八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題12.2.2 三角形全等的判定2（SAS）（教師版）

專題12.2.2三角形全等的判定2（SAS）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會(huì)用“SAS”條件判定兩個(gè)三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01三角形全等的判定2：（SAS）知識(shí)點(diǎn)三角形全等的判定2：邊角邊（SAS）文字：在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；圖形：符號(hào)：在與中，【微點(diǎn)撥】“SAS”判定方法證明兩個(gè)三角形全等及進(jìn)行簡單的應(yīng)用．1.證明線段相等或者角相等時(shí)，常常通過證明它們是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.2判斷三角形全等時(shí)，注意兩邊與其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等．解題時(shí)要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時(shí)是不能判定三角形全等的．【知識(shí)拓展1】邊角邊判定三角形全等的條件例1．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期中）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，若用“SAS”說明△ABC≌△BAD，則還需添加的一個(gè)條件是（

）A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定，已知∠1＝∠2，AB為公共邊，所以可添加AC＝BD，根據(jù)SAS可證△ABC≌△BAD．【詳解】解：添加AC＝BD，理由如下：在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，補(bǔ)充一個(gè)條件后，能直接應(yīng)用“SAS”判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直接應(yīng)用“SAS”判定，已知了，補(bǔ)充即可．【詳解】解：∵，，∴（SAS）故選B【點(diǎn)睛】本題考查了SAS證明全等三角形，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】利用SAS判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）例2．（2022·遼寧丹東·七年級(jí)期末）如圖，桌面上放置一個(gè)等腰直角△ABC，直角頂點(diǎn)C頂著桌面，若另外兩個(gè)頂點(diǎn)與桌面的距離分別為和，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)向桌面作垂線，則兩個(gè)垂足之間的距離DE的長度為______．【答案】8【分析】利用互余關(guān)系找兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)等腰直角三角形找對(duì)應(yīng)邊相等，兩個(gè)對(duì)應(yīng)直角相等，判斷三角形全等，從而AD=CE，CD=BE，得到DE的長．【詳解】解：∵∠CDA=∠ACB=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE（ASA），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD=3+5=8(cm)．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定及性質(zhì)的應(yīng)用；通過三角形全等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)線段長度進(jìn)行轉(zhuǎn)化．本題的關(guān)鍵是證明△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量代換求解．【即學(xué)即練】2.（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）在學(xué)習(xí)“利用三角形全等測(cè)距離”之后，七一班數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，張老師讓同學(xué)們測(cè)量池塘A，B之間的距離（無法直接測(cè)量）小穎設(shè)計(jì)的方案是：先過點(diǎn)A作的垂線，在上順次截取，使，然后過點(diǎn)D作，連接并延長交于點(diǎn)E，則的長度即為的長度．(1)小穎的作法你同意嗎？并說明理由；(2)如果利用全等三角形去解決這個(gè)問題，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)與小穎全等依據(jù)不同的方案，并畫出圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）只需要利用ASA證明△ABC≌△DEC即可得到答案；（2）過點(diǎn)A作射線AP，在線段AP上取兩點(diǎn)C、D使得AC=DC，連接BC并延長到E使得EC=BC，連接DE，則DE的長即為AB的長．（1）解：同意小穎的作法，理由如下：∵DN⊥AD，AB⊥AM，∴∠CDE=∠CAB=90°，又∵∠ACB=∠DCE，AC=DC，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴DE=AB，∴同意小穎的作法；（2）解：過點(diǎn)A作射線AP，在線段AP上取兩點(diǎn)C、D使得AC=DC，連接BC并延長到E使得EC=BC，連接DE，則DE的長即為AB的長；∵EC=BC，AC=DC，∠ACB=∠DCE，∴△ACB≌△DCE（SAS），∴AB=DE；【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】利用SAS證明三角形全等（求線段的長度）例3．（2021?洪山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在AB上截取AE＝AC，則△BDE的周長為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用已知條件證明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，從而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周長．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周長＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是證明△ADE≌△ADC．【即學(xué)即練3】3．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EC＝6，求線段BF的長度．【答案】(1)證明見解析(2)18【分析】（1）由AB∥DE得∠B=∠DEF，已知條件中還有AB=DE，BC=EF，可以根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF；（2）若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，則EB=EC=6，所以BC=EF=12，由BF=EB+EF可以求出BF的長．（1）證明：如圖，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EC=6，∴EB=EC=6，∴BC=EB+EC=6+6=12，∴BC=EF=12，∴BF=EB+EF=6+12=18，∴線段BF的長度為18．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，找到并根據(jù)已知條件證明△ABC和△DEF全等所缺少的條件是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】利用SAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）例4．（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）如圖，已知三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且，連接，若，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求，由“”可證≌，可得．【詳解】解：三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)，平分平分，，，，，，在和中，，≌，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC的異側(cè)，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．(1)△ABE和△DCF全等嗎？請(qǐng)說明理由；(2)若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠CFD的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)102°．【分析】（1）由BF=CE，得BE=CF，再利用SAS證明△ABE≌△DCF；（2）由（1）知，∠A=∠D，∠AEB=∠DFC，可知∠D=72°，再利用三角形外角的性質(zhì)∠DFB=∠C+∠D=102°，從而得出答案．（1）證明：∵BF=CE，∴BE=CF，在△ABE與△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），（2）解：由（1）知，△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠DFC，∠A=∠D，∴∠AEC=∠DFB，∵∠A+∠D=144°，∴∠D=72°，又∵∠C=30°，∴∠DFB=∠C+∠D=102°，∴∠AEC=102°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和是解題的根據(jù)．【知識(shí)拓展5】利用SAS證明三角形全等（證明類）例5．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：(1)AP＝AQ；(2)AP⊥AQ．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，進(jìn)而得出△ABP≌△QCA，即可得出結(jié)論．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ＝90°即可．(1)證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形兩個(gè)銳角互余），∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），在△ABP和△QCA中，，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．(2)由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∵BD⊥AC（已知），∵∠P+∠CAP＝90°（直角三角形兩銳角互余），∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代換），即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握并運(yùn)用．【即學(xué)即練5】5．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，過B點(diǎn)作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，過點(diǎn)D作DF∥BC，使得DF＝BD，連接EF．求證：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）證明△ABD≌△EDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADB＝∠DFE＝90°，則可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD+∠A＝90°，∴∠ABD＝∠C；（2）∵DF∥BC，∴∠FDE＝∠C，∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠FDE，在△ABD和△EDF中，，∴△ABD≌△EDF（SAS），∴∠ADB＝∠DFE＝90°，∴DF⊥EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．能力拓展能力拓展考法01利用SAS證明三角形全等（探究類）【典例1】（2021·河南平頂山市·八年級(jí)期中）在中，，點(diǎn)在平面內(nèi)，連接并將線段繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．（1）如圖1，如果點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，線段和線段的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，如果點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．請(qǐng)僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）．

【答案】（1）；（2）成立，見解析【分析】（1）運(yùn)用“SAS”證可得；（2）運(yùn)用“SAS”證可得．【詳解】解：（1），即．是由繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，．又，，故答案為：．（2）仍然成立．證明如下：，即．是由繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，．又，，．【點(diǎn)精】全等三角形的判定和性質(zhì)．理解全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．變式1．（2021·安徽宿州市·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，為銳角，，，連接、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）與全等嗎？為什么？（2）與有何特殊的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）全等，理由見解析；（2），理由見解析【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證明三角形全等即可；（2）由已知條件根據(jù)三角形內(nèi)角和等于即可求證．【詳解】（1）全等．因?yàn)?，所以，即．在和中，，，所以．?），的特殊位置關(guān)系為．理由：由（1）知，所以因?yàn)橛忠驗(yàn)?，，所以所以．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟悉以上定理是解題的關(guān)鍵．變式2（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)、，連接．（1）探究、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)，解得，，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG，進(jìn)而證明，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可；（2）在CA上截取CG=BE,連接DG，由等腰三角形的性質(zhì)，可得，，進(jìn)而證明得到，據(jù)此方法再證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）和是等腰三角形，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG在和中，BG=CF，，在和中，DE=DE，，（2）在CA上截取CG=BE,連接DG是等腰三角形，在和中，CG=BE，在和中，F(xiàn)D=FD，【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．考法02動(dòng)態(tài)問題【典例2】（2022·遼寧沈陽·七年級(jí)期末）如圖（1），AB=10，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7，點(diǎn)P在線段AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=1秒時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由；(2)在（1）的前提條件下，判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=70°”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x個(gè)單位長度/秒，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，直接寫出相應(yīng)的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)全等，理由見解析(2)PC⊥PQ，理由見解析(3)存在，x=3個(gè)單位長度/秒或x=個(gè)單位長度/秒【分析】（1）結(jié)論：△ACP與△BPQ全等，根據(jù)SAS證明三角形全等即可；（2）結(jié)論：PC⊥PQ，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（3）分兩種情形，利用全等三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．（1）解：△ACP與△BPQ全等，理由如下：當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=3，∵AB=10，∴BP=AB﹣AP=10﹣3=7，∵AC=BP=7，∴BP=AC，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；（2）解：PC⊥PQ，理由如下：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC＋∠BPQ=∠APC＋∠ACP=90°，∴∠CPQ=90°，即PC⊥PQ；（3）解：當(dāng)t=1秒，x=3個(gè)單位長度/秒或t=秒，x=個(gè)單位長度/秒時(shí)，△ACP與△BPQ全等，理由如下：根據(jù)題意得，AP=3t，BP=10﹣3t，BQ=xt，①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP=7，AP=BQ，∴10﹣3t=7，解得：t=1（秒），則x=3（個(gè)單位長度/秒）；②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ=7，AP=BP，則3t=×10=5，解得，t=（秒），∴xt=7，解得，x=（個(gè)單位長度/秒）；故當(dāng)t=1秒，x=3個(gè)單位長度/秒或t=秒，x=個(gè)單位長度/秒時(shí)，△ACP與△BPQ全等．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．變式1．（2021·廣東·肇慶市頌德學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0≤t＜3）．(1)用含t的代數(shù)式表示PC的長度．(2)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度a為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？【答案】(1)6﹣2t(2)是，詳見解析(3)當(dāng)a＝時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等【分析】(1)直接根據(jù)時(shí)間和速度表示PC的長；(2)根據(jù)SAS證明△CQP≌△BPD即可；(3)因?yàn)辄c(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能與PC相等，則PB＝PC＝3，CQ＝BD＝4，得2t＝3，at＝4，解出即可．（1）由題意得：PB＝2t，則PC＝6﹣2t；故答案為：6﹣2t；（2）理由是：當(dāng)t＝a＝1時(shí)，PB＝CQ＝2，∴PC＝6﹣2＝4，∵∠B＝∠C，∴AC＝AB＝8，∵D是AB的中點(diǎn)，∴BD＝AB＝4，∴BD＝PC＝4，在△CQP和△BPD中，∵，∴△CQP≌△BPD（SAS）；（3）∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度不相等，∴PB≠CQ，當(dāng)△BPD與△CQP全等，且∠B＝∠C，∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，∴t＝，∴a＝4，a＝，∴當(dāng)a＝時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，主要運(yùn)用了路程=速度×?xí)r間的公式，要求熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）下列選項(xiàng)可用SAS證明△ABC≌△A′B′C′的是（

）A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形SAS的判定逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A、不滿足SAS，不能證明△ABC≌△A′B′C′，不符合題意；B、不滿足SAS，不能證明△ABC≌△A′B′C′，不符合題意；C、滿足SAS，能證明△ABC≌△A′B′C′，符合題意；D、不滿足SAS，不能證明△ABC≌△A′B′C′，不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定條件是解答的關(guān)鍵．2.（2022?欒城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上的兩點(diǎn)，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．40° D．20°【分析】先由∠1＝∠2＝120°推導(dǎo)出∠ADC＝∠AEB，再證明△ACD≌△ABE，則∠CAD＝∠BAE＝60°，再求出∠C的度數(shù)，進(jìn)而求出∠CAE的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠2＝110°，∴180°﹣∠1＝180°﹣∠2，∵∠ADC＝∠180°﹣∠1，∠AEB＝180°﹣∠2，∴∠ADC＝∠AEB，在△ACD和△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠C＝∠1﹣∠CAD＝110°﹣60°＝50°，∴∠CAE＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣110°﹣50°＝20°，∴∠CAE的度數(shù)為20°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和定理及其推論、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△ACD≌△ABE是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東深圳·七年級(jí)期末）如圖所示，為了測(cè)量出A，B兩點(diǎn)之間的距離，在地面上找到一點(diǎn)C，連接BC，AC，使，然后在BC的延長線上確定D，使，那么只要測(cè)量出AD的長度也就得到了A，B兩點(diǎn)之間的距離，這樣測(cè)量的依據(jù)是（

）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【答案】B【分析】根據(jù)SAS即可證明△ACB≌△ACD，由此即可解決問題．【詳解】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于中考?？碱}型．4．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是邊BC的中線，那么AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6【答案】D【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解．【詳解】解：延長AD至E，使DE＝AD，連接CE．∵AD是邊BC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝7．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即：2＜2AD＜12，1＜AD＜6．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：出現(xiàn)中點(diǎn)的輔助線一般應(yīng)延長中線所在的直線構(gòu)造全等三角形，這是一種非常重要的方法，要注意掌握．5．（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【分析】首先證明△DBE≌△ECF，進(jìn)而得到∠EFC＝∠DEB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠CFE＋∠FEC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠DEB＋∠FEC的度數(shù)，然后可算出∠DEF的度數(shù)．【詳解】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴∠EFC＝∠DEB，∵∠A＝50°，∴∠C＝（180°?50°）÷2＝65°，∴∠CFE＋∠FEC＝180°?65°＝115°，∴∠DEB＋∠FEC＝115°，∴∠DEF＝180°?115°＝65°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180°．6．（2021·上海市松江區(qū)九亭中學(xué)初一期中）如圖，在與中，有以下四個(gè)等式①；②；③；④，請(qǐng)以其中三個(gè)等式作條件，余下一個(gè)作結(jié)論，寫出所有的正確判斷___________________________（用形式表示）【答案】①②④③，①④③②．【分析】根據(jù)已知條件，根據(jù)三角形全等的判定方法，結(jié)合條件在圖形上的位置進(jìn)行選擇能夠判定三角形全等的條件，另一個(gè)作為結(jié)論，可得答案．【解析】解：(1)①②④?③．證明如下：∵DE=DC，DA=DB，AC=BE

∴△DCA≌△DEB（SSS）∴∠C=∠E（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）(2)①④③?②證明如下：∵，，∴△DCA≌△DEB（SAS）∴DA=DB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）故答案為：①②④?③，①④③?②．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；這是一道考查三角形全等的識(shí)別方法的開放性題目，答案可有多種，結(jié)合圖形與判定方法進(jìn)行選擇是解答本題的關(guān)鍵．7．（2021?溫嶺市八年級(jí)期中）某中學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計(jì)為35cm，由以上信息能求出CB的長度嗎？如果能，請(qǐng)求出CB的長度；如果不能，請(qǐng)說明理由．【分析】根據(jù)中點(diǎn)定義求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“邊角邊”證明△AOD和△BOC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．【解答】解：∵O是AB、CD的中點(diǎn)，∴OA＝OB，OC＝OD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴CB＝AD，∵AD＝35cm，∴CB＝35（cm），答：CB的長度為35cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，證明得到三角形全等是解題的關(guān)鍵．8．（2022·福建·廈門五緣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）命題：如圖，已知，共線，（1），那么．(1)從①和②兩個(gè)條件中，選擇一個(gè)填入橫線，使得上述命題為真命題，你選擇的條件為_______（填序號(hào)）；(2)根據(jù)你選擇的條件，判定的方法是________；(3)根據(jù)你選擇的條件，完成的證明．【答案】(1)①(2)SAS(3)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）根據(jù)（1）直接填寫即可；（3）利用SAS進(jìn)行證明．【解析】(1)解：∵，∴∠A=∠F，∵AC=EF，∴當(dāng)時(shí)，可根據(jù)SAS證明；當(dāng)時(shí)，不能證明，故答案為：①；(2)解：當(dāng)時(shí)，可根據(jù)SAS證明，故答案為：SAS；(3)證明：在△ABC和△FDE中，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了添加條件證明兩個(gè)三角形全等，正確掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AB＝CD，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AF＝CE，連接BC，求證：∠ABE＝∠D．【分析】證明△ABE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠D．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．10．（2021·北京房山·九年級(jí)期中）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝70°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，BD＝BC，連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，連接DF．求證：△BCE≌△BDF．【答案】見解析【分析】由旋轉(zhuǎn)得出BE＝BF，∠EBF＝70°，進(jìn)而得出∠DBF＝∠CBE，根據(jù)SAS即可證明△BCE≌△BDF．【詳解】∵將線段BE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，∴BE＝BF，∠EBF＝70°，∵∠ABC＝70°，∴∠EBF＝∠ABC，∴∠DBF＝70°－∠ABE＝∠CBE，在△BCE和△BDF，∴△BCE≌△BDF（SAS）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1.（2022?弋江區(qū)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上的一點(diǎn)，AC＝9，AB＝5，PB＝3，則PC的長可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】在AC上取AE＝AB＝5，然后證明△AEP﹣ABP，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到PE＝PB＝3，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊即可求解．【解答】解：在AC上截取AE＝AB＝5，連接PE，∵AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∵點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上的一點(diǎn)，∴∠CAD＝∠BAD，在△APE和△APB中，，∴△APE≌△APB（SAS），∴PE＝PB＝3，∵4﹣3＜PC＜4+3，解得1＜PC＜7，∴PC取6，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系；通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵﹒2．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點(diǎn)D，連接EB．下列結(jié)論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由“SAS”可證△ABC≌△AEF，由全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．【詳解】解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正確，∴∠BAE＝∠FAC＝40°，故①正確，∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，∴∠EFB＝∠FAC＝40°，故③正確，無法證明AD＝AC，故④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2021·山東德州·八年級(jí)期中）如圖所示，，，，，，則（

）A． B． C． D．無法計(jì)算【答案】B【分析】根據(jù)，可得，由證得與全等，得到，根據(jù)三角形外角和即可求解．【詳解】，，即，在與中，≌，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，推出≌是解題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶一中七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝110°，延長BC至點(diǎn)D使CD＝AB，過點(diǎn)C作CE∥AB且使CE＝BC，連接DE并延長DE交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)H．若∠D＝20°，則∠CFE的度數(shù)為______度．【答案】30【分析】證明△ABC≌△DCE，可得∠A=∠D=20°，然后利用三角形內(nèi)角和可得∠DEC=∠ACB=50°，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：∵CE∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△ABC與△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D＝20°，∠DEC＝∠ACB，∵∠B＝110°，∴∠ACB＝180°﹣∠B+∠A＝50°，∴∠DEC＝∠ACB＝50°，∵CE∥AB，∴∠BHF＝∠DEC＝50°，∴∠CFE＝∠AFH＝∠BHF﹣∠A＝50°﹣20°＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABC≌△DCE．5．（2022·安徽池州·八年級(jí)期末）如圖，與中，，，，交于D．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③④【分析】先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得；先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，由判斷①、③；②假設(shè)，根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，由此可得假設(shè)不成立；先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，由此即可得④是否成立．【詳解】在和中，，，，，則結(jié)論①正確；∴，則結(jié)論③正確；由三角形的外角性質(zhì)得：，又，，則結(jié)論④正確；假設(shè)，在和中，，，，即AF是的角平分線，∵AF不一定是的角平分線，∴假設(shè)不一定成立，則結(jié)論②錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論是①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt中，，是高，是外一點(diǎn)，，，若，，，求的面積．同學(xué)們可以先思考一下……，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在上截取，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得的面積為______．【答案】36【分析】先通過等量代換推出，再利用“邊角邊”證明，再通過求出的面積即可．【詳解】解：是的高，，，，，，，．在和中，，，．，，，，，．故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題中所給提示，通過證明三角形全等，將求的面積轉(zhuǎn)化為求的面積是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇泰州·七年級(jí)期末）如圖，，，，．(1)求證：．(2)圖中、有怎樣的關(guān)系？試證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，并結(jié)合圖形可推出，再根據(jù)，，結(jié)論即可得證；（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可推出，，由，，可得出，可得，由此即可解決問題．（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：結(jié)論：，．理由如下：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義．解題的關(guān)鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．8．（2021·湖北宜昌·八年級(jí)期中）在“教、學(xué)、練、評(píng)一體化”學(xué)習(xí)活動(dòng)手冊(cè)中，全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其中有“截長補(bǔ)短”作輔助線的方法．截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等．這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法．請(qǐng)用這兩種方法分別解決下列問題：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：AB－AC＞PB－PC【答案】見解析【分析】截長法：在AB上截取AN=AC，連結(jié)PN，可證得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證；補(bǔ)短法：延長AC至M，使AM=AB，連結(jié)PM，證明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三邊關(guān)系，即可求證．【詳解】解：截長法：在AB上截取AN=AC，連結(jié)PN，在△APN和△APC中∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，∴△APN≌△APC，∴PC=PN，∵△BPN中有PB－PN＜BN，即PB－PC＜AB－AC；補(bǔ)短法：延長AC至M，使AM=AB，連結(jié)PM，在△ABP和△AMP中，∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，∴△ABP≌△AMP，∴PB=PM，又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，即AB－AC＞PB－PC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，理解截長補(bǔ)短法是解題的關(guān)鍵．9.（2022?大連月考）為了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力，某校老師在八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)方案測(cè)量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測(cè)出DC的長即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測(cè)量BC的長即可．甲、乙兩個(gè)同學(xué)的方案是否可行？請(qǐng)說明理由．【分析】甲同學(xué)作出的是全等三角形，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等測(cè)量的，所以是可行的；甲同學(xué)利用的是“邊角邊”，乙同學(xué)的方案根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AB＝BC，故方案可行．【解答】解：甲、乙兩同學(xué)的方案都可行，甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：∵AD＝CD，DB⊥AC于點(diǎn)B，∴AB＝BC，∴測(cè)量出線段BC的長度就是池塘兩端A，B之間的距離，∴甲、乙兩同學(xué)的方案都可行．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形判定的“SAS”定理是解決問題的關(guān)鍵題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D為AC上的點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E在△ABC外，連接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，過點(diǎn)B作BF⊥AC交AC點(diǎn)F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，則∠FBD＝（

）A．49° B．59° C．41° D．51°【答案】C【分析】由△ABE≌△BCD（SAS），可求出∠BAE＝∠CBD＝21°，△ABC是等腰三角形，BF是底邊AC的高，可以求出∠DBF＝90°﹣（∠CBD＋∠C）.【詳解】在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BAE＝∠CBD，∵∠BAE＝21°，∠C＝28°，∴∠CBD＝21°，∴∠BDF＝∠CBD＋∠C＝21°＋28°＝49°，∵BF⊥AC，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠BDF＝90°﹣49°＝41°故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形和等腰三角形的性質(zhì)，此類題型比較靈活，但圍繞的知識(shí)點(diǎn)是固定的，解題時(shí)注意結(jié)合圖形尋找已知條件與問題之間的位置關(guān)系，把條件與問題的聯(lián)系作為主要的思考方向.2．（2022·黑龍江·集賢縣八年級(jí)期中）如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接．下列說法：①；②和面積相等；③；④．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②正確．【詳解】解：是的中線，，在和中，，，故④正確，，故①正確，，故③正確，，點(diǎn)到、的距離相等，和面積相等，故②正確，綜上所述，正確的有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的三角形的面積相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖．3．（2022·重慶·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．【答案】2【分析】延長BD到E，使DE=BD，連接AE，證明△ADE≌△CDB（SAS），可得AE=CB，∠EAD=∠BCD，再根據(jù)△ABM和△BCN是等腰直角三角形，證明△MBN≌△BAE，可得MN=BE，進(jìn)而可得BD與MN的數(shù)量關(guān)系即可求解．【詳解】解：如圖，延長BD到E，使DE=BD，連接AE，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE=CB，∠EAD=∠BCD，∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，∴AB=BM，CB=NB，∠ABM=∠CBN=90°，∴BN=AE，又∠MBN+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠MBN=∠BCA+∠BAC=∠EAD+∠BAC=∠BAE，在△MBN和△BAE中，，∴△MBN≌△BAE（SAS），∴MN=BE，∵BE=2BD，∴MN=2BD．又MN=4，∴BD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．4．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠EDF＝45°，當(dāng)AE＝a，CF＝b時(shí)，EF＝_______（用含a、b的式子表示）．【答案】a＋b##b＋a【分析】延長FC到M，使CM＝AE，連接DM，通過SAS可證明△ADE≌△CDM，得DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，再通過SAS證明△DEF≌△DMF，從而有EF＝MF＝a＋b．【詳解】解：延長FC到M，使CM＝AE，連接DM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCM＝90°，在△ADE和△CDM中，，∴△ADE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠CDM＋∠FDC＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF與△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF＝a＋b，故答案為：a＋b．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．求證：CF＝FG+CE．【答案】見解析【分析】在BC上取點(diǎn)M，使CM=CE，證明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，證明∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，然后證明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF=MF，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】證明：如圖，在BC上取點(diǎn)M，使CM=CE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，在△CDE和△CDM中，，∴△CDE≌△CDM（SAS），∴DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，∵GD=DE，

∴GD=MD，∵∠DEC+∠AEB=180°，∠DMC+∠DMF=180°，∴∠AEB=∠DMF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∴∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，∵∠A=2∠BDF，∴∠BDM=2∠BDF，∴∠FDM=∠FDG，在△DGF和△DMF中，∵，

∴△DGF≌△DMF（SAS），∴GF=MF，∴CF=CM+FM=CE+GF．∴CF=FG+CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意準(zhǔn)確作出輔助線得到△DGF≌△DMF．6．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)60°(2)45°(3)（180°﹣），證明見解析【分析】（1）連接AG．易證△ADC≌△ABE，可得DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，AD＝AB，根據(jù)G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，可得DG＝BF，即可證明△ADG≌△ABF，可得AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，即可求得∠DAB＝∠GAF，即可解題．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題；（3）根據(jù)（1）中結(jié)論即可求得∠AFG的值，即可解題．（1）連接AG．∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE．∵G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)，∴DGDC，BFBE，∴DG＝BF．在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，∴∠AGF＝∠AFG，∠DAG﹣∠BAG＝∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB＝∠GAF．∵∠DAB＝60°，∴∠GAF＝60°．

∵∠GAF+∠AFG+∠AGF＝180°，∴∠AFG＝60°；故答案為60°，（2）連接AG，如圖2，∵∠DAB＝90°，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝90°，∵AG＝AF，∴∠AFG×（180°﹣90°）＝45°；故答案為45°，（3）連接AG，如圖3，∵∠DAB＝α，∠DAB＝∠GAF，（已證）∴∠GAF＝α，∵AG＝AF，∴∠AFG（180°﹣α）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ADC≌△ABE和△ADG≌△ABF是解題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧丹東·七年級(jí)期末）如圖在△