高考2023人教A版高中數(shù)學(xué)變式題3

3.3拋物線

第三章圓錐曲線的方程

3.3拋物線

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

例1(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是V=6x,求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)已知拋物線的焦點是F(0,-2),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：(1)因為p=3,拋物線的焦點在x軸正半軸上，所以它的焦點坐標(biāo)是(|,0),準(zhǔn)線

方程是

(2)因為拋物線的焦點在y軸負(fù)半軸上，且。=2,p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2=-By.

例2一種衛(wèi)星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸

截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處,

如圖3.3-3(1),已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為1m.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)

系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo).

圖3.3-3

解：如圖3.3-3(2),在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的

頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，焦點在x軸上.

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p>0).由已知條件得，點A的坐標(biāo)是(1,2.4),代入

方程，得

2.42=2px1,

即p=2.88.

所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=5.76久，焦點坐標(biāo)是(1.44,0).

練習(xí)

1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點是F(3,0)；

(2)準(zhǔn)線方程是x=-；；

4

(3)焦點到準(zhǔn)線的距離是2.

［答案］(1)y2=12x；(2)y2=x；(3)y2=±4x或/=±4y.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)根據(jù)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離可寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】(1)由題意可知拋物線的焦點在x軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=

2px,

則：=3,可得p=6,所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=i2x；

(2)由題意可知拋物線的焦點在支軸的正半軸上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,

則一：=一：，可得p=%因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=x；

(3)拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為p=2,

所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=±4x或/=±4y.

2.求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

(l)y2=20%；

⑵/=|y；

(3)2y2+5x=0；

(4)x2+8y=0.

【答案】(1)焦點坐標(biāo)為(5,0),準(zhǔn)線方程為％=-5.

(2)焦點坐標(biāo)為(0,；),準(zhǔn)線方程為y=-3

8o

(3)焦點坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為x=g.

(4)焦點坐標(biāo)為(0,-2),準(zhǔn)線方程為y=2.

【分析】先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由拋物線的性質(zhì)，可得拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線

方程.

(I)

解：,??y2=20x,

:.2P=20,即p=10,

???拋物線V=20%的焦點坐標(biāo)為(5,0),準(zhǔn)線方程為x=-5.

試卷第2頁，共20頁

⑵

解：x2=1y,

:.2p=p即p=%

???拋物線/=%的焦點坐標(biāo)為(0,)準(zhǔn)線方程為y=-1

28o

(3)

解：v2y2+5%=0,

??25

?Jy/=——2X

?**2p=-即口=一

拋物線2y2+5%=0的焦點坐標(biāo)為(一|,0),準(zhǔn)線方程為x=I，

(4)

解：v%24-8y=0,

.?.x2=—8y,

:.2p=-8,即p=-4,

???拋物線％2+8y=0的焦點坐標(biāo)為(0,—2),準(zhǔn)線方程為y=2.

3.填空

(1)拋物線丫2=2「％8>0)上一點用與焦點的距離是。((1>3,則點M到準(zhǔn)線的距

離是，點M的橫坐標(biāo)是；

(2)拋物線*=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標(biāo)是.

【答案】aa-\(6,6位)或(6,—6或)

【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義可得點M到準(zhǔn)線的距離，寫出準(zhǔn)線方程即可得解；

(2)寫出拋物線y2=12%的準(zhǔn)線方程，設(shè)出所求點的坐標(biāo)，列式即可作答.

【詳解】(1)由已知結(jié)合拋物線定義得點M到準(zhǔn)線的距離是“；

拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-§,設(shè)M的橫坐標(biāo)%0(%0>0)，于是有出一

(-j)=a,即%o=a-g,

所以點M到準(zhǔn)線的距離是出點M的橫坐標(biāo)是a-a

(2)拋物線y2=12x的準(zhǔn)線x=-3,設(shè)所求點坐標(biāo)為(打,月)，

由⑴知勺=6,此時資=12刀1=72,即=+6V2,

所以所求點坐標(biāo)這(6,6&)或(6,-6四).

故答案為：⑴a；a-a⑵(6,6⑨或(6,-6食)

3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)

例3已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點M(2,-2&),求它的標(biāo)

準(zhǔn)方程.

解：因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點M(2,-2或)，所以可設(shè)它

的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2=2Px(p>0).

因為點M在拋物線上，所以

(-2V2)2=2pX2,

解得p=2.

因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

y2=4%.

例4斜率為1的直線1經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點，

求線段4B的長.

分析：由拋物線的方程可以得到它的焦點坐標(biāo)，又直線1的斜率為1,所以可以求出直

線1的方程；與拋物線的萬程聯(lián)立，可以求出A,B兩點的坐標(biāo)；利用兩點間的距離公

式可以求出|48|.這種方法思路直接，具有一般性.請你用此方法求|4B|.

下面介紹另外一種方法——數(shù)形結(jié)合的方法.

在圖3.3-4中，設(shè)4(X1，%)，B(x2,y2).由拋物線的定義可知，|4F|等于點A到準(zhǔn)線的

距離由p=2,^=1,得=/+:=巧+1,于是+1.同理，田尸|=

\BB'\=x2+^=x2+l,于是得

\AB\=\AF\+\BF\=+%2+P=+%2+2.

由此可見，只要求出點A,B的橫坐標(biāo)之和％1+犯，就可以求出|48|.

解：由題意可知，p==1,焦點F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.如圖3.3-4,

設(shè)B(x2,y2),A,B兩點到準(zhǔn)線的距離分別為服，dB.由拋物線的定義，可

知

\AF\=服=%+1,\BF\=盛=%2+1，

于是

\AB\=\AF\+\BF\=/+小+2.

因為直線1的斜率為1,且過焦點尸(L0),所以直線1的方程為

y=x—1.①

試卷第4頁，共20頁

將①代入方程y2=4x,得(x—1)2=4X,化簡，得

%2—6尤+1=0.

所以

X]+%2=6,

\AB\=+*2+2=8.

所以，線段AB的長是8.

練習(xí)

4.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)關(guān)于x軸對稱，并且經(jīng)過點M(5,-4)；

(2)關(guān)于)，軸對稱，準(zhǔn)線經(jīng)過點E(5,—5)；

(3)準(zhǔn)線在y軸的右側(cè)，頂點到準(zhǔn)線的距離是4；

(4)焦點尸在y軸負(fù)半軸上，經(jīng)過橫坐標(biāo)為16的點尸，且即平行于準(zhǔn)線.

【答案】(l)y2=yx.(2)x2=20y.(3)y2=-16x.(4)x2=—32y.

【分析】(1)設(shè)出拋物線方程代入點的坐標(biāo)即可求得拋物線方程.(2)先求得準(zhǔn)線方程，利

用準(zhǔn)線方程求得p的值，求得拋物線方程.(3)利用拋物線的幾何性質(zhì)求得p,求得拋物線

方程.(4)利用焦半徑公式及拋物線的幾何性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),.

:拋物線過點M(5,-4),

16=10p,p=1

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為必

(2)..?拋物線關(guān)于y軸對稱，且準(zhǔn)線過點E(5,-5),

...拋物線的焦點在y軸正半軸上，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=2py(p>0),

由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-5,

所以：=5,得p=10,

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=20y.

(3)拋物線的準(zhǔn)線在y軸右側(cè)，

可設(shè)拋物線的方程為y2=-2Px(p>0),

???拋物線頂點到準(zhǔn)線的距離是4,

所以：=4,得p=8,

，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=-16x.

(4)拋物線的焦點F在y軸負(fù)半軸，

，可設(shè)拋物線的方程為/=-2py(p>0),

???拋物線經(jīng)過橫坐標(biāo)為16的點P,

162=-2py,：.y=一粉

又尸尸平行于準(zhǔn)線，；.一半=一日

2p2

=16

.,?拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為M=-32y.

5.在同一坐標(biāo)系中畫出下列拋物線，觀察它們開口的大小，并說明拋物線開口大小與

方程中x的系數(shù)的關(guān)系：

(1)y2=|x；(2)y2=x；

(3)y2=2x；(4)y2=4x.

【答案】圖象如圖，x的系數(shù)的絕對值越大，拋物線的開口越大.

【分析】作出拋物線圖象，得X的系數(shù)的絕對值越大，拋物線的開口越大.

【詳解】解:拋物線如圖，尤的系數(shù)的絕對值越大,拋物線的開口越大.

6.過點M(2,0)作斜率為1的直線/,交拋物線'2=效于A,B兩點，求A8.

【答案】4V6

【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用弦長公式，計算求值.

【詳解】直線l:y=x-2與拋物線方程聯(lián)立

y=x-2

.,得/-8x+4=0,

.y2=4%

4=64-16=48>0,設(shè)4Q1，y。BQ?,丁2)，

試卷第6頁，共20頁

+%2=8,X-y%2=4,

2

所以|4B|=V1+kx+&）2-4XI%2=V2xV64-16=4-76.

7.垂直于x軸的直線交拋物線y2=較于4,B兩點，且|4B|=4四，求直線AB的方

程.

【答案】x=3

【分析】先根據(jù)弦長求得A,B的坐標(biāo)，代入拋物線方程可得.

【詳解】解：???垂直于x軸的直線交拋物線）a=以于4、8兩點，旦|A用=4仃，

，A（x,2次），B（x,一2次），

代入拋物線方程可得：12=4x,x=3

直線48的方程為x=3.

例5經(jīng)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線

交拋物線的準(zhǔn)線于點D,求證：直線。B平行于拋物線的對稱軸.

分析：我們用坐標(biāo)法證明這個結(jié)論，即通過建立拋物線及直線的方程，運用方程研究直

線DB與拋物線對稱軸之間的位置關(guān)系.建立如圖3.3-5所示的直角坐標(biāo)系，只要證明點

D的縱坐標(biāo)與點B的縱坐標(biāo)相等即可.

圖3.3-5

證明：如圖3.3-5,以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐

標(biāo)系xOy.設(shè)拋物線的方程為

y2=2px[p>0）,①

點A的坐標(biāo)為篇,均）伍H0）,則直線。4的方程為

y=-x,②

yo

拋物線的準(zhǔn)線方程是％=g.③

聯(lián)立②③，可得點D的縱坐標(biāo)為一/.

yo

因為焦點F的坐標(biāo)是6,0）,當(dāng)羽op?時，直線4尸的方程為

yyS-P2

聯(lián)立①④，消去X,可得y()y2-(y,-p2)y-yop2=0,即

(y-yo)Ooy+P2)=。，

可得點B的縱坐標(biāo)為-貯，與點D的縱坐標(biāo)相等，于是DB平行于x軸.

當(dāng)光=p2時，易知結(jié)論成立.

所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸.

例6如圖3.3-6,已知定點B(a,-h),BC1x軸于點C,M是線段08上任意一點,MD1%

軸于點D,D,ME1BC于點E,0E與MD相交于點P,求點P的軌跡方程.

圖3.3-6

解：設(shè)點P(x,y),M(x,m),其中04久4a,則點E的坐標(biāo)為(a,m).

由題意，直線0B的方程為

y=--x.①

a

因為點M在0B上，將點M的坐標(biāo)代入①，得

m=--x,②

a

所以點P的橫坐標(biāo)X滿足②.

直線0E的方程為

因為點P在0E上，所以點P的坐標(biāo)(x,y)滿足③.

將②代入③，消去m,得

X2=-yy(o《X(a),

即點P的軌跡方程.

練習(xí)

8.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點/關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為M(0,—9)；

(2)關(guān)于)，軸對稱，與直線y=-12相交所得線段的長為12；

試卷第8頁，共20頁

(3)關(guān)于x軸對稱，以焦點和準(zhǔn)線上的兩點為頂點的三角形是邊長為2次的等邊三角形.

【答案】(1)x2=12y；(2)x2=—3y；(3)y2=6x或y?——6x.

【分析】用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】(1)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2py(p>0),焦點尸(0,9,準(zhǔn)線

Z：，y—2

因為焦點尸關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為M(0,-9),

所以p=-：-(-9),解得：p=6,

所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=12y.

(2)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=-2py(p>0),

因為直線y=-12與拋物線相交所得線段的長為12,

所以點(6,-12)在拋物線上，代入得：62=-2p(-12)(p>0),解得：2P=3,

所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：%2=-3y.

(3)由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：產(chǎn)=22丫3>0)或/=-2「曠。>0),

當(dāng)焦點在x軸正半軸上時，

因為△〃可尸為等邊三角形，且|“川=2百，

貝|J|DF|=|MF|sin60°=2V3Xy=3,即p=3,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=6x.

同理可求，當(dāng)焦點在x軸負(fù)半軸上時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=-6x.

9.點在拋物線y2=24x上，尸為焦點，直線M尸與準(zhǔn)線相交于點M求|FN|.

【答案】15

【分析】先求出點"坐標(biāo)，再求出直線方程，進而求出點N坐標(biāo)即可得解.

【詳解】因點M(?n,4)在拋物線y2=24%上，則24m=4?=m=|,即M(|,4),而焦點

?(6,0),

直線MF：y—(x—6),即'=—[%+￡而拋物線y2=24%的準(zhǔn)線為％=-6,

3

(__39_____________________________

由y—十號得點可(一6,9)JFN|=7(-6-6)2+(9-0)2=15,

I%=—6

所以|FN|=15.

10.設(shè)拋物線％2=2py(p>0)上的點”與焦點F的距離為4,點M到y(tǒng)軸的距離為歷，

求拋物線的方程和點M的坐標(biāo).

【答案】/=10y；(±4運|).

【分析】根據(jù)拋物線定義，用?表示點M的縱坐標(biāo)，進而將點M的坐標(biāo)表示出，再代

入拋物線方程即可作答.

【詳解】拋物線/=2py(p>0)的準(zhǔn)線方程為y=—旨設(shè)點M的縱坐標(biāo)為y°,

由已知結(jié)合拋物線定義得出-(一鄉(xiāng)=4=y°=4-3又點何到y(tǒng)軸的距離為歷，

于是得點M(±7^i,4而點M在拋物線刀2=2py上，

從而有(士，而>=2p(4一》整理得p2=5p,而p>0,解得p=5,

所以拋物線的方程為產(chǎn)=10y,點M的坐標(biāo)為(±V1瓦|).

11.兩條直線y=kx和y=-/cx分別與拋物線y2=2px(p>0)相交于不同于原點的A,

3兩點，％為何值時，直線AB經(jīng)過拋物線的焦點？

【答案】k=+2

【分析】易得A,8兩點關(guān)于x軸對稱，聯(lián)立直線與拋物線方程求得焦點坐標(biāo)即可列出

式子求解.

【詳解】???直線y=依和y=-h斜率互為相反數(shù)，且都過原點，則兩直線關(guān)于％軸對稱，

又拋物線y2=2Px(p>0)關(guān)于x軸對稱，焦點坐標(biāo)為(卷0),

則A,B兩點關(guān)于x軸對稱，

_2p

{；國，即4倍留，則B償，-等

要使直線A8經(jīng)過拋物線的焦點，則黃=多解得A=±2,

所以當(dāng)k=±2時，直線AB經(jīng)過拋物線的焦點.

試卷第10頁，共20頁

12.已知圓心在y軸上移動的圓經(jīng)過點4(0,5),且與x軸、y軸分別交于8(x,0),C(0,y)

兩個動點，求點M(x,y)的軌跡方程.

【答案】x2=-5y

【分析】利用給定條件表示出圓心坐標(biāo)，再由圓上的點到圓心距離相等即可作答.

【詳解】因圓心在y軸上移動，且該圓過點4(0,5)和(7(0,/，則線段AC是圓的直徑，

圓心。1(0,個)，

而點B(x,0)在圓上，則|。$|=||>4C|,即卜+管￥=：|'一5|,化簡整理得》2=-5y,

所以點M(無,y)的軌跡方程/=-5y.

習(xí)題3.3

復(fù)習(xí)鞏固

13.求下列拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

(l)x2=2y；

(2)4x2+3y=0；

(3)2y2+x=0；

(4川—6x=0.

【答案】(1)焦點坐標(biāo)為(01)，準(zhǔn)線方程為：y=—?

(2)焦點坐標(biāo)為(0,一橙)，準(zhǔn)線方程為：y=~

(3)焦點坐標(biāo)為(-j0),準(zhǔn)線方程為：

(4)焦點坐標(biāo)為(一也0),準(zhǔn)線方程為:x=i;

【分析】先將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再由拋物線的性質(zhì)，可得拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線

方程.

(1)

解：拋物線/=2y的焦點坐標(biāo)為(0*),準(zhǔn)線方程為：y=-i；

(2)

解：拋物線4/+3y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=一/拋物線的焦點坐標(biāo)為(0,一5，準(zhǔn)

線方程為：y=L.

1O

(3)

解：拋物線2y2+》=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=_lx)拋物線的焦點坐標(biāo)為(一,0),準(zhǔn)線

方程為：X=^；

8

(4)

解：拋物線y-6x=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=6x,拋物線的焦點坐標(biāo)為(|,0),準(zhǔn)線方

程為：x=-|.

14.填空題

(1)準(zhǔn)線方程為x=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

(2)拋物線y2=8x上與焦點的距離等于6的點的坐標(biāo)是.

【答案】y2=—8%(4,±4四)

【分析】(1)利用拋物線的性質(zhì)得￡=2,得p=4,從而求得拋物線方程.(2)利用焦

半徑公式求得該點坐標(biāo).

【詳解】解：(1)準(zhǔn)線方程為x=2,則々=2,得p=4,且焦點在x軸上，故拋物線方

程為y2=-8%；

(2)設(shè)所求的點坐標(biāo)為P(x,y),拋物線y2=8x上與焦點的距離等于6,則x+2=6,

得x=4,代入拋物線方程得y=±4&,故所求點坐標(biāo)為(4,±4心).

15.已知拋物線必=2px(p>0)上一點M與焦點F的距離|MF|=2p,求點M的坐標(biāo).

【答案】gp,±V3p)

【分析】利用拋物線的定義可M點的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求出M的坐標(biāo).

【詳解】因為拋物線y2=2px(p>0)上一點M與焦點尸的距離|M可=2p,

所以+(=2p,

所以x*=進而有=±V3p,

所以點M的坐標(biāo)為：(|p,±V3p)

故答案為：(|p,±Wp)

16.根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫出圖形：

(1)頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6；

(2)頂點在原點，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點P(-6,-3).

【答案】(1))?=±24x,圖見解析；(2)/=-12y,圖見解析.

【分析】(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：V=2px,根據(jù)頂點與焦點的距離百=6,求出p

值，可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

試卷第12頁，共20頁

(2)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=2py,根據(jù)拋物線經(jīng)過點P(-6,-3),求出p值,

可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：(1)???拋物線頂點在原點，對稱軸是x軸，

???設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：k=2px,

又,?,頂點與焦點的距離百=6,

.?-/?=±12,

.?.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=±24x；

(2):頂點在原點，對稱軸是)，軸,

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：f=2py,

又???拋物線經(jīng)過點P(-6,-3).

...36=-6p,

解得：p—-61

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-12y.

17.如圖，M是拋物線產(chǎn)=軌上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，以以為始邊、FM為終

邊的角NXFM=60。，求|FM|.

【答案】|FM|=4

【分析】求出拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程并作出，過M作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義

結(jié)合所給角即可作答.

【詳解】拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=—1,過M作MB垂直于直線x=-l,垂足為8,

作品，MB于A,直線x=-l與x軸交于點K,如圖：

則“8〃》軸，即NFMB=zxFM=60°,四邊形ABKF是矩形，Rt/kMFZ中，|M4|=

由拋物線定義知|MB|=|尸M|,F(l,0),而|MA|+|AB|==|KF|=2,

則+2=|FM|,解得|FM|=4,

所以|FM|=4.

18.如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點，求證：04_LOB.

【答案】證明見解析.

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消元成一元二次方程，借助韋達(dá)定理求出工62/,2即

可得解.

V=x-2/

{；2=2X得必一2'-4=0,設(shè)4014),8。2，、2)，

則有y^yi=—4，—~,學(xué)="ij'-=4,0A?0B—x-[%2+=4+(—4)—0,

試卷第14頁，共20頁

即函1OB,

所以。41OB.

19.如圖，吊車梁的魚腹部分AOB是拋物線的一段，寬為7m,高為0.7m.根據(jù)圖中

的坐標(biāo)系，求這條拋物線的方程.

【答案】/=會，ye[0,^]

【分析】根據(jù)圖形設(shè)出拋物線的方程，把點A或8的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的方程.

【詳解】解：根據(jù)圖形，設(shè)拋物線的方程為y=o?(a>0),

則該拋物線過點B(1,0.7),

.\aX(1)2=0.7,解得“=總

???該拋物線的方程為產(chǎn)訝即/=8，ye[0,書

20.圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時，拱頂離水面2m,水面寬4m.水面下降1m

后，水面寬多少？(精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)遍?2.450).

【分析】建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出點4(2,-2),將其代入拋物線解析式y(tǒng)=a/求

出a,即可得函數(shù)解析式，再令y=-3即可得出答案.

【詳解】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

根據(jù)題意知點4的坐標(biāo)為(2,-2),

設(shè)拋物線解析式為y=ax2,

將點4(2,-2)代入,得：4a=-2,

解得：a=-：,

...y=-|x2,

當(dāng)y=-3時，W—3=~~x2,

解得：x=±A/6,

???水面的寬度為2乃?4.9m.

綜合運用

21.從拋物線y2=2px(p>0)上各點向x軸作垂線段，求垂線段的中點的軌跡方程，

并說明它是什么曲線.

【答案】y2=；「尤頂點在原點，焦點為?,()),開口向右的拋物線.

【分析】設(shè)出拋物線上的點M(xo,%)及它向x軸所作垂線段的中點戶的坐標(biāo)，再探求

出它們的關(guān)系即可作答.

【詳解】設(shè)拋物線上的點M(xo,yo),過M作軸于Q,設(shè)線段MQ中點P(x,y),

于是有｛。=2y，而羽=2PW即(2y)2=2px,從而得y2=ipx,

當(dāng)何為拋物線頂點時，可視為過M作x軸垂線的垂足。與點M重合，其中點P與M

重合，坐標(biāo)也滿足上述方程，

所以垂線段的中點的軌跡方程是y2=：px,它是頂點在原點，焦點為e,())，開口向右

Lo

的拋物線.

22.正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2px(p>0)上，求

這個正三角形的邊長.

試卷第16頁，共20頁

【答案】4V3p

【解析】設(shè)另外兩個頂點的坐標(biāo)分別為4(乙,%)、8(g，、2)，由圖形的對稱性可以得

到枕=tan30。，解此方程得到y(tǒng)1的值，從而可得結(jié)果.

X1

【詳解】設(shè)正三角形。4B的頂點A、B在拋物線上，且設(shè)點4(%i，yi)、B(x2,y2),

則比=2p%i，yl=2px2,

又|0A|=\0B\,4-yf=xf+yh即(者—xf)+2p(%i-x2)=°，

,?(%i—%2)(%i+%2+2p)=0,又x2>0,2p>0,

A%1=如由此可得仇|=山1，即線段4B關(guān)于％軸對稱，

??”軸垂直于AB,且乙4。%=30°,

.=tan30°=—,

xx3

..yl

?Xi=一,

12P

??%=2V3p,

\AB\=2yl=4^3p.

23.已知A,3兩點的坐標(biāo)分別是(—1,0),(1,0),直線AM,3M相交于點M,且直線

AM的斜率與直線的斜率的差是2,求點M的軌跡方程.

【答案】y=1-x2,('H±1)

【分析】設(shè)P(%,y),該M—ABM=±—+=2,由此能求出動點P的軌跡方程.

X+lX-1

【詳解】解：設(shè)

則k?iM-MM=*-三=2，

整理，得y=l-%2,

??.動點P的軌跡方程是y=l-M,(XR±1).

故答案為：y=l—%2,(%#：±1).

拓廣探索

24.已知拋物線的方程為V=4x,直線/繞點P(-2,l)旋轉(zhuǎn)，討論直線/與拋物線y2=4x

的公共點個數(shù)，并回答下列問題：

(1)畫出圖形表示直線/與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線/與拋物線只有

一個公共點時是什么情況？

(2)y2=4x與直線/的方程組成的方程組解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關(guān)系？

【答案】(1)相切或相交于一點；(2)相等.

【分析】(1)在同一坐標(biāo)系下，作出拋物線，再作過點P的一系列直線，觀察所畫圖形

即可得解；

(2)聯(lián)立直線/與拋物線的方程組，討論方程組解的情況與觀察圖形所得交點個數(shù)比對即

可得解.

【詳解】(1)直線I與拋物線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種，如圖：其中相交時有

相交于兩個公共點和相交只有一個公共點(圖中直線16),

觀察圖形知，直線/與拋物線只有一個公共點時，直線/與拋物線相切(圖中直線//,12)

和相交于一個公共點(圖中直線/o與x軸平