小學五年級奧數(shù)題目及答案解析

五年級奧數(shù)暑假思維訓練題

(1)3(x+10)=45(2)6.6-1.1x=3.3

(3)404-(x-2)=5(4)7x-3=2(x+6)

(5)8(x-3)-4x+9=0(6)12x+5-63x=54-85x

1.一輛汽車，從甲地到乙地.如果每小時行45千米，就要晚0.5小時到達；如果每小時

行50千米，就可提前0.5小時到達.問甲乙兩地的距離及原計劃行駛的時間.

2.小紅、小喬買了同一本習題集，利用暑假做習題.小紅做了364道，小喬做了228道后

剩下的題目正好是小紅剩下的2倍，問此書共有多少習題？

3.父親今年47歲，兒子今年20歲，問幾年以前，父親的年齡是兒子年齡的4倍？

4.一個植樹小組去栽樹，如果每人栽5棵，還剩下14棵樹苗；如果每人栽7棵，就缺

少4棵樹苗.問這個小組有多少人？一共有多少棵樹苗？

5、甲種鉛筆每枝0.3元，乙種鉛筆每枝0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20枝，兩種鉛

筆各買了多少枝？

6、一個梯形的下底比上底多2厘米，高是5厘米，面積是40厘米，求上底？

7、一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時，從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了

2.5小時。已知水速是3千米/小時，求船在靜水中的速度？

8、甲、乙兩人進行登山比賽，甲每分登高10米，乙每分登高15米，乙比甲早到30分鐘。

這座山有多高？（兩種方法）

9、從甲地到乙地，小明未行的路程是已行路程的3倍，如果再行150米，這時小明未行的

路程是已行的路程的2倍。求甲乙兩地的路程？（兩種方法）

10、一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍，若把這個十位上的數(shù)與個位上的數(shù)對

調，那么所得的兩位數(shù)比原來大54,求原兩位數(shù)是多少？

11.正方形操場四周栽了一圈樹，每兩棵樹相隔5米。甲乙二人同時從一個角出發(fā)，向不同

的方向走去（如下圖），甲的速度是乙的2倍，乙在拐了第一彎之后的第5棵樹與甲相遇。

操場四周一共栽了多少棵樹？

4\!

乙-

甲3

五年級奧數(shù)練習題：相遇

例1：小麗和小紅兩家相距910米，兩人電話相約同時從家中出發(fā)向對方相向行駛，小麗每

分鐘走60米，小紅每分鐘走70米，幾分鐘后兩人在途中相遇？

1、甲、乙兩地相距54千米，A、B兩人同時從兩地相向而行，A每小時行4千米，B每

小時行5千米，兩人經(jīng)過幾小時后相遇？

2、甲'乙兩人同時從學校向相反的方向行駛，甲每分鐘行52米，乙每分鐘行50米,

經(jīng)過7分鐘后他們相距多少米？他們各自離學校有多少米？

3、甲、乙兩地相距480千米，客車和貨車同時從兩地相向而行，經(jīng)過5小時相遇，客

車的速度是每小時50千米，求貨車的速度是每小時行多少千米？

例2：甲、乙兩輛汽車從相距600千米的兩地相對開出，甲每小時行45千米，乙車每

小時行40千米，甲車先開出2小時后，乙車才開出，問乙車行幾小時后與甲車相遇？相遇

時各行多少千米？

1、王樂和張強兩人從相距2280米的兩地相向而行，王樂每分鐘行60米，張強每分鐘

行80米，王樂出發(fā)3分鐘后張強才出發(fā)，張強出發(fā)幾分鐘與王樂相遇？

2、一列火車于下午4時30分從甲站開出，每小時行120千米，經(jīng)過1小時后，另一

列火車以同樣的速度從乙站開出，晚上9時30分兩車相遇，問甲'乙兩站鐵路長是多少千

米？

3、AB兩地相距360千米，客車與貨車從A、B兩地相向而行，客車先行1小時，貨車

才開出，客車每小時行60千米，貨車每小時行40千米，客車開出后幾小時與貨車相遇？

相遇地點距B地多遠？

例3：快車和慢車同時從甲、乙兩地相對開出，已知快車每小時行60千米，慢車每小

時行52千米，經(jīng)過幾小時后快車在經(jīng)過中點32千米處與慢車相遇，求甲、乙兩地的路程

是多少？

1、甲、乙兩車從A、B兩地同時相向而行，甲車每小時行40千米，乙車每小時行35

千米，兩車在距中點15千米處相遇，求AB兩地相距是多少？

2、甲、乙兩人同時從兩地騎車相向而行，甲每小時行18千米，乙每小時行15千米,

兩人相遇時距中點3千米，求兩地距離多少千米？

3、甲、乙兩人同時從正方形花壇A點出發(fā)，沿著花壇的邊上走，甲順時針每分鐘走40

米，乙逆時針每分鐘行45米，兩人在距C點15米處相遇，求這個花壇周長是多少？

例4：甲、乙相距640千米，兩輛汽車同時從甲地開往乙地，第一輛汽車每小時行46

千米，第二輛汽車每小時行34千米，第一輛汽車到達乙地后立即返回，兩輛汽車從開出到

相遇共用了幾小時？

1、AB兩地相距900米，甲'乙兩人同時從A到B,甲每分鐘行70米，乙每分鐘行50

米，當甲到達B后立即返回與乙在途中相遇，兩人從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少分鐘？

小學五年級奧數(shù)題

9.有7個數(shù)，它們的平均數(shù)是18。去掉一個數(shù)后，剩下6個數(shù)的平均數(shù)是19；再去掉一

個數(shù)后，剩下的5個數(shù)的平均數(shù)是20。求去掉的兩個數(shù)的乘積。

10.有七個排成一列的數(shù)，它們的平均數(shù)是30,前三個數(shù)的平均數(shù)是28,后五個數(shù)的平

均數(shù)是33。求第三個數(shù)。

11.有兩組數(shù)，第一組9個數(shù)的和是63,第二組的平均數(shù)是11,兩個組中所有數(shù)的平均

數(shù)是8。問：第二組有多少個數(shù)？

12.小明參加了六次測驗，第三、第四次的平均分比前兩次的平均分多2分，比后兩次的

平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得幾

分？

13.媽媽每4天要去一次副食商店，每5天要去一次百貨商店。媽媽平均每星期去這兩

個商店幾次？（用小數(shù)表示）

14.乙、丙兩數(shù)的平均數(shù)與甲數(shù)之比是13：7,求甲、乙、丙三數(shù)的平均數(shù)與甲數(shù)之比

15.五年級同學參加校辦工廠糊紙盒勞動，平均每人糊了76個。已知每人至少糊了70個,

并且其中有一個同學糊了88個，如果不把這個同學計算在內，那么平均每人糊74個。糊

得最快的同學最多糊了多少個？

16.甲'乙兩班進行越野行軍比賽，甲班以4.5千米/時的速度走了路程的一半，又以5.5

千米/時的速度走完了另一半；乙班在比賽過程中，一半時間以4.5千米/時的速度行進,

另一半時間以5.5千米/時的速度行進。問：甲、乙兩班誰將獲勝？

17.輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天。從A城放一個無動力的木筏,

它漂到B城需多少天？

18.小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分走52米，小強每分走70米，二人在

途中的A處相遇。若小紅提前4分出發(fā)，且速度不變，小強每分走90米，則兩人仍在A處

相遇。小紅和小強兩人的家相距多少米？

19.小明和小軍分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行。若兩人按原定速度前進，則4時

相遇；若兩人各自都比原定速度多1千米/時，則3時相遇。甲、乙兩地相距多少千米？

20.甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。

相遇后甲比原來速度增加2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒，結果都用24秒同時回到

原地。求甲原來的速度。

過橋問題（1）

1.一列火車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長140米，火車每分鐘行400

米，這列火車通過長江大橋需要多少分鐘？

2.一列火車長200米，全車通過長700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米?

3.一列火車長240米，這列火車每秒行15米，從車頭進山洞到全車出山洞共用20秒，山

洞長多少米？

和倍問題

1.秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各

是多少歲？

2.甲乙兩架飛機同時從機場向相反方向飛行，3小時共飛行3600千米，甲的速度是乙的2

倍，求它們的速度各是多少？

3.弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥

的2倍？

4.甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進10噸，這時甲庫

存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？

列方程組解應用題（一）

1.用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個，一個盒身和兩個盒底配

成一個罐頭盒，現(xiàn)有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才能使盒身與盒底正

好配套？

奇數(shù)與偶數(shù)（一）

1.有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉其中的4張，那么，他能在翻動若干次后，使

5張牌的畫面都向下嗎？

2.甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子，李

平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入

甲盒；如果兩個棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個

棋子，這個棋子是什么顏色的？

奧賽專題一稱球問題

例1有4堆外表上一樣的球，每堆4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個

重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。

2有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次（不

用跌碼），把次品球找出來。

例3把10個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來

奧賽專題一抽屜原理

【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么?

［例2］任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么?

［例3］有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試問不論如何取，從箱中

至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外

還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4

個是同一顏色的球？

奧賽專題一還原問題

1例11某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100

元。這時他的存折上還剩1250元。他原有存款多少元？

【例2】有26塊磚，兄弟2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看

弟弟挑得太多，就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又從哥哥那里拿來一半。哥哥不

讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問最初弟弟準備挑多少塊？

奧賽專題一雞兔同籠問題

例1雞兔同籠，頭共46,足共128,雞兔各幾只？

例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

例3紅英小學三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三個班

各有多少人？

例4劉老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10條船.每條大船坐6人，每條小船坐

4人，問大船、小船各租幾條？

例5有蜘蛛、蜻蜓'蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓

6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求靖蜓有多少只？

答案及解析

由于甲速是乙速的2倍，所以乙在拐了第一彎時，甲正好拐了兩個彎，即兩個人開始同時

沿著最上邊走。乙走過了5棵樹，也就是走過了5個間隔，所以甲走過了10個間隔，四周

一共有（5+10）X4=60個間隔，根據(jù)植樹問題，一共栽了60棵樹。

9—20

9.解：7*18-6*19=126-114=12

6*19-5*20=114-100=14

10.解：28X3+33X5-30X7=39。

11.解：設第二組有x個數(shù)，則63+11x=8X（9+x）,解得x=3。

12.解：第三'四次的成績和比前兩次的成績和多4分，比后兩次的成績和少4分，推知

后兩次的成績和比前兩次的成績和多8分。因為后三次的成績和比前三次的成績和多9分,

所以第四次比第三次多9-8=1（分，

13.解：每20天去9次，94-20X7=3.15（次

14.解：以甲數(shù)為7份，則乙、丙兩數(shù)共13X2=26（份）

15.解：當把糊了88個紙盒的同學計算在內時，因為他比其余同學的平均數(shù)多88-74=14

（個），而使大家的平均數(shù)增加了76-74=2（個），說明總人數(shù)是144-2=7（人）。因此糊

得最快的同學最多糊了74X6-70X5=94（個

16.解：快速行走的路程越長，所用時間越短。甲班快、慢速行走的路程相同，乙班快速行

走的路程比慢速行走的路程長，所以乙班獲勝。

17.解：輪船順流用3天，逆流用4天，說明輪船在靜水中行4-3=1（天），等于水流3+

4=7（天），即船速是流速的7倍。所以輪船順流行3天的路程等于水流3+3X7=24（天）

的路程，即木筏從A城漂到B城需24天。

18.解：因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次從出發(fā)到相遇的時間相同。也

就是說，小強第二次比第一次少走4分。由（70X4）+（90-70）=14（分）

可知，小強第二次走了14分，推知第一次走了18分，兩人的家相距

（52+70）X18=2196（米）。

19解：每時多走1千米，兩人3時共多走6千米，這6千米相當于兩人按原定速度1時走

的距離。所以甲'乙兩地相距6X4=24（千米）

20.解：因為相遇前后甲、乙兩人的速度和不變，相遇后兩人合跑一圈用24秒，所以相遇

前兩人合跑一圈也用24秒，即24秒時兩人相遇。。

過橋問題（1）

1.一列火車經(jīng)過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長140米，火車每分鐘行400

米，這列火車通過長江大橋需要多少分鐘？

分析：這道題求的是通過時間。根據(jù)數(shù)量關系式，我們知道要想求通過時間，就要知

道路程和速度。路程是用橋長加上車長?；疖嚨乃俣仁且阎獥l件。

總路程：（米）

通過時間：（分鐘）

答：這列火車通過長江大橋需要17.1分鐘。

2.一列火車長200米，全車通過長700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？

分析與解答：這是一道求車速的過橋問題。我們知道，要想求車速，我們就要知道路

程和通過時間這兩個條件。可以用已知條件橋長和車長求出路程，通過時間也是已知條件,

所以車速可以很方便求出。

總路程：（米）

火車速度：(米)

答：這列火車每秒行30米。

3.一列火車長240米，這列火車每秒行15米，從車頭進山洞到全車出山洞共用20秒，山

洞長多少米？

分析與解答：火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的。火車頭進山洞就相當于火車頭

上橋；全車出洞就相當于車尾下橋。這道題求山洞的長度也就相當于求橋長，我們就必須

知道總路程和車長，車長是已知條件，那么我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出

總路程。

總路程：

山洞長：(米)

答：這個山洞長60米。

和倍問題

1.秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各

是多少歲？

我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就

相當于秦奮年齡的5倍是40歲，也就是(4+1)倍，也可以理解為5份是40歲，那么求1

倍是多少，接著再求4倍是多少？

(1)秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是：4+1=5(倍)

(2)秦奮的年齡：40。5=8歲

(3)媽媽的年齡：8X4=32歲

綜合：404-(4+1)=8歲8X4=32歲

為了保證此題的正確，驗證

(1)8+32=40歲(2)324-8=4(倍)

計算結果符合條件，所以解題正確。

2.甲乙兩架飛機同時從機場向相反方向飛行，3小時共飛行3600千米，甲的速度是乙的2

倍，求它們的速度各是多少？

已知兩架飛機3小時共飛行3600千米，就可以求出兩架飛機每小時飛行的航程，也就是兩

架飛機的速度和。看圖可知，這個速度和相當于乙飛機速度的3倍，這樣就可以求出乙飛

機的速度，再根據(jù)乙飛機的速度求出甲飛機的速度。

甲乙飛機的速度分別每小時行800千米、400千米。

3.弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥

的2倍？

思考：(1)哥哥在給弟弟課外書前后，題目中不變的數(shù)量是什么？

(2)要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？

(3)如果把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時(哥哥給弟弟課外書后)弟弟的

課外書可看作是哥哥剩下的課外書的幾倍？

思考以上幾個問題的基礎上，再求哥哥應該給弟弟多少本課外書。根據(jù)條件需要先求

出哥哥剩下多少本課外書。如果我們把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時弟弟的課外

書可看作是哥哥剩下的課外書的2倍，也就是兄弟倆共有的倍數(shù)相當于哥哥剩下的課外書

的3倍，而兄弟倆人課外書的總數(shù)始終是不變的數(shù)量。

(1)兄弟倆共有課外書的數(shù)量是20+25=45。

(2)哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數(shù)是2+1=3。

（3）哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45+3=15。

（4）哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是25—15=10。

試著列出綜合算式：

4.甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進10噸，這時甲庫

存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？

根據(jù)甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進10噸，可求出

這時甲、乙兩庫共存糧多少噸。根據(jù)“這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍”，如果這時把乙

庫存糧作為1倍，那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當于乙存糧的3倍。于是求出這時乙?guī)齑婕Z多

少噸，進而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸。最后就可求出甲庫原來存糧多少噸。

甲庫原存糧130噸，乙?guī)煸婕Z40噸。

列方程組解應用題（一）

1.用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個，一個盒身和兩個盒底配

成一個罐頭盒，現(xiàn)有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才能使盒身與盒底正

好配套？

依據(jù)題意可知這個題有兩個未知量，一個是制盒身的鐵皮張數(shù)，一個是制盒底的鐵皮張數(shù),

這樣就可以用兩個未知數(shù)表示，要求出這兩個未知數(shù)，就要從題目中找出兩個等量關系，

列出兩個方程，組在一起，就是方程組。

兩個等量關系是：A做盒身張數(shù)+做盒底的張數(shù)=鐵皮總張數(shù)

B制出的盒身數(shù)X2=制出的盒底數(shù)

用86張白鐵皮做盒身，64張白鐵皮做盒底。

奇數(shù)與偶數(shù)（一）

其實，在日常生活中同學們就已經(jīng)接觸了很多的奇數(shù)、偶數(shù)。

凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)；凡是不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)，大

于零的奇數(shù)又叫單數(shù)。

因為偶數(shù)是2的倍數(shù)，所以通常用這個式子來表示偶數(shù)（這里是整數(shù)）。因為任何奇數(shù)

除以2其余數(shù)都是1,所以通常用式子來表示奇數(shù)（這里是整數(shù)）。

奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質，常用的有：

一性質L兩個偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù)。

例如：8+4=12,8-4=4等。

兩個奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。

例如:9+3=12,9-3=6等。

奇數(shù)與偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。

例如：9+4=13,9-4=5等。

單數(shù)個奇數(shù)的和是奇，雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)，幾個偶數(shù)的和仍是偶數(shù)。

性質2奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。

偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù)。

性質3一任何一個奇數(shù)一定不等于任何一個偶數(shù)。

1.有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉其中的4張，那么，他能在翻動若干次后，使

5張牌的畫面都向下嗎？

同學們可以試驗一下，只有將一張牌翻動奇數(shù)次，才能使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳隆Ｒ?/p>

使5張牌的畫面都向下，那么每張牌都要翻動奇數(shù)次。

5個奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以翻動的總張數(shù)為奇數(shù)時才能使5張牌的牌面都向下。而小明每

次翻動4張，不管翻多少次，翻動的總張數(shù)都是偶數(shù)。

所以無論他翻動多少次，都不能使5張牌畫面都向下。

2.甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子，李

平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入

甲盒；如果兩個棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個

棋子，這個棋子是什么顏色的？

不論李平從甲盒中拿出兩個什么樣的棋子，他總會把一個棋子放入甲盒。所以他每拿一次,

甲盒子中的棋子數(shù)就減少一個，所以他拿180+1817=360次后，甲盒里只剩下一個棋子。

如果他拿出的是兩個黑子，那么甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個。否則甲盒子中的黑子數(shù)不變。

也就是說，李平每次從甲盒子拿出的黑子數(shù)都是偶數(shù)。由于181是奇數(shù)，奇數(shù)減偶數(shù)等于

奇數(shù)。所以，甲盒中剩下的黑子數(shù)應是奇數(shù)，而不大于1的奇數(shù)只有1,所以甲盒里剩下的

一個棋子應該是黑子。

奧賽專題一稱球問題

例1有4堆外表上一樣的球,每堆4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個

重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。

解：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上

去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。

例2有27個外表上一樣的球.其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次

(不用祛碼)，把次品球找出來。

解：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若

天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較

輕的一堆中。

第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又

可找出次品在其中較輕的那一堆。

第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕

的就是次品，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。

例3把10個外表上一樣的球,其中只有一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來。

解：把10個球分成3個'3個、3個、1個四組，將四組球及其重量分別用A、B、C、D表

示。把A、B兩組分別放在天平的兩個盤上去稱，則

(1)若4=8,則A、B中都是正品，再稱B、Co如B=C,顯然D中的那個球是次品；如B

>C,則次品在C中且次品比正品輕，再在C中取出2個球來稱，便可得出結論。如BVC,

仿照B>C的情況也可得出結論。

(2)若A>B,則C、D中都是正品，再稱B、C,則有B=C,或BVC(B>C不可能，為什

么？)如B=C,則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個球來稱，便可得出結論；

如BVC,仿前也可得出結論。

(3)若AVB,類似于A>B的情況，可分析得出結論。

奧賽專題一抽屜原理

【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12

個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個

抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生

日。

［例2］任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這

兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0,或者是1,或者

是2,根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。

我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說,

4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就

一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試問不論如何取，從箱中

至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1,只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，

這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原

理1,又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6+2+2=10

只襪子，就一定會配成3雙。

思考：1.能用抽屜原理2,直接得到結果嗎？

2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應取出多少只？

3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外

還有3個藍色球'2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4

個是同一顏色的球？

【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，

根據(jù)抽屜原理2,只要取出的球數(shù)多于（4-1）X3=9個，即至少應取出10個球，就可以保

證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應取出10+5=15個球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當我們遇到“判別具有某種事物的性質有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它——

抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

奧賽專題一還原問題

【例1】某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100

元。這時他的存折上還剩1250元。他原有存款多少元？

【分析】從上面那個“重新包裝”的事例中，我們應受到啟發(fā)：要想還原，就得反過來做

（倒推）o由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，

從而“余下的一半”是1250+100=1350（元）

余下的錢（余下一半錢的2倍）是：1350X2=2700（元）

用同樣道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。綜合算式是：

［（1250+100）X2+50］X2=5500（元）

還原問題的一般特點是：已知對某個數(shù)按照一定的順序施行四則運算的結果，或把一定

數(shù)量的物品增加或減少的結果，要求最初（運算前或增減變化前）的數(shù)量。解還原問題，

通常應當按照與運算或增減變化相反的順序，進行相應的逆運算。

【例2】有26塊磚，兄弟2人爭著去挑，弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看

弟弟挑得太多，就拿來一半給自己。弟弟覺得自己能行，又

從哥哥那里拿來一半。哥哥不讓，弟弟只好給哥哥5塊，這樣哥哥比弟弟多挑2塊。問最

初弟弟準備挑多少塊？

【分析】我們得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少塊。只要解一個“和差問題”就知道：哥

哥挑“（26+2）+2=14”塊，弟弟挑“2674=12”塊。

提示：解還原問題所作的相應的“逆運算”是指：加法用減法還原，減法用加法還原，乘

法用除法還原，除法用乘法還原，并且原來是加（減）幾，還原時應為減（加）幾，原來

是乘（除）以幾，還原時應為除（乘）以幾。

對于一些比較復雜的還原問題，要學會列表，借助表格倒推，既能理清數(shù)量關系，又便于

驗算。

奧賽專題一雞兔同籠問題

例1雞兔同籠,頭共46,足共128,雞兔各幾只？

［分析］:如果46只都是兔，一共應有4X46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了

184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里

應該換進幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒有了呢？顯然，564-2=28,只要用28只雞去置

換28只兔就行了.所以，雞的只數(shù)就是28,兔的只數(shù)是46-28=18。

解：①雞有多少只？

（4X6-128）4-（4-2）

=（184-128）4-2

=564-2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：雞有28只，免有18只。

例2雞與兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

［分析］:這個例題與前面例題是有區(qū)別的，沒有給出它們腳數(shù)的總和，而是給出了它們腳

數(shù)的差.這又如何解答呢？

假設100只全是雞，那么腳的總數(shù)是2X100=200（只）這時兔的腳數(shù)為0,雞腳比兔腳多

200只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此，雞腳與兔腳的差數(shù)比已知多了（200-80）=120

（只），這是因為把其中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數(shù)將增加2只，兔的腳

數(shù)減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數(shù)增加（2+4）=6（只），所以換成