2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué)高三第三次測評數(shù)學(xué)試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．2．已知底面為邊長為的正方形，側(cè)棱長為的直四棱柱中，是上底面上的動點.給出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①與點距離為的點形成一條曲線，則該曲線的長度是；②若面，則與面所成角的正切值取值范圍是；③若，則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A． B． C． D．3．在展開式中的常數(shù)項為A．1 B．2 C．3 D．74．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．5．的展開式中，含項的系數(shù)為（）A． B． C． D．6．下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）A． B． C． D．7．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，當(dāng)時，的取值范圍為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知函數(shù)，，若對任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．12．若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以，為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，，且滿足，則點的軌跡方程為_________．14．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．15．平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.16．已知雙曲線的左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點，則雙曲線C的離心率為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若對任意都有，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.19．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明:.21．（12分）已知點、分別在軸、軸上運動，，．（1）求點的軌跡的方程；（2）過點且斜率存在的直線與曲線交于、兩點，，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實數(shù)的值；（2）若求證:.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.2、C【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，利用弧長公式，可得結(jié)論；②當(dāng)在（或時，與面所成角（或的正切值為最小，當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，可得正切值取值范圍是；③設(shè)，，，則，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．【詳解】如圖：①錯誤，因為，與點距離為的點形成以為圓心，半徑為的圓弧，長度為；②正確，因為面面，所以點必須在面對角線上運動，當(dāng)在（或）時，與面所成角（或）的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點），當(dāng)在時，與面所成角的正切值為最大，所以正切值取值范圍是；③正確，設(shè)，則，即，在前后、左右、上下面上的正投影長分別為，，，所以六個面上的正投影長度之，當(dāng)且僅當(dāng)在時取等號.故選：.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，屬于難題．3、D【解析】

求出展開項中的常數(shù)項及含的項，問題得解。【詳解】展開項中的常數(shù)項及含的項分別為：,，所以展開式中的常數(shù)項為：.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。4、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項的系數(shù)．【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數(shù)為.故選：B.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，在上為減函數(shù).A選項，的定義域為，在上為增函數(shù)，不符合.B選項，的定義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數(shù)，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.8、D【解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標(biāo)，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標(biāo)為，四個焦點的坐標(biāo)為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時有，，離心率，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.9、C【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在時的單調(diào)性、極值，可得時，滿足題意，再在時，求解的x的范圍，綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，令，則；，則，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為，∴時，的取值范圍為，∴又當(dāng)時，令，則，即，∴綜上所述，的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法，考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.10、A【解析】

設(shè)，由得：，由復(fù)數(shù)相等可得的值，進而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，由得：，即，由復(fù)數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復(fù)平面對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A.【點睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法，考查對復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點，考查運算能力，屬于?？碱}.11、C【解析】

對任意的總有恒成立，因為，對恒成立，可得，令，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】對任意的總有恒成立，對恒成立，令，可得令，得當(dāng)，當(dāng)，，故令，得當(dāng)時，當(dāng)，當(dāng)時，故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計算能力,屬于難題.12、B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上，由此得到，同理可得，由對數(shù)運算法則可知，從而化簡得到，由此確定軌跡方程.【詳解】，，和的中點坐標(biāo)為，且在線段的垂直平分線上，，即，同理可得：，，，點的軌跡方程為．故答案為：．【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對數(shù)運算法則構(gòu)造出滿足的方程，由此得到結(jié)果.14、【解析】

在不等式兩邊同時取對數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）＝，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設(shè)f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵15、【解析】

作出平面區(qū)域，可知平面區(qū)域為三角形，求出三角形的三個頂點坐標(biāo)，設(shè)三角形的外接圓方程為，將三角形三個頂點坐標(biāo)代入圓的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示：由圖可知，平面區(qū)域為，聯(lián)立，解得，則點，同理可得點、，設(shè)的外接圓方程為，由題意可得，解得，，，因此，所求圓的方程為.故答案為：.【點睛】本題考查三角形外接圓方程的求解，同時也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力，屬于中等題.16、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對稱性可知或,進而利用兩點間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為,,因為左、右焦點和點為某個等腰三角形的三個頂點,當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當(dāng)時,,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

利用零點分區(qū)間法，去掉絕對值符號分組討論求并集，對恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當(dāng)時，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為若對任意、都有，即為，由，當(dāng)取得等號，則，由，可得，則的取值范圍是【點睛】本題考查含有兩個絕對值符號的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問題.（1）含有兩個絕對值符號的不等式常用解法可用零點分區(qū)間法去掉絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.18、（1）（2）【解析】

（1）先根據(jù)平方關(guān)系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出；（2）分別在和中，根據(jù)正弦定理列出兩個等式，兩式相除，利用題目條件即可求出，再根據(jù)余弦定理求出，即可根據(jù)求出的面積．【詳解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面積.【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.20、（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）當(dāng)時，求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及二階導(dǎo)函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）令求得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，結(jié)合有兩個極值點，求得的取值范圍.將代入列方程組，由證得.【詳解】（1），，又，所以在單增，從而當(dāng)時，遞減，當(dāng)時，遞增.（2）.令，令，則故在遞增，在遞減，所以.注意到當(dāng)時，所以當(dāng)時，有一個極值點，當(dāng)時，有兩個極值點，當(dāng)時，沒有極值點，綜上因為是的兩個極值點，所以不妨設(shè)，得，因為在遞減，且，所以又所以【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.21、（1）（2）【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出，得到，所以，代入韋達定理即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，設(shè)，由得．又由于，化簡得的軌跡的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得，，設(shè)，，則，，由已知，，則，故