商務(wù)統(tǒng)計(jì)學(xué)課件-參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)6.1參數(shù)估計(jì)的基本原理6.2總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1Applied

Statistics

學(xué)習(xí)目標(biāo)2參數(shù)估計(jì)的基本原理點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)單個(gè)與兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)樣本量的確定方法6.1參數(shù)估計(jì)的基本原理6.1.1點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)6.1.2

點(diǎn)估計(jì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)3Applied

Statistics4點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)

(pointestimate)5用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無法給出估計(jì)的可靠性的度量區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)6在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在75～85之間，置信水平是95%樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限7點(diǎn)估計(jì)的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)無偏性

(unbiasedness)8無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于

被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏無偏性

(unbiasedness)9

定義

若估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望存在，且對于任意有，則稱是的無偏估計(jì)量。其中，是總體的一個(gè)樣本，是包含在總體的分布中的待估參數(shù)，是的取值范圍。

被稱為以作為的估計(jì)的系統(tǒng)誤差。無偏估計(jì)的實(shí)質(zhì)上就是無系統(tǒng)誤差。偏誤：有效性

(efficiency)10有效性：對同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB

的抽樣分布

的抽樣分布P(

)有效性

(efficiency)11

定義設(shè)與都是的無偏估計(jì)量，若有，則稱較有效。最小均方誤差12

問題：若估計(jì)量和的情況為：但，此時(shí)何者為優(yōu)？均方誤差：最小均方誤差13最小均方誤差14

例已知真值，估計(jì)量，如何評價(jià)這兩個(gè)估計(jì)量，哪一個(gè)好一點(diǎn)？解：故較優(yōu)。一致性

(consistency)15一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)一致性

(consistency)16

定義設(shè)為參數(shù)的估計(jì)量，若對于任意的，當(dāng)時(shí)，依概率收斂于則稱為一致估計(jì)量。6.2總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)6.2.1總體均值的區(qū)間估計(jì)6.2.2總體比例的區(qū)間估計(jì)6.2.3總體方差的區(qū)間估計(jì)6.2.4樣本容量的確定17Applied

Statistics18總體均值的區(qū)間估計(jì)單個(gè)總體均值區(qū)間的一般表達(dá)式19總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值加減估計(jì)誤差得到的估計(jì)誤差由兩部分組成：一是點(diǎn)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它取決于樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。二是估計(jì)時(shí)所要求的置信水平為1-

時(shí)，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積各為

/2的分位數(shù)值，它取決于事先所要求的可靠程度總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為樣本均值±分位數(shù)值×樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差兩個(gè)總體均值區(qū)間的一般表達(dá)式20兩個(gè)總體均值的置信區(qū)間是由兩個(gè)樣本均值之差加減估計(jì)誤差得到的估計(jì)誤差由兩部分組成：一是點(diǎn)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它取決于樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。二是估計(jì)時(shí)所要求的置信水平為1-

時(shí)，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積為

/2的分位數(shù)值，它取決于事先所要求的可靠程度兩個(gè)總體均值之差(

1-

2)在1-

置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為(

x1-

x2)±分位數(shù)值×(

x1-

x2)的標(biāo)準(zhǔn)誤差21總體比例的區(qū)間估計(jì)單個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)221. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于10使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z3.總體比例P在1-

置信水平下的置信區(qū)間為樣本比例±分位數(shù)值×樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤差單個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)23【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%單個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(現(xiàn)代方法)24按照傳統(tǒng)方法計(jì)算出來的置信水平為(1-

)的置信區(qū)間能夠覆蓋總體真實(shí)比例的概率小于(1-

)，既使是大樣本也是如此，更不可能應(yīng)用于小樣本根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則：傳統(tǒng)方法要求np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于10(也有些書上說大于5)對于非常大的樣本，傳統(tǒng)方法和現(xiàn)代方法的結(jié)果幾乎相同，但對于小樣本或中等樣本現(xiàn)代方法更適用單個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(現(xiàn)代方法)25通過修正試驗(yàn)次數(shù)n(樣本量)和試驗(yàn)成功的比例p(樣本比例)改進(jìn)置信區(qū)間將試驗(yàn)次數(shù)n加上4，即用代替n；將試驗(yàn)成功的次數(shù)x加上2，即用代替p對于任意大小的樣本都可以使用該方法計(jì)算置信區(qū)間只是在樣本較小時(shí)，偶爾會有區(qū)間下限小于0或區(qū)間上限大于1的情況發(fā)生。此時(shí)可用0代替小于0的下限，用1代替大于1的上限單個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(現(xiàn)代方法)26設(shè)總體服從二項(xiàng)分布，即X~B(n，p)，x為n次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù)，p為成功的概率定義和總體比例P在1-

置信水平下的置信區(qū)間該區(qū)間也稱為Agresti-Coull區(qū)間(由AlanAgresti和BrentCoull給出，以其姓氏命名)如果下限小于0則用0代替；如果上限大于1則用1代替單個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(現(xiàn)代方法)27【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為47.72%~79.12%兩個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)281. 假定條件兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似兩個(gè)樣本是獨(dú)立的n1p1和n1(1-p1)，n2p2和n2(1-p2)，均應(yīng)該大于102. 兩個(gè)總體比例之差P1-P2在1-

置信水平下的置信區(qū)間為(p1-p2)±分位數(shù)值×(p1-p2)的標(biāo)準(zhǔn)誤差兩個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)29【例】在某個(gè)電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，城市隨機(jī)調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目；農(nóng)村隨機(jī)調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目。試以95%的置信水平估計(jì)城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間兩個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(傳統(tǒng)方法)30解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-

=95%，z/2=1.96

P1-P2置信度為95%的置信區(qū)間為城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%~19.32%兩個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(現(xiàn)代方法)31通過修正試驗(yàn)次數(shù)n1、n2(樣本量)和試驗(yàn)成功的比例p1、p2(樣本比例)改進(jìn)置信區(qū)間將試驗(yàn)次數(shù)n1和n2各加上2，即用代n1，代替n2；將試驗(yàn)成功的次數(shù)x1和x1各加上1，即用代替p1，用代替p2對于任意大小的樣本都可以使用該方法計(jì)算置信區(qū)間兩個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

(現(xiàn)代方法)32設(shè)兩總體都服從二項(xiàng)分布，即X1~(n1，p1)，X2~(n2，p2)。x1為n1次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù)，p1為成功的概率，x2為n2次獨(dú)立伯努利試驗(yàn)成功的次數(shù)，p2為成功的概率定義，；，P1-P2在1-

置信水平下的置信區(qū)間該區(qū)間也稱為Agresti-Caffo區(qū)間(由AlanAgresti和BrianCaffo給出，以其姓氏命名)如果下限小于-1則用-1代替；如果上限大于1則用1代替單個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))33兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

(小結(jié))3435樣本容量的確定估計(jì)單個(gè)總體均值時(shí)樣本量的確定36估計(jì)總體均值時(shí)樣本量n為樣本量n與總體方差

2、允許估計(jì)誤差、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許估計(jì)誤差的平方成反比與可靠性系數(shù)成正比樣本量的圓整法則：當(dāng)計(jì)算出的樣本量不是整數(shù)時(shí)，將小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)值一律進(jìn)位成整數(shù)，如24.68取25，24.32也取25等等其中：允許估計(jì)誤差估計(jì)單個(gè)總體均值時(shí)樣本量的確定37【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計(jì)年薪95%的置信區(qū)間，允許估計(jì)誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本量？估計(jì)單個(gè)總體均值時(shí)樣本量的確定38解:已知

=2000，=400,1-

=95%，z/2=1.96

應(yīng)抽取的樣本量為即應(yīng)抽取97人作為樣本估計(jì)兩個(gè)總體均值時(shí)樣本量的確定39設(shè)n1和n2為來自兩個(gè)總體的樣本，并假定n1=n2根據(jù)均值之差的區(qū)間估計(jì)公式可得兩個(gè)樣本的容量n為估計(jì)兩個(gè)總體均值時(shí)樣本量的確定40【例】一所中學(xué)的教務(wù)處想要估計(jì)試驗(yàn)班和普通班考試成績平均分?jǐn)?shù)差值的置信區(qū)間。要求置信水平為95%，預(yù)先估計(jì)兩個(gè)班考試分?jǐn)?shù)的方差分別為：試驗(yàn)班

12=90，普通班

22=120。如果要求估計(jì)的誤差范圍不超過5分，在兩個(gè)班應(yīng)分別抽取多少名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查？English估計(jì)兩個(gè)總體均值時(shí)樣本量的確定41解:已知

12=90，22=120，=5,1-

=95%，z/2=1.96即應(yīng)抽取33人作為樣本估計(jì)單個(gè)總體比例時(shí)樣本量的確定42根據(jù)比例區(qū)間估計(jì)公式可得樣本量n為

的取值一般小于0.1

P未知時(shí)，可取使方差達(dá)到最大的值0.5估計(jì)單個(gè)總體比例時(shí)樣本量的確定43【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計(jì)，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求估計(jì)誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品作為樣本？解:已知p=90%，

=0.05，z/2=1.96，

=5%

應(yīng)抽取的樣本量為

應(yīng)抽取139個(gè)產(chǎn)品作為樣本估計(jì)兩個(gè)總體比例時(shí)樣本量的確定44設(shè)n1和n2為來自兩個(gè)總體的樣本，并假定n1=n2根據(jù)比例之差的區(qū)間估計(jì)公式可得兩個(gè)樣本的容量n為估計(jì)兩個(gè)總體比例時(shí)樣本量的確定45【例】一家瓶裝飲料制造商想要估計(jì)顧客對一種新型飲料認(rèn)