多項式教學(xué)課件

13.3.2多項式目錄contents多項式基本概念多項式運算多項式因式分解多項式函數(shù)及其圖像多項式在解決實際問題中應(yīng)用舉例復(fù)雜多項式處理技巧及策略301多項式基本概念定義與性質(zhì)定義多項式是由常數(shù)、變量以及有限次的加、減、乘運算得到的代數(shù)表達(dá)式。性質(zhì)多項式具有加法、減法、乘法的封閉性，即兩個多項式進(jìn)行加、減、乘運算后仍為多項式。多項式中，變量指數(shù)的最大值稱為多項式的次數(shù)。次數(shù)多項式中，與變量相乘的常數(shù)稱為系數(shù)。系數(shù)多項式的次數(shù)和系數(shù)都是針對某個特定變量的，因此需指明是哪個變量的次數(shù)和系數(shù)。注意事項次數(shù)與系數(shù)定義只含有一個變量的多項式稱為一元多項式。標(biāo)準(zhǔn)形式一元多項式可表示為$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_1x+a_0$，其中$a_nneq0$，$n$為非負(fù)整數(shù)。根的概念對于一元多項式$P(x)$，若存在數(shù)$c$使得$P(c)=0$，則稱$c$是多項式$P(x)$的根。一元多項式302多項式運算同類項合并只有同類項（即次數(shù)相同的項）才可以進(jìn)行加減運算，合并時系數(shù)相加減，字母部分不變。運算順序進(jìn)行多項式的加減運算時，通常按照次數(shù)從高到低（或從低到高）的順序排列各項，以方便合并同類項。加法與減法多項式乘法遵循分配律，即每一項都需要與另一個多項式的每一項相乘。乘法分配律多項式除法通常是通過長除法或綜合除法進(jìn)行的，商和余數(shù)都是多項式。除法運算乘法與除法帶余除法定理01對于任意兩個多項式f(x)和g(x)（g(x)≠0），總存在唯一的多項式q(x)和r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)，其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)。求余式02在帶余除法中，可以通過多項式除法求得余式r(x)。應(yīng)用03帶余除法在多項式的因式分解、求多項式的根等方面有重要應(yīng)用。帶余除法303多項式因式分解確定公因式觀察多項式的各項，找出所有項的公共因子，包括系數(shù)、字母及其指數(shù)。提取公因式將多項式各項的公因式提取出來，得到一個新的多項式和公因式的乘積。簡化多項式對新得到的多項式進(jìn)行進(jìn)一步的因式分解，直到無法再提取公因式為止。提取公因式法03020103其他公式根據(jù)多項式的特點，還可以運用其他公式進(jìn)行因式分解，如立方和公式、立方差公式等。01平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，適用于兩項都是平方數(shù)的多項式。02完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$和$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，適用于三項中兩項是平方數(shù)且它們之間是加減關(guān)系的多項式。公式法分組將多項式的項按照某種規(guī)則分成若干組，使得每組內(nèi)的項具有相同的特征或關(guān)系。分解對每一組進(jìn)行因式分解，得到各組的公因式或公式。整合將各組的公因式或公式整合起來，得到原多項式的完整因式分解結(jié)果。分組分解法304多項式函數(shù)及其圖像VS多項式函數(shù)的定義域為全體實數(shù)集R，即任何實數(shù)都可以作為多項式函數(shù)的自變量。值域多項式函數(shù)的值域取決于多項式的次數(shù)和系數(shù)。對于一次多項式，值域為全體實數(shù)集R；對于二次及以上的多項式，值域為[f(x)min,+∞)或(-∞,f(x)max]，其中f(x)min和f(x)max分別為多項式函數(shù)的最小值和最大值。定義域多項式函數(shù)定義域與值域通過選取自變量x的一些特定值，計算出對應(yīng)的函數(shù)值y，然后在坐標(biāo)系中描出這些點，最后用平滑的曲線連接這些點即可得到多項式函數(shù)的圖像。通過觀察多項式函數(shù)的表達(dá)式，分析其增減性、對稱性、極值點等性質(zhì)，然后結(jié)合這些性質(zhì)繪制出函數(shù)的圖像。函數(shù)圖像繪制方法代數(shù)法列表描點法圖像特征與性質(zhì)分析增減性多項式函數(shù)的增減性取決于其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)。當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時，函數(shù)單調(diào)減少。對稱性多項式函數(shù)可能具有軸對稱性或中心對稱性。對于偶次多項式，其圖像關(guān)于y軸對稱；對于奇次多項式，其圖像關(guān)于原點對稱。極值點多項式函數(shù)的極值點可以通過求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0得到。極值點處的函數(shù)值可能是最大值、最小值或拐點。漸近線對于高次多項式函數(shù)，當(dāng)x趨向無窮大或無窮小時，函數(shù)的圖像會趨近于一條直線，這條直線稱為漸近線。305多項式在解決實際問題中應(yīng)用舉例123多項式$ltimesw$可表示一個矩形的面積，其中$l$是長度，$w$是寬度。矩形面積多項式$frac{1}{2}(a+b)h$可表示一個梯形的面積，其中$a$和$b$是梯形的兩個平行邊的長度，$h$是高。梯形面積多項式$pir^2$可表示一個圓的面積，其中$r$是圓的半徑。圓的面積面積問題圓柱體體積多項式$pir^2h$可表示一個圓柱體的體積，其中$r$是底面圓的半徑，$h$是高。球體體積多項式$frac{4}{3}pir^3$可表示一個球體的體積，其中$r$是球的半徑。長方體體積多項式$ltimeswtimesh$可表示一個長方體的體積，其中$l$是長度，$w$是寬度，$h$是高度。體積問題多項式$(p-c)n$可表示一個公司的總利潤，其中$p$是每件產(chǎn)品的售價，$c$是每件產(chǎn)品的成本，$n$是銷售數(shù)量?？偫麧櫠囗検?frac{(p-c)n}{n}$或$(p-c)$可表示一個公司的平均利潤，即總利潤除以銷售數(shù)量。平均利潤多項式可以通過求導(dǎo)等方法找到最大值點，從而確定使得利潤最大的售價和銷售數(shù)量。最大利潤利潤問題306復(fù)雜多項式處理技巧及策略利用代數(shù)基本定理，將高次多項式分解為一次或二次因式的乘積，從而降低多項式的次數(shù)。代數(shù)基本定理運用冪的運算性質(zhì)，如乘法公式、指數(shù)法則等，對高次多項式進(jìn)行降冪處理。冪的運算性質(zhì)通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將高次多項式轉(zhuǎn)化為低次多項式，簡化問題的求解過程。變量替換法010203高次多項式降冪處理參數(shù)消元法通過消元法消去參數(shù)，將含有參數(shù)的多項式問題轉(zhuǎn)化為普通多項式問題。特殊值代入法根據(jù)題目條件，選取合適的特殊值代入?yún)?shù)，從而簡化多項式并求解問題。分類討論法針對參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行分類討論，分別求解不同情況下的多項式問題。含有參數(shù)多項式處理方法靈活運用代數(shù)技巧綜合運用各種技巧