2024屆湖北省武漢市華中師大一附中高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

華中師大一附中2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.zzzi2zi的模為（1.已知復(fù)數(shù)滿足，則B.2）A.1C.5D.D.5eABRA2x4,Bx∣x32已知集合，則（）20,20,21,21,2A.B.”是“sinAC.12π3.在中，“A”的（）6A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件的圖象的一部分如圖，則圖中的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（）fxsinx(0)4.已知函數(shù)1212x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x125.在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，（）A.6B.-6C.3D.-3pLp20L，其中是音量（單位為dB是基準(zhǔn)聲壓為pP06.在聲學(xué)中，音量被定義為：05Pa，是實(shí)際聲音壓強(qiáng)人耳能聽(tīng)到最小音量稱(chēng)為聽(tīng)覺(jué)下限閾值經(jīng)過(guò)研究表明，人耳對(duì)于不同頻率的聲音有不同的聽(tīng)覺(jué)下限閾值，如下圖所示，其中240對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為20dB，1000對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為0dB，則下列結(jié)論正確的是（P.的.2）A.音量同為20dB的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽(tīng)到.B.聽(tīng)覺(jué)下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.C.240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為0.002Pa.D.240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值實(shí)際聲壓的10倍.a,b,c滿足eaabbcc，則a,b,c的大小關(guān)系為（7.若實(shí)數(shù)）A.acbB.abcacC.cabD.bππ62fxsinxx0),8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且ππff0，則62的值可以是（）A.6B.7C.8D.9?二多項(xiàng)選擇題：本題共小題，每小題分，共4520分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.fx9.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)gxgx，則（）fxexA.在區(qū)間a,b上是減函數(shù)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)B.xaC.在時(shí)取極小值D.在xb時(shí)取極小值ab210.已知abab，且，則（）1111222A.B.D.aba2bab2C.2a2b222在區(qū)間nπ有）fxsinxatanxn11.若函數(shù)2024個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)可以是（A.2022B.2023C.2024D.2025yfxx,y均滿足eysinxex2013esinxex2013，且對(duì)任12.已知定義在R上的函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)yx，都有fxae2x1fx0恒成立，則下列說(shuō)法正確的是（意）2023是奇函數(shù)fxfxsinxxA.B.D.1eC.是增函數(shù)fxa?4520分三填空題：本題共小題，每小題分，滿分yxa13.若直線與曲線yex1b1相切，則ab__________.14.杭州第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形.已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)1均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為1，徑長(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的3半徑之差）為1，則該扇面的面積為_(kāi)_________.的面積關(guān)于時(shí)間S15.一只鐘表的時(shí)針與分針長(zhǎng)度分別為3和4，設(shè)0點(diǎn)為0時(shí)刻，則t24S取得最大值的次數(shù)為（單位：時(shí)）的函數(shù)解析式為_(kāi)_________，一晝夜內(nèi)（即t__________.16.如圖，在四邊形ABCD中，CD,2120，則面積的最大值為_(kāi)_________.?四解答題：本題共小題，共670分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.?π3fxsinx17.已知（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)中心；fx32xa時(shí)，fx的取值范圍為a（2）當(dāng)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.πbc2asinC18.記的內(nèi)角,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知.6（1）求A的值；（2）若BC交于點(diǎn)D,23，求面積的最小值.的平分線與fxxx(a0且a319.已知函數(shù)，a（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；fx1322（2）若函數(shù)有最大值fxlogaa，求實(shí)數(shù)的值.33區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，內(nèi)的區(qū)域?yàn)閮?nèi)20.某城市平面示意圖為四邊形ABCDACD工業(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段AB和線段AD上分別選一處位置，分別記為點(diǎn)E和點(diǎn)F，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路EF，線段EF與線段AC交于點(diǎn)G，EG段和GF段修建道路每公里的費(fèi)用分別為10萬(wàn)元和20萬(wàn)元，已知線段長(zhǎng)2公里，線段AB和線段AD長(zhǎng)均為6公里，πABAC,CAD，設(shè)AEG.6y（單位：萬(wàn)元）與的關(guān)系式（不用求（1）求修建道路的總費(fèi)用y（2）求修建道路的總費(fèi)用的最小值.21.已知函數(shù)xsinxsinx,xπ,0fxe（1）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；fx4kfx0（2）若恒成立，求整數(shù)k的最大值.ex2xfx2x3kxx,x,xx122.已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，且.2123x（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；kf3f1k2（2）若2是的一個(gè)極大值點(diǎn)，證明：k.fx31e華中師大一附中2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題命題人：余文抒徐聰王文瑩審題人：王文瑩試卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.zzzi2zi的模為（1.已知復(fù)數(shù)滿足，則B.2）A.1C.5D.5【答案】D【解析】z,【分析】先化簡(jiǎn)求出再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義求出zi,最后根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可.21i221i1i1izzi2zz1i【詳解】,1i2ziz,zi=1=12+2=5.2故選:D.eABRA2x4,Bx∣x32.已知集合，則（）20,20,21,21,2D.A.B.C.【答案】C【解析】eAR【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解集合A，從而求解B，最后利用交集運(yùn)算即可求解.，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合整數(shù)概念求解集合eAxx2，Ax2x4xx2【詳解】因?yàn)榧?，所以R2,3,4,5,7BxZx3xZ0x23又，2B1,2eAR所以.故選：C12π”是“sinA3.在中，“A”的（）6A.充分不必要條件【答案】BB.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】1π5π【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)由sinA，可得A，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.266Aπ，【詳解】在中，1π5π由sinA，可得A，2661π所以“A”是“sinA”的必要不充分條件.62故選：B.的圖象的一部分如圖，則圖中的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（）fxsinx(0)4.已知函數(shù)1212x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮可以得出函數(shù)關(guān)系.1【詳解】fxsinx0)fxsinx,,1sin=π,1過(guò)點(diǎn)2得2由圖1和圖2可知：函數(shù)的周期減半，就是fxf2x,1圖1→圖2說(shuō)明圖象向右平移單位，2yf2x的圖象．得到故選:D.5.在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，設(shè)出,C,B,F的坐標(biāo)，求出即可得出答案．FAE30，有EAAB，【詳解】正六邊形ABCDEF中，每個(gè)內(nèi)角都是，F(xiàn)EA以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AE為y軸，，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：123F3，則有2，因?yàn)?，?，(0,0)B(2,0)C3所以，，AC3)，3，3333936.由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得故選：B．pLp20L，其中是音量（單位為dB是基準(zhǔn)聲壓為pP06.在聲學(xué)中，音量被定義為：05Pa，是實(shí)際聲音壓強(qiáng)人耳能聽(tīng)到的最小音量稱(chēng)為聽(tīng)覺(jué)下限閾值經(jīng)過(guò)研究表明，人耳對(duì)于不同頻率的聲音有不同的聽(tīng)覺(jué)下限閾值，如下圖所示，其中240對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為20dB，1000對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為0dB，則下列結(jié)論正確的是（P..2）A.音量同為20dB的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽(tīng)到.B.聽(tīng)覺(jué)下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.C.240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為0.002Pa.D.240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值實(shí)際聲壓的10倍.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A、B，可以直接觀察圖像得出聽(tīng)覺(jué)下限閾值與聲音頻率的關(guān)系進(jìn)行判斷；對(duì)于C、D，pLp20通過(guò)所給函數(shù)關(guān)系代入聽(tīng)覺(jué)下限閾值計(jì)算即可判斷.0【詳解】對(duì)于A，30~100的低頻對(duì)應(yīng)圖像的聽(tīng)覺(jué)下限閾值高于20dB，1000~10000的高頻對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值低于20dB，所以對(duì)比高頻更容易被聽(tīng)到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，從圖像上看，聽(tīng)覺(jué)下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，240對(duì)應(yīng)的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為20dB，P0210Pa，5pLp2020p1000.0002Pa，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；令0對(duì)于D，1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值為0dB，pLp200，此時(shí)pp，所以240的聽(tīng)覺(jué)下限閾值的實(shí)際聲壓為1000的聽(tīng)覺(jué)下限閾值0令0實(shí)際聲壓的10倍，故D正確.故選：D.a,b,c滿足eaabbcc，則a,b,c的大小關(guān)系為（7.若實(shí)數(shù)）A.acbB.abcD.bacC.cab【答案】A【解析】【分析】由切線放縮可求，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和正弦值域可判斷b，由不等式的關(guān)系可判斷bca.，則，易知當(dāng)fx時(shí)，0sin1<1，當(dāng)x0fxexx1時(shí)，設(shè)ex1x0【詳解】因?yàn)閒0e010fxx0x1；，當(dāng)x0時(shí)，單調(diào)遞增，所以ex所以sin1=eaaa1aa0；由已知可得b0，因?yàn)?sin1<1，所以0b1；b0，所以bsin1b；因?yàn)閏0c0，所以csin1cb；故acb；故選：Aππ62fxsinxx0),8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且ππff0，則62的值可以是（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)輔助角公式計(jì)算化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合選項(xiàng)得出矛盾判斷A,B,D選項(xiàng)，再計(jì)算說(shuō)明C選項(xiàng)正確即可.π3fxsinxx=2sinx【詳解】,ππ36π2π3π303,A=6時(shí),fx6xff=2sinπ+2sin3π3當(dāng)選項(xiàng)錯(cuò)誤;ππ36π27ππ637ππ23當(dāng)時(shí),項(xiàng)錯(cuò)誤;210,B選fx7xff=2sin+2sinππ36π9ππ639ππ23當(dāng)時(shí),2110,fx9xff=2sin+2sinππ62π11π29π6π3x,,9x,fx9x,6恰有三個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤;3ππ36π8ππ638ππ23時(shí)fx8xff=2sin+2sin330,當(dāng),2ππ62π5π13π33π3x,,8x,fx8x,恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，C選項(xiàng)正確;3故選:C.?二多項(xiàng)選擇題：本題共小題，每小題分，共4520分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.fx9.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)gxgx，則（）fxexA.在區(qū)間a,b上是減函數(shù)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)B.xaC.在時(shí)取極小值D.在xb時(shí)取極小值【答案】BC【解析】fxfx【詳解】根據(jù)圖象得到的符號(hào)，即可得到gxgx的符號(hào)，進(jìn)而得到的單調(diào)性和極值.xafxfxfxfx，當(dāng)axb時(shí)，00，【分析】結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)fxfx0，xb當(dāng)時(shí)，fxfxgx，因xe0，exfxfxxa時(shí)，gx在區(qū)間上單調(diào)遞減，0，gx,a故當(dāng)exfxfx當(dāng)axb時(shí)，gx，gx在區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，0exfxfxxb當(dāng)時(shí)，gx，gx在區(qū)間b,上單調(diào)遞減，0ex故在處取得極小值，在xb處取得極大值，gxxa故選：BCab210已知abab，且，則（）11112ab22A.B.D.a2bab2C.2a22b22【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.ba1111112ba1b2baabab2222，即ab時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)【詳解】ab2abaab112取等號(hào)，由于a1b，所以，A正確，aba2b21111211由于ab1，22，當(dāng)且僅當(dāng)且ab時(shí)，即ab時(shí)取等2b2a2b2aba2b2a1122，B正確，號(hào)，由于a1b，所以a2bab2abab由以及可得2a2b22a2b22ab4，2b，即ab時(shí)取等號(hào)，由于a1b，所以2242，故C正確，當(dāng)且僅當(dāng)2aabbaababab10ab，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由于ab，12222ab0所以D錯(cuò)誤，22故選：ABC在區(qū)間nπ有）fxsinxatanxn個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)可以是（11.若函數(shù)2024A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD【解析】fxsincosxatanx0【分析】令sincosxatanx，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，則ygxyatanx與的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)圖象分析判斷.fxsincosxatanx0，則【詳解】令sincosxatanx，gxsincosx對(duì)于函數(shù)，x，可知gxsincosxsin1由，因?yàn)間x2πxxgx，sin2πsin且xxsincosxgx，g2πsin2π的周期為2π，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，gxxπ又因?yàn)椋琯xcosxsinxxπx1,sinx，且x0，當(dāng)，則可知πg(shù)x，則在上單調(diào)遞減，gxcosxsinx0可知在,2π上單調(diào)遞增，gxπ若a0時(shí)，因?yàn)閥x的定義域?yàn)閤|xπ,kZ，2，無(wú)零點(diǎn)，不合題意，x0，可知fxsinx0則若a0時(shí)，結(jié)合圖象可知：交點(diǎn)，a0，éπ?π÷???÷?3π3π22ygx與ya,,π÷π,,,2πtanx在÷?÷?內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，在內(nèi)沒(méi)有ê2?2所以fxsinxatanx在π內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)，在π,2π2ygx與ya周期為2π，fxtanx因?yàn)?π的周期均為，則fxsinxatanx結(jié)合周期可知：若數(shù)在區(qū)間nπ有n個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)可以是20242023或2024，a0a0，若時(shí)，éπ?π÷???÷?3π3π22ygx與ya,÷,ππ,,,2πtanx結(jié)合圖象可知：交點(diǎn)，在÷?÷?內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)，在內(nèi)各有一個(gè)ê2?2fxsinxatanxπ內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，在π,2π內(nèi)有2所以在fxsinxatanx結(jié)合周期可知：若數(shù)在區(qū)間nπ有n個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)可以是20242024或2025；n綜上所述：整數(shù)可以是2023或2024或2025.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：將函數(shù)轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)：gxyatanx與的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)分析判fxy斷，并注意討論a的符號(hào).yfx圖象上任意一點(diǎn)x,y均滿足eysinxex2013esinxex2013，且對(duì)任12.已知定義在R上的函數(shù)yx，都有fxae2x1fx0恒成立，則下列說(shuō)法正確的是（意）2023是奇函數(shù)fxfxsinxxA.B.D.1eC.是增函數(shù)afx【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)gx=exex的單調(diào)性可求fxsinxx2013判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B，根xx上恒成立，a據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷C構(gòu)造函數(shù)求解最值即可判斷D.在2x1ex2013sinxyex2013eysinx【詳解】eysinxee，有eysinx=ex2013ex2013，記xex，則gx=exex0，所以gx=eex在R上單調(diào)遞增，xgx=efxsinxx2013所以因?yàn)閥sinxx2013，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；x20132013sinxxfsinxxfx且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，R所以是奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；fx記fxcosx2013x2012，x，則，hxsinx20132012x2011，xhxxysinxxycosx10，則，對(duì)，因?yàn)閥sinxx單調(diào)遞減，即函數(shù)在x0y0，則sinxx0，即sinxx20132012x2011x，又時(shí)，，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)知hxsinx20132012x2011xsinx0所以，所以函數(shù)fxcosx2013x2012在上單調(diào)遞增，hx所以f010fxsinxx，所以函數(shù)2013在上單調(diào)遞增，fx又是奇函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)知是增函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；fxfxx，都有fxae2x1fx0恒成立，因?yàn)閷?duì)任意在上恒成立，fxae2x1fxfx所以xx上恒成立，在a所以xae2x1x即2x1e1m(x)x1xx(x)1x1記，，則，當(dāng)m(x)0時(shí)，，x當(dāng)m(x)0時(shí)，x1，當(dāng)m(x)0時(shí)，0x1，m(x)x1x上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在所以所以m(x)x1xm0x1x，所以，xxx2x22x1xnxxxnx，則所以，，記，，2x1e2x1e2x1e2x1en(x)0x1，當(dāng)n(x)00x1，當(dāng)n(x)0時(shí)，x1，當(dāng)時(shí)，時(shí)，x2在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以nx2x1ee21exxx所以nxn11，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，x1，所以2x1e2x11ea所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.三填空題：本題共小題，每小題分，滿分20分?45yxa13.若直線與曲線yex1b1相切，則ab__________.【答案】1【解析】【分析】求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解.x1，e【詳解】因?yàn)閥ex1，則yb111x10ab1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得x,y.00b10x1ea故答案為：1.14.杭州第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形.已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)1均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為1，徑長(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的3半徑之差）為1，則該扇面的面積為_(kāi)_________.π【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出內(nèi)環(huán)圓弧所對(duì)的圓心角，并求出外環(huán)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的面積公式可求得該扇面的面積.1【詳解】設(shè)內(nèi)環(huán)圓弧所對(duì)的圓心角為，因?yàn)閮?nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，且內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為1，312π12π1，可得所以，，33因?yàn)閺介L(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為1，所以，外環(huán)圓弧所在圓的半徑為112，12ππ222因此，該扇面的面積為.23π故答案為：.的面積關(guān)于時(shí)間S15.一只鐘表的時(shí)針與分針長(zhǎng)度分別為3和4，設(shè)0點(diǎn)為0時(shí)刻，則t24S取得最大值的次數(shù)為（單位：時(shí)）的函數(shù)解析式為_(kāi)_________，一晝夜內(nèi)（即t__________.π6nS6|sint|（t0，且t,nN）【答案】【解析】①.②.44611【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用三角形面積公式列式即得；探求面積函數(shù)的周期即可計(jì)算得解.πrad/h【詳解】旋轉(zhuǎn)的角速度為π，旋轉(zhuǎn)的角速度為2rad/h，611t2π2πt2πkZ或，，661π6nS34|sinAOB6|sint|，而當(dāng)t,nN時(shí)，不能構(gòu)成三角形，2611π6nS6|sint|（t0，且t,nN所以2444的周期為且每個(gè)周期僅出現(xiàn)一次最大值，而611π66S6|sint|顯然函數(shù)，61111所以S取得最大值的次數(shù)為44.π6nS6|sint|（t0，且t,nN44故答案為：61116.如圖，在四邊形ABCD中，CD,2120，則面積的最大值為_(kāi)_________.【答案】33【解析】【分析】通過(guò)證明【詳解】由題意，是等邊三角形并得出邊長(zhǎng)，即可求出三角形面積的最大值.ABCDBDABC120，在四邊形中，∴60,180,ABCD∴四邊形四點(diǎn)共圓，在ACD中，ADCD，120,∴ACD是等腰三角形，ACDCAD30，中，2120在∴60，133ABBC2,SABBCsinABCABBC2248ABBC當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，ABBCBDAC,垂直平分∵當(dāng)時(shí)，∴ACBD,2是等邊三角形，，11ABDCBDABC30ADECDEADC60∴,22∴BCD180306090,∴AE3DE,BE3AE3,∵BDBE44,∴AE3,AC2AE23332面積的最大值為SAC22333,∴44故答案為：33.?四解答題：本題共小題，共670分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.?π3fxsinx17.已知（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)中心；fx32xa時(shí)，fx的取值范圍為a，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）當(dāng)ππ3ππ12122π,+kZ，,kZ【答案】（1）6π2π,（2）33【解析】1）先利用三角恒等變換將函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)正弦的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)中心的定義計(jì)算即可得解.32xaxx時(shí)，其中1x0|fx，（2）畫(huà)出函數(shù)圖象分析可知當(dāng)且僅當(dāng)12xx0|fx0，滿足題意，從而計(jì)算即可得解.2【小問(wèn)1詳解】π3123fxsinx由題意2sinxsinxx2311π162sin2x3sinxxsin2x2xsin2x，222ππππππx+kZ,解得，2π2x2+kZ令令26263πππkZ2xπkZ，解得x，6212ππ3ππ1kZ.所以的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱(chēng)中心分別為，fxπ,+kZ,62122【小問(wèn)2詳解】π162的函數(shù)圖象如圖所示，fxsin2x32xa時(shí)，fx的取值范圍為由題意當(dāng)，32xaxx1x0|fx，xx0|fx2故當(dāng)且僅當(dāng)，其中，12π16232π6ππfxsin2x令sin2x1，即2x2πkZ，，得62πxπkZ，解得所以332ππxx0|fxx0|xπ,kZ，133π162π612ππfxsin2x令0，得sin2x2πkZ或，即2x66π7π2x2πkZ，662πxπkZ或πkxZ，解得所以332π2πxx0|fxx0|x或xπ,kZ，1233π2π33綜上所述：滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為,.πbc2asinC18.記的內(nèi)角,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知.6（1）求A的值；（2）若BC交于點(diǎn)D,23，求面積的最小值.的平分線與π【答案】（1）A3（2）43【解析】π162sinA1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析求解；（2）根據(jù)題意得CAD，結(jié)合SSS，得到bc2bc，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】ππbc2asinCsinBsinC2sinAsinC因?yàn)?，由正弦定理可得?6sinBsinCsinACsinCsinACAsinCsinC，則π6312sinAsinC2sinAsinCcosC3sinAsinCsinAcosC，22即sinACAsinCsinC3sinAsinCsinAC，可得3sinAsinCcosAsinCsinC，Cπ，則sinC0因?yàn)?，則3sinAA1，π162sinA整理得又因?yàn)?，π?π66Aπ，則A,，6πππAA，所以可得.663【小問(wèn)2詳解】π因?yàn)锳D平分且AD22，所以BADCAD，613121112SSSb23由，可得bcc23，2222bc2bc4bc，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，bc整理得，則131643．故面積的最小值為22fxxx(a0且a319.已知函數(shù)，a（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；fx12323（2）若函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值.fxlogaa3【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）e【解析】1）首先對(duì)求導(dǎo)，然后分fx0a1a1和討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而即可得解.111122a（2）結(jié)合（1）中分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)aa33lna3lna333123gxxxgxg即可得解.，說(shuō)明a3【小問(wèn)1詳解】1fx2fx，分以下兩種情形來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，3x,x0由題意xa13x2x0，情形一：當(dāng)0a1時(shí)，afxxa所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間.fx113xa3a13x20，情形二：當(dāng)時(shí)，令afxxaxa1解得x0，33lna113x3a113xa3xfx0x,fx0，當(dāng)3時(shí)，，當(dāng)3時(shí)，3lna3axaxa11所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為,.fx333lna3lna綜上所述：當(dāng)0a1時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間；fx的單調(diào)遞增區(qū)間為fx時(shí)，，單調(diào)遞減區(qū)間為11a1,.當(dāng)333lna3lna【小問(wèn)2詳解】13232由題意若函數(shù)有最大值，fxloga31有最大值，a1fxfxf則由（1）可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，33lna3111111122因此fa，333aa3lna3lna3lna33lna3lna13xa33311gxxxgx1,xa1不妨令，求導(dǎo)得，a33xa3xa13xa10，gx0x令當(dāng)，解得3xa3lna113xa3xa13lna13xa3xaxx,gx0，時(shí)，gx0，當(dāng)時(shí)，3lna1313lna13lnagx,上單調(diào)遞減，xx所以在上單調(diào)遞增，在a111122所以gx，aa33lna3lna3331231a,ae1故只能，解得符合題意；3lna2綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為e.20.某城市平面示意圖為四邊形ABCDACD內(nèi)的區(qū)域?yàn)榫用駞^(qū)，內(nèi)的區(qū)域?yàn)楣I(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段AB和線段AD上分別選一處位置，分別記為點(diǎn)E和點(diǎn)F，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路EF，線段EF與線段AC交于點(diǎn)G，EG段和GF段修建道路每公里的費(fèi)用分別為10萬(wàn)元和20萬(wàn)元，已知線段長(zhǎng)2公里，線段AB和線段AD長(zhǎng)均為6公里，πABAC,CAD，設(shè)AEG.6y（單位：萬(wàn)元）與的關(guān)系式（不用求（1）求修建道路的總費(fèi)用y（2）求修建道路的總費(fèi)用的最小值.20sin20π3y【答案】（1）sin（2）80萬(wàn)元【解析】1π32sinEG，進(jìn)而可得解析式；1）根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得，sinπ380sinπ33ytsin（2）利用三角恒等變換整理可得，換元令，結(jié)合函數(shù)單π324sin23調(diào)性求最值.【小問(wèn)1詳解】AG2在Rt△AEG中，因?yàn)閟in，可得EG，sinAEGsinπ在AFG中，可知AFG，3AGsin1π3AG由正弦定理，可得sinAFG，sinsinGAFsinAFG20sin20π3y10EG.所以sin【小問(wèn)2詳解】2020204020sin203cosy由（1）可知：sinπsin3sin3sinsin2sin3π3π380sin80sin，2ππ32cos14sin233πππ2π0,333因?yàn)榱?，則，3t80π33ytsin,1，則t233，t2t3333yt,ytyt且在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，t2t280y3t233在所以4上單調(diào)遞減，t2tπ當(dāng)t1，即時(shí)，修建道路的總費(fèi)用y取到最小值80萬(wàn)元.621.已知函數(shù)xsinxsinx,xπ,0fxe（1）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；fx4kfx0（2）若恒成立，求整數(shù)的最大值.k【答案】（1）2個(gè)（2）1【解析】exex1）令fxexsinxsinx0gxsinx可得，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在x1x1exxπ,0在π,0sinx上的單調(diào)性，利用函數(shù)與方程的思想畫(huà)出函數(shù)gx與y內(nèi)的圖象，x1根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求得的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；fxxex，sinxx在xπ,0上恒成立，則可得（2）易知ex，求出1xsinxx11xxyx2x1在xπ,0上的最小值即可得fx2π22π1k，便可知整數(shù)k的最大值為1.4【小問(wèn)1詳解】根據(jù)由題意可知，令fxesinxsinx0，xexxπ,0sinx；又，整理可得x1exxexexx2exgxπ,0，則令gx,x，x1x2x2exx2xπ,0gx時(shí)，<20顯然當(dāng)恒成立，x1exex在π,0上單調(diào)遞減，且gxxπ,0<0在所以可得gx上恒成立，x1x1π2π,0ysinxπ,易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；2eπ1ππ2>0g，sinsin00>g01且sinππex畫(huà)出函數(shù)gx,xπ,0和函數(shù)ysinx,xπ,0在同一坐標(biāo)系下的圖象如下圖所示：x1ex在區(qū)間π,0上有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知函數(shù)gxsinxy與x1即可得函數(shù)xsinxsinx,xπ,0有兩個(gè)零點(diǎn)；fxe【小問(wèn)2詳解】fx4kfx0k若恒成立，可得，4hxxsinx,xπ,0令，則在π,0上恒成立，hx1cosx0即可得hxxsinxπ,0上單調(diào)遞增，所以hxxsinxh00在，xsinx0π,0上恒成立，即sinx在x所以；xe令xxx1,xπ,0，則xe10在π,0上恒成立，x即xex在π,0上單調(diào)遞減，即xex00x，ex在π,0上恒成立，x所以可得fxexsinxsinxex1xsinxx11xxx22x1；易知函數(shù)yx2x1在xπ,0上單調(diào)遞增，因此y2π22π1，π22π1yπ22π14kk即可得即只需，4π2π12.579621,0，所以k1；易知44注意到，由（1）可知，由有兩個(gè)零點(diǎn)可知，必存在xπ,00，使得4kfx0不恒成立；f00，fx4kfx0，故fx所以當(dāng)k0時(shí)，00綜上，整數(shù)的最大值為1.kex2xfx2x3kxx,x,xx122.已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，且.2123x（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；kf3f1k2（2）若2是的一個(gè)極大