2022年山東高考數(shù)學仿真卷四（解析版）

備戰(zhàn)2022年山東高考數(shù)學仿真卷（4）

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

I.(5分)已知集合A={X|X2-X-6,0},B={X|X2>4},則A「|B=()

A.(2,3)B.[2,3]C.(2,3]D.[2,3]|J{-2}

【答案】C

【詳解】?.?A={x|-2效k3},8={x|x<-2或x>2},

哨8=(2,3].

故選：C.

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=工，則z的共飄復數(shù)，=（

)

4+3/

A.Si43.

BC.--+-zD.----------1

55-rr5555

【答案】A

55(4-3z)43.

【詳解】復數(shù)Z=

4+3/(4+3/)(4-3055

.?.Z的共視復數(shù)彳=3+當，

55

故選：A.

02

3.(5分)已知a=sin2,b=Iog20.2,c=2-,則()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【詳解】0va=sin2v1,

b=log20.2<log21=0,

c=20-2>2°=1,

:.c>a>h.

故選：B.

4.（5分）隨著我國新冠疫情防控形勢的逐漸好轉(zhuǎn)，某企業(yè)開始復工復產(chǎn).經(jīng)統(tǒng)計，2020年7月份到12

月份的月產(chǎn)量（單位：噸）逐月增加，且各月的產(chǎn)量成等差數(shù)列，其中7月份的產(chǎn)量為10噸，12月份的產(chǎn)

量為20噸，則8月到11月這四個月的產(chǎn)量之和為（）

A.48噸B.54噸C.60噸D.66噸

【答案】C

【詳解】由題意設(shè)7月份到12月份的產(chǎn)量為數(shù)列{4},

則7月份的產(chǎn)量為q=10,12月份的產(chǎn)量為％=20,

則公差4=絲」=也〃=2,

6-15

所以數(shù)列的通項公式為=10+2(〃-l)=2〃+8,"eN.,

所以8月份至IJ11月份的產(chǎn)量之和為4+&+%+%=2(2+3+4+5)+8x4=28+32=60,

故選：C.

22

5.(5分)已知雙曲線』一—二=1(機>0)的漸近線方程為x±&y=0,則加=()

+1m

A.-B.也-IC.3里D.2

22

【答案】A

[詳解】雙曲線上——亡=Km>0)的漸近線方程為x±=0,

加+1m

可得戶亙=百，

Vm

解得m=—.

2

故選：A.

【答案】B

【詳解】由函數(shù)圖像可得，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，可得y=/(x)是偶函數(shù),

山于f(x)=sinx+cosx=y[2sin(x+?)，故A錯誤；

又因為y=f(x)經(jīng)過(肛一1),

所以/(4)=一1,與。選項/(4)=1矛盾，故O錯誤；

若/(x)=sin|x|+cosx，

當xw[4，2幻，sin|x|=sinx,

所以f(x)=sinx4-cosx=5/2sin(x+\/2,

4

故當x+^=陰時?，即工=至時，取得最小值

424

與圖中的最小值-1互相矛盾，故C錯誤.

故選：B.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)=8sin(5-?)3>0)的最小正周期為*若f(x)在[或，事上單調(diào)遞增，在片,

號]上單調(diào)遞減，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.[乃，2乃]B.*乃]C.[-,-]D.-n\

2643283

【答案】B

【詳解】，<y=隼=2,，/(x)=8sin(2x-q),

M/71%".e7t.57Vlm-7C,5乃2m-7T7C幻〃目7157

3XG[r---,—]時1H，2x——G[-------,----------1,/.------<----------?—,用車行——〈根，——；

2433123123284

yXf24p_L-7V7117171hjfzra57r44

2=3xG[r—,—]nPT,2x----G1rm-----,7c\,「.一,,m------<TC,解倚—,，m<—,

23332363

綜上所述：—.

64

故選：B.

8.(5分)若d,b,^均為單位向量，且1石=0,3—C).(b—0,,0,貝ij|a+b-司的最大值為()

A.V2-1B.1C.&D.2

【答案】B

【詳解】?：a,b,1均為單位向量,且4石=0,(a-c)4,b-c\,0,則下石一19一行屯+色，0,

/.c?(d+/?)..1.

而|4+b—+/?~+c"+2d?b——2Z?*c=3—2c*(^+/?),,3—2,=1,

故I。+6-^I的最大值為1,

故選：B.

二.多選題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

9.（5分）已知正方體ABC-ASGA的棱長為4,M為。R的中點，N為ABCD所在平面上一動點，則

下列命題正確的是（）

A.若MN與平面ABC。所成的角為石，則點N的軌跡為圓

4

B.若MN=4,則MN的中點尸的軌跡所圍成圖形的面積為2%

C.若點N到直線8旦與直線ZX7的距離相等，則點N的軌跡為拋物線

D.若QN與AB所成的角為?，則點N的軌跡為雙曲線

【答案】ACD

【詳解】對于A，因為與平面A3CD所成的角為￡,即NMV￡）=2,

44

所以DV=O0=2,所以點N的軌跡是。為圓心，2為半徑的圓，故選項A正確；

對于3，若MN=4,因為A/OLZW,MD=2,所以ND=$MN2-MD?="2-2'=2后,

所以點P到DM的中點。的距離為,ON=G,

2

又因為點尸到平面A8CD的距離等于。。=1為定值，

所以點P的軌跡是以。為圓心，G為半徑的圓，

其面積為刀?（百尸=3萬，故選項8錯誤；

對于C,因為8月_L平面ABCD,所以點N到直線BB、的距離為NB,即點N到點B的距離與到直線DC的

距離相等，

又3不在直線。C上，所以點N的軌跡為以3為焦點，直線”■為準線的拋物線，故選項C正確;

對于。，以。為坐標原點，DA，DC,。。為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

貝i]A(4,0,0),8(4,4,0),￡>[(0,0,4),設(shè)N(x,y,0),

則AB=(0,4,0),DtN=(x,y,-4),

因為RN與他所成的角為工,

13

|福.而||0+4尸0|

所以IcosA反。河|==cos—,

I而II麗IV0+16+0x“2+八163

化簡可得3y2-》2=16,所以點N的軌跡為雙曲線，故選項O正確.

故選：ACD.

10.(5分)已知函數(shù)/(；0=1-奴+1的圖象在x=2處切線的斜率為9,則下列說法正確的是(

A.a=3

B.f(x)在x=-l處取得極大值

C.當xe(-2,1]時，/(X)G(-1,3]

D./(x)的圖象關(guān)于點(0,1)中心對稱

【答案】ABD

【詳解】/(%)=x3-ax+1?貝(J=3x?-a,

因為函數(shù)f(x)的圖象在x=2處切線的斜率為9,

所以/'(2)=9,即12—a=9,解得a=3,故A正確；

則/(x)=X3-3X+\,則f\x)=3X2-3=3(X-1)(X+1),

令廣。)>0,可得x<—l或x>l，令f(x)<0,可得

所以/(x)在(-oo,-l),(1,口)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減,

所以f(x)在x=-1處取得極大值，故8正確；

當xw(-2,1］時，由/(x)的單調(diào)性可知，/(x)的最大值為/(-1)=3,

又/(—2)=-1,f(1)=-1,

所以當xe(-2,1］時，3］,故C錯誤；

因為函數(shù))，=V-3x為奇函數(shù)，關(guān)于原點(0,0)對稱，

所以函數(shù)/(x)=x3-ox+l的圖象關(guān)于點(0,1)中心對稱，故。正確.

故選：ABD.

11.(5分)如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點3是圓O上異于A,C的動點，SO=OC=2,則

下列結(jié)論正確的是()

A.圓錐SO的側(cè)面積為8夜萬

B.三棱錐S-A3C體積的最大值為日

3

C.NS4B的取值范圍是(工,工)

D.若AB=BC,E為線段43上的動點，則SE+CE的最小值為2(后+1)

【答案】BD

【詳解】在RtASOC中，-.-SO=OC=2,SC=2-42,

則圓錐SO的側(cè)面積為S=」x2乃x2x2a=4信，故A錯誤；

2

當8位于AC中點時，A4BC面積取最大值，為、2x2=2,

2

此時三棱錐S-ABC體積的最大值為1x4x2=-,故3正確；

33

當8與C趨于重合時，N%8趨于工，當3與A趨于重合時，NASB趨于0,NS48趨于工,

42

.??NS4B的取值范圍是(乙，-),故C錯誤；

42

若AB=BC,以45為軸把平面SAB旋轉(zhuǎn)至與平面45c重合，連接SC,交

則ZS3C=150。，在ASBC中，SB=BC=2-^2,

由余弦定理可得，SC=+(2偽2-2x2也x20xcos150°

=^8+8-2x272x272x(-^)=2(6+1),即SE+CE的最小值為2(73+1),故。正確.

故選：BD.

S亞

12.(5分)已知函數(shù)y=sin(<yx+e)與y=cos(<yx+e)(0>O,|9|<§在xe[0,的圖象恰有三個不

同的交點P,M,N.若APAW為直角三角形，則()

△PM7V的面積5=萬

兩函數(shù)圖象必在》=里二竺處有交點

【答案】ACD

【詳解】?.?兩圖象恰有三個交點P,M,N,且APMN為直角三角形，

則APMN的高為夜，且是等腰直角三角形，

.?.斜邊長為2五，即周期7=2&,.?.至=2&,解得啰=也開，故A正確.

?.?APMV的面積為S=-*0x2&=2,故B錯誤.

2

當X￡[0,時，(DX+(pe\(p,芳+如，

設(shè)/=+0,則y=sin/與?y=cost的圖象的交點分別為

???有三個交點，貝"工，—]c[^,“+如，即v

所以夕e[-工，-],故C正確，

44

當尤=電_絲時，69%,故。正確.故選：ACD.

4co4

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知tana=-4，則l-sin2a=.

2

【答案】-

5

【詳解】因為tana=-->

2

222X(^―)

「匚”，.csbra-\-cosa-2sinacosatana+\-2tanaA29

所以]_sin2a=-----------------------=-------z--------=-——------=一

sina+cosatana+11,5

-----rt1

4

故答案為：—.

5

14.（5分）已知函數(shù)/（x）=]；；：：；蒼°,則/（-5）=

【答案】e

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)〃x)=F'X>°,

[/(x+2),x,0

當用,0時，/(x)=/(x+2),5W</(-5)=/(-3)=/(-1)=/(1),

當x>0時，f(x)=ex,則/(1)=e,

故/(—5)=e,

故答案為：e.

15.（5分）如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=1,BD=—,AB±AC,AC=gB,則CD的最小

3

【答案喈

2瓜

ABBD即祟;而

【詳解】設(shè)NAZ）3=e,在AAB￡>中，山正弦定理得

sin。sinZBAD

977

整理得AB?sin/BAD=-——sin0.

3

由余弦定理得4)=A￡)2+BQ2—2.A￡).8o.cose=U—九5cos，,

33

■rr

因為AB_LAC,所以N843=—+ND4c.

2

在AACD中,

由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD?AC-cosADAC=1+2AB2-2叵AB?sin/BAD

=~3~~C°S~s^n=sin（0+（p）（其中tan（p=6）,

所以當sin（。+⑺=1時,CDinin=￡.

故答案為：B.

3

16.（5分）在通用技術(shù)課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-438.并要求

同學們將該四棱錐切割成三個小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案：第一步過點A作一個平面分別交

PB,PC,PD于點、E,F,G,得到四棱錐P-AMG;第二步，將剩下的幾何體沿平面ACF切開，得

到另外兩個小四棱錐.在實施第一步的過程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形但6,若

【答案】-

4

【詳解】設(shè)四棱錐P-AB8的體積為V，設(shè)竺=g，

PD

PAPGPF1V

⑴力”PAPDPC'^^^^21

同理可得/.但=1?/，

相加可得vp_ACFE=g+右《①;

,八,,PGPAPEV3V

\2.)V.,八=-------------=g-------

ACtPDPAPB252

,31V

同理口J得VGEF=g-------，

p/—l/cr0522

Q3V

相加可得VfWE=(gg+mg)?萬②；

⑶由①②可知,=gg+。)。，

乙XJ?1V.Z4

所以&+2=2g,解得g=3,

210104

所以焉4

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知AABC的三個內(nèi)角A,B,。的對邊分別是。，b,c,且兒osC+ccos8=24zcosA.

（1）求角A;

（2）若Q=2G，AABC的面積為26，求b+c的值.

【答案】（1）A=~;（2）6

3

【詳解】（1）因為。cosC+ccos4=2acosA,

由正弦定理得，sinBcosC+sinCeosB=2sinAcosA,

即sin(B+C)=2sinAcosA,

故sinA=2sinAcosA,

因為sinA>0,

所以cosA=—,

2

山A為三角形內(nèi)角得，A=-；

3

(2)因為a=2G，AABC的面積為26,

1/o

所以一Z?csinA=-^~〃c=2\/§,

24

所以歷=8,

由余弦定理得，a2=b2+c2-2/?ccosA=（b+c）2-2bc-2Z?ccosA=0+c）2-=12,

故匕+c=6.

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S?,a2=6,5“=；。田+1.

（1）證明：數(shù)列｛S.-1｝為等比數(shù)列，并求出S“；

（2）求數(shù)列｛'｝的前"項和7；.

%

【答案】（1）見解析；（2）Tn=--一?—

【詳解】（1）證明：n2w+i+1,

-2=；（"S,）+1,

.?J-1=3⑸-1）,

.又“2=6,S,=—?2+1=4,S]-1=3*0,

.??數(shù)列⑸-1｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列,且S“-l=3",

??.S,,=3"+l；

（2）解：由（1）可得：S“=ga“+i+1=3"+1,

MW-1

/.an+i=2x3,an=2x3（幾.2）,

『1〃=1

4,〃=1

又q=4,a

n2x3'i,幾.2

——-~~r,/1..2

.2x3""

1

二當〃..2時，7^=—+—+—+?--1-

a

4a2%n

3魂心”1

42,124x3"i

3

當〃=1時，7：=-,

14

綜上，7；,=------!—7.

"24x3'i

19.(12分)如圖1所示，在平行六面體ABCO-AgGR中，底面A8CD是邊長為4的正方形.過點A的

平面與棱Bq,CG，OR分別相交于E,F,G三點，且CF=3,DG=2.

(1)求BE的長；

(2)若平行六面體488-AgC；〃是側(cè)棱長為6的直四棱柱(如圖2),求平面AS8與平面AEDt所成銳

二面角的余弦值.

【詳解】(1)連接AC、BD交于N,連接AF、EG交于M,

因為平面AD〃平面與C,平面AEFGC平面A〃=AG,平面A￡FGC平面與。=EF,所以AG〃防,

因理AE//GF,所以四邊形AEFG為平行四邊形，于是M是""、EG中點，

因為四邊形A88是正方形，所以N為AC、中點，

于是MM為AACF中位線，又是梯形ZX7E8的中位線，

133

所以M7V=—CF=二，DG+BE=2MN,所以5E=2?二一2=1.

222

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，

AE=(4,0?1),AD}=(0,4,6),

設(shè)平面ADiE的法向量為比=(x,y,z),

AE?而=4JV+z=0

令z=-4,/n=(l6,-4),

A.?川=4y+6z=0

平面ABC。的法向量為為二(0,0,1),

\ifi'ri\44后

所以平面A6C￡＞與平面AEQ所成銳二面角的余弦值為

\rn\-\fi\A/53-153

20.(12分)垃圾分類收集處理是一項利國利民的社會工程和環(huán)保工程.搞好垃圾分類收集處理，可為政

府節(jié)省開支，為國家節(jié)約能源，減少環(huán)境污染，是建設(shè)資源節(jié)約型社會的一個重要內(nèi)容.為推進垃圾分類

收集處理工作，A市通過多種渠道對市民進行垃圾分類收集處理方法的宣傳教育，為了解市民能否正確進

行垃圾分類處理，調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析,

得到如下列聯(lián)表(單位人)：

能正確進行垃圾分類不能正確進行垃圾分總計

類

55歲及以下9030120

55歲以上503080

總計14060200

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認為A市能否正確進行垃圾分類處理與年齡有關(guān)？

(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從A市55歲及以下的市民中里隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次.記

被抽取的3人中“不能正確進行垃圾分類”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求隨機變量X的

分布列和均值E(X).

附：K2=--------"""C2--------其中〃=a+"c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(h+d)

0.150.100.050.025

P(K\.k0)

即2.0722.7063.8415.024

【答案】見解析

【詳解】⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)，1的觀測值氏=20°-90*3°二5°x30)：a3.571>2.706,

140x60x120x80

.?.有90%的把握認為A市能否正確進行垃圾分類處理與年齡有關(guān).

(2)由題意可得：X~B(3,-),

.?.尸(X=Q=域,k=o,1,2,3,

2777ai

P(X=O)=—,尸(X=l)=—,P(X=2)=—,P(x=3)=—.

64646464

可得：隨機變量X的分布列:

X0123

P272791

64646464

均值E(X)=3X1=3.

44

21.（12分）已知橢圓C:[+/=l（a＞人＞0）的離心率為半，短軸長為2&.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知A,B是橢圓C上的兩個不同的動點，以線段鉆為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.是否存在以O(shè)為

圓心的定圓恒與直線A3相切？若存在，求出定圓方程；若不存在，請說明理由.

22

【答案】⑴—+^-=1;(2)見解析

62

c_瓜

a3a=^/6

【詳解】(1)由題意可知,2b=2&,解得:<b—V2,

a2=b2+c2c=2

22

???橢圓。的方程為:押全1.

（2）設(shè)A（M，y）,B（X2,%），直線48的方程為：x=my-\-t,

片+￡=1

聯(lián)立方程■）62，消去x得：（W+3獷+2砂y+（產(chǎn)-6）=0,

x=my+1

2mf『-6

?.-線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O,

OA-OB=0,

/.xlx2+%%=0，

(孫+t)(my2+t)+yKy2=0,

整理得:（"+1）乂必+皿（凹+%）+*=0,

把y+M=一-'乂%="^~~^代入上式得：(?i2+1)--,—+mt--2/—+z2=：0,

12nr+312川+3'4+31+3

整理得：*=3(吧1),

2

?.?原點(0,0)到直線AB:x=m)，+r的距離d—,

J1+M

1+/M22

存在以o為圓心的定圓V+v=3恒與直線.相切.

2

若直線AB的斜率為0,則圓Y+丁=|與直線y=半相切，

綜上所述：存在以O(shè)為圓心的定圓Y+V=g恒與直線AB相切.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=xe*T+/+2x-4,g(x)=^ax2-x+2acosx+/n(x+l).

(1)判斷f(x)的單調(diào)性，并