專題1 8 .7 用勾股定理解決最值問題（專項練習(xí)）

專題18.7用勾股定理解決最值問題（專項練習(xí)）

通過勾股定理的學(xué)習(xí)，求線段最值問題是本章學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容，通過分析，其求

最值問題有以下幾個類型：

類型一、利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最值問題；

類型二、利用點(diǎn)線之間垂線段最短解決最值問題；

類型三、圖形折疊變換中利用勾股定理解決最值問題；

類型四、通過勾股定理利用非負(fù)性解決最值問題；

類型五、立體圖形中通過勾股定理解決最值問題。

類型一兩點(diǎn)之間，線段最短

C1.已知如圖，正方形A8CD的邊長為8,M在。C上，且。M=2,N是AC上的一動

點(diǎn)，則OV+MN的最小值為（）

【答案】B

【思路點(diǎn)撥】

此題理論依據(jù)為：兩點(diǎn)之間，線段最短，此題兩定點(diǎn)D、M,一動點(diǎn)N,簡稱：兩定一動；

解題思路：兩定一動，動點(diǎn)在對稱軸上，兩定點(diǎn)中，有對稱點(diǎn)找出來，沒對稱點(diǎn)作出來（作

一個定點(diǎn)的對稱點(diǎn)），連接對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，與對稱軸交點(diǎn)就是最小值時的動點(diǎn)位置，最

后把“折打直”解決問題

解：根據(jù)題意，連接BD、BM,則BM就是所求DN+MN的最小值，

在RSBCM中，BC=8,CM=6

根據(jù)勾股定理得：BM=762+82=10>

即DN+MN的最小值是10：

故選B.

1

【點(diǎn)撥】此題的難點(diǎn)在于確定滿足條件的點(diǎn)N的位置：利用軸對稱的方法.然后熟練運(yùn)用

勾股定理.

【專項練習(xí)】

1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-4,1）,點(diǎn)8（—2,—3）,點(diǎn)P（OM）,則P4+P6的最小

值為（）

A.25/13B.5C.2MD.25/14

2.如圖，在A3c中，AC=BC=2,NAC3=90"，。是8C邊的中點(diǎn)，￡是AB邊上

一動點(diǎn)，則EC+ED的最小值是（）

3.如圖，等邊ABC的邊長為8,4。是8。邊上的中線，點(diǎn)E是AC邊上的中點(diǎn).如果

點(diǎn)P是AO上的動點(diǎn)，那么"+CP的最小值為（）

A.4B.2百C.3/D.4百

4.如圖，如圖，在等邊AABC中，AB=6,AD±BC,E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的點(diǎn),

若AE=2,求ME+MC的最小值（）

2

A.277B.2C.4D.V13

5.如圖，在AA8C中，AC=BC,NACB=90。，點(diǎn)。在5c上，BD=6,CD=2,點(diǎn)尸是

AB上的動點(diǎn)，則PC+PD的最小值是()

R

A.7B.8C.9D.10

6.如圖，在四邊形A5CQ中，NA=90。，AD//BC,AB=4,點(diǎn)尸是線段AO上的動點(diǎn),

連接5P,CP,若A5PC周長的最小值為16,則5c的長為()

A.5B.6C.8D.10

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,12),點(diǎn)B在x軸上，AO=AB,點(diǎn)C在線段OB

上，且OC=3BC,在線段AB的垂直平分線DE上有一動點(diǎn)G,則4BCG周長的最小值為

().

3

A.2而B.13C.675D.18

8.如圖，在A3C中，ZABC=90°,BC=1,ZA=30°,M、N分別是A3、AC

9.如圖，RtABC中，AC=BC^2,點(diǎn)DE分別是A氏AC的中點(diǎn)，在CO上找一點(diǎn)

P,使PA+PE最小，則這個最小值是（）

C.V2-1D.百

10.如圖，等邊A6C的邊長為2,AQ是邊8。上的中線,“是AO上的動點(diǎn)，E是

邊AC上的中點(diǎn)，若AE=1,求EM+CM的最小值為（）

4

A

A.B.0C.2D.￡

11.RtAABC中,ZACB=90°,AC=20,BC=10,D、E分別為邊AB、CA上兩動點(diǎn)，則CD

A.475+8B.16C.8后D.20

12.如圖，正方形ABCD的邊長為3,E是BC中點(diǎn)，P為BD上一動點(diǎn)，則PE+PC的最小值為

B.2GC.，亞D.2

32

13.如圖，N8=30。,線段8C=2,點(diǎn)E、尸分別是線段BC和射線BA上的動點(diǎn)，設(shè)t=CF+EF,

則產(chǎn)的最小值是（）

B.2

C.3

14.如圖，已知N8=30。，線段BC=2,點(diǎn)E,尸分別是線段8c和射線8A上的動點(diǎn)，則

CP+E尸的最小值是（）

5

A.1B.2C.6D.6

15.一次函數(shù)y=丘+。的圖象與x軸、）’軸分別交于點(diǎn)A（2,0）,B（O,4）,點(diǎn)C,。分別是Q4,

的中點(diǎn),P是0B上一動點(diǎn).則AOPC周長的最小值為（）

A.4B.75C.272D.272+2

16.如圖，在aABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動點(diǎn)，則

EC+ED的最小值是（）

A.3B.73C.75D.20

17.如圖，在菱形A3CO中，ZABC=120°,點(diǎn)E是邊A3的中點(diǎn)，戶是對角線AC上的

一個動點(diǎn)，若止2,則加依的最小值是（）

A.1B.6C.2D.26

6

18.如圖，在AABC中，AB=AC=8,ZBAC=60°,E是高AD上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)是邊

AB的中點(diǎn)，則￡B+EF的最小值是（）

A.4B.4百C.8D.8石

19.已知：在RtAABC中,4/90。，BC=1,Z占百，點(diǎn)〃是斜邊Z5的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊

A.2B.V3+1C.也D.2百

類型二：點(diǎn)線之間，垂線段最短

?>2.如圖，在RtZvWC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,AO是Na4C的平分

線，若P、。分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+R2的最小值是（）.

55

【答案】C

【思路點(diǎn)撥】

此題理論依據(jù)為：點(diǎn)線之間，垂線段最短，此題兩動點(diǎn)P、Q,一定點(diǎn)C,簡稱：“兩動一定”；

解題思路：兩動一定，此類題往往以垂線段最短為解題方向，結(jié)合角平分性質(zhì)：角平分線

上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，把“折打直”再通過等面積法解決問題。

解：如圖，作CQUAB于Q，，交AD于點(diǎn)P,作PQLAC此時PC+PQ最短.

7

VPQ±AC,PQ」AB,AD平分NCAB,

PQ=PQ-

.?.PQ+CP=PC+PQ,=CQ,,

根據(jù)垂線段最短可知此時PC+PQ最短.

在RtZXABC中，VZACB=90°,AC=3,BC=4,

AB=7AC2+BC2=732+42=5，

11

V-?AC，BC=-.AB<Q,,

22

ACBC12

.?.CQ'=-------=—,

AB5

12

.?.PC+PQ的最小值為《，

故選c.

本題考查軸對稱-最短問題、角平分線性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)P、Q

的位置，靈活應(yīng)用垂線段最短解決問題，屬于中考?？碱}型.

20.如圖，在“此中，有一點(diǎn)尸在直線4C上移動，若A5=AC=5,BC=6,則8P的最小

A.V24C.4D.4.8

21.如圖，在三角形A5C中，A8LAC于點(diǎn)A,A5=6,AC=8,8c=10,點(diǎn)尸是線段5c

上的一點(diǎn)，則線段AP的最小值為.

8

22.已知△ABC,AB=5,5c=12,AC=13,點(diǎn)尸是AC上一個動點(diǎn)，則線段BP長的最

小值是（）

6030

A.—B.5C.—D.12

1313

23.如圖，在△ABC中，有一點(diǎn)P在直線AC上移動，若AB=AC=5,BC=6,則BP的最

小值為（）

A.4.8C.4D.724

24.如圖，OC平分NAOB,點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，PM_LOB于點(diǎn)M,點(diǎn)N是射線OA上的

一個動點(diǎn)，若OM=4,OP=5,則PN的最小值為（

0WB

A.2B.3C.4

25.如圖，在ABC中，有一點(diǎn)尸在AC上移動，若AB=AC=5,BC=6,則

AP+8P+CP的最小值為（）

C.8.8D.9.8

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（-4,0）,B（0,3）,P是線段AB上的一個動點(diǎn)，則OP的

最小值是（）

9

126

A.3B.4C.—D.-

55

27.如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=8,若P是AC上的一個動點(diǎn)，則AP+BP

+CP的最小值是（）

C.16D.18

28.如圖，在銳角△ABC中，AB=6,ZBAC=60°,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N

分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）

8

29.如圖，在RAA8C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,E為AC上一點(diǎn),RAE=~,

40平分NA4c交8C于O.若尸是AO上的動點(diǎn)，則PC+PE的最小值等于（）

1824

Ty

30.如圖，A6C中，AB=AC=10,BC=\2,點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動，則BQ的最

小值為（）

10

A

A.7.2B.8.0C.8.8D,9.6

31.如圖，在RfABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,AT>平分NC4B交8c于

D點(diǎn),E,尸分別是AO,AC上的動點(diǎn)，則CE+￡F的最小值為（）

32.如圖，在銳角△A8C中，AB=4V2,乙BAC=45°,/BAC的平分線交BC于點(diǎn)。，M、N分

別是40和48上的動點(diǎn)，貝!+MN的最小值是（）

33.如圖，在A4BC中，點(diǎn)M是AC邊上一動點(diǎn)，若AB=AC=10,BC=12,則

的最小值為（）

A.8B.9.6C.10D.45

11

34.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若點(diǎn)尸在邊AC上移動，則BP的最小值是（）

D.4.8

35.如圖，在RtABC中，/ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是/BAC的平分線.若

P,Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

36.如圖，在AABC中，有一點(diǎn)P在線段AC上移動.若AB=AC=5,BC=6,則BP的

最小值為（）

A.4.8B.5C.4D.叵

37.如圖，在AA3C中，AB=AC,ABAC=60°,BC邊上的高AO=8,E是AD上的

一個動點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，則EB+EE的最小值是（）

38.如圖，在△ACB中，有一點(diǎn)P在AC上移動，若AB=AC=5,BC=6,貝?。〢P+BP+CP

12

的最小值為（）

C.11D.10.2

39.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分線.若P,

Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

24

A.—B.5C.6D.8

5

40.如圖，在△A5C中，AB=3,BC=4,AC=5,點(diǎn)。在邊5c上，以AC為對角線的所

有平行四邊形AOCE中，OE的最小值是（）

41.如圖，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交A3于N,交AC于"，P是

直線MN上一動點(diǎn)，點(diǎn)H為BC中點(diǎn),若A6=13,A3C的周長是36.則BB+PH的

最小值為（）

13

A

A.769B.10C.12D.13

42.如圖，A48C和AAOE都是等腰直角三角形，NA4c=NZME=90。，AB=AC=4,O

為AC中點(diǎn)，若點(diǎn)O在直線5c上運(yùn)動，連接OE,則在點(diǎn)O運(yùn)動過程中，線段OE的最小

值是為（）

A.—B.—C.1D.J2

22

類型三、利用非負(fù)性解決最值問題

如圖，在邊長為4的正方形A3C。中，點(diǎn)”為對角線上一動點(diǎn)，MELBC于

E,MF工CD于F,則EF的最小值為（）

I.

//

/\7\

/\\

A.472B.2正C.2D,1

【思路點(diǎn)撥】此題求EF最小值，利用MF+ME=4,設(shè)MF=x,通過勾股定理用含x的代數(shù)式各

表示EF的長，再通過平方非負(fù)性（二次函數(shù)最值）得出最值。

【答案】B

解：在邊長為4cm的正方形ABCD中，BC=CD=4

ZC=90°,ZCBD=ZCDB=45°

14

ME_LBC于E,，CD于F

ZMEC=ZMFC=ZMFD=90°

四邊形MECF是矩形，△MDF為等腰三角形

CE=MF=DF

設(shè)DF=x，則CE=x

CF=CD-DF=4-x

在RTACEF中，由勾股定理得

EF=>]CE2+CF2=7X2+（4-X）2

=+16-8X+J2

=^2（X-2）2+8

2（^-2）2>0,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=0時，即x=2時，2（x—2）2有最小值0

^2（X-2）2+8>272當(dāng)且僅當(dāng)x-2=0時，即x=2時，^2（x-2）2+8有最小值2肥

故選B。

【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，找好點(diǎn)M的位置是解題關(guān)鍵.

43.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4卜46,0）,點(diǎn)8（a,Ga）,則當(dāng)AB取得最小值時，”的

值為（）

A.-73B.-3C.0D.百

類型四、折疊中的最值問題

如圖，在長方形紙片ABC。中，A5=4,AO=6.點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)口是AZ）

邊上的一個動點(diǎn).將A4EE沿旅所在直線翻折，得到AGE尸.則GC長的最小值是（）

A.2V10-2B.2V10-1C.2A/13D.2M

【思路點(diǎn)撥】由折疊可知EA=EG,即EG為定長，要使GC最短，則由E、C為定點(diǎn)，所以EC

15

為定長，所以當(dāng)E、G、C三點(diǎn)共線時，GC最小。

【答案】A

解：以點(diǎn)E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當(dāng)點(diǎn)G在線段CEMt，GC的長取最

小值，如圖所示.

在RSBCE中，BE=1AB=2,BC=6,NB=90°,

2

22

CE=VBE+BC=2V10,

/.GC的最小值4￡匕￡=2V10-2,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，利用作圓，找出A（取最小值

時點(diǎn)A，的位置是解題的關(guān)鍵.

44.如圖，在矩形ABC。中，AB=10,AD=n,點(diǎn)七是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上

的動點(diǎn)，將AA歷沿所翻折，得到AA'所，則AC的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

45.如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,把矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線AE折疊，點(diǎn)D

落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D，處，貝IJC”的最小值是（）

D

16

A.4B.475C.475-4D.475+4

46.如圖，在HABC中，ZB=90，ZBCA=45，AC=V2.點(diǎn)D在8C邊上，將

ABC沿直線A。翻折，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn),

連接PE,PC,則VPEC的周長的最小值為（）

A.2-V2B.V2C.V2+1D->/2+2

類型五：通過平移解決最值問題

?，5.如圖，直線/上有兩動點(diǎn)C、D,點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線/同側(cè)，且A點(diǎn)與B點(diǎn)分別

到/的距離為。米和。米（即圖中A4'=a米，BB'=b米）,且A8'=。米，動點(diǎn)CO之間

的距離總為S米，使C到A的距離與。到3的距離之和最小，則AC+B。的最小值為

（）

B.^(a+bf+S2

B.J(a+/>)2+(c+syD.++(c-s)2

【思路點(diǎn)撥】做線段股〃1且出=$,且點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)，作P關(guān)于L的對稱點(diǎn)P',連

接BP'交直線L于點(diǎn)D,在L上D的左側(cè)截取DC=S,此時BP，即為所求的最小值，作P，E

J_BB'交BB'的延長線于E,利用勾股定理求解即可.

【答案】D

【分析】解："：P'E=c-S,BE=a+b,

17

?*.PB=y/P'E2+BE2=J(a+b)2+(c-S)2.

【點(diǎn)撥】考查最短路線問題及平移問題的綜合應(yīng)用：用平移和對稱的知識綜合解決最短路線

問題是解決本題的關(guān)鍵：構(gòu)造出直角三角形解決問題是解決本題的難點(diǎn).

47.如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,動點(diǎn)P,Q在邊BC上（P在Q的左邊）,

且PQ=2,則AP+AQ的最小值為（)

C.9D.2>/17

類型六：立體圖形中最值問

如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器

上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是<

【思路點(diǎn)撥】立體圖形中最值問題往往轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短，通過勾

股定理解決問題，本題如圖，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于肱0，的對稱點(diǎn)4,根據(jù)兩點(diǎn)

之間線段最短可知A3的長度即為所求.

18

解：將圓柱沿4所在的高剪開，展平如圖所小，則MM'=MV'=10cm.

作A關(guān)于MM'的對稱點(diǎn)A'，連接A3，

則此時線段45即為螞蟻?zhàn)叩淖疃搪窂剑?/p>

過8作5。JLAAF點(diǎn)D，

則8O=NE=5c/n,A'O=MN+A'M-B￡=12+3-3=12cm,

在RtA'3。中,

由勾股定理得AB=>JAD2+BD2=13cm，

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查/軸對稱的性質(zhì)，最短路徑問題，勾股定理的應(yīng)用等，正確利用側(cè)面展開

圖、熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

48.如圖，要為一段高5m,長13m的樓梯鋪上紅地毯，至少需要紅地毯____m.

49.如圖所示是一個長方體紙盒，紙盒的長為12cm,寬為9cm,高為5cm,一只螞蟻想

從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)G,螞蚊爬行的最短路程是cm.

19

參考答案

類型一兩點(diǎn)之間，線段最短

1.【答案】A

【分析】求出A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A，，連接AB交y軸于點(diǎn)P,則P即為所求點(diǎn)，利用

兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.

解：作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A-連接AB交y軸于點(diǎn)P,則P即為所求點(diǎn)；

；點(diǎn)A(-4,1),

...點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A，的坐標(biāo)為(4,1),

VA)(4,1),B(-2,-3),

AB=J(4+2)2+(1+3)2=2>/13.

即PA+PB的最小值為2，

故選A.

y

公

_____X________________

/P

B

【點(diǎn)撥】本題考查的是最短線路問題及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知兩點(diǎn)之間

線段最短的知識.

2.解：如圖，過點(diǎn)C作COJ_AB丁0,延長CO到C'，使OC'=oc,

AB于E,此時DE+CE=DE+EC'=DC'的值最小，連接BC，.

月NC'

D

20

在ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,

；./ABC=45°.

由對稱性可知/ABC'=NABC=45°.

.".ZCBC/=90°.

VCCZ±AB,OC=OC,

=BC=2.

是BC邊的中點(diǎn)，

.*.BD=1.

根據(jù)勾股定理可得：DC'=ylBC,2+BD2=V5.

故EC+ED的最小值是VL

故答案為：D.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，確定動點(diǎn)E何位置，使EC+ED的值最小是關(guān)

鍵.

3.【答案】D

【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP,CP的值，從而找出其最小

值求解

解：連接BE,與AD交于點(diǎn)G.

「△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線,

；.AD_LBC,

...AD是BC的垂直平分線，

...點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

；.BE就是EP+CP的最小值.

；.G點(diǎn)就是所求點(diǎn)，即點(diǎn)G與點(diǎn)P重合，

21

?.,等邊△ABC的邊長為8,E為AC的中點(diǎn),

：.CE=4,BE±AC,

在直角ABEC中，BE=y)BC2-CE2=782-42=473-

.?.EP+CP的最小值為4百，

故選D.

【點(diǎn)撥】此題考查軸對稱-最短路線問題，等邊三角形的對稱性、三線合一的性質(zhì)以及勾股

定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.

4.【答案】A

【分析】連接BE,交AD于M,連接CM,過點(diǎn)B作BF_LAC于F,根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)可得，AD垂直平分BC,BF垂直平分AC,AC=BC=AB=6,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此

時ME+MC最小，且最小值為BE的長，利用勾股定理求出BF,然后求出EF,再利用勾股

定理即可求出BE.

解：連接BE,交AD于M,連接CM,過點(diǎn)B作BF_LAC于F

BD

?.,在等邊^(qū)ABC中，AB=6,AD_LBC,

；.AD垂直平分BC,BF垂直平分AC,AC=BC=AB=6

；.MB=MC,AF=4^C=3

；.ME+MC=ME+MB=BE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時ME+MC最小，且最小值為BE的

長

在RdABF中，BF=〃Bi_AF2=3&

：AE=2

.,.EF=AF-AE=I

在RtABEF111,BE=y/BF2+EF2=2v7

即ME+MC的最小值為2J7

故選A.

22

【點(diǎn)撥】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的應(yīng)用和勾股定理，掌握等邊

三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是解題關(guān)鍵.

5.【答案】D

【分析】過點(diǎn)B作。且BQ'=6,連接。7交A8于點(diǎn)P,由“SAS”可證

△BPD妾△BPD',可得DP=￡>7,可得尸C+PO的最小值為。C,由勾股定理可求解.

解：如圖，過點(diǎn)8作。B_LBC,使8/)=6,連接交A8于點(diǎn)P

,：AC^BC,ZACB=90°,

AZABC=45°,且8Q'J_BC

：.ZD'BP=ZDBP=45°,且80=6=80,BP=BP

:./\BPD§△BPD'(SAS)

：.DP=D'P

：.CP+DP=CP+D'P

.?.PC+PE*的最小值為D'C,

?：BD=6,CD=2

.?.8C=8,

；?D'C=^BC2+D'B2=A/82+62=10

.?.PC+PO的最小值為10

【點(diǎn)撥】本題考查利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題，涉及了直角三角形的性質(zhì)以及勾股

定理的應(yīng)用.

6.【答案】B

【分析】作點(diǎn)8關(guān)于的對稱點(diǎn)E,連接CE交AO于尸，則AE=A8=4,EP=BP,設(shè)

BC=x,則CP+8P=16-x=CE,依據(jù)RsBCE中，EB2+BC2=CE2,即可得到8?+x2=(16

-x)2,進(jìn)而得出8c的長.

解：如圖所示，作點(diǎn)8關(guān)于AO的對稱點(diǎn)E,連接CE交于P,則AE=AB=4,EP=BP,

23

設(shè)BC=x,貝ijCP+BP=16-x=CE,

'：ZBAD=90°,AD//BC,

：./ABC=90。，

.?.Rt^BCE中，￡B2+BC2=CE2,

/.82+x2=(16-x)2,

解得x=6,

，8C=6,

故選民

【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用和三

角形的周長的計算.

7.【答案】D

【分析】

過A作AHXOB于H,連接AD,根據(jù)MN垂直平分AB,即可得至ljAD=BD,當(dāng)A,D,C在同一直

線上時,ABCD周長的最小值為AC+BC的長，根據(jù)勾股定理求得AC的長，即可得到ABCD周

長的最小值為13+5=18.

【詳解】

如圖，過A作AH_LOB于H,連接AD

?.?點(diǎn)A坐標(biāo)為(10,12),AO=AB

.*.OH=BH=10,AH=12

24

XVOC=3BC

ABC=5,CO=15

ACH=15-10=5

〈MN垂直平分AB,

???AD=BD

???BD+CD=AD+CD

???當(dāng)A,D,C在同?直線上時,ABCD周長的最小值為AC+BC的長

此時,RSACH中,AC=JAH2+C”2=J122+52=13

△BCD周長的最小值=13+5=18

故選:D

【點(diǎn)撥】

此題考查垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，三角形的周長，解題關(guān)鍵在于利用好垂直平分線的

性質(zhì)求出AD=BD

8.【答案】A

［分析］作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，連接A3'，作B'M±AB于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N,

則此時MN+M5的值最小，且MN+NB=MN+NF=MB'，再進(jìn)一步求出即可得

到結(jié)論.

解：如圖：

作點(diǎn)5關(guān)于AC的對稱點(diǎn)連接AR、BN，作出，A5于點(diǎn)M交AC于點(diǎn)N

；在&ABC中，BC=l,N1a4c=30°

二AC=23。=2

AB=ylAC2—BC2=V22—I2=y/3

VB與5'關(guān)于AC對稱

25

:.BN=B'N,AB=AB'＜，ZBAB'=2ABAC=2x30°=60°

/.ABB'是一個等邊三角形

?/B'M±AB

...在RrAMB'中，AM=LAB=^，AB'=G

2

；.MB'7AB'?-AM

,:BN=B'N,LAB

...MN+NB=MN+NB'=MB',根據(jù)垂線段最短，可得MN+NB的最小值即為MN的

長

；.（MN+NB）最小悔=MB'=L5

故選：A

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形以及最短路徑

等知識點(diǎn).找到點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'以及適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】B

【分析】要求PA+PE的最小值，PA,PE不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PA,PE的

值，從而找出其最小值.

解：?..RtZ\ABC中，AC=BC=2,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

；.CE=1,AD=BD,CD±AB

:.A、B關(guān)于CD對稱

如圖，連接BE交CD于點(diǎn)P,則PA=PB

；.BE就是PA+PE的最小值，

PA+PE的最小值是

故選：B

26

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題時

注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.

10.【答案】D

【分析】先連接BM,再根據(jù)MB=MC,將EM+CM轉(zhuǎn)化為EM+BM,最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線

段最短，求得BE的長，即為EM+CM的最小值.

?.?等邊4ABC中，AD是BC邊上的中線

；.AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC

；.MB=MC

當(dāng)B、M、E三點(diǎn)共線時，EM+CM=EM+BM=BE

?.?等邊AABC中，E是AC邊的中點(diǎn)

二直角三角形ABE中，BE=yjAB2-AE2=722-12=V3

即EM+CM的最小值6

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的軸對稱性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識，熟練掌握和運(yùn)

用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.解題時注意，最小值問題一般需

要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論.

II.【答案】C

【解析】如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',過B'點(diǎn)作B'DLAB于D,交AC于E,連接

AB'、BE,則BE+ED=B'E+ED=B'D的值最小.

?.?點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是B',BC=10,，B'C=10,BB,=20.

?.,RtZXABC中,ZACB=90°,AC=20,BC=10,，AB=1075

VSAABB*=20X204-2=200.>.B,D=BB'XAC+AB=20X204-105/5=875

27

ABE+ED=B,D=8后.

點(diǎn)撥：主要考查你對軸對稱等考點(diǎn)的理解.把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與

另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后

重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)叫做對稱點(diǎn).軸對稱和軸對稱圖形的特性是相同的，對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距

離都是相等的.利用軸對稱圖形的形狀來解決動點(diǎn)產(chǎn)生的最短距離是經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想，

同學(xué)們在看到這種問題的時候就要想到軸對稱的性質(zhì).

12.【答案】C

【解析】

分析：要求PE+PC的最小值，PE,PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE,PC的值,

從而找出其最小值求解.

?.?點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A,

二PE+PC=PE+AP,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值,

?.?正方形ABCD的邊長為2,E是BC邊的中點(diǎn)，

.?.BE=L5,

故選：C.

點(diǎn)撥；此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱以及勾股定理等知識的綜合運(yùn)用，根據(jù)已知得

28

出兩點(diǎn)之間線段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】C

［分析］作C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D,過D作DE1BC交AB于F,則此時，CF+EF的值

最小，且CF+EF的最小值=口￡,由勾股定理即可得到結(jié)論.

解：作C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D,過D作DE±BC交AB于F,貝!」此時，CF+EF的值最小,

且CF+EF的最小值=口￡,

.?.ZCGB=90°,

VBC=2,ZB=30°,

.\CG=—BC=1,

2

.*.CD=2,

VZDGF=ZBEF=90°,ZBFE=NDFG,

ZD=ZB=30°,

￡C=-C￡>=-x2=l

22

由勾股定理，DE=百，

??.CF+EF的最小值是百，

則產(chǎn)=（百）2=3,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確的作出對稱點(diǎn)，熟練掌握軸對稱圖形的性

質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.【分析】

作點(diǎn)C關(guān)于直線BA的對稱點(diǎn)C，，連接BC,作CE,LBC,則CE，的長就是CF+EF的最

小值，然后根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出CE，即可.

29

【詳解】

解：作點(diǎn)C關(guān)于直線BA的對稱點(diǎn)C，，連接BC工作C，E，，BC,則CE，的長就是CF+EF

的最小值，

VBC=2,ZABC=30°,

???BC=2,NABC'=30。，

AZCBC5=60。，

2

.\C'E,=722-I2=后,即CF+EF的最小值是百，

故選：C.

【內(nèi)撥】本題考查了軸對稱一最短路徑問題，根據(jù)題意得到CE，的長就是CF+EF的最小值

是解題關(guān)鍵.

15【答案】D

【分析】作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C'，連接OC'，與y軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P,用勾股定

理可求得DC'長度，可得PC+PD的最小值為2正，再根據(jù)CD=2,可得PC+PD+CD=

2亞+2

解：如圖，作C點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C',連接DC'交y軸與點(diǎn)P,此時PC+PD的值最小且

DC=PC+PD

30

y

B

C'0\c\'X

,.-CD分別是04.AB的中點(diǎn)，A(2,0).B(0,4)

AC(1,0),D(1,2)

在RtADCC中，由勾股定理可得DC=\lDC2+C'C2=722+22=2夜

又(1,2)

；.CD=2

/.此時ADPC周長為PC+PD+CD=DC+CD=2A/2+2

故選D

【點(diǎn)撥】本題考查最短路徑問題，把圖形作出來是解題關(guān)鍵，再結(jié)合勾股定理解題.

16.【答案】C

【分析】首先確定DC=DE+EC=DE+CE的值最小，然后根據(jù)勾股定理計算.

解：過點(diǎn)C作C0_LA8于。，延長C。到C使。。=0C,連接DC，交AB于E,連接。從

此時OE+CE=OE+EC-DC的值最小.

連接8C',由對稱性可知/C8E=NC8E=45。,

：.ZCBC=90°,

：.BC'±BC,ZBCC=/8C'C=45°,

BC=BC=2,

?.?。是8c邊的中點(diǎn)，

：.BD=\,

31

根據(jù)勾股定理可得:

DC，7BC，Blf，

=V22+12,

—下.

故EC+EZ）的最小值是否.

故答案為C.

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱一最短路線問題，熟練掌握該知識點(diǎn)是本題解題的關(guān)鍵.

17.【答案】B

【解析】

找出B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)I）,連接DE交AC于P,則DE就是PB

+PE的最小值，求出即可.

解：連接DE交AC于P,連接DE,DB,

由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對稱，則PD=PB,

；.PE+PB=PE+PD=DE,

即DE就是PE+PB的最小值，

VZABC=120°,

ZBAD=60",

VAD=AB,

.'.△ABC是等邊三角形，

VAE=BE,

/?DEIAB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）.

在RSADE中，DE=JA02_AE2=瓜

即PB+PE的直線值為百.

32

故選B.

“點(diǎn)撥”本題主要考查軸對稱.最短路線問題，勾股定理等知識點(diǎn).確定P點(diǎn)的位置是解答

此題的關(guān)鍵.

18.【答案】B

【分析】

先連接CF,再根據(jù)EB=EC,將FE+EB轉(zhuǎn)化為FE+CE,最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得

CF的長，即為FE+EB的最小值.

【詳解】

解：連接CE,

;等邊AABC中，AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC,ZBAC=60%

，EB=EC,ZBAD=30°,

?,.BD=—AB=4,

2

?*-AD=yjAB2-BD2=幅-42=4百，

當(dāng)C、F、E三點(diǎn)共線時，EF+EC=EF+BE=CF,

?.?等邊AABC中，F(xiàn)是AB邊的中點(diǎn)，

；.AD=CF=4百，

.??EF+BE的最小值為46，

故選：B.

【點(diǎn)撥】

本題考查了等邊三角形的軸對稱性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形

的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

19.【答案】C

【分析】

33

作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B',連接BD,易求/ABB，=60°,貝I]AB=AB,且aABB，為等邊三

角形，BE+DE=DE+EB為B與直線AB之間的連接線段，其