中考數(shù)學(xué)：三角形、四邊形綜合突破(壓軸題)匯編(二)含答案

最新中考數(shù)學(xué)：三角形、四邊形綜合突破（壓軸題）匯編（二）

一.解答題（共20小題）

21.如圖，邊長為1的正方形ABCO中，點(diǎn)K在AO上，連接8K,過點(diǎn)A,C作8K的垂線，垂足分別為

M,N,點(diǎn)。是正方形ABCO的中心，連接。M,ON.

（1）求證：AM=BN.

（2）請判定△OMN的形狀，并說明理由.

（3）若點(diǎn)K在線段AO上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），設(shè)AK=x,△OMN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式（寫出x的范圍）；若點(diǎn)K在射線4。上運(yùn)動(dòng)，且△OMN的面積為」一，請直接寫出AK長.

10

22.如圖，在△4BC中，AB=4加，ZB=45°,ZC=60°.

（1）求BC邊上的高線長.

（2）點(diǎn)E為線段48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊AC上，連接E凡沿E尸將△AEF折疊得到△PEF.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求NAEP的度數(shù).

②如圖3,連接AP,當(dāng)PFLAC時(shí)，求AP的長.

線GH交直線AD于點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)H,且GH〃OC,點(diǎn)尸在8c的延長線上，CF=AG,連接ED,

EF,DF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，

①判斷AAEG的形狀，并說明理由.

②求證：△OE「是等邊三角形.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí)，△OEF是等邊三角形嗎？如果是，請證明你的結(jié)論；如果不

是，請說明理由.

24.如圖，四邊形ABC。是正方形，連接AC,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得△AEF,連接CF,0為CF

的中點(diǎn)，連接OE,0D.

(1)如圖1,當(dāng)a=45°時(shí)，請直接寫出0E與0。的關(guān)系(不用證明).

(2)如圖2,當(dāng)45°<a<90°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

(3)當(dāng)a=360°時(shí)，若AB=4加，請直接寫出點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

圖1圖2

25.如圖，正方形488和正方形CEFG(其中B/)>2CE),8G的延長線與直線OE交于點(diǎn)

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在8上時(shí)，求證：BG=DE,BGLDE；

(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線CO右側(cè)時(shí)，求證：

②當(dāng)NOEC=45°時(shí)，若AB=3,CE=\,請直接寫出線段?！钡拈L.

26.如圖，四邊形ABCO是正方形，點(diǎn)尸是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接C凡以C尸為對角線作正方形CGFE

(C,G,F,E按逆時(shí)針排列)，連接BE,DG.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在線段A。上時(shí).

①求證：BE=DG；

②求證：CQ-FZ)=&BE；

(2)設(shè)正方形ABC。的面積為Si，正方形CGFE的面積為S2，以C，G,D,尸為頂點(diǎn)的四邊形的面積

為S3,當(dāng)包=追時(shí)，請直接寫出包的值.

S[25S]

27.在矩形A8CQ中，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)B作于點(diǎn)G,交直線CO于點(diǎn)F.

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)矩形ABC。是正方形時(shí)，以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)在正方形ABC。的外部作等腰直角三角形CF”,連

接EH.

①如圖1,若點(diǎn)E在線段8C上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

②如圖2,若點(diǎn)E在線段8c的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，

請說明理由；

(2)如圖3,若點(diǎn)E在線段BC上，以BE和B尸為鄰邊作平行四邊形BEHF,M是中點(diǎn)，連接GM,

AB=3,BC=2,求GM的最小值.

28.如圖，矩形A8C￡＞中，點(diǎn)P為對角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸D,過點(diǎn)尸作PELPD,交直

線AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作例N_LAB,交直線CO于點(diǎn)M,交直線A8于點(diǎn)N.A8=4a，AO=4.

(1)如圖1,①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，NPO例和NEPN的數(shù)量關(guān)系為：NPDMNEPN；

②坦的值是；

PE

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)「在。4延長線上時(shí)，(1)中的結(jié)論②是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明

理由；

（3）如圖3,以線段PD,PE為鄰邊作矩形PEFD.設(shè)PM的長為x,矩形PEF￡>的面積為》請直接寫

出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.

29.如圖，8c和△C0E都是等邊三角形，點(diǎn)3、C、E三點(diǎn)在同一直線上，連接B。，AD,BD交AC

于點(diǎn)F.

(1)若AD2=DF，DB,求證：AD=BF；

(2)若NBAD=90°,BE=6.

①求tan/￡>3E的值；②求。F的長.

30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,4）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,

0）,動(dòng)點(diǎn)P從。開始以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒（0</<4）,

過點(diǎn)P作PN〃x軸，分別交AO,AB于點(diǎn)M,N.

（1）填空：AO的長為,AB的長為；

（2）當(dāng)f=l時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）請直接寫出的長為（用含/的代數(shù)式表示）；

（4）點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)M,N重合），ZiAOE和△ABE的面積分別表示為Si和S2,

當(dāng)/=匡時(shí)，請直接寫出5I?S2（即SI與S2的積）的最大值為.

備用圖

31.己知：菱形ABC。和菱形A'B'C'D',NBAD=NB'A'D',起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)

8在A'B'所在直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B'在點(diǎn)A'的右側(cè)，連接AC和A'C',將菱形ABC。

以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<180°).

(1)如圖1,若點(diǎn)A與A'重合，且A1D1=90°,求證：BB'=DD'.

(2)若點(diǎn)A與A'不重合，M是A'C上一點(diǎn)，當(dāng)MA'=MA時(shí)，連接BM和A'C,和A'C所

在直線相交于點(diǎn)P.

①如圖2,當(dāng)NBAD=NB'A'D'=90°時(shí)，請猜想線段3M和線段A'C的數(shù)量關(guān)系及/3PC的度

數(shù).

②如圖3,當(dāng)NBAD=NB'A'D'=60°時(shí)，請求出線段8例和線段4'C的數(shù)量關(guān)系及/BPC的度

數(shù).

③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4,AB=2,在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)

M重合時(shí)，請直接寫出線段的長.

32.【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對余線.

(1)如圖①，對余四邊形ABCD中，A8=5,BC=6,CD=4,連接AC.若AC=AB,求sin/CAD的

值；

(2)如圖②，凸四邊形ABC。中，AD=BD,ADYBD,2CD1+CB1=CA1'^,判斷四邊形ABCZ)是

否為對余四邊形.證明你的結(jié)論；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-1,0),8(3,0),C(1,2),四邊形ABC3是對余四邊形，點(diǎn)E

在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，ZA￡C=90°+ZABC.設(shè)型工="，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為3請直接寫

BE

出〃關(guān)于，的函數(shù)解析式.

33.如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2aMs的速度沿A8向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，

過點(diǎn)P作PQLAB，交折線AC-C8于點(diǎn)Q,以PQ為邊作等邊三角形使點(diǎn)A,。在PQ異側(cè).設(shè)

點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)(0<x<2),△PQO與aABC重疊部分圖形的面積為yCem2).

(1)AP的長為cm(用含x的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)。落在邊BC上時(shí)，求x的值.

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

34.如圖1,在矩形A8CO中，AB=5,BC=8,點(diǎn)、E,尸分別為A8,CO的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是邊AD上一點(diǎn)，BP交EF于點(diǎn)O,點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M落在線段

E尸上時(shí)，則有OB=OM.請說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)P是射線AO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于8P的對稱點(diǎn)為點(diǎn)連接AM,DM,當(dāng)△AM。

是等腰三角形時(shí)，求AP的長.

圖1圖2圖3

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0ABe的邊。C在x軸上，04在y軸上.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB//OC,

線段。4,AB的長分別是方程7-9x+20=0的兩個(gè)根(OACAB),tan/0C8=4.

3

(1)求點(diǎn)8,C的坐標(biāo)；

(2)P為OA上一點(diǎn)，。為0C上一點(diǎn)，0Q=5,將△POQ翻折，使點(diǎn)。落在A8上的點(diǎn)O'處，雙曲

線y=K的一個(gè)分支過點(diǎn)O'.求人的值；

X

(3)在(2)的條件下，M為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M使以O(shè)',Q,M,N為頂點(diǎn)四邊

形為矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

36.如圖，正方形ABCZ)中，尸是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，連接8P,將BP繞點(diǎn)8順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BQ,連接QP交8c于點(diǎn)E,QP延長線與邊AQ交于點(diǎn)F.

(1)連接CQ,求證：AP=CQ；

(2)若AP=LC,求CE：BC的值；

4

(3)求證：PF=EQ.

37.如圖1,在等腰直角三角形AOC中，/AOC=90°,AO=4.點(diǎn)E是的中點(diǎn)，以。E為邊作正方形

DEFG,連接AG,CE.將正方形DEFG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°).

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷△4G。與△CEZ)是否全等，并說明理由；

②當(dāng)CE=C￡>時(shí)，AG與EF交于前H,求GH的長.

(2)如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)P.

①求證：AGVCP,

②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

38.問題背景：如圖1,在四邊形48CD中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,NABC=120°,Z

MBN=60°,NMBN繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AO、DC于E、F.探究圖中線段AE,CF,EF之間

的數(shù)量關(guān)系.

小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長尸C到G,使CG=AE,連接8G,先證明ABCG絲△8AE,再證明

△BFG絲Z^BFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形ABC。中，ZBAD=90°,ZBCD=90°,BA=BC,NABC=2NMBN,

NMBN繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交A。、。。于E、F,上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直

接寫出“成立”或者“不成立”），不要說明理由；

探究延伸2：如圖3,在四邊形ABC。中，BA=BC,ZB4D+ZBCD=180°,NABC=2NMBN,NMBN

繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn).它的兩邊分別交A。、￡>C于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；

實(shí)際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處.艦艇乙在指揮

中心南偏東70°的3處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以

75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50°的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指

揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、尸處.且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70°.試求此

時(shí)兩艦艇之間的距離.

39.如圖1和圖2,在△A8C中，AB=AC,BC=8,tanC=W_.點(diǎn)K在AC邊上，點(diǎn)M,N分別在AB,BC

4

上，且AM=CN=2.點(diǎn)尸從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MB-BN勻速移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)。在4C邊上

隨尸移動(dòng)，且始終保持

(1)當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)4的最短距離：

(2)若點(diǎn)尸在M8上，且FQ將△ABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長；

(3)設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x,當(dāng)0?3及3<xW9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離(用含x的式子

表示);

(4)在點(diǎn)F處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角N4PQ掃描△APQ區(qū)域(含邊界)，掃描器隨點(diǎn)P從M到

B再到N共用時(shí)36秒.若AK=9,請直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長.

4

圖1圖2

40.在△ABC中，ZBAC—90°,AB=AC,點(diǎn)。在邊8c上，DE±DAKDE=DA,AE交邊BC于點(diǎn)、F,

連接CE.

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)AO=A尸時(shí)，

①求證：BD=CF；

②推斷：ZACE=°；

(2)探究證明：如圖2,當(dāng)AOWAF時(shí)，請?zhí)骄?4CE的度數(shù)是否為定值，并說明理由；

(3)拓展運(yùn)用：如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)?shù)┨?工時(shí)，過點(diǎn)。作AE的垂線，交AE于點(diǎn)尸，交AC

AF3

于點(diǎn)K,若CK=K,求的長.

3

AA

參考答案

解答題（共20小題）

21.如圖，邊長為1的正方形ABCZ）中，點(diǎn)K在AZ）上，連接BK,過點(diǎn)A,C作8K的垂線，垂足分別為

M,M點(diǎn)。是正方形ABC。的中心，連接OM,ON.

（1）求證：AM=BN.

（2）請判定△OMN的形狀，并說明理由.

（3）若點(diǎn)K在線段AZ）上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），設(shè)AK=x,△OMN的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式（寫出式的范圍）；若點(diǎn)K在射線AO上運(yùn)動(dòng)，且△OMN的面積為工，請直接寫出AK長.

【解答】證明：(1)???四邊形A8CD是正方形,

：.AB=BCfZABC=90°,

/.ZABM+ZCBM=^°,

9：AMIBM,CN1,BN,

:?4AMB=/BNC=90°,

：.ZMAB+ZMBA=90°,

：.ZMAB=ZCBMf

:.△ABM"ABCN(A4S),

:?AM=BN；

(2)△OMN是等腰直角三角形，

??,點(diǎn)O是正方形ABCD的中心,

：.OA=OB,ZOBA=ZOAB=45°=/OBC,AO±BO,

?：NMAB=NCBM,

：.ZMAB-ZOAB=ACBM-ZOBC,

：.ZMAO=ZNBO,

又；AM=BN,OA=OB,

：./\AOMQ/\BON(SAS),

：.MO=NO,ZAOM=ZBON,

VZAON+ZBON=90°,

，/AON+/AOM=90°,

AZMO/V=90°,

...AMON是等腰直角三角形；

(3)在RtZ\A8K中，BK=C西值=序彳,

"：SAABK=—XAKXAB=lxBKXAM,

22

.".AM=心"&殳=x

BK卬

:.BN=AM=,A,

京

?；cosNABK=理=里

ABBK

BM=朋=員=1.

BK卬

1-Y

:.MN=BM-BN=—

x2+l

S^OMN=LMM=（1-x）2,

44X2+4

-'?y--X-二」x+l.（0<x<1）；

4x9z+4

2

當(dāng)點(diǎn)K在線段A。上時(shí)，則上=送一紅1,

104x2+4

解得：加=3（不合題意舍去），X2=工，

3

9

當(dāng)點(diǎn)K在線段AO的延長線時(shí)，同理可求＞=X-2x+l(%>1))

4X2+4

...x2-2x+l,

104X2+4

解得：xi—3,X2——(不合題意舍去)，

3

綜上所述：AK的值為3或工時(shí)，△OWN的面積為工.

310

22.如圖，在△4BC中，AB=4加，ZB=45°，ZC=60°.

(1)求8C邊上的高線長.

(2)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)下在邊AC上，連接EF,沿EF將△AEF折疊得到

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求/AEP的度數(shù).

②如圖3,連接4P,當(dāng)P尸，AC時(shí)，求AP的長.

(2)①如圖2中,

：.AE=EPf

*：AE=EB,

：.BE=EP,

；?NEPB=NB=45°,

；?NPEB=90°,

AZAEP=180°-90°=90°.

②如圖3中，由（1）可知：AC=—地——=色叵,

sin6003

：.ZPFA=90°,

???AAEF^APEF,

ZAFE=ZPFE=45°,

J/AFE=NB,

?：/EAF=NCAB,

：.AAEF^AACB,

?AF_AEpnAF_2近

ABAC4s歷8V3

3

：.AF=2y/s，

在Rt/^AFP,AF=FP,

，AP=MA尸=2迎

方法二：4E=BE=PE可得直角三角形A8P,由PF_LAC,可得/AFE=45°,可得/陽P=45°,即N

%8=30°.AP=ABcos30°=2?.

23.如圖，四邊形48co是菱形，/84。=120°,點(diǎn)E在射線AC上(不包括點(diǎn)A和點(diǎn)C),過點(diǎn)E的直

線G”交直線A。于點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)H,且G//〃。C,點(diǎn)F在BC的延長線上，CF=AG,連接a),

EF,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段4C上時(shí)，

①判斷AAEG的形狀，并說明理由.

②求證：是等邊三角形.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí)，ADEF是等邊三角形嗎?如果是，請證明你的結(jié)論；如果不

是，請說明理由.

【解答】（1）①解：△AEG是等邊三角形；理由如下：

:四邊形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

J.AD//BC,AB=BC=CD=AD,AB//CD,ZCAD=AzBAD=60°,

2

：.ZBAD+ZADC=180°,

/.ZADC=60°,

'：GH//DC,

：.ZAGE=ZADC=60°,

NAGE=NEAG=ZAEG=60°,

...△AEG是等邊三角形：

②證明：:△AEG是等邊三角形，

：.AG=AE,

"：CF=AG,

：.AE=CF,

?；四邊形A8C。是菱形，

：.ZBCD=ZBAD=\20°,

：.ZDCF=6Q°=NC4。，

'AD=CD

在△4EE)和△CF￡)中，，/EAD=NFCD，

AE=CF

:.△AED94CFD(SAS)

：.DE=DF,NADE=NCDF,

?.?/AOC=NA￡>E+/C￡)E=60°,

:.NCDF+NCDE=60°,

即NE￡?F=60°,

...△QEF是等邊三角形；

(2)解：△。比'是等邊三角形；理由如下：

同(1)①得：ZVIEG是等邊三角形，

：.AG=AE,

'：CF=AG,

：.AE=CF,

?.?四邊形A8C。是菱形，

.?.NBCO=NB4￡)=120°,/?！?gt;=2/&4。=60°,

2

：.ZFCD=60°=ZCAD,

'AD=CD

在△?!￡￡>和△CF。中，，/EAD=NFCD，

AE=CF

A^AED^/XCFD(SAS),

：.DE=DF,ZADE=ZCDF,

'：ZADC^ZADE-ZCDE=60Q,

：.ZCDF-ZC￡?E=60°,

即/E￡>F=60°,

/\DEF是等邊三角形.

24.如圖，四邊形A8CQ是正方形，連接AC,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得△AEF,連接CF,O為CF

的中點(diǎn)，連接OE,OD.

(1)如圖1,當(dāng)a=45°時(shí)，請直接寫出?！昱c。。的關(guān)系(不用證明).

(2)如圖2,當(dāng)45°Va<90°時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

(3)當(dāng)a=360°時(shí)，若A8=4加，請直接寫出點(diǎn)。經(jīng)過的路徑長.

【解答】解：(1)OE=OD,OEVOD,理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AF=AC,ZAFE^ZACB,

:四邊形ABCC是正方形，

AZACB=ZACD=ZMC=45°,

.?./ACF=/AFC=2(180°-45°)=67.5°,

2

ZDCF-ZEFC=22.5°,

；NFEC=90°,。為CF的中點(diǎn)，

二OE=ACF=OC=OF,

2

同理：OQ=LCF,

2

：.OE=OD=OC=OF,

：.ZEOC=2ZEFO=45°,ZDOF=2ZDCO=45°,

/.ZDO￡=180°-45°-45°=90°,

：.OE±OD；

(2)當(dāng)45°<a<90°時(shí)，(1)中的結(jié)論成立，理由如下:

連接CE,DF,如圖所示：

在正方形A8CO中，AB=AD

：.AD=AE

???。為CT的中點(diǎn)，

：.OC=OF

9：AF=AC

：.ZACF=ZAFC

???ZDAC=ZEAF

：.ADAC-ZDAE=ZEAF-ZDAE

：.ZEAC=ZDAF

'AC=AF

在△4CE和△AFO中，ZEAC=ZDAF^

AD=AE

A/\ACE^/\AFD(SAS)

:?CE=DF,ZECA=ZDFA

又,:ZACF=ZAFC

：.ZACF-ZECA=ZAFC-4DFA,

：.ZECO=ZDFO,

'EC=DF

在△EOC和△OOF中，,NECO=NDFO,

CO=FO

*：EC=DF,ZECO=ZDFO,CO=FO

：.AEOC^ADOF(SAS)

???OE=OD.

連接AO,則A。，。凡

...NAOC=NAOC=90°,

.M、C、。、。四點(diǎn)共圓,

AZAOD=ZACD=45°,

同理A、E、0、F四點(diǎn)共圓，

AZAOE=ZAFE=45°,

AZDOE=45Q+45°=90°,

:.ODLOE.

（3）連接AO,如圖3所示：

9：AC=AF,CO=OF,

：.AO±CFf

：.ZAOC=90°,

?,?點(diǎn)。在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

Va=360°,

???點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長等于以AC為直徑的圓的周長，

VAC=&A8=證義4&=8,

，點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長為：nd=8n.

25.如圖，正方形A8CQ和正方形CMG（其中5ZA2CE）,BG的延長線與直線OE交于點(diǎn)兒

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在C。上時(shí)，求證：BG=DE,BG.LDE；

（2）將正方形CEFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線8右側(cè)時(shí)，求證：BH-DH=4^PH.,

②當(dāng)NDEC=45°時(shí)，若43=3,CE=\,請直接寫出線段DH的長.

【解答】（1）證明：如圖1中,

D

證明：；在正方形ABC。和正方形CEFG中，BC=CD,CG=CE,NBCG=NDCE=90°,

：./\BCG^/\DCE(SAS),

：.BG=DE,NCBG=NCDE,

'：ZCD￡+ZDEC=90",

:.NHBE+NBEH=90°,

：.NBHE=90°,

：.BG±DE.

(2)①如圖2中，在線段8G上截取BK=OH,連接CK.

由(1)可知，ZCBK=ZCDH,

,;BK=DH,BC=DC,

：./\BCK^/^DCH(SAS),

：.CK=CH,NBCK=NDCH,

：.NKCH=NBCD=90°,

△KCH是等腰直角三角形，

：.HK=近CH,

：.BH-DH=BH-BK=KH=如耽

②如圖3-1中，當(dāng)O,H,E三點(diǎn)共線時(shí)N￡>EC=45°,連接BZX

圖3-1

由(1)可知，BH=DE,且CE=C，=1,EH=yf^CH,

：BC=3,

:.BD=&BC=3近,

設(shè)則8"=OE=x+&,

在RtZXBQH中，?：BH2+DH2=Bb2,

(x+V2)?+/=(3^2)2，

解得x=或(舍棄).

22

如圖3-2中，當(dāng)。，H,E三點(diǎn)共線時(shí)/OEC=45°,連接BD

圖3-2

設(shè)DH=x,

?:BG=DH,

：.BH=DH-HG=x-加，

在Rt/XBDH中，BH2+DH2=fiD2,

（x-V2）2+x2=（3亞）2,

解得x=貝4V.或及一遮!■（舍棄），

22_____

綜上所述，滿足條件的。，的值為亞身匹或返:返.

22

26.如圖，四邊形ABCO是正方形，點(diǎn)F是射線AO上的動(dòng)點(diǎn)，連接C凡以CF為對角線作正方形CGFE

(C,G,F,E按逆時(shí)針排列)，連接BE,DG.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在線段A。上時(shí).

①求證：BE=DG；

②求證：CD-FD=-/2BE；

(2)設(shè)正方形ABC。的面積為Si，正方形CGFE的面積為S2，以C,G,D,尸為頂點(diǎn)的四邊形的面積

為S3，當(dāng)包=型?時(shí)，請直接寫出色的值.

S125S1

【解答】(1)①證明：如圖1中,

圖1

；四邊形A8CD,四邊形EFGC都是正方形，

：.ZBCD=ZECG=90°,CB=CD,CE=CG,

：.ZBCE=ZDCG,

:.△BCEQADCG(SAS),

:.BE=DG.

②證明：如圖1中，設(shè)C。交FG于點(diǎn)O,過點(diǎn)G作GT_LZ)G交CO于7.

:NFDC=NFGC=90°,

：.C,F,D,G四點(diǎn)共圓，

：.NCDG=NCFG=45°,

'：GT±DG,

：.ZDGT=90Q,

；.NGDT=NDTG=45°,

:.GD=GT,

?：/DGT=NFGC=90°,

：.ZDGF=ZTGC,

■:GF=GC,

：./\GDF^/\GTC(SAS),

:.DF=CT,

：.CD-DF=CD-CT=DT=亞。G.

解法二：提示，連接AC,證明△ACT?△OCG,推出可得結(jié)論.

(2)解：當(dāng)點(diǎn)尸在線段AO上時(shí)，如圖1中,

..S213

?，—?，

S125

.?.可以假設(shè)$2=13鼠Si=25k,

:.BC=CD=5瓜,CE=CG=y[13k，

CF-'26k,

在RtZXCD尸中，DF=JCF2_CD2=Vk，

:.DF=CT=&,DT=4瓜

：.DG=GT=2^2k，

xxx=

：?S3=S/\GFC+SADFG=—XV13kV13k+—Vk2Vk

222

15,

k

.S3=T~=3

"Si25k10'

當(dāng)點(diǎn)尸在A。的延長線上時(shí)，同法可得，S3=SZXOCHSAFGC=LX54XVk+^XVi3kXJ匈=9A,

22

3

圖2

$3=9

?725

綜上所述，包的值為父-或a.

Si1025

27.在矩形ABC。中，點(diǎn)E是射線8C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)8作B尸，AE于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)尸.

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)矩形ABC。是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形4BCZ)的外部作等腰直角三角形CFH,連

接EH.

①如圖1,若點(diǎn)E在線段BC上，則線段AE與￡77之間的數(shù)量關(guān)系是相等，位置關(guān)系是垂直；

②如圖2,若點(diǎn)E在線段8c的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明：如果不成立，

請說明理由；

(2)如圖3,若點(diǎn)E在線段8c上，以8E和BF為鄰邊作平行四邊形BE"凡M是BH中點(diǎn),連接GM,

48=3,BC=2,求GM的最小值.

【解答】解：(1)①???四邊形ABCO為正方形，

：.AB=BC,ZABC=ZBCD=90Q,即/BAE+/AEB=9O°,

'CAELBF,

NCB尸+NAEB=90°,

:.NCBF=NBAE,又AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

:.叢ABEQ工BCF(ASA),

：.BE=CF,AE=BF,

???△FCH為等腰直角三角形，

:.FC=FH=BE,FHLFC,而C￡>_LBC,

：.FH//BC,

二四邊形BEHF為平行四邊形，

；.BF〃EH且BF=EH,

：.AE=EH,AELEH,

故答案為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，

同理可得：△ABaXBCF(ASA),

：.BE=CF,AE=BF,

；/\FCH為等腰直角三角形，

:.FC=FH=BE,FHLFC,而CDLBC,

：.FH//BC,

...四邊形BEHF為平行四邊形，

：.BF〃EH且BF=EH,

：.AE=EH,AE1EH；

(2):NEGF=NBCD=90°,

；.C、E、G、尸四點(diǎn)共圓，

?.?四邊形BEHF是平行四邊形，M為BH中點(diǎn),

也是EF中點(diǎn)，

是四邊形GECF外接圓圓心，

則GM的最小值為圓M半徑的最小值，

：AB=3,BC=2,

設(shè)BE=x,則CE=2-x,

同(1)可得：NCBF=/BAE,

又?；NABE=NBCF=90°,

/\ABEs/\BCF,

...越_具，即3:，

BCCF2CF

:.CF=2JL,

3

22=

???EF=VCE-K：F^~-X2-4X+4,

設(shè)y=Mx2-4x+4，

當(dāng)尤=歿時(shí)，y取最小值K,

13-13

.?.EF的最小值為

13

故GM的最小值為型亙.

28.如圖，矩形ABC。中，點(diǎn)P為對角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸￡>,過點(diǎn)P作PELPZ),交直

線AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作交直線C。于點(diǎn)交直線48于點(diǎn)N.A8=4遮，AD=4.

(1)如圖1,①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，NPDW和/EPN的數(shù)量關(guān)系為：NPDM=NEPN；

②股的值是_后；

PE

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在CA延長線上時(shí)，(1)中的結(jié)論②是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明

理由；

(3)如圖3,以線段P￡>,PE為鄰邊作矩形PEFD.設(shè)的長為x,矩形PEFZ)的面積為y.請直接寫

出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.

圖1

???四邊形ABC。是矩形，

：.AB//CD,

AW1CD,

DPLPE,

:?/PMD=NPNE=NDPE=90°,

：.ZPDM+ZDPM=90°,NDPM+NEPN=90°,

：.ZPDM=ZEPN.

故答案為=.

②連接OE.???四邊形ABC。是矩形,

???NDAE=NB=90°,AD=BC=4.

???tanNCA”些.=返，

AB3

：.ZCAB=30°,

VZDAE+ZDPE=ISO°，

???A,D,P,E四點(diǎn)共圓,

：.ZEDP=ZPAB=30°，

.?.理=tan30°=返,

PD3

-,■—=43-

PE

(2)如圖2中,結(jié)論成立.

理由：連接。E.

"：ZDPE=ZDAE=90°,

；.A,D,E,P四點(diǎn)共圓,

AZPDE=ZEAP=ZCAB=30°,

圖3

；NPDM=NEPN,NDMP=NPNE=90°,

ADMPs^PNE,

...跡=里=&=?,

…麗ENPE，

..._^[_=JL=晶，

4-xEN

:.DM=M(4-x),EN^J^.x,

3

：'PD=7DM2+PM2=VtV3(4-x)]2+X2=2VX2-6X+12,

PE=返PO=2四

x?-6x+12'

33_

，y=PZ>PE=^l(?-6x+12)

=^&x-2-8心+16?(X>O),

33

Vy=JbZl(x-3)2+4退，

3

...5V^>0,

3

.?.當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值，最小值為4b.

29.如圖，ZVIBC和△COE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，連接B。，AD,8。交AC

于點(diǎn)F.

(1)若A?=DF*DB,求證：AD=BF；

(2)若NBAD=90°,BE=6.

①求tan/CBE的值；②求。尸的長.

A

DFAD

ZADF=ZBDA,

：./\ADF^/\BDA,

：.NABD=NFAD,

VAABC,△OCE都是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZACB=ZDCE=60°,

AZACD=60°,

二/AC￡>=NBA凡

/.△ADC^ABM(ASA),

：.AD=BF.

(2)①解：過點(diǎn)。作。GJ_BE于G.

VZBAD=90°,ZBAC=60°,

：.ZDAC=30°,

'：ZACD=60°,

/?ZADC=90°,

：.DC=^AC,

2

CE=1BC,

2

"：BE=6,

：.CE=2,BC=4,

：.CG=EG=\,BG=5,DG=V3，

.?.tan/Z58E=^l=返.

BG5

②在RtZXBDG中，VZBGD=90°,DG=M，BG=5,

；?BD=VDG2+BG2=正+(a)2=2枚,

'：ZABC=ZDCE=60°,

：.CD//AB,

:.XCDFs叢ABF,

?DF_CD_1

???一~~”—,

30.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,4）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,

0）,動(dòng)點(diǎn)P從。開始以每秒1個(gè)單位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒（0</<4）,

過點(diǎn)產(chǎn)作PN〃x軸，分別交A。，A8于點(diǎn)M,N.

（1）填空：AO的長為_4祀_,AB的長為,巡_；

（2）當(dāng)￡=1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）請直接寫出MN的長為絲包（用含r的代數(shù)式表示）；

一2一

【解答】解：（1）VA（4,4）,B（6,0）,

???%={42+42=4AB=寸?a)2+42=2&.

故答案為4行，2遍.

(2)設(shè)直線48的解析式為將4(4,4),B(6,0)代入得到，［妹+b=4

l6k+b=0

解得尸2.

lb=12

直線A8的解析式為y=-2x+12,

由題意點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為1,

令y=l,則1=-2x+12,

?T=11

2

：.N(H,1).

2

(3)當(dāng)0<f<4時(shí)，令y=t,代入y=-2x+12,得到*=上上,

2

：.N(12zt；力，

2

"：ZAOB=ZAOP=45°,NOPM=90°,

[OP=PM=t,

：.MN=PN-PM=12-t_/=12-3t.

22

故答案為絲I紅.

2

4

12-3X號

(4)如圖，當(dāng)尸匹時(shí)，MN—-----------a-=4,設(shè)EM=m,則EN=4-m.

-4nl2+16〃?=-43n-2)2+16,

...-4<0,

.../=2時(shí)，Si?S2有最大值，最大值為16.

故答案為16.

31.已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D',NBAD=NB'A'D',起始位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)

8在A'B'所在直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B'在點(diǎn)A'的右側(cè)，連接AC和A'C',將菱形ABC。

以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<180°).

(1)如圖1,若點(diǎn)A與A'重合，且A'D'=90°,求證：BB'=DD'.

(2)若點(diǎn)A與A'不重合，M是A'C上一點(diǎn)，當(dāng)M4'=MA時(shí)，連接和A'C,和A'C所

在直線相交于點(diǎn)P.

①如圖2,當(dāng)NBAD=NB'A'D'=90°時(shí)，請猜想線段2M和線段A'C的數(shù)量關(guān)系及/3PC的度

數(shù).

②如圖3,當(dāng)NBAD=NB,A1I)'=60°時(shí)?，請求出線段8M和線段A'C的數(shù)量關(guān)系及/BPC的度

數(shù).

③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4,A2=2,在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)

M重合時(shí)，請直接寫出線段的長.

D'CD'C

在菱形ABCO和菱形A'B'CD'中，?:NBAD=NB'A1D'=90°,

四邊形A3CZ),四邊形A'B'CD,都是正方形,

■:NDAB=ND'AB'=90

：.ZDAD'=NBAB',

"：AD=AB,AD'=AB',

：./\ADD'且AABB'(SAS),

：.DD'=BB'.

(2)①解：如圖2中，結(jié)論：CA'=?iM,NBPC=45°.

圖2

理由：設(shè)AC交BP于。

???四邊形48C￡>,四邊形A'B'CD'都是正方形,

：.ZMA'A=NZMC=45°,