差力之間的平衡。

壓強(qiáng)對(duì)流體受力的影響是通過(guò)壓差來(lái)體現(xiàn)的。平衡微分方程的物理意義

p

的三個(gè)分量是壓強(qiáng)在三個(gè)座標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)，它反映了數(shù)量場(chǎng)在空間上的不均勻性。流體的平衡微分方程實(shí)質(zhì)上表明了品質(zhì)力和壓差力之間的平衡。壓強(qiáng)對(duì)流體受力的影響是通過(guò)壓差來(lái)體現(xiàn)的。§2—3

重力作用下的液體平衡一.

重力作用下的平衡方程

f

1

p

0

x

p

0

y

p

0g

1

p

0

zd

zdp

g

f

gkz

軸垂直向上，流體不可壓縮。z

軸垂直向上，流體不可壓縮。二.

靜壓強(qiáng)分佈規(guī)律積分d

zdp

g

?

重力場(chǎng)中連通的同種靜止液體中：①

壓強(qiáng)隨位置高程線性變化；②

等壓面是水平面，與品質(zhì)力垂直；③ 是常數(shù)。重力場(chǎng)中連通的同種靜止液體中：①

壓強(qiáng)隨位置高程線性變化；②

等壓面是水平面，與品質(zhì)力垂直；

③z

p 是常數(shù)。p

z

Cz

p

C

或?

要知道靜止流體中具體的壓強(qiáng)分佈，關(guān)鍵是知道其中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)，從而確定積分常數(shù)

C要知道靜止流體中具體的壓強(qiáng)分佈，關(guān)鍵是知道其中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)，從而確定積分常數(shù)

Cp

p1

(z

z1)

11pp

z

z

若

z=z1

時(shí),

p=p1,

則或z

p

C

0?

如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準(zhǔn)面

z=0，自由面上的壓強(qiáng)為

p

，則如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準(zhǔn)面

z=0，自由面上的壓強(qiáng)為

p0

，則若令

h= -z

（向下為

正），則p

p0

z若令

h= -z

（向下為正），則p

p0

hB三.

絕對(duì)壓強(qiáng)、相對(duì)壓強(qiáng)、真空AA點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng)

paB點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)

絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O O壓強(qiáng)?

壓強(qiáng)

p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱(chēng)：壓強(qiáng)

p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱(chēng)：以完全真空為零點(diǎn)，記為

pabs以完全真空為零點(diǎn)，記為

pabs絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)兩者的關(guān)係為:pr=pabs-

pa兩者的關(guān)係為:pr=pabs-

pa以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa為零點(diǎn)，記為

pr以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa為零點(diǎn)，記為

pr相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，

其絕對(duì)值稱(chēng)為真空壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱(chēng)為真空壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)BA點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO今後討論壓強(qiáng)一般指相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為

pp，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。A壓強(qiáng)?

如果

z

=

0

為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強(qiáng)為大氣壓，則液面以下

h

處的相對(duì)壓強(qiáng)為

γh

，所以在液體指定以後高度也可度量壓強(qiáng)，稱(chēng)為液柱高，例如：××m(H2O)

，××mm(Hg)

等。特別地，將水柱高稱(chēng)為水頭。把真空壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成水柱高表示，稱(chēng)為真空度。如果z=

0

為靜止液體的自由表面，自由表面上壓強(qiáng)為大氣壓，則液面以下

h

處的相對(duì)壓強(qiáng)為

γh

，所以在液體指定以後高度也可度量壓強(qiáng)，稱(chēng)為液柱高，例如：

××m(H2O)

，××mm(Hg)

等。特別地，將水柱高稱(chēng)為水頭。把真空壓強(qiáng)轉(zhuǎn)換成水柱高表示，稱(chēng)為真空度。hp=0

p

h一個(gè)工程大氣壓2一個(gè)工程大氣壓為

9988.1.100kkNN//mm22，相當(dāng)於

1100

mm((HH2OO))

或773366mmmm((HHgg))四.

位置水頭、壓強(qiáng)水頭、測(cè)壓管水頭?

在靜水壓強(qiáng)分佈公式

中，各項(xiàng)都為長(zhǎng)度量綱，稱(chēng)為水頭（液柱高）。在靜水壓強(qiáng)分佈公式 中，各項(xiàng)都為長(zhǎng)度量綱，稱(chēng)為水頭（液柱高）。z

p

C

z ——

位置水頭，以任取水平面為基準(zhǔn)面

z=0

，鉛垂向上為正。

——

壓強(qiáng)水頭，以大氣壓為基準(zhǔn)，用相對(duì)壓強(qiáng)代入計(jì)算。

p

——

測(cè)壓管水頭。

z

p在內(nèi)有液體的容器壁選定測(cè)點(diǎn)，垂直於壁面打孔，接出一端開(kāi)口與大氣相通的玻璃管，即為測(cè)壓管。在內(nèi)有液體的容器壁選定測(cè)點(diǎn)，垂直於壁面打孔，接出一端開(kāi)口與大氣相通的玻璃管，即為測(cè)壓管。pA/

zABp /

zBOO測(cè)壓管內(nèi)的靜止液面上p

=

0

，其液面高程即為測(cè)點(diǎn)處的 ，所以叫測(cè)壓管水頭。

z

p?

測(cè)壓管水頭的含義測(cè)壓管水頭的含義如果容器內(nèi)的液體是靜止的，一根測(cè)壓管測(cè)得的測(cè)壓管水頭也就是容器內(nèi)液體中任何一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭。如接上多根測(cè)壓管，則各測(cè)壓管中的液面都將位於同一水平面上。如果容器內(nèi)的液體是靜止的，一根測(cè)壓管測(cè)得的測(cè)壓管水頭也就是容器內(nèi)液體中任何一點(diǎn)的測(cè)壓管水頭。如接上多根測(cè)壓管，則各測(cè)壓管中的液面都將位於同一水平面上。pA/

zApB/

zBOO?

測(cè)靜壓只須一根測(cè)壓管測(cè)靜壓只須一根測(cè)壓管?

敞口容器和封口容器接上測(cè)壓管後的情況如圖敞口容器和封口容器接上測(cè)壓管後的情況如圖總勢(shì)能位置水頭（勢(shì)能）與壓強(qiáng)水頭（勢(shì)能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和

—

測(cè)壓管水頭（總勢(shì)能）是保持不變的。位置水頭（勢(shì)能）與壓強(qiáng)水頭（勢(shì)能）可以互相轉(zhuǎn)換，但它們之和

—

測(cè)壓管水頭（總勢(shì)能）是保持不變的。z

p

總勢(shì)能?

各項(xiàng)水頭也可理解成單位重量液體的能量各項(xiàng)水頭也可理解成單位重量液體的能量位置勢(shì)能，（從基準(zhǔn)面

z

=

0

算起鉛垂向上為正。

）位置勢(shì)能，（從基準(zhǔn)面

z

=

0

算起鉛垂向上為正。

）zz壓強(qiáng)勢(shì)能（從大氣壓強(qiáng)算起）p

壓強(qiáng)勢(shì)能（從大氣壓強(qiáng)算起）?

液體的平衡規(guī)律表明液體的平衡規(guī)律表明五.

測(cè)壓原理pA

h

l

sin

測(cè)壓管的一端接大氣，這樣就把測(cè)管水頭揭示出來(lái)了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測(cè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。測(cè)壓管的一端接大氣，這樣就把測(cè)管水頭揭示出來(lái)了。再利用液體的平衡規(guī)律，可知連通的靜止液體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)，包括測(cè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。?

用測(cè)壓管測(cè)量用測(cè)壓管測(cè)量αA如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過(guò)渡。如果連通的靜止液體區(qū)域包括多種液體，則須在它們的分界面處作過(guò)渡。pA

m

hm

amAm mBpA

pB

z

h

(

z

h

)即使在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)都不知道，也可利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任

何

二

點(diǎn)

的

壓差，這就是比壓計(jì)的測(cè)量原理即使在連通的靜止流體區(qū)域中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)都不知道，也可利用流體的平衡規(guī)律，知道其中任

何

二

點(diǎn)

的

壓差，這就是比壓計(jì)的測(cè)量原理?

用比壓計(jì)測(cè)量用比壓計(jì)測(cè)量流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜止流體區(qū)域（如測(cè)壓管中）應(yīng)用，不能用到管道中去，因?yàn)楣艿乐械牧黧w可能是在流動(dòng)的，測(cè)壓管不只是為測(cè)量靜壓用的。流體的平衡規(guī)律必須在連通的靜止流體區(qū)域（如測(cè)壓管中）應(yīng)用，不能用到管道中去，因?yàn)楣艿乐械牧黧w可能是在流動(dòng)的，測(cè)壓管不只是為測(cè)量靜壓用的。BA(

z

pA)

(

z

pB)

h

§2—4

非慣性系中液體的平衡一.

非慣性系中靜止液體的平衡方程慣性系中靜止液體的平衡方程慣性系中靜止液體的平衡方程非慣性系中靜

止液體的平衡方程非慣性系中靜

止液體的平衡方程

f

1

p

0 f

1

p

a

f

a

1

p

0這樣非慣性系中平衡方程在處理上就和慣性系沒(méi)有區(qū)別了。替代ff

a用表面力中仍無(wú)切應(yīng)力二.

兩個(gè)例子aahp

h

g所有流體質(zhì)點(diǎn)加速度大小、方向都相同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等壓面還是平面，但不再是水準(zhǔn)的，除非加速度在鉛垂方向。所有流體質(zhì)點(diǎn)加速度大小、方向都相同，重力加上慣性力仍是均勻的，因此等壓面還是平面，但不再是水準(zhǔn)的，除非加速度在鉛垂方向。?

相對(duì)於勻加速直線運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系靜止的液體相對(duì)於勻加速直線運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系靜止的液體g

2rhp

hr質(zhì)點(diǎn)加速度為向心加速度，沿水準(zhǔn)徑向，與質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)軸的距離成正比，呈軸對(duì)稱(chēng)情況。單位品質(zhì)流體的慣性力為離心加速度，與向心加速度反向，重力加上慣性力不再均勻，等壓面成為旋轉(zhuǎn)拋物面，由於離軸越遠(yuǎn)，離心力越大，所以等壓面坡度越陡。質(zhì)點(diǎn)加速度為向心加速度，沿水準(zhǔn)徑向，與質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)軸的距離成正比，呈軸對(duì)稱(chēng)情況。單位品質(zhì)流體的慣性力為離心加速度，與向心加速度反向，重力加上慣性力不再均勻，等壓面成為旋轉(zhuǎn)拋物面，由於離軸越遠(yuǎn)，離心力越大，所以等壓面坡度越陡。?

相對(duì)於繞鉛垂軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系靜止的液體相對(duì)於繞鉛垂軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系靜止的液體?

如果鉛垂方向只有重力作用（慣性力在鉛垂方向無(wú)分量），那麼鉛垂方向壓強(qiáng)分佈仍與自由面下垂直距離

h

成正比。a

/

g

h

/

l?

相對(duì)平衡原理可用來(lái)測(cè)量加速度或轉(zhuǎn)如果鉛垂方向只有重力作用（慣性力在鉛垂方向無(wú)分量），那麼鉛垂方向壓強(qiáng)分佈仍與自由面下垂直距離

h

成正比。相對(duì)平衡原理可用來(lái)測(cè)量加速度或轉(zhuǎn)速。hla在已知靜止液體中的壓強(qiáng)分佈之後，通過(guò)求解物體表面

A

上的向量積分§2—5

靜止液體作用在物體表面上的總壓力P

pn

d

AA即可得到總壓力，實(shí)際上這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。p

nd

AA?

完整的總壓力求解包括其大小、方向

、作用點(diǎn)。完整的總壓力求解包括其大小、方向

、作用點(diǎn)。HH一.

靜止液體作用在平面上的總壓力?

這是一種比較簡(jiǎn)單的情況，是平行力系的合成，即作用力垂直於作用面，指向自己判斷。這是一種比較簡(jiǎn)單的情況，是平行力系的合成，即P

pn

d

A

n

p

d

A?

靜壓強(qiáng)在平面域

A

上分佈不均勻，沿鉛垂方向呈線性分佈。

HA A作用力垂直於作用面，指向自己判斷。靜壓強(qiáng)在平面域

A

上分佈不均勻，沿鉛垂方向呈線性分佈。PP

HHHHHhhh

H

H

H

h

h

(H

h)L

/

3L

PPLe

矩形平面單位寬度受到的靜水總壓力是壓力分佈圖

AP

的面矩形平面單位寬度受到的靜水總壓力是壓力分佈圖

AP

的面bLe

h

HP

Ap

矩形平面受到的靜水總壓力通過(guò)壓力分佈圖的形積。矩形平面受到的靜水總壓力通過(guò)壓力分佈圖的形心。梯形壓力分布圖的形心距底三角形壓力分佈圖的形心距底e

L31.

壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力1.

壓力圖法求矩形平面上的靜水總壓力e

L

2h

H3 h

HP

h

d

AA

sin

y

d

AA

sin

yC

A

hC

A

總壓力的大小DAd

ACPdPyhyyCyDhChyx

pC

A2.

分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力分析法求任意形狀平面上的靜水總壓力總壓力的大小P

yD

h

y

d

AA

sin

y2

d

AA0

總壓力的作用點(diǎn)總壓力的作用點(diǎn)C Cy2

A)

sin

I

sin

(Iy

ACCDICy

yPdPyhAd

AD

CyyCyDhChyx1.

平面上靜水壓強(qiáng)的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強(qiáng)?？倝毫Υ笮〉褥蹲饔妹嫘涡?/p>

C

處的壓強(qiáng)

pC

乘上作用面的面積

A.2.

平面上均勻分佈力的合力作用點(diǎn)將是其形心，而靜壓強(qiáng)分布是不均勻的，浸沒(méi)在液面下越深處壓強(qiáng)越大，所以總壓力作用點(diǎn)位於作用面形心以下。平面上靜水壓強(qiáng)的平均值為作用面（平面圖形）形心處的壓強(qiáng)?？倝毫Υ笮〉褥蹲饔妹嫘涡?/p>

C

處的壓強(qiáng)

pC

乘上作用面的面積

A.平面上均勻分佈力的合力作用點(diǎn)將是其形心，而靜壓強(qiáng)分布是不均勻的，浸沒(méi)在液面下越深處壓強(qiáng)越大，所以總壓力作用點(diǎn)位於作用面形心以下。結(jié)論：h

靜力奇象靜力奇象二.

靜止液體作用在曲面上的總壓力?

由於曲面上各點(diǎn)的法向不同，對(duì)曲面

A

求解總壓力時(shí)，必須先分解成各分量計(jì)算，然後再合成。時(shí)，必須先分解成各分量計(jì)算，然後再合成。A由於曲面上各點(diǎn)的法向不同，對(duì)曲面

A

求解總壓力

pn

d

A

H

hhHhnPxAx

Ax

是曲面

A

沿x

軸向

oyz

平面的投影，hxC

是平面圖形

Ax

的形心浸深。Ax

是曲面

A

沿x

軸向

oyz

平面的投影，hxC 是平面圖形

Ax

的形心浸深。xz y

A?x

方向水準(zhǔn)力的大小x

方向水準(zhǔn)力的大小Px

pnx

d

A

h

cos

d

A

h

d

Ax

hxC

AxA A AxhnPxAx

x靜止液體作用在曲面上的總壓力在

x

方向分量的大小等於作用在曲面沿

x

軸方向的投影面上的總壓力。z y?

y

方向水準(zhǔn)力大小的演算法與

x

方向相同。y

方向水準(zhǔn)力大小的演算法與

x

方向相同。

A

結(jié)論：結(jié)論：hnPxAxAz

Az

是曲面

A

沿z

軸向

oxy

平面的投影，Vp

稱(chēng)為壓力體，是曲面A與

Az之間的柱體體積。Az

是曲面

A

沿

z

軸向

oxy

平面的投影，Vp

稱(chēng)為壓力體，是曲面A與

Az之間的柱體體積。xVpPzA?

z

方向水準(zhǔn)力的大小z方向水準(zhǔn)力的大小Pz

p

nz

d

A

h

sin

d

A

h

d

Az

VpA A Azz yhnPxAxAz

x靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂向分量的大小等於壓力體中裝滿(mǎn)此種液體的重量。z y

結(jié)論：總壓力垂向分量的方向根據(jù)情況判斷。VpPzA結(jié)論：

壓力體應(yīng)由曲面

A

向上一直畫(huà)到液面所在平面。壓力體中，不見(jiàn)得裝滿(mǎn)了液體。壓力體應(yīng)由曲面

A

向上一直畫(huà)到液面所在平面。壓力體中，不見(jiàn)得裝滿(mǎn)了液體。a有液體AA無(wú)液體

複雜柱面的壓力體複雜柱面的壓力體

嚴(yán)格的壓力體的概念是與液體重度

γ

聯(lián)繫在一起的，這在分層流體情況時(shí)，顯得尤為重要。嚴(yán)格的壓力體的概念是與液體重度

γ

聯(lián)繫在一起的，這在分層流體情況時(shí)，顯得尤為重要。Pz

1Vp1

2Vp

2

1Vp12

Vp

2ABPzAB面所受垂向力?

總壓力各分量的大小已知，指向自己判斷，這樣總壓力的大小和方向就確定了?？倝毫Ω鞣至康拇笮∫阎赶蜃约号袛?，這樣總壓力的大小和方向就確定了。?

總壓力的作用點(diǎn)為水準(zhǔn)方向兩條作用線和過(guò)壓力體形心的鉛垂線的交點(diǎn)。總壓力的作用點(diǎn)為水準(zhǔn)方向兩條作用線和過(guò)壓力體形心的鉛垂線的交點(diǎn)。?

特別地，當(dāng)曲面是圓柱或球面的一部分時(shí)，總壓力是匯交力系的合成，必然通過(guò)圓心或球心。特別地，當(dāng)曲面是圓柱或球面的一部分時(shí)，總壓力是匯交力系的合成，必然通過(guò)圓心或球心。曲面上靜水總壓力的合成§3—1

描述流動(dòng)的方法離散質(zhì)點(diǎn)系剛體流體質(zhì)點(diǎn)間的約束強(qiáng)無(wú)弱一.

描述流體運(yùn)動(dòng)的困難質(zhì)點(diǎn)數(shù)N個(gè)無(wú)窮無(wú)窮離散質(zhì)點(diǎn)系剛體流體六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)編號(hào)，逐點(diǎn)描述3N個(gè)自由度困難：無(wú)窮多質(zhì)點(diǎn)有變形不易顯示離散質(zhì)點(diǎn)系剛體流體二.

拉格朗日法拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)系法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的位移向量為：(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即t=t0

時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)籤。(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即t=t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用0來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)籤。易知?

流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其他運(yùn)動(dòng)要素和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其他運(yùn)動(dòng)要素和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：

(a,b,c,t)u

u(a,b,c,t)歐拉法是流場(chǎng)法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度向量場(chǎng)為：u

u(x,

y,

z,t)(x,y,z)

是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）。流速

u

是在

t

時(shí)刻占據(jù)(x,y,z)

的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度向量。(x,y,z)是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）。流速

u

是在

t

時(shí)刻占據(jù)(x,y,z)

的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度向量。三.

歐拉法a

a(

x,y,z,t

) p

p(x,y,z,t)流體的其他運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等：拉格朗日法歐拉法著眼於流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼於空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性布哨跟蹤?

如果流場(chǎng)的空間分佈不隨時(shí)間變化，其歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間

t

，這樣的流場(chǎng)稱(chēng)為恒定流。否則稱(chēng)為非恒定流。如果流場(chǎng)的空間分佈不隨時(shí)間變化，其歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間

t

，這樣的流場(chǎng)稱(chēng)為恒定流。否則稱(chēng)為非恒定流。歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)常用的一種方法。?

歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。四.

流體質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。通過(guò)位移求速度或通過(guò)速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。

td

tu(a,

b,

c,

t

)

d

r(a,

b,

c,

t

)

r(a,

b,

c,

t

)

2

r(a,b,

c,t)

t

2

u(a,b,

c,t)

td

u(a,b,

c,t)d

t

a(a,b,

c,t)

若流動(dòng)是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移向量直接對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)即可。求導(dǎo)時(shí)

a,b,c作

為

參

數(shù)

不變，意即跟定流體質(zhì)點(diǎn)。跟定流體質(zhì)點(diǎn)後，x,y,z

均隨t

變，而且x y zd

td(x,y,z)

(u,u,u

)若流場(chǎng)是用歐拉法描述的，流體質(zhì)點(diǎn)加速度的求法必須特別注意。用歐拉法描述，

處理拉格朗日觀點(diǎn)的問(wèn)題。

u

)uz

u

u

u

u

u

(

t x

x y

y

z

t

u

ua

du

u

u

dx

u

dy

u

dz

d

t

t

x

d

t

y

d

t

zd

tu

u(x,

y,

z,t)du

d

t

u

t(u

)u=+質(zhì)點(diǎn)加速度位變加速度由流速不均勻性引起時(shí)變加速度由流速不恒定性引起a

du

u

(u

)ud

t

tzzzyzxzz

z

uu

y

uu

x

uua

d

t

td

u

uzxzxyxxxx

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uu

y

uu

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uua

d

t

td

u

uxayzyyyxy

z

uu

y

uu

xu

d

uy

uy

ud

t

t分量形式MM

t

t

limdt0000

t

0

t

0

uM )

(uM

u )(u

uMa

du

lim

uM?

時(shí)間因素與空間因素對(duì)加速度貢獻(xiàn)的分解時(shí)間因素與空間因素對(duì)加速度貢獻(xiàn)的分解yxt+ΔtM0’

u

t(u

)uyxz zMM0tB’A A’ BuAdtuBdt舉例舉例

dd

t

t(u

)=+時(shí)變導(dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù)全質(zhì)導(dǎo)點(diǎn)數(shù)導(dǎo)數(shù)位變導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)對(duì)流導(dǎo)數(shù)算子算子d

td

0

constd

(u

)

d

t

td

u

u

u

d

t

t x

x y

y z

z例如例如不可壓是其特例§3—2

有關(guān)流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念一.

恒定流、非恒定流若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱(chēng)流動(dòng)為恒定流。否則，為非恒定流。恒定流中，所有物理量的歐拉運(yùn)算式中將不顯含時(shí)間，它們只是空間位置座標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。例如，恒定流的

t

u

0流速場(chǎng)：u

u(x,

y,

z)?

恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。流動(dòng)是否恒定與所選取的參考坐標(biāo)系有關(guān),因此是相對(duì)的概念。二.

跡線和流線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。拉格朗日法中位移運(yùn)算式r

r(a,b,

c,t)即為跡線的參數(shù)方程。t

是變數(shù)，a,b,c

是參數(shù)。d

r

u[x(t),

y(t),

z(t),t]d

tdxux[x(t),

y(t),z(t),t]dyuy[x(t),

y(t),z(t),t]dzuz[x(t),

y(t),z(t),t]

dt這是由三個(gè)一階常微分方程組成的方程組，未知變數(shù)為質(zhì)點(diǎn)位置座標(biāo)（x,

y,

z），它是

t

的函數(shù)。給定初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置座標(biāo)，就可以積分得到跡線。這是由三個(gè)一階常微分方程組成的方程組，未知變數(shù)為質(zhì)點(diǎn)位置座標(biāo)（x,

y,

z），它是

t

的函數(shù)。給定初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置座標(biāo)，就可以積分得到跡線。?

在歐拉觀點(diǎn)下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù)x,y,z

成為

t

的函數(shù)，所以跡線的微分方程為在歐拉觀點(diǎn)下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù)x,y,z

成為

t

的函數(shù)，所以跡線的微分方程為?

流線是流速場(chǎng)的向量線，是某暫態(tài)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該暫態(tài)位於流線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度向量都和流線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。有了流線，流場(chǎng)的空間分布情況就得到了形象化的描繪。流線是流速場(chǎng)的向量線，是某暫態(tài)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該暫態(tài)位於流線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度向量都和流線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。有了流線，流場(chǎng)的空間分布情況就得到了形象化的描繪。?

根據(jù)定義，流線的微分方程為根據(jù)定義，流線的微分方程為u

d

l

0dl

d

xi

d

yj

d

zk

d

x

d

y

d

z

ux(x,

y,

z,t) uy(x,

y,

z,t) uz

(x,

y,

z,t)i j kd

x d

y dz

0ux uy uz實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中

t

是參數(shù)。可求解得到兩族曲面，它們的交線就是流線族。實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中

t

是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩妫鼈兊慕痪€就是流線族。其中x y已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)

u

=x+t；

u

=

-y+t；uz=0,試求t

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)

點(diǎn)的流線。已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)

ux=x+t；

uy=

-y+t；uz=0,試求t

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)

點(diǎn)的流線。解：解dx

dy

dzu

x u

y u

zux=x+t；uy=-y+t；uz=0

d

x d

yx

t

y

t(x+t)(-y+t)=

C(x+t)(-y+t)=

Ct

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)：C=

-1積分xy=1xy=1由流線的微分方程：t

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)點(diǎn)的流線：舉

例舉

例t

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)：2C1=C=

0已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)

u

=x+t；

u

=

-y+t；x yuz=0,試求t

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)

點(diǎn)的跡線。已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)

ux=x+t；

uy=

-y+t；uz=0,試求t

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)

點(diǎn)的跡線。解：解ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=

-2x+y=

-2由跡線的微分方程：dx

dy

dz

dtu

x u

y u

zd

td

x

x

ty

td

td

y

21y

C e

t

t

1x

C et

t

1x=

-t-1y=

t-1消去t，得跡線方程：舉

例舉

例流線xy跡線ot

=

0

時(shí)過(guò)

M(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線示意圖M(-1,-1)在非恒定流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在恒定流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度向量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無(wú)窮大處，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。如何用攝象機(jī)獲取流線和跡線？思考

?思考

?三.

流管和流量流線在流場(chǎng)中，取一條不與流線重合的封閉曲線L

，在同一時(shí)刻過(guò)

L

上每一點(diǎn)作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱(chēng)為流管。與流線一樣，流管是暫態(tài)概念。根據(jù)流管的定義易知，在對(duì)應(yīng)暫態(tài)，流體不可能通過(guò)流管表面流出或流入。L流管與流動(dòng)方向正交的流管的橫斷面?

過(guò)水?dāng)嗝鏋槊娣e微元的流管叫元流管，其中的流動(dòng)稱(chēng)為元流。的流管叫元流管，其中的流動(dòng)稱(chēng)為元流。?

過(guò)水?dāng)嗝鏋橛邢廾娣e的流管中的流動(dòng)叫總流?？偭骺煽醋鳠o(wú)數(shù)個(gè)元流的集合?？偭鞯倪^(guò)水?dāng)嗝嬉话銥榍妗＿^(guò)水?dāng)嗝鏋橛邢廾娣e的流管中的流動(dòng)叫總流。總流可看作無(wú)數(shù)個(gè)元流的集合。總流的過(guò)水?dāng)嗝嬉话銥榍?。dA1u1dA2u2?

過(guò)水?dāng)嗝孢^(guò)水?dāng)嗝媾c流動(dòng)方向正交的流管的橫斷面過(guò)水?dāng)嗝鏋槊娣e微元? 稱(chēng)為品質(zhì)流量，記為Qm，單位為

kg/s

.

流量計(jì)算公式中，曲面

A

的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。

u

n

d

A

稱(chēng)為品質(zhì)流量，記為Qm，單位為

kg/s

.

流量計(jì)算A公式中，曲面

A

的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。通過(guò)流場(chǎng)中某曲面

A

的流速通量

u

n

d

AA稱(chēng)為流量，記為

Q

，它的物理意義是單位時(shí)間穿過(guò)該曲面的流體體積，所以也稱(chēng)為體積流量，單位為

m3/s

.dAuAn為 ，其中

uA為流速的大小。Q

u

d

A定義體積流量與斷面面積總流過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉倥c法向一致，所以穿過(guò)

速過(guò)水?dāng)嗝?/p>

A

的流量大小為斷面平均流，它是過(guò)水?dāng)嗝嫔喜痪鶆蛄魉賣(mài)

的一個(gè)平均值，假設(shè)過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)流速大小均等於v，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，則通過(guò)的流量與實(shí)際流量相等。A之比

v

Q位變導(dǎo)數(shù)

(u

)u

0

？均勻流非均勻流四.

均勻流、非均勻流；漸變流、急變流均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要麼是曲線，要麼是不相平行的直線。均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要麼是曲線，要麼是不相平行的直線。?

判別：判uxazyxuy

uz

0例如，以下的流動(dòng)是均勻流：ux

ux(y)

,應(yīng)注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動(dòng)u

const相區(qū)別，前者是流動(dòng)沿著流線方向不變，後者是流動(dòng)沿著空間任何方向不變。後者是均勻流的一個(gè)特例。o在實(shí)際流動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到均勻流，如等截面的長(zhǎng)直管道內(nèi)的流動(dòng)、斷面形狀不變，且水深不變的長(zhǎng)直管道內(nèi)的流動(dòng)等。恒定均勻流的時(shí)變加速度和位變加速度都為零，即流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力為零，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若總流為均勻流，其過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫妗＿@些均勻流的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，將給以後處理相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題帶來(lái)便利，因此在分析流動(dòng)時(shí)，特別關(guān)注流動(dòng)是否為均勻流的判別。是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較?。涣骶€雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；流線彎曲的曲率較大。?

漸變流和急變流是工程意義上對(duì)流動(dòng)是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒(méi)有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判定漸變流和急變流是工程意義上對(duì)流動(dòng)是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒(méi)有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判定是否急變流示意圖五.

流動(dòng)按空間維數(shù)的分類(lèi)一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)?

任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。y y

u

z

ux

ux

(x,

y,

t

)

u(x,y,

t)

u

0

直角系中的平面流直角系中的平面流動(dòng)：

0

zuz

0

流場(chǎng)與某一空間座標(biāo)變數(shù)無(wú)關(guān)，且沿該座標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。流場(chǎng)與某一空間座標(biāo)變數(shù)無(wú)關(guān)，且沿該座標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。xyoxzou0u0y大展弦比機(jī)翼繞流?

二維流動(dòng)二維流動(dòng)

u(r,

z,t)

uzz

ur

ur(r,

z,t)

u

0

柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)流柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)：

0

u

0液體在圓截面管道中的流動(dòng)r

zo子午面流動(dòng)要素只取決於一個(gè)空間座標(biāo)變數(shù)的流動(dòng)

在實(shí)際問(wèn)題中，常把總流也簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)，此時(shí)取定空間曲線坐標(biāo)

s

的值相當(dāng)於指定總流的過(guò)水?dāng)嗝?，但由於過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧鲃?dòng)要素一般是不均勻的，所以一維簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是要在過(guò)水?dāng)嗝嫔辖o出運(yùn)動(dòng)要素的代表值，通常的辦法是取平均值。s?

一維流動(dòng)一維流動(dòng)其流場(chǎng)為s

—

空間曲線座標(biāo)u

u(s,t)

元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線座標(biāo)