應(yīng)力強(qiáng)度因子

斷裂與損傷力學(xué)應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值計(jì)算方法綜述2023年6月應(yīng)力強(qiáng)度因子求解方法概述含有裂紋的工程結(jié)構(gòu)的斷裂力學(xué)分析一直是一個(gè)重要問題，在斷裂力學(xué)理論中應(yīng)力強(qiáng)度因子是線彈性斷裂力學(xué)中最重要的參量。它是由構(gòu)件的尺寸、形狀和所受的載荷形式而確定。由于裂尖應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度取決于應(yīng)力強(qiáng)度因子，因此在計(jì)算各種構(gòu)件或試件的應(yīng)力強(qiáng)度因子是線彈性斷裂力學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。由于應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋體分析中的中心地位，它的求解自斷裂力學(xué)問世以來就受到了高度的重視。迄今為止，已經(jīng)產(chǎn)生了眾多的理論和致值解法。70年代中期以前的有關(guān)工作在文獻(xiàn)中已有相當(dāng)全面的總結(jié)，近20年來，求解的方法又得剄了明顯的開展與完善。下文將穿透裂紋問題(二維)與局部穿透裂紋問題〔三維〕分開討論。二維裂紋問題2.1復(fù)變函數(shù)法由Muskhelishvili的復(fù)變函數(shù)法，應(yīng)力函數(shù)為：平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力與位移為：可以證明，在裂紋尖端區(qū)域：由上式可見。由于k僅與有關(guān)，因此只需確定一個(gè)解析函數(shù)，就能求得kI，這一方法一般只能用來解無限體裂紋問題。對(duì)于含孔邊裂紋的無限大板，通常可利用復(fù)變函數(shù)的保角映射原理來簡(jiǎn)化解題過程。如采用復(fù)變〔解析〕變分方法，那么可求解具有復(fù)雜幾何形狀的含裂紋有限大板的應(yīng)力強(qiáng)度因子。2.2積分方程法彈性邊值問題可以變?yōu)榍蠼庖韵滦问降姆e分方程：由積分方程解出沿裂紋的坐標(biāo)的函數(shù)，便能直接求出應(yīng)力強(qiáng)度因子k。這個(gè)積分方程在有些特殊情況下可用普通的Gauss-Chebyshellr積分或它的修正形式來求解。2.3邊界配置法邊界配置法是求解各類邊值問題的一種半解析半數(shù)值方法。用應(yīng)力函數(shù)法求解二維裂紋問題，關(guān)鍵是選擇適宜的滿足全部邊界條件的雙調(diào)和應(yīng)力函數(shù)，而對(duì)有限體或裂紋分布較復(fù)雜的情況，封閉形式的應(yīng)力函數(shù)是很難選取的。邊界配置法克服了這一困難，它的根本思路是選擇以級(jí)數(shù)展開形式的函數(shù)作為滿足雙調(diào)和方程和裂紋面邊界條件的應(yīng)力函數(shù)，通過邊界條件來確定含有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)中的待定系數(shù)。這些待定系數(shù)可以通過求解滿足邊界上的應(yīng)力，載葡或位移的一組線性代數(shù)方程而確定。求解中可以在指定點(diǎn)上精確地滿足，也可以在最小均方差的意義上滿足邊界條件。這樣得到的級(jí)致解一般能精確滿足域內(nèi)的給定條件，并且近似地滿足其余邊界上的條件。在裂紋問題的邊界配置法中有兩種根本的應(yīng)力函數(shù)可供選擇，即Williams的應(yīng)力函數(shù)和Muskhelishyili的復(fù)變應(yīng)力函數(shù)，從開展過程看，前者一般用在邊緣裂紋問題中，后者可用于內(nèi)埋裂紋與邊緣裂紋的情況。邊界配置法的求解精度較高。它的缺乏之處是：對(duì)于不同類型的裂紋問題，應(yīng)力函數(shù)必須改變。而建立這些新的應(yīng)力函數(shù)的工作量將是很大的，對(duì)于較復(fù)雜的幾何與載荷情況，應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的邊界條件很難確定，另外，解的收斂性還沒有得到嚴(yán)格的證明。2.4邊界力法邊界力法通過利用無限體中有限數(shù)量的集中力和集中力矩的疊加來求解邊值問題。這種解法以無限體中集中力和集中力矩的彈性解為根本解，對(duì)于不含裂紋的板，根本解取Muskhelishyili的解，對(duì)于含裂紋的板，那么取Erdogan的解作為根本解。由于Erdogan的解精確地滿足了裂紋面應(yīng)力為零的條件，所以裂紋面就不再需要作為邊界的一一局部加以考慮。因?yàn)楦窘鉂M足了物體內(nèi)部的所有彈性力學(xué)方程，余下所需滿足的條件只是邊界條件。這些邊界條件那么是通過在相應(yīng)于真實(shí)裂紋體的假想邊界上施加一系列的集中力和集中力矩來滿足的，先把假想的邊界離散化為一組線段，在每一段的中心，在離開假想邊界處加上一對(duì)集中力和力矩，這些力和力矩的值可通過近似地滿足邊界條件得以確定。與其他數(shù)值方法相比，邊界力法有其明顯的優(yōu)點(diǎn)。由于這一方法已精確地滿足了裂紋面上的邊界條件，所以它不需要像邊界元法那樣把裂紋面視為邊界的一局部。另外，它也克服了邊界配位法中所需要的對(duì)每一類裂紋問題都要建立新的應(yīng)力函數(shù)的缺點(diǎn)。這種解法只要較小的自由度就能到達(dá)相當(dāng)高的精度。因此它在求解幾何形體復(fù)雜的裂紋向題中有著明顯的優(yōu)點(diǎn)，但在處理復(fù)雜載荷的能力方面，那么遠(yuǎn)非如權(quán)函數(shù)法那樣靈活。2.5權(quán)函數(shù)法權(quán)函數(shù)法是一種求解在任意受載條件下裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的高效方法。這種解法的高效性在于它把影響應(yīng)力強(qiáng)度因子的兩個(gè)因素，即載荷與幾何，作了變量別離。權(quán)函數(shù)僅反映了裂紋體的幾何特性，它可以根據(jù)一種受載情況下的解確定。一經(jīng)導(dǎo)出，它就能被用來不受限制地求解任意加載條件下的k值，求解中只需作一個(gè)積分運(yùn)算：式中m(a,x)為權(quán)函數(shù)，為無裂紋體中假想裂紋處的應(yīng)力分布。除了靈活通用，簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)等特點(diǎn)外，這一方法所得的結(jié)果有高的可靠性。2.6有限元法有限元法在斷裂力學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，它不受解析方法常遇到的因裂紋體幾何或載荷的復(fù)雜性的限制。這種方法的根本思路是用一系列離散化的，區(qū)段連續(xù)的場(chǎng)變量來對(duì)任何連續(xù)的場(chǎng)交量作逼近。這些區(qū)段稱為單元，單元間由結(jié)點(diǎn)互相連結(jié)。因?yàn)閱卧獌?nèi)的場(chǎng)變量的變化規(guī)律是未知的，所以要用某些近似函數(shù)來描述它們?cè)趩卧獌?nèi)的行為。這些近似函數(shù)稱為插值函數(shù)。求解以有限矩陣形式出現(xiàn)的場(chǎng)的方程，便能得到整個(gè)系統(tǒng)的單元結(jié)點(diǎn)的場(chǎng)變量值，進(jìn)而確定單元內(nèi)的變量值，關(guān)于這一方法本身的理論可另見有關(guān)專著，這里只對(duì)利用有限元法求解裂紋體應(yīng)力強(qiáng)度因子作一簡(jiǎn)單介紹。除了極少數(shù)特殊設(shè)計(jì)的專用程序能在有限元輸出結(jié)果中直接給出應(yīng)力強(qiáng)度因子k以外，一般的有限元計(jì)算結(jié)果都需要再通過一定的中間運(yùn)算才能最終確定k值，目前在文獻(xiàn)中用有限元法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子大致可以分成直接法和間接法兩種，直接法是指由有限元計(jì)算輸出的應(yīng)力或位移求k值。間接法那么是通過有限元求出某些中間量，進(jìn)而導(dǎo)出k值。2.6.1直接法常用的直接法一般有以下三種：(l)采用非奇異元的位移法有限元計(jì)算所得的結(jié)點(diǎn)位移，通過近裂紋尖端區(qū)位移與應(yīng)力強(qiáng)度因子之間的關(guān)系，求得一組應(yīng)力強(qiáng)度因子值。一般建議用由裂尖起始的，沿為常數(shù)(通常取=180)的射線上的結(jié)點(diǎn)位移。在裂紋面上取假設(shè)干結(jié)點(diǎn)的位移，作出k-r/a的關(guān)系圖。在r/a=0的小區(qū)域內(nèi)，由于采用常規(guī)單元體表達(dá)不了裂紋尖端的奇異性，可能會(huì)出現(xiàn)k的異常變化，為了提高求解精度，可將k-r/a的直線段外延到與縱軸k的交點(diǎn)，交點(diǎn)的值即為所求的k。(2)采用非奇異元的應(yīng)力法與位移法類似，可利用裂尖區(qū)應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)力強(qiáng)度因子的關(guān)系求k值。以有限元結(jié)點(diǎn)或高斯點(diǎn)的應(yīng)力值代入上式。并采用與位移法類似的由k-r/a直線段外推到，r/a=0，便能確定應(yīng)力強(qiáng)度因子值。對(duì)于基于位移假設(shè)的有限元解法，由干位移的計(jì)算精度比應(yīng)力的精度高，而且裂尖區(qū)應(yīng)力的奇異性在常規(guī)元中又不能表達(dá)，所以通常都是由位移解來導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子值。(3)裂尖奇異元用常規(guī)的非奇異元來求解裂紋問題的一大困難是需要用很細(xì)的網(wǎng)格，即大量的自由度，才能使應(yīng)力強(qiáng)度因子解到達(dá)一定的精度水平，為了壓縮計(jì)算工作量，開展了各類具有奇異性的裂尖奇異元，這些奇異元自身所具有的應(yīng)力與應(yīng)變奇異性使得用較小的自由度便能達(dá)剄一定的求解精度，然而這些奇異元在某些方面也有著缺乏之處，如：缺乏剛性位移，與常規(guī)元不易協(xié)調(diào)，在通用的結(jié)構(gòu)分析有限元程序中并不具備，因此應(yīng)用起來較麻煩等等。后來出現(xiàn)的一種新的奇異元那么克服了以上的缺乏，這種新的奇異元就是由廣為使用的二次等參元退化而成的四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元。四分之一結(jié)點(diǎn)的四邊形單元的這種奇異性只在單元的兩個(gè)側(cè)邊上才存在。而在單元內(nèi)部，任一條自裂尖起始的射線上奇異性并不存在。然而，如果把四邊形的一條邊壓縮成位于裂尖的一個(gè)點(diǎn)，并把兩側(cè)邊的中結(jié)點(diǎn)向裂尖移到四分之一邊長(zhǎng)的位置，那么沿自裂尖出發(fā)的任一條射線，這種經(jīng)畸變后的裂失單元通常稱為畸變的〔或退化的〕四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元。由于一般的有限元程序中都含有8結(jié)點(diǎn)二次等參元〔三維那么為20結(jié)點(diǎn)六面體等參元〕，所以采用這種四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元能夠在一般的有限元程序中實(shí)現(xiàn)，且不需對(duì)程序作任何修改。所需要做的只是在輸入文件中寫進(jìn)畸變后單元的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)〔而其他類型的裂尖奇異元法那么需要有限元程序本身就具有這些裂尖奇異元，這就大大地限制了它們的使用范圍〕。另外，這種四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元不存在與周圍的非奇異元不相容的問蹲。由于這些明顯的優(yōu)點(diǎn)，這種裂尖元得到了非常廣泛的應(yīng)用。2.6.2間接法應(yīng)用直接法遇到的一個(gè)主要問題是：由于裂紋尖端的奇異性，應(yīng)力在r=0時(shí)以。方式趨于無窮。為了保證解的精度，在用常規(guī)非奇異元時(shí)需要把網(wǎng)格劃得很細(xì)，從而導(dǎo)致自由度和計(jì)算量的增加，解決這一問題除了上面已討論的奇異元外，還可以采用各種間接法，如能量釋放率，J積分，剛度導(dǎo)數(shù)等方法間接地導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子。(1)能量釋放率法線彈性斷裂力學(xué)的理論已證明，應(yīng)力強(qiáng)度因子k與裂紋體能量釋放率G之間有如下關(guān)系。計(jì)算G的一個(gè)簡(jiǎn)單方法是進(jìn)行兩次有限元計(jì)算，在一個(gè)計(jì)算中取裂紋長(zhǎng)度為a，在另一個(gè)計(jì)算中釋放緊靠裂紋尖端的一個(gè)結(jié)點(diǎn)，用公式計(jì)算應(yīng)變能。取兩個(gè)計(jì)算之差值，可得能量釋放率,由此便能得到k值。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)網(wǎng)格細(xì)化的程度要求較低。(2)J積分法J積分為應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解提供了另一種數(shù)值方法，積分是沿著包圍裂紋尖端的某路徑的一個(gè)線積分，其定義是式中w為應(yīng)變能密度，T為積分路徑的外法線方向的面力矢量，U為位移矢量，ds是沿積分路徑的弧長(zhǎng)。Rice已經(jīng)證明了J積分的路徑無關(guān)性。這一特性為J積分的計(jì)算帶來很大方便。由于積分路徑可選在近裂尖區(qū)以外，因而就降低了對(duì)裂尖區(qū)單元及其密度的要求。在線彈性條件下，J積分與應(yīng)變能釋放率G是等同的，因此由J積分可得應(yīng)力強(qiáng)度因子k。為了計(jì)算J積分，必須有一個(gè)根據(jù)其定義式建立的一個(gè)專用的計(jì)算機(jī)后處理程序,并要有一個(gè)描述數(shù)值積分路徑的子程序。如果在計(jì)算機(jī)中采用的是二次等參元，那么最好選擇通過單元Gauss點(diǎn)〔而不是結(jié)點(diǎn)〕的路徑。在大多數(shù)情況下，用2x2的積分比用高階積分所得的結(jié)果會(huì)更好些。目前，J積分的原理與應(yīng)用范圍已經(jīng)分別得到開展與擴(kuò)大，可以用于變厚度板、非均勻溫度場(chǎng)以及有體力的情況并可用于裂尖應(yīng)力場(chǎng)具有非負(fù)二分之一奇異性的情況。三維裂紋問題工程實(shí)際中的裂紋一般都是以非穿透厚度裂紋的形式出現(xiàn)的。即使對(duì)于穿透裂紋來說，在絕大多數(shù)情況下，它在起始階段也是非穿透裂紋。為分析方便，這類非穿透裂紋一般用橢圓內(nèi)埋裂紋，半橢圓外表裂紋和四分之一橢圓角裂紋來代表。三維裂紋問題與二維的顯著區(qū)別是。應(yīng)力強(qiáng)度因子沿著裂紋前緣變化，即k是參量角的函數(shù)。在三維裂紋前緣與物體外表的交點(diǎn)附近，應(yīng)力具有非-l/2的奇異性，因此，嚴(yán)格說來，建立在-l/2奇異性根底上的k是沒有意義的。然而已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這種現(xiàn)象屬一種很薄的邊界層效應(yīng)。對(duì)工程應(yīng)用而言，一般可采用將內(nèi)部的k值外延的方法解決。由于問題的復(fù)雜性，三維裂紋問題的精確解還只限于無限體中內(nèi)埋橢圓裂紋的情況。對(duì)于工程中最常見的外表裂紋和角裂絞問題，那么必須采用各類近似解法，這些解法主要有：有限元法，邊界積分方程〔邊界元〕法，混合法，解析變分法，權(quán)函數(shù)法，能量法，局部一整體法等。3.1有限元法與二維問題類似，三維裂紋分析的有限元法按采用的單元類型也可以分為常規(guī)元與奇異元兩類。3.1.1各種單元(l)常規(guī)元用常規(guī)元解三維裂紋問題時(shí)，由于這種單元不具有奇異性，因此假設(shè)基于位移或應(yīng)力直接求解三維應(yīng)力強(qiáng)度因子，那么必須極大地增加自由度才能到達(dá)一定的精度。Hall等人提出了一種三維的“宏單元〞(macroelement)方法。這種方法首先把裂紋體分割為兩個(gè)或多個(gè)由20結(jié)點(diǎn)等參元組成的子結(jié)構(gòu)，用一個(gè)簡(jiǎn)單的20結(jié)點(diǎn)單元來代表裂紋所在的區(qū)域。然后再把這個(gè)含裂紋的區(qū)域模擬為一個(gè)宏單元。這個(gè)宏單元在裂紋前緣附近區(qū)域內(nèi)有高密度的結(jié)點(diǎn)，并且與相鄰的標(biāo)準(zhǔn)20結(jié)點(diǎn)等參元相容。這種方法能適用于任意形狀的三維裂紋體。(2)奇異元為了更準(zhǔn)確地描述裂紋前緣的應(yīng)力奇異性，開展了幾種特殊的單元。這些單元內(nèi)的應(yīng)力呈奇異性，因而將使三維裂紋有限元分析所需的自由度明顯降低。Traccy提出了一種6結(jié)點(diǎn)的五邊形奇異元，這種單元把裂紋前緣分割成假設(shè)干線性區(qū)段，對(duì)于對(duì)稱的三維裂紋，通常把裂紋前緣分割成8個(gè)奇異元。在裂紋體的其余局部，那么利用8結(jié)點(diǎn)六面體等參元。Stern和Becker，Blackburn和Hellen提出了6結(jié)點(diǎn)〔二維〕和15結(jié)點(diǎn)的奇異元。這種15結(jié)點(diǎn)的五邊形單元側(cè)面為曲線形，它有6個(gè)角結(jié)點(diǎn)和9個(gè)中間結(jié)點(diǎn)，因?yàn)閱卧膫?cè)面可為曲線，所以可用拋物線弧段近似地代表三維裂紋的前緣。這類奇異元與標(biāo)準(zhǔn)的20結(jié)點(diǎn)等參元是相容的。Henshell和Shaw對(duì)二維問題提出的四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元可以方便地推廣到三維裂紋的有限元分析中。對(duì)于三維問題，把20結(jié)點(diǎn)的六面體等參元靠裂紋前緣兩側(cè)邊的中間結(jié)點(diǎn)向裂尖移動(dòng)到四分之一邊長(zhǎng)處，即可實(shí)現(xiàn)沿側(cè)邊的奇異性。與二維問題類似，如果將六面體的一個(gè)側(cè)面壓縮為一條與裂紋前緣重合的曲線，那么能在整個(gè)單元體內(nèi)實(shí)現(xiàn)奇異性。這種退化的〔畸變的〕四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元為五邊形，有15個(gè)結(jié)點(diǎn)。與其他類型的奇異元相比，這種由20結(jié)點(diǎn)等參元退化而成的奇異元具有更大的吸引力，因?yàn)樗苋菀自谠S多通用的有限元程序中實(shí)現(xiàn)，無需對(duì)程序作任何修改。由于這一獨(dú)特的優(yōu)越性，這種奇異元已為研究者們廣泛應(yīng)用。需要指出的一點(diǎn)是，在將20結(jié)點(diǎn)退化等參元用于三維裂紋分析時(shí)，如果單元的長(zhǎng)細(xì)比不適宜，且前緣曲率半徑較小時(shí)，那么存在著雅可比為負(fù)值的危險(xiǎn)性，從而導(dǎo)致解的誤差。但這個(gè)問題是可以防止的，其方法是：使四分之一結(jié)點(diǎn)作微小的移動(dòng)〔盡量靠近四分之一位置，但又不是準(zhǔn)確地在四分之一處〕。另外，也可以令與裂紋前緣相對(duì)的那一個(gè)面變成曲面，此時(shí)用四分之一結(jié)點(diǎn)奇異元就不會(huì)產(chǎn)生上述問題。。(3)雜交元除了以上介紹的幾類單元以外，還有兩類雜交奇異元：應(yīng)力雜交元和位移雜交元，這些奇異元的優(yōu)點(diǎn)是：應(yīng)力強(qiáng)度因子解是作為有限元解的一局部直接得到的。應(yīng)力雜交元的應(yīng)力奇異性是由應(yīng)力強(qiáng)度因子k和近裂尖區(qū)的二維應(yīng)力場(chǎng)解來表達(dá)的。其余的應(yīng)力項(xiàng)那么是滿足平衡條件和裂紋面載荷為零的簡(jiǎn)單多項(xiàng)式，并且，沿著單元邊界的位移設(shè)計(jì)成與常規(guī)單元相容.在應(yīng)變雜交元中，單元內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)的奇異性是由應(yīng)力強(qiáng)度因子k和近裂尖區(qū)的位移解來表達(dá)的，并且在單元的邊界上的位移與相鄰的常規(guī)單元相容。這些奇異元的剛度矩陣是用修正的變分原理導(dǎo)出的。3.2由有限元解導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法用有限元法求解裂紋問題，除了某些特殊建立的單元外，一般都不能直接解出應(yīng)力強(qiáng)度因子，而需要由有限元計(jì)算的輸出結(jié)果作進(jìn)一步的推導(dǎo)才能最終確定k值。通常用的方法有。裂紋張開位移法，力法，虛裂紋擴(kuò)展法，虛裂紋閉合法，等效區(qū)城積分法等。(l)位移法由裂紋張開位移推出應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法在上面的二維問題中已作過介紹。這種方法可以直接推廣到三維裂紋的有限元計(jì)算中。在應(yīng)用于三維問題時(shí)遇到的一個(gè)未定因素是必須對(duì)裂紋尖端的應(yīng)力狀態(tài)〔平面應(yīng)力盛平面應(yīng)變〕作出假設(shè)，二者在應(yīng)力強(qiáng)度因子上的差異為，秒為泊松比，在一般情況下可取v=0.3。這時(shí)，平面應(yīng)變的結(jié)果將比平面應(yīng)力情況高出9%。許多研究者的工作說明，沿裂紋前緣絕大局部范圍為平面應(yīng)變狀態(tài)，平面應(yīng)力狀態(tài)只在緊靠自由外表的一個(gè)很小的區(qū)域內(nèi)存在。結(jié)點(diǎn)力法結(jié)點(diǎn)力法利用裂紋邊緣前方的正應(yīng)力有限元計(jì)算結(jié)果來導(dǎo)出應(yīng)力強(qiáng)度因子。與位移法相比，這種方法不需要對(duì)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)出假設(shè)，將半橢圓裂紋用一系列的楔形單元作分割。為了計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，需要知道沿著與裂紋前緣正交的雙曲線〔虛線〕的結(jié)點(diǎn)力。把由有限元分析所得的沿兩楔元邊界上〔參量角〕結(jié)點(diǎn)力相加，可求出給定R值時(shí)的Fr，取一系列不同的R，那么能得到相應(yīng)的Fr，。根據(jù)這些F，求