初中數(shù)學特殊角的三角函數(shù)強化練習1

初中數(shù)學特殊角的三角函數(shù)強化練習1

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，EF與AB,BC,CE＞分別交于點E,G,F,且N1=N2=3O。，EFA.AB,

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AB//CDB.Z3=60°C.FG=-FCD.GFLCD

2

2.在町AABC中，ZC=9O°,a,b、c分別是乙4、乙B、4c的對邊，則()

A.sinA=-B.cosA=—C.sinB=-D.tanB=~

bccb

3

3.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O,BD=8,tanZABD=-,則

4

線段AB的長為（

B.2幣C.5D.10

4.如圖，AABC中，AB=AC,BC=10,ZB=36°,D為BC的中點，則AD的長是

A.5sin36°B.5cos36°C.5tan36°D.10tan36°

5.如圖，點A(2,t)在第一象限，OA與x軸所夾銳角為a,tan。=2,貝Ijt的值為

)

A.4B.3C.2D.1

6.如圖，A、B、C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則lan/B4c的

值為（）

A.工B.1C.立D.V3

23

7.在放△ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中，正確的是（）

2223

A.sinB=-B.cosB=-C.tanB=-D.tanB=—

3332

8.如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE±BD,垂足為F,則

tanZBDE的值是（）

D-T

二、填空題

9.如圖，在正方形ABCD中，A8=15,點E是以A8為直徑的圓上一動點，當

4

tanNA3E=§時，OE的長度為.

10.如圖，在矩形紙片A8C。中，40=10,4?=8,將A8沿4E翻折，使點8落在9

處，AE為折痕；再將EC沿E尸翻折，使點C恰好落在線段E9上的點C處，E尸為折

11.在RSABC中，ZC=90°,ZA=42°,BC=3?,則AC的長為.（用科學計

算器計算，結(jié)果精確到0.01)

12.如圖，矩形A3C。中，AB=8,8c=12,以。為圓心，4為半徑作。。，E為。。上

一動點，連接AE,以AE為直角邊作放△AEF,使/E4F=90。，tan/AE尸=g，則點尸

與點C的最小距離為

13.如圖，點B在x的正半軸上，且84,08于點B,將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)

60。到88'的位置，且點B'的坐標為(1,1).若反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象經(jīng)過A

且AC=28C,分別以AC、BC為邊在線段A3的同側(cè)

EG,則tanNCEG=

15.如圖1,在矩形紙片4BC。中，AB=\2,AO=10,點E是CD的中點.將這張紙片

依次折疊兩次；如圖2,第一次折疊紙片使點A與點E重合，折痕為MN,連接ME、

NE；如圖3,第二次折疊紙片使點N與點E重合，點8落在*處，折痕為”G,連接

HE,貝Ijtan/EaG=.

16.如圖，邊長為1的正方形4BCO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30。到正方形則圖中

陰影部分面積為

三、解答題

17.如圖，四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,ZABC=60°,AD=4,CD=10,求BD的

長.

18.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,BC=9,點P自點C開始，沿著射線CB運動，連

接尸￡>,作ZCDP關(guān)于直線PD對稱的4QDP.

(1)當點。落在邊人。上時，四邊形。CPQ是特殊的四邊形：；

(2)求當CP的值是多少時，點。到邊4。距離為3；

(3)當線段PQ經(jīng)過AB中點N時，若線段與A。交點為M,求tan4OQ的值：

(4)若ZA8Q為是以AQ為腰的等腰三角形時，直接寫出所有滿足條件的CP的值.

19.在直角坐標系中，過原點。及點A(8,0),C(0,6)作矩形0A8C、連結(jié)08,

點。為08的中點，點E是線段4B上的動點，連結(jié)￡>E,作DFLDE,交。4于點

F,連結(jié)EF.已知點E從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，

設(shè)移動時間為f秒.

(1)如圖1,當仁3時，求。尸的長.

(2)如圖2,當點E在線段48上移動的過程中，N3E尸的大小是否發(fā)生變化？如果

變化，請說明理由；如果不變，請求出tan/QEF的值.

(3)連結(jié)A。，當AZ)將AOEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應(yīng)的f的

值.

20.如圖，在△ABC中，AC=BC,AB=\2,tanZ/l=1.

(1)尺規(guī)作圖：以AC為直徑作。。，與A8交于點。(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)求。。的半徑長度.

21.如圖，點C是。O直徑AB上一點.過C作COL48交OO于點。，連接D4,

DB.

(1)求證：ZADC=ZABD；

(2)連接O。，過點。做。。的切線，交BA的延長線于點P.若4c=60,

4

tanZPDC=-,求BC的長.

22.如圖1是一個手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,8c可分別繞點A,B轉(zhuǎn)

動，經(jīng)測量，BC=8cm,AB=\6cm.當A8,BC轉(zhuǎn)動到NBAE=60。，ZABC=50°

時，求點C到AE的距離.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

參考數(shù)據(jù)：sin700?0.94,cos700~0.34,tan70°?2.75,6*1.73,sin500-0.77,

cos500=0.64,tan50°?1.19.

圖1圖2

參考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的判定定理，可判斷A,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可判斷B,D,根據(jù)銳角三角函

數(shù)的定義，可判斷C,進而即可得到答案.

【詳解】

解：VZ1=Z2=3O°,

ABHCD,故A正確，不符合題意；

,:EFA.AB,

：.Z3=180o-30°-90°=60%故B正確，不符合題意；

,/AB//CD,EFYAB,

：.EFLCD,即：ZGFC=90°,故D正確，不符合題意；

XV22=30°,

Atan30°=—=即：FG=&C,故C錯誤，符合題意.

CF33

故選C.

【點睛】

本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握平行線的判定和性

質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)RtAABC中,cosB,tanB,sinA的定義，進行判斷.

【詳解】

,.,RtZkABC中，sinA=—,cosA=—,sinB=—,tanB=—,

ccca

...選項C正確，選項A、B、D錯誤，

故選C.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義.關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義及其變形.

答案第1頁，共28頁

3.C

【解析】

【詳解】

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACLBD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出

AO,根據(jù)勾股定理求出AB即可.

詳解：???四邊形ABCD是菱形，

AAC±BD,AO=CO,OB=OD,

???ZAOB=90°,

VBD=8,

AOB=4,

*.*tanZABD=—=

4OB

；.AO=3,

在RSAOB中，由勾股定理得：AB=7A(?2+OB2=V32+42=5.

故選C.

點睛：本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理和解直角三角形，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的

關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

先根據(jù)等腰三角形的三線合一，說明△ABD為直角三角形，再用三角函數(shù)表示出AD的

長.

【詳解】

解：VAB=AC,D為BC的中點，

.*.BD=^BC=5,AD±BC.

在RSABD中，

，AD=tanBxBD=5tan36°.

故選：C.

答案第2頁，共28頁

【點睛】

本題考查的知識點是解直角三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一，說明AABD為直角三角

形是解此題的關(guān)鍵.

5.A

【解析】

【分析】

根據(jù)點A的坐標，利用銳角三角函數(shù)定義求出t的值即可.

【詳解】

R

如圖，過點A作AB，x軸與點B,

?.?點A在第一象限,坐標為(2,t),

，AB=t,?=(,

ABt

在RT^AOB中，tana=--=—=2,則t=4,故選A.

OB2

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的定義，熟練掌握定義即可求解.

6.B

【解析】

【分析】

連接BC,由網(wǎng)格求出AB,BC,AC的長，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角

三角形，即可求出所求.

【詳解】

如圖，連接3C,

答案第3頁，共28頁

由網(wǎng)格可得AB=BC=不，AC=M，B|JAB2+BC2=AC2,

??.△ABC為等腰直角三角形，

N8AC=45。，

貝ljtan/BAC=l,

故選：B.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

勾股定理.

7.C

【解析】

【詳解】

022

VZC-90,AC=2,BC=3,AAB=A/AC+BC=V13，

.入田生=2=亞cosB=型=2=通，tanB一任二

ABV1313ABV1313BC3

故選C.

8.A

【解析】

【分析】

證明ABEFs^DAF,得出EF=：AF,EF=|AE,由矩形的對稱性得：AE=DE,得出

EF=；DE,設(shè)EF=x,則DE=3x,由勾股定理求出DF=，￡＞爐-EF。=20人再由三角函數(shù)

定義即可得出答案.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是矩形,

；.AD=BC,AD〃BC,

???點E是邊BC的中點,

答案第4頁，共28頁

BE=-BC=—AD,

22

AABEF^ADAF,

.EFBE

?,前一訪一5'

EF=-AF,

2

.?.EF」AE,

3

???點E是邊BC的中點，

.??由矩形的對稱性得：AE=DE,

.\EF=|DE,設(shè)EF=X,則DE=3X,

；?DF=^DE^-EF1=272x,

.tan/BDE=—=-^=—

DF2瓜4

故選A.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性

質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

9.3而或3而##3后或3a

【解析】

【分析】

分點E在AB上方和下方兩種情形求解，過點E向AB,A。作垂線，運用銳角三角函數(shù)計

算即可.

【詳解】

,?,點E是以AB為直徑的圓上一動點，

?.NAEB=90°,

4AF

VtanZABE=-=——，

3BE

不妨設(shè)AE=4Z,BE=3k,

則A8=JAE2+BE?=5k=\5,

k=3,

答案第5頁，共28頁

：.AE=U,BE=9,

過點E作E/UA8,垂足為尸，EG±AD,垂足為G,

四邊形AFEG是矩形，

：.EF=AG,AF=GE,

在RfZkAE/中，

EF=AEsinZ￡AF=12x—=—,AF=AEcosZEAF=12x—=—,

155155

當點E在AB的上方半圓上時，

???四邊形ABC。是正方形，

?\AD=AB=\5,

?e?DG—AD-AG—15--二—，

55

/.DE=4DG-+GE2=J(蘆+(y)2=V153=3M；

當點E在AB的下方半圓上時，

過點E作垂足為M,ENLAD,垂足為N,

四邊形ANEW是矩形，

:.EM=AN,AM=NE,

在RSAEM中，

答案第6頁，共28頁

EM二AEsinZBAE=12x—=—,AM=AEcosZBAE=12x—=—,

155155

??,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=\5f

***DN=AD+AN=15+-—―,

55

DE=>JDN2+NE2='(孕2+(y)2=>/585=3??；

故答案為：3\/萬或35/而.

【點睛】

本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，矩形判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì),

分類思想，熟練掌握圓的基本性質(zhì)，靈活運用銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.-

4

【解析】

【分析】

連接4F,設(shè)CE=x,用x表示AE、EF,再證明/AE/"=90。，由勾股定理得通過AF進行

等量代換列出方程便可求得x,再進一步求出8C,便可求得結(jié)果.

【詳解】

解：連接AF,設(shè)CE=x,則C'E=CE=x,BE=B'E^10-x,

:四邊形A8CD是矩形，

：.AB=CD=S,AD=BC=10,ZB=ZC=ZD=90°,

：.AE2=AB2+BE2=S2+(10-x)2=164-20x+/,

EF2=CE2+CF2=X2+32=X2+9,

由折疊知，NAEB=NAEB\ZCEF^ZCEF,

,：NAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC'EF=180°,

答案第7頁，共28頁

:.乙AEF=ZAEB'+ZC'EF=90°,

：.AF2=AE2+EF2=\M-20犬+/+/+9="-20x+173,

"：AF2=AD2+DF2=102+(8-3)2=125,

；.2,20x+173=125,

解得，x=4或6,

當x=6時，EC=EC'=6,BE=B'E=8-6=2,EOB'E,不合題意，應(yīng)舍去,

：.CE=C'E=4,

：.B'C^B'E-CE^(10-4)-4=2,

VZB,=ZB=90°,AB'=AB=S,

故答案為：；.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

11.8.16.

【解析】

【分析】

根據(jù)計算器的使用，可得答案.

【詳解】

解：tan4230.9004,

亞=0.9004,

AC

AC-8.16,

故答案為8.16.

【點睛】

本題考查了計算器，正確使用計算器是解題關(guān)鍵.

12.4加一々

【解析】

【分析】

答案第8頁，共28頁

如圖，取A8的中點G,連接尸G,FC,GC,由△E4Gs△胡拉，推出/G：DE=AF：AE

44

=1：3,因為OE=4,可得/G=],推出點尸的運動軌跡是以G為圓心I為半徑的圓，

再利用兩點之間線段最短即可解決問題.

【詳解】

解：如圖，取的中點G,連接FG.FC.GC.

?NEA/=90°,tanZAEF=-,

3

AF_1

'AE-3，

?AB=8,AG=GB,

?AG=G8=4,

*AD=12,

AG41

AD123

AFAG

?瓦―茄’

?四邊形ABC。是矩形，

?NBAD=NB=NE4尸=90。，

.NFAG=NEAD,

.△MG^AEAD,

?FG：DE=AF：AE=1：3,

*DE=4,

中一4

?r(jr———,

3

4

?點尸的運動軌跡是以G為圓心m為半徑的圓,

*GC=y/GB2+BC2=V42+122=4M，

.FC>GC-FG9

答案第9頁，共28頁

FC>4V10_?

...b的最小值為4jQ-1.

故答案為：4jid-g.

【點睛】

本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵

是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

13.2+26

【解析】

【分析】

過點夕作夕。J_x軸于點D,根據(jù)于點B及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出N85O的度數(shù)，

再由直角三角形的性質(zhì)得出BO及的長，故可得出點A的坐標，進而可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖，過點8作一〃，x軸于點。，

ZABD=90°.

?線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。到8夕的位置,

:.ZABB'=60°,

：.Z5,5￡>=90°-60°=30°.

???點方的坐標為（1,1）,

：.OD=B'D=\,

：.BB'=2B'D=2,BD=—1—=6

tan300

:?OB=l+#>,AB=BB'=2,

答案第10頁，共28頁

，A(l+/2),

.?.&=2x(l+a=2+2G

故答案為：2+2石.

【點睛】

本題考查的是坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義得出

A點坐標是解答此題的關(guān)鍵.

14T.-2

【解析】

【分析】

設(shè)BC=a，則AC=2a,然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長、ZGCD=ECD=45°,進而

說明△ECG為直角三角形，最后運用正切的定義即可解答.

【詳解】

解：設(shè)BC=a,則AC=2a

?.?正方形ACOE

??.EC=J（2a）2+（2“『=2缶,NECD=gzACQ=45

同理：CG=41a,ZGCD=|ZBCD=45

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說明△ECG是直角三角形是解

答案第11頁，共28頁

答本題的關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知ME〃//G,"是MN的中點，EH是RAA/EN斜邊MN上的中線，故

有NEHG=ZAMN,設(shè)DM=x,則AM=10—x,在用△￡>附中，由勾股定理得

DE'ME—DML可求DM,AM的值，如圖，作NPLOC,四邊形4VPZ)是矩形，

ADEMS^PNE,有器=2與即！6,可求心的值，進而可求AN的值，根據(jù)

PEPN詬=歷

AN......

tanZ.AMN=---,求tanNAMV的值，進而可求tanNEWG的值.

AM

【詳解】

解：由折疊的性質(zhì)可知NMEN=9O。，ZAMN=/EMN,ME=AM,EN=AN,用是線

段硒的垂直平分線

:?HGLEN,HN=HE

：.ME//HG

??.”是MN的中點

???石”是凡ziAffiN斜邊MN上的中線

:./HME=/HEM=ZEHG

：./EHG=ZAMN

設(shè)貝i]AM=10—x

在心△￡)西中，由勾股定理得DE?=加爐_￡>〃2BP62=(10-x)2-x2

解得x=￡

34

???AM=AD-DM=—

5

如圖，作NPJ.ZX?

答案第12頁，共28頁

B'

*/ZNPE=ZEDM=ZA=90°

???四邊形4VPO是矩形

?.*NDME+NDEM=NDEM+APEN=90°

:.4DME=/PEN

：?ADEMSAPNE

學

DMDE

=麗即言6

~PE

To

解得PE=K

34

：.AN=DE+PE=—

3

374

tan/AMN=-----=

AM354

：.tanNEHG=*

3

故答案為：.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似，正切等知識.解題

的關(guān)鍵在于對知識的靈活運用.

16.1-^

3

【解析】

【分析】

設(shè)BC與CC的交點為E,連接AE,利用證明RAABE和汝AACE全等，根據(jù)全等

三角形對應(yīng)角相等/D4E=/33E,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出/D48，=60。，然后求出

/D4E=30。，再解直角三角形求出DE,然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABC。的面積-四

邊形AOE8,的面積，列式計算即可得解.

答案第13頁，共28頁

【詳解】

解：如圖，設(shè)a。與C￡＞的交點為E,連接AE,

在RrAAQE和Rt/\ADE中，

{AE^AE

[AB'=AD

：.RsAB'E四RfDE(HL),

:.ZBAE=ZDAE，

???旋轉(zhuǎn)角為30。,

」.NZM夕=60°,

//ME=L60°=30°,

2

DE=ADtanZDAE=\x—=—,

33

,陰影部分的面積二S正方形APS_2SA4DE=lxl-2xIxlx^.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，利用全

等三角形求出/D4E=/B，AE,從而求出/D4E=30。是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

17.4>/13

【解析】

【分析】

延長BA、CD交于E,求出/E,求出DE、CE長，在RSCBE中，求出BC,在

為△CBD中，根據(jù)勾股定理求出BD即可.

【詳解】

答案第14頁，共28頁

解：如圖

E

延長BA、CD交于E,

VZC=90°,ZABC=60°,

.*.ZE=180o-90°-60o=30°,

???DE=2AD=8,

，CE=10+8=18,

CE

VtanZABC=----

BC

1Q

/.tan60°=,

BC

二BC=6A/3

在RSBCD中，由勾股定理得：BD=j8C2+Cr>2=,(6國+10,=4小

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學

生運用定理進行計算的能力，題目具有一定的代表性，難度適中.

18.(1)正方形

(2)20或66

(3)巫

3

(4)26或8-2幣或8+2幣

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)特殊平行四邊形的性質(zhì)判定即可；

(2)根據(jù)。的位置在矩形內(nèi)或外分別討論，結(jié)合相似利用相似比求出點Q到邊AO距離為

答案第15頁，共28頁

3時，CP=2拒或CP=66;

(3)利用全等得出MN=PN=；PM,然后在直角三角形中利用勾股定理和三角函數(shù)定義

求解即可；

(4)若A48。是以4Q為腰的等腰三角形時，則8Q=AQ或A8=AQ,在每一種情況下再

分。的位置在矩形內(nèi)或外分別討論，最后利用勾股定理得出滿足條件的CP有2G或

8-2不或8+2"三個.

(1)

解：結(jié)論：點。落在邊上時，四邊形。CPQ是特殊的四邊形：正方形；

理由如下：在矩形48C￡＞中，ZC=ZADC=90°,

由折疊可知：DQ=DC,NPQD=NC=90。，

當點Q落在邊上時，OQ在AO上，ZC=ZQDC=ZPQD=90°,

二四邊形QCPQ是矩形，

DQ=DC,

，四邊形OCP。是正方形；

(2)

解：①若點。到邊A￡＞距離為3,則點Q在矩形ABC。內(nèi)時，過點。作MNJ.BC于點N,

交于點如圖所示：

則NBNM=NCNM=90。,

ZQPN+ZPQN=90°,

在矩形ABC。中，ZA=N8=NC=90。，AB=DC=6,AD=BC=9,

：.ZA=ZB=ZBNM=90°,

四邊形ABMW是矩形，

：.MN=AB=6,AM=BN,ZAMN=90°,QM=3,

:.QN=MN+QM=9,NDMQ=90。=NQNP,DM=BN,

答案第16頁，共28頁

根據(jù)折疊性質(zhì)可知NR2D=NC=90。，QD=CD=6,QP=CP9

/DQM+NPQN=90°,

/.ZQPN=NDQM,

...bQPNs\DQM,

.PQQNPN

'QD~DM~QM9

設(shè)CP=a,NP=b,則QP=C尸=。，DM=CN=CP+NP=a+b,

~=7=；，解得〃=26，b=也,此時C尸=2百；

6a+b3

②若點。到邊A。距離為3,則點。在矩形A3C。外時，過點。作肱VJ.8C于點N,交

AO于點"，如圖所示：

則NBNM=90。，

??.4QPN+4PQN=9伊,

在矩形A3CO中，ZA=ZB=ZC=90°,AB=DC=6,AD=BC=9,

??.ZA=ZB=/BNM=9Q。,

???四邊形ABNM是矩形，

：.MN=AB=6fAM=BN,ZAW=90%。河=3,

:.QN=MN+QM=9,/DMQ=9。。=NQNP,DM=BN,

根據(jù)折疊性質(zhì)可知NPQD=NC=90。，QD=CD=6,QP=CPf

??.ZDQM+4PQN=90°,

4QPN=/DQM,

/.\QPNs\DQM,

.PQQNPN

''QD~~DM~~QM'

設(shè)CP=〃z,NP=n,則QP=CP=〃2,DM=CN=CP—NP=m—n,

*'?-=---=",解得機=66,n=35/3,此時CP=66；

6m-n3

答案第17頁，共28頁

綜上所述，當CP=26或CP=6石，點。到邊A。距離為3：

(3)

解：當線段PQ經(jīng)過A3中點N時，如圖所示：

則AN=8N,A8=3,

2

vZA=22=90°,ZAMN=NQMD,

/.ZADQ=ZANM,

在AAMN和MPN中，

Z=/PBN=90。

，AN=BN

NANM=NBNP

.?.MMNm岫PN(ASA),

：.MN=PN=LpM,

2

在矩形A3CQ中，AD//BC,^\ZADP=ACPD,

根據(jù)折疊性質(zhì)可知"PD=NCPD，

??.ZADP=NQPD,

:.PM=DM,

:.MN=、DM,

2

設(shè)=則DW=A￡>-AM=9—c,

.?.MN=：OM=g(9-c),

在用AAMN中，由勾股定理得4,+4V2=冊,即/+32=l(9-c)

c2+6c—15=0,解得c=—3±2"，

答案第18頁，共28頁

Qc>0,

:.c=2y/6-3,即AM=26-3,

在汝AAAfiV中，lanZANM=~=^~\,

AN3

.1.tanZADQ=tanZANM=-1；

AN3

(4)

解：若AA3Q是以AQ為腰的等腰三角形時，則構(gòu)=4?；駻B=A。，①當8Q=A。時,

點Q中線段A8的中垂線上，過點。作EFLA8于點尸，交CD于點、E,如圖所示:

則AF=B尸=；A8=3,EF//AD//BC,

DE=CE=-CD=3,NDEQ=NC=90°,

2一

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知NPQD=NC=90。，QD=CD=6,NQDP=NCDP=；ZCDQ,

DE1

在HADE。中，sinZDQE=-=-,貝iJN。。石=30。,

￡7丫N

ZCDQ=90°-ZDQE=60°,

ZCDP=|ZCDQ=30°,

在RfACOP中，CP=CD?tanNCDP=2百;

②當AB=AQ=6時，DQ=DC=6,

??Q點在線段AC的中垂線上，當Q在矩形ABCD內(nèi)，過點。作MV_L4）于點M,交BC于

點N,如圖所示：

答案第19頁，共28頁

19

則ZAACV=ZZW7V=9O°,AM=DM=-AD=-,

22

在R/ADQW中，由勾股定理得QW=3S,

在矩形ABCD中，^BAD=ZABC=ZC=90°,

ZBAM=ZABN=ZAMN=90°,

四邊形ABMW是矩形，

9

■,MN=AB=6AM=BN=—，/BNM=90。,

f2

:.QN=MN-QM=6-'幣,ZPNQ=90°,CN=BC-BN=^,

由折疊性質(zhì)知QP=CP,

9

:.PN=CN-CP=--CP,

2

在RfAPQN中,CP2,

:.CP=8-2后,

當。在矩形A8C￡＞外，過點。作MN_LAD于點M,交BC于點N,如圖所示:

19

則ZAMN=N￡>A/Q=90。，AM=DM=-AD=~,

22

在用ADQM中，由勾股定理得QM=g療，

在矩形ABC。中，ZBAD=ZABC=ZC=9O0,

答案第20頁，共28頁

NBAM=ZABN=ZAMN=90°,

，四邊形A8NM是矩形，

9

.-.MN=AB=6,AM=BN=-,ZPNQ=90°,

2

:.QN=MN+QM=6+^41,CN=BC-BN=^,

由折疊性質(zhì)知QP=。，

9

:.PN=CN-CP=CP-一，

2

在RfAPQN中，由勾股定理得CP2,

:.CP=8+2不，

綜上所述，滿足條件的CP有2后或8-2g或8+2療.

【點睛】

本題考查四邊形綜合，屬于中考壓軸題，在解題過程中涉及到特殊平行四邊形的性質(zhì)與判

定、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、相似求線段長、勾股定理求線

段長等知識點，根據(jù)題目條件分類討論是解題的關(guān)鍵.

37575

19.(1)3；(2)回DEF的大小不變，tanElDEF=-；(3)3或后.

【解析】

【詳解】

(1)當t=3時，點E為AB的中點，

VA(8,0),C(0,6),

.*.OA=8,OC=6,

?點D為OB的中點，

；.DE〃OA,DE=yOA=4,

???四邊形OABC是矩形，

AOA1AB,

ADEIAB,

/.ZOAB=ZDEA=90°,

XVDF1DE,

答案第21頁，共28頁

ZEDF=90°,

.??四邊形DFAE是矩形，

，DF=AE=3；

(2)/DEF的大小不變；理由如下：

作DMJ_OA于M,DN_LAB于N,如圖2所示:

?.,四邊形OABC是矩形，

AOAIAB,

.??四邊形DMAN是矩形，

AZMDN=90°,DM〃AB,DN〃OA,

.BDBNBDAM

?.?點D為OB的中點，

AM.N分別是OA、AB的中點，

.\DM=|AB=3,DN=4OA=4,

；ZEDF=90°,

，/FDM=/EDN,

又,:ZDMF=ZDNE=90°,

.,?△DMF^ADNE,

.DFDM3

~DE~DN

,：ZEDF=90°,

DF3

..tanNDEF=-----=-；

DE4

(3)作DM_LOA于M,DN_LAB于N,

若AD將ADEF的面積分成1：2的兩部分,

答案第22頁，共28頁

設(shè)AD交EF于點G,則點G為EF的三等分點；

①當點E到達中點之前時，如圖3所示，NE=3-t,

325

AF=4+MF=--H---,

44

?.?點G為EF的三等分點,

匕),

123

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,

Sk+h=f)

把A(8,0),D(4,3)代入得:

4k+h=3

k—__

解得：v4,

b=6

3

???直線AD的解析式為y=：x+6,

把G（片子，當）代入得：t=g

12341

②當點E越過中點之后，如圖4所示，NE=t-3,

圖4

3

由△DMFsaDNE得：MF=一(t-3),

4

答案第23頁，共28頁

325

AF=4-MF=1+—,

44

?.?點G為EF的三等分點，

63

代入直線AD的解析式y(tǒng)=-43x+6得：t=—75；

417

7575

綜上所述，當AD將ADEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，t的值為7V或標.

4117

考點：四邊形綜合題.

20.(1)見解析

⑵加

【解析】

【分析】

(1)分別以點A,C為圓心，大于長為半徑畫弧交于兩點，連接這兩點交4c于點

0,以。為圓心，04為半徑作圓交AB于點。；

由tanNA=g,可得CD=2,再

(2)連