大學(xué)文科數(shù)學(xué)課件：定積分

定積分6.1定積分的概念和性質(zhì)6.2微積分基本公式6.3定積分的換元積分法和分部積分6.4定積分的應(yīng)用

6.1定積分的概念和性質(zhì)

6.1.1問(wèn)題的提出

例6.1.1

求曲邊梯形的面積.

曲邊梯形指的是由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)、x軸與兩條直線x=a、x=b所圍成的一個(gè)封閉區(qū)域,如圖6.1.1所示.

圖6.1.1矩形的高是不變的，它的面積可按公式

矩形面積=高×底

來(lái)定義和計(jì)算.而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間

［a,b］上是處處變化的，所以它的面積不能直接按上述公式來(lái)定義和計(jì)算.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)變化的，當(dāng)自變量x發(fā)生一個(gè)很小的變化時(shí)，函數(shù)值的變化也是非常小的.也就是說(shuō),當(dāng)我們?cè)趨^(qū)間［a,b］上取一個(gè)很小的變化區(qū)間［x,x+Δx］時(shí)，相應(yīng)的小區(qū)間上函數(shù)值f(x)可以看成是一個(gè)常數(shù).當(dāng)我們將區(qū)間［a,b］進(jìn)行無(wú)限細(xì)分的時(shí)候，小矩形的面積就越來(lái)越近似于小曲邊梯形的面積，那么所有小矩形的面積之和就逼近了整個(gè)曲邊梯形的面積，最終達(dá)到了曲邊梯形面積的精確值.這個(gè)思想方法也給出了求曲邊梯形面積的方法(如圖6.1.2所示).圖6.1.2

例6.1.2

求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程.

設(shè)某物體做直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔

［T1,T2］上t的連續(xù)函數(shù)，且

v(t)≥0，求物體在這段時(shí)間

內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程s.

我們知道，對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，有公式：

路程=速度×?xí)r間具體計(jì)算步驟如下：

(1)分割：在［T1,T2］中插入n－1個(gè)分點(diǎn)T1=t0<t1<t2<…

<tn－1<tn=T2，每個(gè)時(shí)間間隔為Δti=ti－ti－1，每個(gè)時(shí)間間隔上的路程為Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n)；

(2)求所有小間隔上的路程之和；

(3)令λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，對(duì)路程之和取極限，則可得到路程的精確值6.1.2定積分的定義

定義6.1.1設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上有界，在［a,b］中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

a=x0<x1<x2<…<xn－1<xn=b

把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)小區(qū)間

［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］

各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1在各個(gè)小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點(diǎn)ξi(xi－1≤ξi≤xi),作乘積f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n)，并作和只要當(dāng)λ→0時(shí)，和S總趨于確定的極限I，我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，記為6.1.3存在定理

定理6.1.1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間［a,b］上可積.

定理6.1.2

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間［a,b］上可積.

例6.1.3

利用定義計(jì)算定積分解將［0,1］區(qū)間n等分，取ξi=xi(i=1,2,…,n)，則當(dāng)λ→0即n→∞時(shí)，取上式右端的極限.由定積分的定義，即得所要計(jì)算的積分為例6.1.4

利用定義計(jì)算定積分解取ξi=qi－1（i=1,2,…,n），則取qn=2即，則

因?yàn)樗怨?.1.4定積分的幾何意義

當(dāng)f(x)<0時(shí)，而當(dāng)f(x)在區(qū)間［a,b］上有正有負(fù)的時(shí)候，定積分則表示各部分面積的代數(shù)和(見(jiàn)圖6.1.3)，即圖6.1.36.1.5定積分的性質(zhì)

性質(zhì)6.1.1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差),即證

性質(zhì)6.1.2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即(k為常數(shù))證

性質(zhì)6.1.3

如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)a<c<b，則

性質(zhì)6.1.4

如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≡1,則=b－a顯然，這個(gè)性質(zhì)表示的是底邊為［a,b］、高為1的矩形的面積.

性質(zhì)6.1.5

如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≥0，則(a<b)推論6.1.1

如果在區(qū)間［a,b］上,f(x)≤g(x)，則

推論6.1.2

性質(zhì)6.1.6

設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值及最小值，則性質(zhì)6.1.5以及它的兩個(gè)推論和性質(zhì)6.1.6(見(jiàn)圖6.1.4)都叫做定積分的不等式性質(zhì).根據(jù)這些性質(zhì)我們可以對(duì)定積分進(jìn)行大小比較，估計(jì)范圍等計(jì)算.圖6.1.4性質(zhì)6.1.7（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在積分區(qū)間［a,b］上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使

=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b)

證因?yàn)樗杂砷]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知：在區(qū)間［a,b］上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得即=f(ξ)(b－a)(a≤ξ≤b)積分中值公式指的是在區(qū)間［a,b］上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得以區(qū)間［a,b］為底邊，以曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f(ξ)的一個(gè)矩形的面積，如圖6.1.5所示.圖6.1.56.2微積分基本公式

6.2.1問(wèn)題的提出

假設(shè)某物體做直線運(yùn)動(dòng)，已知速v=v(t)是時(shí)間間隔

［T1,T2］上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0，求物體在這段時(shí)

間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.假設(shè)某物體做直線運(yùn)動(dòng)，已知速度v=v(t)是時(shí)間間隔

［T1,T2］上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0，求物體在這段時(shí)

間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.由6.1節(jié)可知，變速直線運(yùn)動(dòng)中的路程可以表示為；另一方面如果用s(t)表示這個(gè)時(shí)間段上的路程函數(shù)，那么這段路程又可以表示為s(T2)－s(T1).而我們從第4章中可以得到，s′(t)=v(t).6.2.2積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，并且設(shè)x為［a,b］上的一點(diǎn).考察定積分

首先，由于f(x)在［a,x］上仍舊連續(xù)，因此這個(gè)定積分存在.這時(shí)，x既表示定積分的上限，又表示積分變量.因?yàn)槎ǚe分與積分變量無(wú)關(guān)，所以，為了明確起見(jiàn)，可以把積分變量改用其他符號(hào)，例如用t表示，則上面的積分可寫(xiě)成

如果上限x在區(qū)間［a,b］上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的x值，定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以它在［a,b］上定義了一個(gè)函數(shù)，記

為f(x)的積分上限函數(shù).

Φ(x)的幾何意義是右側(cè)直線可以隨意移動(dòng)的曲邊梯形的面積,如圖6.2.1所示.對(duì)于不同的x，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不同的面積值.對(duì)于積分上限函數(shù)，其可導(dǎo)性由如下定理予以說(shuō)明.圖6.2.1定理6.2.1如果f(x)在［a,b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)在［a,b］上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是(a≤x≤b)證這里要求Φ(x)的導(dǎo)數(shù)，我們就按照導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求解.Φ(x)在x+Δx處的函數(shù)值為由此得函數(shù)的增量由積分中值定理得把上式兩端各除以Δx，得函數(shù)增量與自變量增量的比值當(dāng)Δx→0時(shí)，即ξ→x，所以故Φ′(x)=f(x).定理6.2.2

如果f(t)連續(xù)，a(x)、b(x)可導(dǎo)，則的導(dǎo)數(shù)F′(x)為證因?yàn)樗?/p>

定理6.2.3（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

就是f(x)在［a,b］上的一個(gè)原函數(shù).6.2.3牛頓-萊布尼茨公式

定理6.2.4（微積分基本公式）如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的一個(gè)原函數(shù)，則已知函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)定理6.2.3知，積分上限函數(shù)也是f(x)的一個(gè)原函數(shù).于是F(x)與Φ(x)只相差一個(gè)常數(shù)，即

F(x)－Φ(x)=C,x∈［a,b］在上式中令x=a,得F(a)－Φ(a)=C.因?yàn)榈肍(a)=C.因?yàn)樗栽谏鲜街辛顇=b，得于是可得

例6.2.8

計(jì)算

解因?yàn)樗?/p>

例6.2.9

如圖6.2.2所示，設(shè)

圖6.2.2求解已知在［1,2］上規(guī)定當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=5,所以

例6.2.10

求解如圖6.2.3所示,由圖形可知所以圖6.2.3例6.2.11如圖6.2.4所示，計(jì)算曲線y=sinx在［0,π］上與x軸所圍成的平面圖形的面積.

解面積圖6.2.46.3定積分的換元積分法和分部積分法

6.3.1定積分的換元積分法

定理6.3.1假設(shè)

(1)f(x)在［a,b］上連續(xù)；

(2)函數(shù)x=φ(t)在［α,β］上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；(3)當(dāng)t在區(qū)間［α,β］上變化時(shí)，x=φ(t)的值在［a,b］上變化，且φ(α)=a、φ(β)=b，則有應(yīng)用換元公式時(shí)應(yīng)注意:

(1)當(dāng)α>β時(shí)，換元公式仍成立.

(2)用x=φ(t)把原變量x代換成新變量t時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量t的積分限.

(3)求出f［φ(t)］φ′(t)的一個(gè)原函數(shù)Φ(t)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再把Φ(t)變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入Φ(t)中然后相減就行了.

例6.3.2

計(jì)算解因?yàn)樗?/p>

例6.3.3

計(jì)算解

例6.3.4

計(jì)算解令x=asint，則dx=acostdt.當(dāng)x=a時(shí)，t=π／2;當(dāng)x=0時(shí)，t=0.所以

例6.3.5

計(jì)算6.3.2定積分的分部積分法

設(shè)函數(shù)u(x)、v(x）在區(qū)間［a,b］上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u′(x)、v′(x)，則有

(uv)′=u′v+uv′

分別求這等式兩端在［a,b］上的定積分，并注意到便得移項(xiàng)就有或簡(jiǎn)寫(xiě)為

例6.3.7

計(jì)算解因?yàn)?+cos2x=2cos2x，所以

例6.3.8

計(jì)算解*6.3.3無(wú)窮限的廣義積分

定義6.3.1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,+∞)上連續(xù)，取b>a，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間［a,+∞)上的廣義積分，記做,

例6.3.10

計(jì)算廣義積分解

例6.3.11

計(jì)算廣義積分解

6.4定積分的應(yīng)用

6.4.1微元法

曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)、x軸與兩條直線x=a、x=b所圍成(見(jiàn)圖6.4.1),則這個(gè)曲邊梯形的面積為

圖6.4.1如果我們用ΔA表示任一小區(qū)間［x,x+dx］上的窄曲邊梯形的面積(見(jiàn)圖6.4.2)，則整個(gè)曲邊梯形的面積，并取ΔA≈f(x)dx，于是.那么整個(gè)面積就可以表示為圖6.4.2（1）U是與一個(gè)變量x的變化區(qū)間［a,b］有關(guān)的量；

（2）U對(duì)于區(qū)間［a,b］具有可加性，就是說(shuō)，如果把區(qū)間［a,b］分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量ΔUi的近似值可表示為f(ξi)Δxi,就可以考慮用定積分來(lái)表達(dá)這個(gè)量U.對(duì)于直角坐標(biāo)系下的平面圖形(見(jiàn)圖6.4.3)，我們可以將曲邊梯形的面積直接表示為曲邊的函數(shù)的定積分,即曲邊梯形的面圖6.4.3另外，當(dāng)曲邊梯形由上、下兩條曲線構(gòu)成時(shí)(見(jiàn)圖6.4.4)，可以利用上、下兩條曲線的函數(shù)之差，構(gòu)成微元，進(jìn)行積分即可，即曲邊梯形的面積圖6.4.4例6.4.1計(jì)算由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形的

面積.

解如圖6.4.5所示，兩曲線的交點(diǎn)為(0,0)，(1,1)，選

x為積分變量,x∈［0,1］，面積元素，則圖6.4.5

例6.4.2

計(jì)算由曲線y=x3－6x和y=x2所圍成的圖形的面積.解如圖6.4.6所示，先求出兩曲線的交點(diǎn).解方程組得交點(diǎn)(0,0)，(－2,4)，(3,9).選x為積分變量，x∈［－2,3］,則當(dāng)x∈［－2,0］時(shí)，

dA1=(x3－6x－x2)dx

當(dāng)x∈［0,3］時(shí)，

dA2=(x2－x3+6x)dx

于是所求面積A=A1+A2,即圖6.4.6例6.4.3計(jì)算由曲線y2=2x和直線y=x－4所圍成的圖形的面積.

解如圖6.4.7所示，先求出兩曲線的交點(diǎn).解方程組得交點(diǎn)(2,－2)和(8,4).選y為積分變量,y∈［－2,4］，則于是所求面積圖6.4.76.4.3旋轉(zhuǎn)體的體積

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．如圖6.4.8所示，圓柱、圓錐、圓臺(tái)可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三

角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.圖6.4.8一般地，如果旋轉(zhuǎn)體(見(jiàn)圖6.4.9)是由連續(xù)曲線y=f(x)、直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，那么這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為