2024屆福建省閩侯縣第六中學高考數(shù)學考前最后一卷預(yù)測卷含解析

2024屆福建省閩侯縣第六中學高考數(shù)學考前最后一卷預(yù)測卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足：)若正整數(shù)使得成立，則（）A．16 B．17 C．18 D．192．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+13．劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學家，他在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也.合成弦方之冪，開方除之，即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，其中“正方形為朱方，正方形為青方”，則在五邊形內(nèi)隨機取一個點，此點取自朱方的概率為（）A． B． C． D．4．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．45．在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．6．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．08．復(fù)數(shù)（）．A． B． C． D．9．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④12．如圖，矩形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BE折起至，記二面角的平面角為，直線與平面BCDE所成的角為，與BC所成的角為，有如下兩個命題：①對滿足題意的任意的的位置，；②對滿足題意的任意的的位置，，則()A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前項和_____．14．已知實數(shù)、滿足，且可行域表示的區(qū)域為三角形，則實數(shù)的取值范圍為______，若目標函數(shù)的最小值為-1，則實數(shù)等于______.15．三對父子去參加親子活動，坐在如圖所示的6個位置上，有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．點在雙曲線的右支上，其左、右焦點分別為、，直線與以坐標原點為圓心、為半徑的圓相切于點，線段的垂直平分線恰好過點，則該雙曲線的漸近線的斜率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）證明：函數(shù)的極小值點為1；（2）若函數(shù)在有兩個零點，證明：.19．（12分）萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會（簡稱“十四冬”）于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕，期間正值我市學校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表；并判斷能否有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)；（2）在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，20．（12分）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為,且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）求數(shù)列的前項和.21．（12分）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.22．（10分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

計算，故，解得答案.【詳解】當時，，即，且.故，，故.故選：.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算，意在考查學生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.2、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./3、C【解析】

首先明確這是一個幾何概型面積類型，然后求得總事件的面積和所研究事件的面積，代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方，其面積為9，五邊形的面積為，所以此點取自朱方的概率為.故選：C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算，共軛復(fù)數(shù)的概念.5、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，將化簡為關(guān)于的形式，結(jié)合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結(jié)果；（2）將變形為，利用的值求出結(jié)果.6、A【解析】

在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.7、D【解析】分析：因為題設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.8、A【解析】試題分析：，故選A.【考點】復(fù)數(shù)運算【名師點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù)，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化.9、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．10、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計算最值,即可得出答案.11、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．12、A【解析】

作出二面角的補角、線面角、線線角的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.【詳解】①如圖所示，過作平面，垂足為，連接，作，連接.由圖可知，，所以，所以①正確.②由于，所以與所成角，所以，所以②正確.綜上所述，①②都正確.故選：A【點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

解：兩式作差，得，經(jīng)過檢驗得出數(shù)列的通項公式，進而求得的通項公式，裂項相消求和即可．【詳解】解：兩式作差，得化簡得，檢驗：當n=1時，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；，，令故填：．【點睛】本題考查求數(shù)列的通項公式，裂項相消求數(shù)列的前n項和，解題過程中需要注意n的范圍以及對特殊項的討論，側(cè)重考查運算能力．14、【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合目標函數(shù)的最小值，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖，則要為三角形需滿足在直線下方，即，；目標函數(shù)可視為，則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù)，該直線截距最大在過點時，此時，直線：，與：的交點為，該點也在直線：上，故，故答案為：；.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.15、192【解析】

根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分步進行分析：①，在三對父子中任選1對，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】如圖，是切點，是的中點，因為，所以，又，所以，，又，根據(jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡得，所以，因此.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)，求導(dǎo)，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值.設(shè)研究在處左正右負，求導(dǎo)，分，，三種情況討論求解.【詳解】（1）因為，所以，令，則，所以是的增函數(shù)，故，即.因為所以，①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.若，則若，則所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在處取得極小值，不符合題意，②當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.若，則若，則所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以在處取得極大值，符合題意.③當時，，使得，即，但當時，即所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù))在上單調(diào)遞減，不符合題意綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.18、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區(qū)間遞減；當時，，所以，所以在區(qū)間遞增；且，所以函數(shù)的極小值點為1（2）函數(shù)在有兩個零點，即方程在區(qū)間有兩解，令，則令，則，所以在單調(diào)遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，又因為，所以，方程關(guān)于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.19、（1）列聯(lián)表見解析，有把握；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表，求出，從而有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)．（2）在全?！氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，則抽中男教工：人，抽中女教工：人，從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座．記其中女職工的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望．【詳解】解：（1）由題意得下表：男女合計冰雪迷402060非冰雪迷202040合計6040100的觀測值為所以有的把握認為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關(guān).（2）由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工，2名女職工，所以的可能取值為0，1，2.且，，，所以的分布列為012【點睛】本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、排列組合、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）設(shè)公差為，列出關(guān)于的方程組，求解的值，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，即可利用裂項相消求解數(shù)列的和.試題解析：（1）設(shè)公差為.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,考點：等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和.21、（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求解；（2）（i）結(jié)合（1）的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍；（ii）設(shè)，通過轉(zhuǎn)化，討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】（1）因為，所以當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，的解集為，的解集為，所以的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為；（2）（i）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，至多一個零點，不符題意，當時，因為有兩個零點，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以，設(shè)