新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.4曲線與方程學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第一冊

2.4曲線與方程[課標解讀]1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.理解曲線的方程和方程的曲線的概念.3.掌握求軌跡方程建立坐標系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個步驟.4.掌握求軌跡方程的幾種常用方法.5.初步學(xué)會通過曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)．教材要點知識點一曲線與方程的概念一般地，一條曲線可以看成動點依某種條件運動的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點的________．一個二元方程總可以通過移項寫成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是關(guān)于x，y的解析式．在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關(guān)系：①________________都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在________C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做__________；曲線C叫做__________．狀元隨筆1．如果曲線與方程僅滿足“以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”，會出現(xiàn)什么情況？舉例說明．[提示]如果曲線與方程僅滿足“以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”，有可能擴大曲線的邊界．如方程y＝1-2．如果曲線C的方程是F(x，y)＝0，那么點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？[提示]若點P在曲線C上，則F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，則點P在曲線C上，所以點P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是F(x0，y0)＝0.知識點二兩條曲線的交點坐標曲線C1：F(x，y)＝0和曲線C2：G(x，y)＝0的交點坐標為____________的實數(shù)解．知識點三解析幾何研究的主要問題(1)由曲線求它的________．(2)利用方程研究曲線的________．知識點四求曲線的方程的步驟狀元隨筆求曲線方程的步驟是否可以省略．[提示]可以省略．如果化簡前后方程的解集是相同的，可以省略步驟“證明”，如有特殊情況，可以適當說明．基礎(chǔ)自測1．方程x2y2＝1的曲線是()2．如圖，圖形的方程與圖中曲線對應(yīng)正確的是()ABCD3．下列各點中，在曲線x2－xy＋2y＋1＝0上的是()A．(1，－2)B．(1，2)C．(－1，－2)D．(－2，3)4．平面上有三點A(－2，y)，B(0，y2)，C(x，y)，若AB⊥BC，則動點C的軌跡方程為________題型1曲線與方程的概念例1(1)命題“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”是命題“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)若曲線C的方程為y＝2x－1(1<x<5)，則下列四個點中在曲線C上的是()A．(0，0)B．(7，15)C．(2，3)D．(4，4)方法歸納解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是不是曲線的方程或判定曲線是不是方程的曲線)，只要一一檢驗定義中的“兩性”是否都滿足，并作出相應(yīng)的回答即可．判斷點是否在曲線上，就是判斷點的坐標是否適合曲線的方程．跟蹤訓(xùn)練1下列命題正確的是________．(填序號)①設(shè)點A(2，0)，B(0，2)，則線段AB的方程是x＋y－2＝0；②到原點的距離等于5的動點的軌跡是y＝25-③到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是x2－y2＝0.題型2由方程研究曲線的性質(zhì)例2寫出方程y2－4x－4＝0的曲線的主要性質(zhì)．方法歸納利用方程研究曲線性質(zhì)的一般過程跟蹤訓(xùn)練2畫出到兩坐標軸距離之差等于1的點的軌跡圖形．題型3直接法求曲線方程例3已知兩定點A(－2，0)，B(1，0)，如果動點P滿足條件|PA|＝2|PB|，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于()A．9πB．8πC．4πD．π方法歸納直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0.要注意軌跡上的點不能含有雜點，也不能少點，也就是說曲線上的點一個也不能多，一個也不能少．跟蹤訓(xùn)練3一個動點P到直線x＝8的距離是它到點A(2，0)的距離的2倍．求動點P的軌跡方程．題型4代入法求曲線的方程【思考探究】1．為什么說“建立平面直角坐標系是解析幾何的基礎(chǔ)”？[提示]只有建立了坐標系，才有點的坐標，才能把曲線代數(shù)化，才能用代數(shù)法研究幾何問題．2．常見的建系原則有哪些？[提示](1)若條件中只出現(xiàn)一個定點，常以定點為原點建立直角坐標系．(2)若已知兩定點，常以兩定點的中點為原點，兩定點所在的直線為x軸建立平面直角坐標系．3．求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？[提示]在化簡的過程中，注意運算的合理性與準確性，盡量避免“漏解”或“增解”．同時注意題中隱含信息，比如“三點不能共線”，若共線就不能取．例4動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3，0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程．狀元隨筆所求動點與已知曲線上動點相關(guān)，可通過條件確定兩動點的坐標間的關(guān)系求得．方法歸納代入法求解曲線方程的步驟1．設(shè)動點P(x，y)，相關(guān)動點M(x0，y0)；2．利用條件求出兩動點坐標之間的關(guān)系x3．代入相關(guān)動點的軌跡方程；4．化簡、整理，得所求軌跡方程．其步驟可總結(jié)為“一設(shè)二找三代四整理”．跟蹤訓(xùn)練4設(shè)定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡．狀元隨筆方法一：由平行四邊形性質(zhì)可知|MP|＝|ON|＝2，滿足圓的定義，注意去掉不滿足條件的點；方法二：根據(jù)對角線互相平分，利用代入法可求出軌跡方程．2．4曲線與方程新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點]知識點一軌跡方程曲線C上點的坐標曲線曲線的方程方程的曲線知識點二方程組F知識點三方程性質(zhì)知識點四有序?qū)崝?shù)對(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解[基礎(chǔ)自測]1．解析：方程x2y2＝1，化為xy＝±1，即y＝±1x.所以曲線為答案：D2．答案：D3．解析：將各點代入驗證，得點(1，－2)滿足．答案：A4．解析：AB＝2，-y2，BC＝x，y2，由AB⊥BC得2x－y24＝0答案：y2＝8x(x≠0)課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)根據(jù)曲線方程的概念，“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都在曲線C上”兩層含義．(2)由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的橫坐標不滿足題意，D項中坐標代入后不滿足方程，故選C.答案：(1)B(2)C跟蹤訓(xùn)練1解析：命題①中方程x＋y－2＝0表示一條直線，坐標滿足該方程的點如(－1，3)不在線段AB上，故命題①錯誤．命題②中到原點的距離等于5的動點的軌跡方程為x2＋y2＝25，方程y＝25-x2表示的曲線是圓x2＋y2＝25除去x命題③中到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程為|x|＝|y|，滿足x2－y2＝0，反過來坐標滿足方程x2－y2＝0的點到兩坐標軸的距離相等，故命題③正確．答案：③例2解析：(1)曲線變化情況：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切實數(shù)，x逐漸增大時，|y|無限增大．∴曲線在直線x＝－1的右側(cè)，向上向下無限伸展．(2)對稱性：用－y代y方程不變，故曲線關(guān)于x軸對稱．(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，∴曲線的與x軸交點的橫坐標為－1，與y軸交點的縱坐標為±2.(4)畫方程的曲線：列表：x－10123…y0±2±2.83±3.46±4…描點作圖如圖所示．跟蹤訓(xùn)練2解析：到兩坐標軸距離之差等于1的點(x，y)，滿足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不變，所以方程的曲線關(guān)于坐標軸對稱，同時也關(guān)于原點對稱，需畫出x≥0，y≥0的圖形后，利用對稱性完成畫圖，如圖．例3解析：設(shè)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知x+22+y2＝2x-12+y2，化簡整理，得(所以，動點P的軌跡是圓心為(2，0)，半徑為2的圓，此圓的面積為4π.答案：C跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)P(x，y)，則|8－x|＝2|PA|.則|8－x|＝2x-化簡，得3x2＋4y2＝48，故動點P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48.例4解析：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，∵P為MB的中點．∴x=x0又∵M在曲線x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，∴P點的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.跟蹤訓(xùn)練4解析：方法一：(定義法)|MP|＝|ON|＝2，所以動點P在以M為圓心，半徑為2的圓上．又因為四邊形MONP為平行四邊形，所以O(shè)，M，P不共線．當點P在直線OM上時有x＝－95，y＝125或x＝－215，y因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4