大一高數(shù)期末考試題

一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題

4分，共16分)

設(shè)/(x)=cosx(x+|sinx|),則在x=。處有().D

(A)m=2(B)r(°)=i(C)八°)=°(D)

/(x)不可導(dǎo).

設(shè)a(x)=^~~—,/3(x)=3-3底,則當x->l時()4

1+x.3

(A)a(x)與尸(x)是同階無窮小，但不是等價

無窮?。?B)a(x)與夕(x)是等價無窮?。?/p>

(C)a(x)是比須)高階的無窮??；

(D)"幻是比a(x)高階的無窮小.

若尸(%)=]>7)"辿，其中/(x)在區(qū)間上(TD二階

可導(dǎo)且，(x)>。，則().

(A)函數(shù)小)必在"。處取得極大值；

(B)函數(shù)F。)必在尸。處取得極小值；

(C)娥小)在I處沒有極值，但點(0,尸(0))為

曲線y="x)的拐點；

(D)緘"在“。處沒有極值,點(0,F(0))也不

是曲線)”⑴的拐點。

是連續(xù)函數(shù)，且/(X)=x+21/")刃，貝U/(*)=()

/x2

(A)T(B)”(c)1(D)x+2.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分,

共16分)

2

lim(l+3x)sinx=

x—0.

已知上空是y(x)的一個原函數(shù)，則［/(X).竺土dx=

XJX

1.至,2422冗2〃—1、

lim—(COS——FCOS1FCOS冗)=

28nnnn

Vx2arcsinx+l,

-------1----dx=

\41^

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分,

共40分）

設(shè)函數(shù)》=刈由方程”+sin（町）=1確定求V（x）以

及V（O）.

求卜1一\dx.

Jx（l+x7）

x

…[xe~,x<0t-i

設(shè)/'（*）=〈,-------求[/（xMr.

y/2x—x~,0<x<1""

蛇士鹿g（x）=|/（"）口Hm3=A

設(shè)函數(shù)/（x）連續(xù)，o，且…x,A

為常數(shù).求g'（x）并討論心）在“。處的連續(xù)性.

求微分方程R+2,="皿x滿足，⑴=1的解.

四、解答題（本大題10分）

已知上半平面內(nèi)一曲線y=j(x)(x>0)?過點。D,

且曲線上任一點”(無0，%)處切線斜率數(shù)值上等

于此曲線與'軸、y軸、直線X"，所圍成面積

的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.

五、解答題(本大題10分)

過坐標原點作曲線廣心的切線，該切線與

曲線kinx及X軸圍成平面圖形D.

求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)

一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

六、證明題(本大題有2小題，每小題4分,

共8分)

設(shè)函數(shù)/⑺在［?！簧线B續(xù)且單調(diào)遞減，證明對

g1

在土S1011\fCx)dx>q\f(x)d.

任盡的"。1］，00.

設(shè)函數(shù)，⑺在［。㈤上連續(xù)，且口=

n

J""）"".-.證明：在（。㈤內(nèi)至少存在兩個不

同的點=2，使/（1—?（提示：設(shè)

X

尸（X）=J/（x）Jx

。）

一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4

分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分,

共16分）

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分,

共40分）

解：方程兩邊求導(dǎo)

ex+y(l+y')+cos(盯)(W+y)=0

x+y+jcos(xy)

y(x)=——

ex+y+xcos(xy)

x=o,y=o,y(o)=-i

解：u=x1lx6dx-du

2

原式)du

=y(lnIwI-21nIw+ll)+c

=—InIx71—In11+x,71+C

77

解：￡f(x)dx=xe~xdx+￡^2x-x2dx

=￡xd(-e-x)+[2dx

=[-工尸-e"]；+f%cos20dO(令-1=sin0)

解：由八。）=。,知g（o）=。。

X

g(x)=\f(xt)dt=------------

0X(X。o)

xf(x)-jf(u)du

8，(X)=---歲---(X?t0)

J/（N）dN

g'?=理丁=:吧密=5

xf(x)-jf(u)du

limgr(x)=lim---------------------=A=—，/、、出

…。5x222,g(x)在x=0處連

續(xù)。

解：鋁

-f-drff—dr

y=eix(Je」*Inxdr+C)

v（l）=--,C=0j=—xlnx-—x

9,39

四、解答題（本大題10分）

解：由已知且，旬；加+1

將此方程關(guān)于,求導(dǎo)得，"=2"，

特征方程：「2__2=0解出特征根：0=T，「2=2.

x2

其通解為y=Cie-+C2e^

c2cl

代入初始條件＞（。）="。）=1,得1=352=3

故所求曲線方程為：

五、解答題（本大題10分）

解：（1）根據(jù)題意，先設(shè)切點為（小叫），切

心士力J-lnx=—（x-x）

我力在：0”。0

由于切線過原點，解出“。=一從而切線方程

為：心

11

則平面圖形面積f=L

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體

積記為VI,貝『V"

曲線y=lnx與x軸及直線X=0所圍成的圖形

繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為V2

1

y2

V2=j^(e-e)dy

0

D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

2

V=V,-V2=^(5e-12e+3)

六、證明題(本大題有2小題，每小題4分,

共12分)

q1qqi

、〒口ff(x)dx-qf/(x)d=jf(x)dx-q(jf(x)dx+jf(x)d>

證明：。。。。"

41

=(1-q)J/(x)dx-qJ7(x)d

oq

備40闖]幺gg,l]/(^)>/(^2)

=q(l_q)/?)—20

故有：

41

jf(x)dx>qff(x)d.

00證畢。

證：構(gòu)造輔助函數(shù)："上W辿，°-。其滿

足在［。㈤上連續(xù)，在(0,^)上可導(dǎo)。b(x)=/(*),且

尸(0)=［3)=0

由題設(shè)，有

nnn

0=J/(x)cosx<Zx=JcosxJF(x)=F(x)cosx|+Jsinx?F(x)rfx

000,

n

有『x)sinS=0,由積分中值定理，存在2。,叫

使尸(4)sin”0即產(chǎn)?)=0

綜上可知F(0)=F(^)=F(^)=0,4€(0,乃).在區(qū)間［0看］,修,力］

上分別應(yīng)用羅爾定理，知存在

G(og)和”C，萬),使/名)=0及尸(切=0,即

/?)=fg)=o.高等數(shù)學(xué)I解答

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案

中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

當Xf/時，a(x),/?(x)都是無窮小，則當3%時

(D)不一定是無窮小.

(A)|。(”+忸(”(B)<z2(x)+夕2(x)

4(X)

ln[l+a(x)?P(x)](D)0(x)

1

[sinxx-a

極限網(wǎng)sina的值是(C).

(A)1(B)(C)ecota

(D)

sinx+e2s-]

XHO

/(1)=<無

ax=0在x=0處連續(xù),則a

(D).

(A)1(B)0(C)

(D)—1

于(a+h)—f(a—2h)

設(shè)“x)在點』處可導(dǎo)，那么照h

(A).

(A)3/伍)(B)2/⑷

(C)/⑷(D)；八")

二、姆題峰大題有4小題，每小題4分,

共16分)

..\n(x+a)-lna/八、1

極限物一;一(八°)的值是?.

由exy+ylnx=cos2x確定函數(shù)y(x),則導(dǎo)函數(shù)六

2sin2x+，+ye盯

___________x______

xexy+lux.

直線/過點M(1,2,3)且與兩平面x+2y-z=0,2x-3y+5z=6

都平行，則直線/的方程為

x-1y-2z-3

]--1-一1

求函數(shù)y-2x-ln(4x)2的單調(diào)遞增區(qū)間為(一

,0)和(1,+)?

三、解答題(本大題有4小題，每小題8分,

共32分)

..(l+x)x-e

計算極限颼.

2—In(l+jc)-l

(1+x尸一eex-1ln(1+x)-xe

lim---------=ehmchm-----；----二—

用牛?i°xX10廠2

已知：＞1=3,1^1=269ab=3O,求?萬x5l。

cos0=@,sin6=71-cos20=—..

解：同W1313,I萬x%72

X

設(shè)/⑴在?b］上連續(xù)，且…卜-怵…的］

試求出小)。

XX

3F(x)=x「(f)d-JV⑺df

解：""

XX

F'(x)=\f^dt+xfM-xf(x)=

F"(x)=/(x)

'cosX.

x-；———dx,

求sinx

rcosx.lr,.-2

解：卜5二一2何加x

=--xsin_2x+—fsin-2xd=-ixsin-2x--cotx+C

22J22

四、解答題（本大題有4小題，每小題8分,

共32分）

產(chǎn)力.虧

=p=arcsint?冗

2罰一7

2x

求函數(shù)"門的極值與拐點.

解：函數(shù)的定義域（一，+）

—

f2(1—x)(l+x)"-4x(3)

令y=o得x1=1,x2=-1

y〃⑴<0X1=1是極大值點，/<-D>°X2=-1>

極小值點

極大值y⑴=1,極小值y(T)=-i

令y"=o得x3=0,x4=8,x5=-6

X（■廣百）GQ0)（0,百）(Q+)

——

y"++

V373

故拐點（?￡,?3）,（0,0）（3T）

%3___

求由曲線＞彳與＞=3x4所圍成的平面圖形的

面積.

x3

解:2—=3x-x2,x3-12x+4x2=0,

4

x(x+6)(x-2)=0,x,=-6,x2=0,X3-2.

sN+((3x-x2-^-)dx

3o34

-(/3/X、|0/32xX、|2

+——)A+(一％--------)

1623W231610

45+2-=47-

33

設(shè)拋物線y=43上有兩點4-l,3),8(3,-5),在弧A

B±,求一點P(x,y)使的面積最大.

解:

AB連線方程：y+2x—l=0\AB\=445

點P到AB的距離包卑二1i—x~+2x+3

(-l<x<3)

~7T

AA8P的面積

2

S(x)=--4V5-t+][+3=2(_x+2x+3)

2V5

S，(x)=4c+4當尤=1S'(x)=0

S"(x)=-4<0

當x=1時S(x)取得極大值也是最大值

此時y=3所求點為(1,3)

另解：由于A48C的底力B一定，故只要高最大而過C點的拋物線

的切線與AB平行時，高可達到最大值，問題轉(zhuǎn)為求C(x0,4-x；)

，使/"'(/)=-2%=-5—%+1=_2,解得％=1,所求C點為(1,3)

六、證明題(本大題4分)

2x

設(shè)x>0,試證eX)<\+xu

證明：設(shè)fM=e2x(l-x)-(l+x),x>0

2x

f'M=e2v(1—2x)—1,/"(x)=-4xe,

x>0,廣(x)40,因此廣(X)在(0,+)內(nèi)遞減。

4^(0,+)內(nèi)，/(X)〈尸(。)=。，/(X)在(0,+)

內(nèi)遞減，

在(0,+)內(nèi)，/(x)</(O),即e2\l-x)-(l+x)<0

2t

亦即當X>0時，e(l-x)<l+xo

高等數(shù)學(xué)IA

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案

中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

函數(shù)

‘蛇"X>1

x-i

71

/(x)=<tan^x,0<x<1

x4-sinx,x<0

I的全體連續(xù)點的集合是

()

(A)(-00,+co)(B)(…,1)u(1,+

co)

(C)(-00,0)U(o,+8)(D)(-oo,0)U

(04)u(1,+8)

X24-1

設(shè)㈣-9。)=。，則常數(shù)a,b的值所組成的數(shù)

組(a,b)為()

(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,

1)(D)(1,-1)

設(shè)在［0,1］上/⑺二階可導(dǎo)且，(x)>。，則

()

(A)//(o)</,(i)</(i)-/(o)(B)

/((0)</(1)-/(0)</，(1)

(C)/，(1)</，(0)</(1)-/(0)(D)/⑴-/⑼(/⑴</'(0)

nnIT

~2?42~2

?rSinXCOSX...C..34、」nf/2?34、」

M=I-2——dx,N=I(sinx+cosx)axP=|(xsin尤-cosx)ax

「Xq3則

()

(A)M<N<P(B)P<N<M

(C)P<M<N(D)N<M<P

填空題（本大題有4小題，每小題4分,

共16分）

設(shè)x>ld(x2arctany/x-1)=

(

)

設(shè)^f(x)dx=sinx+c,則]7伙幻公=

(

)

x-4y=z-5

直線方程。n6+p,與xoy平面，yoz平面

都平行，

那么m,n,p的值各為

（）

觸中二（

)

三解答題（本大題有3小題，每小題8分,

共24分）

計算

pcosl,尤>0

f（x）=<X

設(shè)LX"。試討論?。┑目蓪?dǎo)性，并在可

導(dǎo)處求出《）

設(shè)函數(shù)y=/（x）在（-oo,+8）連續(xù)在x0時二階可導(dǎo),

且其導(dǎo)函數(shù)尸⑴的圖形如圖所示，給出

?。┑臉O大值點、極小值點以及曲線”?。┑墓?/p>

四解答題（本大題有4小題，每小題9分,

共36分）

___r.x+2.2dx

求不定積分J（=）工

e

j|lnx|dx

計算定積分：

,xyz-1,x-\y-2z-3

已知直線L片丁亍4丁=/="，求過直線

II且平行于直線12的平面方程。

過原點的拋物線丫=一及y=O,x=l所圍成的平

81

面圖形繞X軸一周的體積為丁，確定拋物線

方程中的a,并求該拋物線繞y軸一周所成

的旋轉(zhuǎn)體體積。

五、綜合題（本大題有2小題，每小題4分,

共8分）

設(shè)FM=（x-l）2/W,其中/（X）在區(qū)間［1,2］上二階可

導(dǎo)且有“2）=。,試證明存在4（1<*2）博尸《）=。。

f(x)=^t-t2)sin2ntdt(x>0)

0

求"X)的最大值點；

證明：-(2〃+2)(2〃+3)

一、單項選擇題BDBC.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分,

共16分)

x].____

一(-/+4HrctanNx-1)dx

dy—2Jv-1.

pYl7t.Y171

"5)_Icos(xd)dx=sin(xH----)+c

J22.

m=2,p=-6,"w0.

]("1)

三、解答題（本大題有3小題，每小題8分,

共24分）

1-±)

（8分）計算極限呼sin2x

22

1、「x-sinx

2—T)=hm——.2—

解：蚓sinxx廠sinx

九一sinxx+sinx

lim

A->0x)x

1-cosx1

=2lim-------=—

1。3x3

x2cos—1,x>0

fM=-X

XX

(8分)設(shè)-°,試討論f（x）的可導(dǎo)性,

并在可導(dǎo)處求出八x）.

當x〉0,r(x)=2xcos-+sin-

x<0,r(x)=l

解:XX；當

21

Axcos----0

X=0f'(O)=lim------至一=0f_'(0)=lim=1

以f0+AxAD-A%

c1.1c

2尤cos—+sin—x>0

:（x）=<xx

故f（x）在x=0處不可導(dǎo)。1x<0

(8分)設(shè)函數(shù)U)在E+OO)連續(xù)，在"0時二階

可導(dǎo)，且其導(dǎo)函數(shù)尸⑺的圖形如圖.給出/⑺的

極大值點、極小值點以及曲線y"幻的拐點.

解：極大值點："=門="極小值點：x=>

拐點(O,/(O)),(c,/(c))

四解答題(本大題有4小題，每小題9分,

共36分)

「。一2)2,

(9分)求不定積分匕中失

解：原式J'》占十言"

_41n|x|---------31n|x-l|+c

(9分)計算定積分可gg.

解：原式/…即gm

=[-(xlnx-x)]'4-[xlnx-x]^

e

二2二

e

?44…%丁z-l,x-1y-2z—3

(9分)已知直線7=5=亍，2丁='=丁，求過

直線11且平行于直線12的平面方程.

解：?=?,X?2=(1,2,3)X(2,5,4)=(-7,2,1)

取直線11上一點M1(O,O,1)于是所求

平面方程為

-7x+2y+(z-l)=0

(9分)過原點的拋物線”一(。＞。)及y=0,

x=l所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為

81

丁.求a,并求該拋物線繞y軸一周所成的

旋轉(zhuǎn)體體積.

151

rna2

V=j^r(ax2)2dx-na1一_

解：°5°5

兀a181萬

由已知得了=可故a=9拋物線為…=9/

繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：

L丫41g

V=J2^x-9X2JX=18%—=—冗

o402

五綜合題(每小題4分，共8分)

(4分)設(shè)F(x)=(x-l)2/?,其中小)在區(qū)間［1,2］上二

階可導(dǎo)且有八2)=0.證明：存在4(y<2)W

尸4)=0。

證明：由小)在［1,2］上二階可導(dǎo)，故F(x)

在［1,2］二階可導(dǎo),因f(2)=0,故F(1)=F(2)

=0

在［1,2］上用羅爾定理，至少有一點/，(…。<2)

使FOo)=0

尸(x)=2(x-l)/(x)+(x-f'M得尸'⑴=0

在［1,xO］上對9用羅爾定理，至少有點

K<x°<2）尸"0=0

(4分).

解：(1)E為小)的最大值點。

,22z22ff

/(x)=(x-x)sin"x)當0<x<l,/(x)=(x-x)sinx>0.當x>l,

f22n

f(x)=(x-x)sinx<0Q/⑴為極大值，也為最大值。

22,i

(2)/(x)=￡(r-r)sin^</(l)

f(i)=^t-r)sin2ntdt<]

(2〃+2)(2十+3)

高等數(shù)學(xué)上B(07)解答

填空題：(共24分，每小題4分)

dy_

X,y=sin[sin(x2)],貝(j~dx~2xcos[sin(x2)]cosx20

2.已知a=1

f|lnx|Jx=2--

J.eeo

4.yy過原點的切線方程為y=ex。

r/'(lnx),

5.已知〃x)=*貝川丁々』+,。

_39

6.。=2,b=2

時，點（i，3）是曲線＞=，+八的拐點。

二、計算下列各題：（共36分,每小題6分）

1.求y=（sinx）x的導(dǎo)數(shù)。

解：y=(e^vinsinxy=^cosxinsinx(_而xInsinx+cotxcosx)

2.求JsinInxdx

.jsinInxdx=xsinlnx-jcosInxdx

=xsinlnx-xcosInx-sinlnx^Zr

=—(xsinlnx-xcosInx)+C

3.求吐之

2

=Vx-i+51nIx+Jf—1|+c

f(x)=NX-°

4.設(shè)"+L、<。在點x=。處可導(dǎo)，貝!h為

何值？

x

癡/.(0)=lrim-=hvmxki

：I。-X2。-

ex-1

/：(0)=lim——=1

x->0+1

k=l

...1]1

5.求極限坦J/+F+J/+22++j，+〃2

解:

lim(-.—.......+-/-H-----F-1■)

…新+F7n2+22J〃2+〃2

=顯7二

=ln(x+Vl+x2)l[=ln(l+0)

Jx+2y-z+l=0

6.求過點(2,2,0)且與兩直線Lez-i=。和

2%-y+z=0

L-1二。平行的平面方程。

解：兩直線的方向向量分別為

電=(1,2,-l)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),“=(2,-l,l)x(1,-1,1)=,南的

法向量M=(1,-2,-3)X(0,-1,-1)=(-1,1,-1)o

平面方程為x-y+z=。。

三、解答下列各題：(共28分,每小題7分)

[x=Rcostd2y

1.設(shè)[y=Hsi%求矛。

hrn蟲=-cot/

解：dx

d2y/、，11

左二(-。。曾為7=一而7

2.求"x)="(I)"在-2］上的最大值和最小值。

?F\x)=x(x-1)=0,x=0,x=1

F(0)=0,尸(1)=f?，_1)力=_(,

F(-l)=￡\(r-l)J/=-|,F(2)=g-l)df=|

25

最大值為"最小值為飛。

3.設(shè)y=y(x)由方程x(l+y2)-ln(x2+2y)=0確定，求y'⑼。

解：方程x(l+y2)-ln(x2+2y)=0兩邊同時對X求導(dǎo)

(1+/)+2切,-學(xué)芋=0

x+2y

八1

將萬代入上式

4.求由尸亡與-x圍成的圖形繞、軸旋轉(zhuǎn)所得

的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：

=%

10

四、證明題：（共12分，每小題6分）

1.證明過雙曲線盯=1任何一點之切線與。X。

二個坐標軸所圍成的三角形的面積為常數(shù)。

證明：雙曲線。=1上任何一點（2）的切線方程

為

y-T（X-x）

切線與，軸、，軸的交點為⑸心④，。）

故切線與。X”二個坐標軸所圍成的三角形

,1c

的面積為戶近產(chǎn)

2.數(shù)/(X)與g(x)在閉區(qū)間[“勿上連續(xù)，證明:

至少存在一點4使得

/(J)['g(x)dx=gC)f/(x)dx

證明：令/(x)=fg(x)可

F(a)=F(b)=O,由Rolle定理，存在一

點火[鞏使尸?=。，即

/《)[g(x)dx=g(J)ffMdx

高等數(shù)學(xué)上解答(07)

單項選擇題(每小題4分，共16分)

1./(%)=xcosxe""(_00Vx<+8)A0

(A)奇函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)

有界函數(shù)；(D)單調(diào)函數(shù)

2

2.當…。時，/(x)=(1—cosx)ln(l4-2x)與B是同階

無窮小量。

(A)力(B)心(C)

V;(D)/

Jx-2y+z=0

3.百］jx+y-2c=0與平面x+y+g的位置關(guān)系是

CO

(A)直線在平面內(nèi)；(B)平行；(C)

垂直；(D)相交但不垂直。

4.設(shè)有三非零向量1。若一=o,?xc=6,則二三

Ao

(A)0；(B)-1；(C)

1；(D)3

填空題(每小題4分，共16分)

1.曲線了=2上一點P的切線經(jīng)過原點?a,

點P的坐標為3D。

「tanx-xi

―lim—.......=_

2.zx(e-l)3o

3.方程ey+6xy+x2-1=0確定隱函數(shù)y=y(x),貝[j了⑼=

0

4.雌尸一、i與，軸所圍圖形繞,軸旋轉(zhuǎn)

71

周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為人

解下列各題（每小題6分，共30分）

/-sin。、，

1.已知則1求/'（X）。

解：小）=螞（中）'=產(chǎn)、

f'(x)=-e-sinXsin2x

2.求不定積分眄"）+啟％

解.J[ln(lnx)+=jln(lnx)dx+dx

—xIn(lnx)-F---dx+f---dx

JinxJinx

=xln(lnx)+C

3.計算定積分"浮+5心。

解:x2(p—7+V1-x2)dx=￡(X2V1-X2)dx+J'':畝:dx

=￡(X2A/1-X2)JX+0

2^sin2

tcos2tdt

_71

~~8

rl+sinx,

4.求不定積分后嬴F。

rl+sinxr1,sinx.

hrn-------axf=-------dx+-------ax

用牛?J1+COSXJ1+COSX1+cosx

gjsec2jdx-j-dcosx

1+cosx

x

tan--In11+cosxI+C

2

5.已知f'（mx）=x,且/⑴=e+l,求，（x）。

解：令lnx=r,f^=e-

f(x)=ex+C

/⑴=e+l,f(x)=e'+\

(8分)設(shè)小)對任意x有/(x+l)=2/(x),且

求廣⑴。

解：由/(x+l)=2/(x),/⑴=2/(0)

哪

笈…一一⑴

XT】X-1

梁

徐

圖

*Hm小上3

—0t

N=所2%)-2/(。

/->0t

輯

=2/(0)=—1

22

五、(8分)證明：當m時，(x-l)lnx>(x-l)0

墟

笈

眼

落證明：只需證明(x+Dlnx>xT。

樹

Q[、p

/(x)=(x+l)lnx-x+l

rw=lnx4>0,小)在i)單調(diào)遞增。

22

/(l)=o,當X>1時,/(x)>0Qgp(x-l)lnx>(x-l)o

（8分）

已知F3=f（xJ”（叫小）連續(xù)，且當XTO時,9（x）

X2

為等價無窮小量。求八。）。

解：！吧等1

F（x）=］；（尤2_產(chǎn)）/"?族=X21/"?族-02/“⑺小

22

F'M=2x^f\t)dt+xf"M-Xf"M=2x[f\tYt

=2/70)

.v->0x->0X2

（8分）

2

設(shè)有曲線y=4x(0<x<1)和直線y=c(0<c<4)Q記它們

與，軸所圍圖形的面積為4,它們與直線i所

圍圖形的面積為4。問，為何值時,可使A=4+&

最小？并求出4的最小值。

解：4=4+4=（當辦+山-當功

A'(C)=VF—1

令A(yù)(c)=五一1=0,得c=l。

⑴KTI為最小值點。

八、設(shè)?。┰?。）內(nèi)的點”處取得最大值，且

\f"M\<K(a<x<b)o

證明：\f'(a)\+\f'(b)\<K(b-a)

證明：廣（x°）=0

在[皿對小)應(yīng)用拉格朗日定理

f'(x0)-f'{d)=)(x0-a)(a<^<x0)

/(a)=—x0),\f'(a)l<K(x0-a)

在對八x)應(yīng)用拉格朗日定理

f'(b)-f'(x0)=7。)(/<$<b)

f\b)=1r($)(——一),\f\b)l<K(b-x0)

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案

中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題分5小題，每小題2分，共10分)

1、

設(shè)/=[—―^-(1》,則/=

(A)ln(e'—l)+c(B)ln(e'+l)+c;

(C)21n(e'+1)—x+c;

(￡))x—21n(e，+l)+c.

答()

2、

/12n-1

lim?e"…e〃?e=

oO

(A)l(B)&(C)e(D)e2

答()

3、

/(x)=后1的〃階麥克勞林展開式的拉格朗日型余項&(x)=()(式中o<e<1)

(4)-------------------r-xn+,(B)..........--------x),+1

(n+l)(l-0x)n+1(n+l)(l-9x)"+1r

1n+l

(C)--------x(￡>)—

(l-9x)n+2(l-0x)n+2

答()

4、

設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且/(0)=0』im=上一=2,則點x=0

x->01-cosX

(A)是f(x)的極大值點⑻是f(x)的極小值點

(C)不是/'(X)的駐點(。)是/1(x)的駐點但不是極值點

答()

5、

曲線y=/一2x+4上點〃o(0,4)處的切線M(7與曲線V=2(x-1)所圍成的平面

圖形的面積A=

214913

(A)—(5)-(C)-(D)—

49412

答（）

填空題（將正確答案填在橫線上）

（本大題分5小題，每小題3分，共15分）

設(shè)y=ln^l+tan(x+—),則曠=

1、

2、

用切線法求方程/-2/_5x-1=0在（-L0）內(nèi)的近似根吐選xo并相應(yīng)求得下

一個近似值項o貝九，的分別為

x-\y+1z-1

3、設(shè)空間兩直線丁=虧=丁與-相交

于一'點,貝!］九=o

^111A-rC-1y|z口

/(%)=<x'，在x=0處連續(xù)，則。=

4、a,當x=0

50乂公=，其中b是實數(shù).

三、解答下列各題

（本大題4分）

設(shè)平面兀與兩個向量萬=3『+J和6=i+1-4k平行證

明：向量c=2T-6j-k與平面兀垂直。

四、解答下列各題

（本大題8分）

討論積分］當?shù)臄可⑿?

五、解答下列各題

（本大題11分）

導(dǎo)出計算積分/“=［一叫=的遞推公式，其中〃為自然數(shù)。

n2

JXyjx+l

六、解答下列各題

（本大題4分）

求過^（4,2-3）與平面……-哈。平行且與直線

Jx+2y-z-5=0

付"1。=。垂直的直線方程。

七、解答下列各題

（本大題6分）

計算極限limM±?sinx-cos2x

-0xtanx

八、解答下列各題

（本大題7分）

試求=『（lnx）"公的遞推公式（〃為自然數(shù)），并計算積分“Inx）3dx.

九、解答下列各題

（本大題8分）

設(shè)/■（工）在（凡份內(nèi)可微，但無界，試證明u（x）在（。乃）內(nèi)無界。

十、解答下列各題

（本大題5分）

設(shè)lim（p（x）="o，lim/（"）=/（“o）,證明：lim/［（p（x）］=/（〃（））

X?o?-??0x?oO

H^一、解答下列各題

（本大題4分）

在半徑為R的球內(nèi)，求體積最大的內(nèi)接圓柱體的高

十二、解答下列各題

（本大題5分）

重量為「的重物用繩索掛在Al兩個釘子上，

1204

如圖。設(shè)c°sa=KC。鄧玲，求AB所受的拉力九八

十三、解答下列各題

（本大題6分）

一質(zhì)點，沿拋物線y=x（10-x）運動,其橫坐標隨著

時間f的變化規(guī)律為x=的單位是秒,x的單位是米）,

求該質(zhì)點的縱坐標在點〃（8,6）處的變化速率.

十四、解答下列各題

（本大題7分）

設(shè)曲線x=6,x=,2_y2及y=0,圍成一平面圖形.⑴求這個平面圖形的面積；

（2）求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.

、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中

選出一個正確答案，填在題末的括號中）

（本大題分5小題，每小題2分，共10分）

1、C

2、答：B

3、。10分

4、（B）

5、C

二、填空題（將正確答案填在橫線上）

(本大題分5小題，每小題3分，共15分)

(1——z-)sec2(x+-)

xx

1、2(l+tan(x+：))]0分

2、5分

io分

5

3、4

4、-1

b<0

2

<0,h=0

,2

5、目…10分

三、解答下列各題

(本大題4分)

7k

n=axb=31o={-4,12,2)

1-4

平面法向量14分

n=-2c

萬與。平行8分

從而平面與G垂直。10分

四、解答下列各題

（本大題8分）

當pwl時,

lim—=lim(------

￡->+OJeJQP￡->+0]—p

lim---(1----

￡T+01_p*1

=<I—p

+00,p>15分

當P=I時，

f*dxfdx..[h

—=—=limInxL=+00—/k

J)xPX—+。7

［詈當p<l時收斂，當pNlfl寸發(fā)散.I。分

五、解答下列各題

（本大題11分）

解:〈法一)

/“=J^r"G+i

7x2+1y/x2+1

+(?+!)j

x"+'xn+23分

G+1

+(/?+1)[——1+Jdx

x,,+l}xn+2ylx2+1

\lx2+1

+5+1)f—2x+(〃+1)J—

xn+'1—x,d,+2Vx2+1xnylx2+\

+(n+1)/“+2+(〃+1)/〃

yjx2+1n

故/"+2=

(n+l)xn+1n+\7

Vl+x21

I}=In+c

XX

-ylx24-1