新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.1數(shù)列基礎(chǔ)5.1.2數(shù)列中的遞推課件新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

5．1.2數(shù)列中的遞推通過(guò)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法：遞推公式．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列遞推公式(1)兩個(gè)條件：①已知數(shù)列的________________；②從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示．(2)結(jié)論：具備以上兩個(gè)條件的公式叫做這個(gè)數(shù)列的________公式．首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))

遞推狀元隨筆由數(shù)列的遞推公式能否求出數(shù)列的項(xiàng)？[提示]能，但是要逐項(xiàng)求．

知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)______(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與______之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示________的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式an－1n數(shù)列

S1Sn－Sn－1基

礎(chǔ)

自

測(cè)

1．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出，則該數(shù)列的第5項(xiàng)等于(

)A．6B．7C．8D．9解析：因?yàn)閍n＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.答案：C2．?dāng)?shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是(

)A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N＋B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2C．a(chǎn)n＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2D．a(chǎn)n＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2解析：a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，故an－an－1＝n，且n≥2，n∈N＋.答案：B

答案：34．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋n，則a5＝________.解析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋n，則a5＝S5－S4＝(25＋5)－(24＋4)＝17.答案：17課堂探究·素養(yǎng)提升

【答案】

(1)B

(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(

)A．31B．32

C．61D．62【解析】

(2)∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.【答案】

(2)A

答案：(2)A

由數(shù)列的若干項(xiàng)歸納遞推公式例2

分別寫出下列數(shù)列{an}的一個(gè)遞推關(guān)系，并求出各個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)．(1)4，5，7，10，14，…；【解析】an＋1＝an＋n.由于a5＝14，∴a6＝a5＋5＝14＋5＝19，a7＝a6＋6＝19＋6＝25.(2)7，9，11，13，15，…；【解析】an＋1＝an＋2.由于a5＝15，∴a6＝a5＋2＝15＋2＝17，a7＝a6＋2＝17＋2＝19.(3)2，6，18，54，162，….【解析】an＋1＝3an.由于a5＝162，∴a6＝3a5＝3×162＝486，a7＝3a6＝3×486＝1458.方法歸納由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫遞推關(guān)系的思路是尋找相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系，可以從后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差或和，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍數(shù)等角度去考慮，然后用剩余的項(xiàng)去驗(yàn)證猜想即可；由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法是根據(jù)遞推公式，依次求出各項(xiàng)即可．跟蹤訓(xùn)練2

(1)傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)．比如，他們將石子擺成如圖所示的三角形點(diǎn)陣，就將其所對(duì)應(yīng)石子的個(gè)數(shù)稱為三角形數(shù)，則a2＝a1＋____，a3＝a2＋____，a4＝a3＋____，由此歸納出an＝an－1＋___．234n解析：(1)a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n.(2)圖中的三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在四個(gè)三角形圖案中，著色的小三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的遞推公式為_(kāi)____________________．解析：由圖知，這四個(gè)三角形圖案中著色的小三角形個(gè)數(shù)分別為a1＝1，a2＝3a1＝3，a3＝3a2＝9，a4＝3a3＝27，故有遞推公式為an＋1＝3an，a1＝1，n∈N＋.an＋1＝3an，a1＝1(n∈N＋)

由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例3

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，則an＝________．【解析】

a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.【答案】

4n－5

跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則an＝________．

(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋n＋1，求通項(xiàng)an.

數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系【思考探究】1．某劇場(chǎng)有30排座位，從第一排起，往后各排的座位數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，滿足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式嗎？[提示]

由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，由以上各項(xiàng)歸納可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．

3．在數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此遞推關(guān)系試寫出前n項(xiàng)中，任何相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，將這些式子兩邊分別相加，你能得到什么結(jié)論？[提示]由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，將這些式子兩邊分別相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．

【答案】

(1)B

跟蹤訓(xùn)練4

(1)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，猜想an并加以證明．

解析：(1)a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14，猜想：an＝3n－1.證明如下：由an＋1＝an＋3得a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，a4＝a3＋3，…，an＝an－1＋3.將上面的(n－1)個(gè)式子相加，得an－a1＝3(n－1)，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.

答案：(2)D

教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，難點(diǎn)是數(shù)列函數(shù)性質(zhì)